彈性力學(xué)數(shù)值方法：有限體積法(FVM)與有限元法(FEM)的比較

彈性力學(xué)數(shù)值方法：有限體積法(FVM)與有限元法(FEM)的比較1彈性力學(xué)數(shù)值方法：有限體積法(FVM)與有限元法(FEM)的比較1.1緒論1.1.1彈性力學(xué)數(shù)值方法簡(jiǎn)介彈性力學(xué)是研究物體在外力作用下變形和應(yīng)力分布的學(xué)科。在實(shí)際工程問(wèn)題中，物體的形狀、材料屬性和外力作用往往非常復(fù)雜，解析解難以求得。因此，數(shù)值方法成為解決這類(lèi)問(wèn)題的重要工具。數(shù)值方法通過(guò)將連續(xù)的物理問(wèn)題離散化，轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)方程，然后通過(guò)計(jì)算機(jī)求解這些方程，從而得到問(wèn)題的近似解。1.1.2有限體積法與有限元法的歷史背景有限體積法(FVM)和有限元法(FEM)是兩種廣泛應(yīng)用于彈性力學(xué)數(shù)值分析的方法。FEM最早由工程師們?cè)?950年代提出，用于解決結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題，隨后在60年代被數(shù)學(xué)家們系統(tǒng)化和理論化。FVM則是在流體力學(xué)領(lǐng)域發(fā)展起來(lái)的，主要用于求解偏微分方程，特別是對(duì)流擴(kuò)散方程。盡管兩者的發(fā)展背景不同，但它們?cè)诮鉀Q彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)都展現(xiàn)了各自的優(yōu)勢(shì)和局限性。1.2有限體積法(FVM)1.2.1原理FVM的核心思想是基于守恒定律，將計(jì)算域劃分為一系列控制體積，然后在每個(gè)控制體積上應(yīng)用守恒定律，得到控制體積的守恒方程。這些方程組成了整個(gè)計(jì)算域的離散方程組，通過(guò)求解這些方程，可以得到控制體積內(nèi)的物理量的平均值。在彈性力學(xué)中，F(xiàn)VM主要用于求解應(yīng)力和應(yīng)變的分布。1.2.2內(nèi)容在彈性力學(xué)中應(yīng)用FVM，首先需要將物體的計(jì)算域離散化為一系列的控制體積。然后，對(duì)于每個(gè)控制體積，應(yīng)用彈性力學(xué)的基本方程，如平衡方程和本構(gòu)方程，得到控制體積的守恒方程。這些方程通常是非線性的，需要通過(guò)迭代方法求解。1.2.2.1示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的彈性力學(xué)問(wèn)題，需要求解一個(gè)長(zhǎng)方體在均勻壓力作用下的應(yīng)力分布。我們可以將長(zhǎng)方體離散化為一系列的小立方體，每個(gè)小立方體作為一個(gè)控制體積。然后，對(duì)于每個(gè)控制體積，應(yīng)用平衡方程和胡克定律，得到控制體積的守恒方程。這里，我們不提供具體的代碼示例，但可以描述一個(gè)簡(jiǎn)單的算法流程：離散化計(jì)算域：將長(zhǎng)方體離散化為小立方體。定義控制體積：每個(gè)小立方體作為一個(gè)控制體積。應(yīng)用守恒定律：對(duì)于每個(gè)控制體積，應(yīng)用平衡方程和胡克定律。求解方程組：通過(guò)迭代方法求解得到的非線性方程組。后處理：分析和可視化應(yīng)力分布結(jié)果。1.3有限元法(FEM)1.3.1原理FEM的核心思想是將計(jì)算域劃分為一系列的單元，然后在每個(gè)單元上假設(shè)物理量的分布形式，通常是多項(xiàng)式函數(shù)。通過(guò)在單元邊界上應(yīng)用邊界條件和在單元內(nèi)部應(yīng)用彈性力學(xué)的基本方程，可以得到單元的剛度矩陣。將所有單元的剛度矩陣組合起來(lái)，形成整個(gè)計(jì)算域的剛度矩陣，然后求解這個(gè)矩陣方程，得到物理量的分布。1.3.2內(nèi)容在彈性力學(xué)中應(yīng)用FEM，首先需要將物體的計(jì)算域離散化為一系列的單元。然后，對(duì)于每個(gè)單元，假設(shè)應(yīng)力和應(yīng)變的分布形式，通常是多項(xiàng)式函數(shù)。通過(guò)在單元邊界上應(yīng)用邊界條件和在單元內(nèi)部應(yīng)用彈性力學(xué)的基本方程，可以得到單元的剛度矩陣。將所有單元的剛度矩陣組合起來(lái)，形成整個(gè)計(jì)算域的剛度矩陣，然后求解這個(gè)矩陣方程，得到應(yīng)力和應(yīng)變的分布。1.3.2.1示例考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的彈性力學(xué)問(wèn)題，需要求解一個(gè)長(zhǎng)方體在均勻壓力作用下的應(yīng)力分布。我們可以將長(zhǎng)方體離散化為一系列的三角形或四邊形單元。然后，對(duì)于每個(gè)單元，假設(shè)應(yīng)力和應(yīng)變的分布形式為線性函數(shù)。通過(guò)在單元邊界上應(yīng)用邊界條件和在單元內(nèi)部應(yīng)用彈性力學(xué)的基本方程，可以得到單元的剛度矩陣。這里，我們不提供具體的代碼示例，但可以描述一個(gè)簡(jiǎn)單的算法流程：離散化計(jì)算域：將長(zhǎng)方體離散化為三角形或四邊形單元。定義單元：每個(gè)單元上假設(shè)應(yīng)力和應(yīng)變的分布形式為線性函數(shù)。應(yīng)用彈性力學(xué)方程：在單元邊界上應(yīng)用邊界條件，在單元內(nèi)部應(yīng)用彈性力學(xué)的基本方程。求解方程組：組合所有單元的剛度矩陣，形成整個(gè)計(jì)算域的剛度矩陣，然后求解這個(gè)矩陣方程。后處理：分析和可視化應(yīng)力分布結(jié)果。1.4FVM與FEM的比較1.4.1離散化方法FVM通常使用控制體積進(jìn)行離散化，而FEM則使用單元進(jìn)行離散化。FVM的離散化方法更接近于物理守恒定律，而FEM的離散化方法更靈活，可以適應(yīng)各種復(fù)雜的幾何形狀。1.4.2方程求解FVM得到的方程通常是守恒形式的，而FEM得到的方程通常是變分形式的。FVM的方程求解通常需要迭代方法，而FEM的方程求解通常可以通過(guò)直接求解剛度矩陣方程得到。1.4.3應(yīng)用領(lǐng)域FVM主要應(yīng)用于流體力學(xué)和熱力學(xué)領(lǐng)域，而FEM則廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、熱力學(xué)、電磁學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。在彈性力學(xué)中，F(xiàn)EM更為常用，因?yàn)樗梢愿玫靥幚韽?fù)雜的幾何形狀和邊界條件。1.4.4總結(jié)FVM和FEM都是解決彈性力學(xué)問(wèn)題的有效數(shù)值方法，但它們的離散化方法、方程求解和應(yīng)用領(lǐng)域有所不同。選擇哪種方法取決于具體問(wèn)題的性質(zhì)和求解者的需求。在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)EM由于其靈活性和廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，更為常用。然而，F(xiàn)VM在處理守恒問(wèn)題時(shí)，具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因此在某些特定領(lǐng)域，如流體力學(xué)，也得到了廣泛的應(yīng)用。請(qǐng)注意，上述示例中并未提供具體可操作的代碼和數(shù)據(jù)樣例，因?yàn)檫@需要詳細(xì)的數(shù)學(xué)模型和復(fù)雜的數(shù)值算法，超出了本教程的范圍。但是，通過(guò)上述描述，讀者可以理解FVM和FEM在彈性力學(xué)數(shù)值分析中的基本應(yīng)用流程和它們之間的主要區(qū)別。2有限體積法(FVM)基礎(chǔ)2.1FVM的基本原理有限體積法(FVM)是一種廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)和彈性力學(xué)等領(lǐng)域的數(shù)值方法。其核心思想是將計(jì)算域劃分為一系列控制體積，然后在每個(gè)控制體積上應(yīng)用守恒定律。在彈性力學(xué)中，F(xiàn)VM通過(guò)在每個(gè)控制體積上應(yīng)用平衡方程和本構(gòu)關(guān)系，來(lái)求解應(yīng)力和應(yīng)變的分布。2.1.1控制體積控制體積是FVM中的基本單元，可以是任意形狀，但通常選擇為四邊形或六面體。每個(gè)控制體積的邊界上定義了通量，這些通量代表了物理量（如應(yīng)力）通過(guò)邊界的變化。2.1.2守恒定律在彈性力學(xué)中，守恒定律主要體現(xiàn)在動(dòng)量守恒和能量守恒上。FVM通過(guò)在控制體積上積分這些守恒定律，將連續(xù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組。2.2FVM的離散化過(guò)程FVM的離散化過(guò)程包括網(wǎng)格劃分、通量計(jì)算和代數(shù)方程組的建立。2.2.1網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分是將計(jì)算域劃分為一系列控制體積的過(guò)程。網(wǎng)格的大小和形狀直接影響到計(jì)算的精度和效率。2.2.2通量計(jì)算通量計(jì)算是在控制體積邊界上進(jìn)行的，它涉及到物理量的插值和數(shù)值積分。在彈性力學(xué)中，通量通常表示為應(yīng)力和應(yīng)變的函數(shù)。2.2.3代數(shù)方程組的建立通過(guò)在每個(gè)控制體積上應(yīng)用守恒定律，可以得到一系列關(guān)于控制體積中心點(diǎn)的物理量（如位移、應(yīng)力）的代數(shù)方程。這些方程組可以通過(guò)迭代方法求解。2.3FVM在彈性力學(xué)中的應(yīng)用在彈性力學(xué)中，F(xiàn)VM主要用于求解應(yīng)力和應(yīng)變的分布。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的二維彈性力學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)明FVM的應(yīng)用。2.3.1問(wèn)題描述假設(shè)有一個(gè)矩形的彈性體，其長(zhǎng)為1m，寬為0.5m，受到均勻的橫向力作用。彈性體的材料屬性為彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。求解彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分布。2.3.2網(wǎng)格劃分首先，將計(jì)算域劃分為10x5的矩形網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的大小為0.1mx0.1m。importnumpyasnp

#網(wǎng)格參數(shù)

nx,ny=10,5

dx,dy=0.1,0.1

#創(chuàng)建網(wǎng)格

x=np.linspace(0,1,nx+1)

y=np.linspace(0,0.5,ny+1)

X,Y=np.meshgrid(x,y)2.3.3通量計(jì)算在每個(gè)網(wǎng)格邊界上，計(jì)算應(yīng)力通量。這里假設(shè)應(yīng)力通量與應(yīng)力成正比，且應(yīng)力與位移成線性關(guān)系。#材料屬性

E,nu=200e9,0.3

#應(yīng)力通量計(jì)算

defstress_flux(u,v,x,y):

du_dx=(u[1:]-u[:-1])/dx

dv_dy=(v[:,1:]-v[:,:-1])/dy

sigma_x=E*du_dx/(1-nu**2)

sigma_y=E*dv_dy/(1-nu**2)

tau_xy=E*(du_dy+dv_dx)/(2*(1+nu))

returnsigma_x,sigma_y,tau_xy2.3.4代數(shù)方程組的建立通過(guò)在每個(gè)控制體積上應(yīng)用平衡方程，可以得到關(guān)于位移的代數(shù)方程組。這里假設(shè)邊界條件為固定邊界，且外力為均勻分布。#位移初值

u=np.zeros((ny,nx))

v=np.zeros((ny,nx))

#外力

f_x=np.zeros((ny,nx))

f_y=-1e6*np.ones((ny,nx))

#平衡方程

defbalance_equation(u,v,f_x,f_y):

#應(yīng)力通量

sigma_x,sigma_y,tau_xy=stress_flux(u,v,X,Y)

#應(yīng)力通量的積分

sigma_x_avg=(sigma_x[1:]+sigma_x[:-1])/2

sigma_y_avg=(sigma_y[:,1:]+sigma_y[:,:-1])/2

#平衡方程

du=(sigma_x_avg[:,:-1]-sigma_x_avg[:,1:])*dy-f_x*dx*dy

dv=(sigma_y_avg[:-1,:]-sigma_y_avg[1:,:])*dx-f_y*dx*dy

returndu,dv

#求解位移

du,dv=balance_equation(u,v,f_x,f_y)2.3.5求解過(guò)程上述代碼中，stress_flux函數(shù)用于計(jì)算應(yīng)力通量，balance_equation函數(shù)用于建立平衡方程。通過(guò)迭代求解du和dv，可以得到位移的分布，進(jìn)而求得應(yīng)力的分布。2.3.6結(jié)果分析得到位移分布后，可以進(jìn)一步計(jì)算應(yīng)力分布，分析彈性體的變形和應(yīng)力狀態(tài)。#更新位移

u+=du

v+=dv

#計(jì)算應(yīng)力分布

sigma_x,sigma_y,tau_xy=stress_flux(u,v,X,Y)通過(guò)上述過(guò)程，可以使用有限體積法求解彈性力學(xué)問(wèn)題，得到應(yīng)力和應(yīng)變的分布。FVM在處理復(fù)雜幾何和邊界條件時(shí)具有優(yōu)勢(shì)，但在處理彈性力學(xué)中的非線性問(wèn)題時(shí)，可能需要更復(fù)雜的數(shù)值方法。3有限元法(FEM)基礎(chǔ)3.1FEM的基本概念有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值方法，用于求解復(fù)雜的工程問(wèn)題，如結(jié)構(gòu)分析、熱傳導(dǎo)、流體動(dòng)力學(xué)等。在彈性力學(xué)中，F(xiàn)EM通過(guò)將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體離散成有限數(shù)量的單元（或稱(chēng)為“元素”），每個(gè)單元用一組節(jié)點(diǎn)來(lái)表示，從而將連續(xù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散問(wèn)題。這種方法允許我們使用數(shù)值技術(shù)來(lái)逼近真實(shí)解，尤其適用于處理邊界條件復(fù)雜或材料性質(zhì)不均勻的問(wèn)題。3.1.1節(jié)點(diǎn)與單元節(jié)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)體上的特定點(diǎn)，用于定義單元的邊界。單元：由節(jié)點(diǎn)組成的幾何體，可以是線、三角形、四邊形、六面體等，每個(gè)單元內(nèi)部的物理量（如位移、應(yīng)力）可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)上的物理量插值得到。3.1.2插值函數(shù)FEM中，單元內(nèi)部的物理量通過(guò)插值函數(shù)來(lái)表達(dá)，這些函數(shù)通常為多項(xiàng)式，能夠根據(jù)節(jié)點(diǎn)上的物理量值來(lái)計(jì)算單元內(nèi)部任意點(diǎn)的物理量值。例如，在一個(gè)線性單元中，位移可以表示為節(jié)點(diǎn)位移的線性組合。3.2FEM的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.2.1弱形式在FEM中，原始的微分方程通常被轉(zhuǎn)化為弱形式，即通過(guò)積分和加權(quán)函數(shù)來(lái)表達(dá)。弱形式允許使用更廣泛的函數(shù)空間，包括不連續(xù)的函數(shù)，從而簡(jiǎn)化了數(shù)值求解過(guò)程。3.2.2加權(quán)殘值法加權(quán)殘值法是將微分方程的殘差與一組加權(quán)函數(shù)相乘并積分，得到一組代數(shù)方程。這些加權(quán)函數(shù)通常為單元的插值函數(shù)，確保了方程在每個(gè)單元內(nèi)的連續(xù)性和一致性。3.2.3虛功原理虛功原理是FEM中一個(gè)重要的概念，它基于能量守恒的原理，通過(guò)計(jì)算虛擬位移下的外力做功與內(nèi)力做功的差值，來(lái)建立結(jié)構(gòu)的平衡方程。3.3FEM在彈性力學(xué)中的實(shí)現(xiàn)在彈性力學(xué)中，F(xiàn)EM主要用于求解結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的二維彈性力學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)明FEM的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。假設(shè)我們有一個(gè)矩形板，長(zhǎng)為1m，寬為0.5m，厚度為0.01m，材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。板的一端固定，另一端受到100N的力。我們使用FEM來(lái)計(jì)算板的位移。3.3.1步驟1：離散化首先，將矩形板離散成多個(gè)四邊形單元。例如，我們可以將板劃分為10x5的網(wǎng)格，每個(gè)單元為0.1mx0.1m。3.3.2步驟2：建立單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)于每個(gè)單元，我們需要建立一個(gè)剛度矩陣，它描述了單元內(nèi)部的力與位移之間的關(guān)系。剛度矩陣的大小取決于單元的自由度數(shù)，對(duì)于二維問(wèn)題，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度（x和y方向的位移）。3.3.3步驟3：組裝整體剛度矩陣將所有單元的剛度矩陣組裝成一個(gè)整體剛度矩陣。整體剛度矩陣描述了整個(gè)結(jié)構(gòu)的力與位移之間的關(guān)系。3.3.4步驟4：施加邊界條件在固定端，位移為零，這需要在整體剛度矩陣中進(jìn)行修改，以反映邊界條件。3.3.5步驟5：求解位移使用線性代數(shù)求解技術(shù)，如高斯消元法或迭代法，求解整體剛度矩陣方程，得到結(jié)構(gòu)的位移。3.3.6步驟6：計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變最后，根據(jù)位移結(jié)果，使用彈性力學(xué)的公式計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變。3.3.7代碼示例下面是一個(gè)使用Python和SciPy庫(kù)來(lái)實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程的簡(jiǎn)單示例。請(qǐng)注意，這僅是一個(gè)概念性的示例，實(shí)際應(yīng)用中需要更復(fù)雜的代碼來(lái)處理網(wǎng)格生成、邊界條件和材料屬性。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

t=0.01#板的厚度，單位：m

#定義單元?jiǎng)偠染仃?/p>

defunit_stiffness_matrix(E,nu,t,L,H):

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

B=np.array([[1,0,-1,0],[0,1,0,-1],[0,L/H,0,L/H]])

K=t*np.dot(np.dot(B.T,D),B)/(L*H)

returnK

#定義整體剛度矩陣

defglobal_stiffness_matrix(units,nodes):

n_nodes=len(nodes)

n_dofs=2*n_nodes

K=lil_matrix((n_dofs,n_dofs))

forunitinunits:

#獲取單元節(jié)點(diǎn)的全局編號(hào)

n1,n2,n3,n4=unit

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

K_unit=unit_stiffness_matrix(E,nu,t,nodes[n2][0]-nodes[n1][0],nodes[n2][1]-nodes[n1][1])

#將單元?jiǎng)偠染仃囂砑拥秸w剛度矩陣中

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*n1+i%2,2*n1+j%2]+=K_unit[i,j]

K[2*n1+i%2,2*n2+j%2]+=K_unit[i,j+1]

K[2*n3+i%2,2*n3+j%2]+=K_unit[i+2,j]

K[2*n3+i%2,2*n4+j%2]+=K_unit[i+2,j+1]

returnK.tocsr()

#定義節(jié)點(diǎn)和單元

nodes=np.array([[0,0],[0.1,0],[0.1,0.1],[0,0.1]])

units=np.array([[0,1,2,3]])

#創(chuàng)建整體剛度矩陣

K=global_stiffness_matrix(units,nodes)

#定義外力向量

F=np.zeros(2*len(nodes))

F[2]=100#在節(jié)點(diǎn)2的y方向施加100N的力

#施加邊界條件

K[0,:]=0

K[1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,1]=0

K[0,0]=1

K[1,1]=1

F[0]=0

F[1]=0

#求解位移

U=spsolve(K,F)

#輸出位移結(jié)果

print("位移結(jié)果：",U)在這個(gè)示例中，我們首先定義了材料屬性和單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算方法。然后，我們創(chuàng)建了一個(gè)整體剛度矩陣，并定義了外力向量。接著，我們施加了邊界條件，最后使用spsolve函數(shù)求解位移。輸出的位移結(jié)果可以進(jìn)一步用于計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變。請(qǐng)注意，實(shí)際應(yīng)用中，網(wǎng)格生成、邊界條件的處理和材料屬性的定義會(huì)更加復(fù)雜，需要根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行調(diào)整。此外，計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變通常需要使用更復(fù)雜的公式，這在本示例中沒(méi)有涉及。4彈性力學(xué)數(shù)值方法：有限體積法(FVM)與有限元法(FEM)的比較4.1離散化策略的對(duì)比在彈性力學(xué)的數(shù)值模擬中，有限體積法(FVM)和有限元法(FEM)是兩種廣泛使用的離散化技術(shù)。它們各自基于不同的數(shù)學(xué)原理和物理概念，從而在處理特定問(wèn)題時(shí)展現(xiàn)出不同的優(yōu)勢(shì)和局限性。4.1.1有限體積法(FVM)FVM是基于守恒定律的離散化方法，它將計(jì)算域劃分為一系列控制體積，然后在每個(gè)控制體積上應(yīng)用守恒定律。這種方法特別適用于處理流體動(dòng)力學(xué)和傳熱問(wèn)題，但在彈性力學(xué)中也有應(yīng)用。FVM的核心在于積分形式的守恒方程，它確保了質(zhì)量、動(dòng)量和能量在控制體積內(nèi)的守恒。4.1.1.1原理FVM的基本思想是將連續(xù)的偏微分方程在控制體積上進(jìn)行積分，從而得到離散方程。對(duì)于彈性力學(xué)中的平衡方程，F(xiàn)VM通過(guò)在每個(gè)控制體積上積分應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，來(lái)求解位移和應(yīng)力場(chǎng)。4.1.1.2內(nèi)容控制體積的劃分：計(jì)算域被劃分為一系列不重疊的控制體積，每個(gè)控制體積的邊界上定義了通量。守恒定律的應(yīng)用：在每個(gè)控制體積上應(yīng)用守恒定律，得到離散的平衡方程。通量的計(jì)算：通過(guò)數(shù)值方法（如中心差分、上風(fēng)差分）計(jì)算控制體積邊界上的通量。4.1.2有限元法(FEM)FEM是一種基于變分原理的離散化方法，它將計(jì)算域劃分為一系列有限的單元，并在這些單元上使用插值函數(shù)來(lái)逼近解。FEM能夠處理復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，適用于廣泛的工程問(wèn)題，包括彈性力學(xué)。4.1.2.1原理FEM通過(guò)將彈性力學(xué)問(wèn)題的微分方程轉(zhuǎn)化為能量泛函的極值問(wèn)題，然后使用有限維空間中的插值函數(shù)來(lái)逼近解。這種方法允許在每個(gè)單元內(nèi)使用高階多項(xiàng)式，從而提高解的精度。4.1.2.2內(nèi)容單元的劃分：計(jì)算域被劃分為一系列有限的單元，每個(gè)單元內(nèi)定義了插值函數(shù)。變分原理的應(yīng)用：將彈性力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能量泛函的極值問(wèn)題。插值函數(shù)的選擇：使用線性、二次或更高階的多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，以逼近位移和應(yīng)力場(chǎng)。4.2適用問(wèn)題的范圍4.2.1有限體積法(FVM)FVM更適合處理涉及守恒定律的問(wèn)題，如流體動(dòng)力學(xué)中的質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒。在彈性力學(xué)中，F(xiàn)VM可以用于處理應(yīng)力和應(yīng)變的守恒問(wèn)題，尤其是在處理大變形和非線性材料時(shí)，F(xiàn)VM的守恒特性可以提供更準(zhǔn)確的解。4.2.2有限元法(FEM)FEM的適用范圍更廣，它能夠處理復(fù)雜的幾何形狀、邊界條件和材料屬性。在彈性力學(xué)中，F(xiàn)EM是解決線性和非線性問(wèn)題的首選方法，特別是在需要高精度解和處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)。4.3計(jì)算效率與精度分析4.3.1有限體積法(FVM)FVM的計(jì)算效率通常較高，因?yàn)樗诳刂企w積上直接應(yīng)用守恒定律，避免了復(fù)雜的變分過(guò)程。然而，F(xiàn)VM的精度可能受到控制體積大小和通量計(jì)算方法的影響。在處理復(fù)雜幾何和邊界條件時(shí)，F(xiàn)VM可能需要更精細(xì)的網(wǎng)格劃分，從而增加計(jì)算成本。4.3.2有限元法(FEM)FEM的精度通常較高，因?yàn)樗试S在每個(gè)單元內(nèi)使用高階插值函數(shù)。然而，這種高精度是以計(jì)算成本為代價(jià)的。FEM的計(jì)算效率可能受到單元?jiǎng)澐?、插值函?shù)選擇和求解線性方程組的影響。在處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，F(xiàn)EM可能需要更高效的求解器和并行計(jì)算技術(shù)。4.3.3示例分析假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的彈性力學(xué)問(wèn)題，需要求解一個(gè)受力的矩形板的位移和應(yīng)力場(chǎng)。我們使用FEM和FVM來(lái)比較它們的計(jì)算效率和精度。4.3.3.1有限元法(FEM)示例#導(dǎo)入必要的庫(kù)

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義問(wèn)題的尺寸和材料屬性

length=1.0

width=1.0

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

#單元?jiǎng)澐?/p>

n_elements_x=10

n_elements_y=10

element_size_x=length/n_elements_x

element_size_y=width/n_elements_y

#創(chuàng)建全局剛度矩陣和力向量

K=lil_matrix((n_elements_x*n_elements_y*2,n_elements_x*n_elements_y*2))

F=np.zeros(n_elements_x*n_elements_y*2)

#定義單元?jiǎng)偠染仃嚭筒逯岛瘮?shù)

defelement_stiffness_matrix(E,nu,size_x,size_y):

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要更復(fù)雜的插值函數(shù)和積分過(guò)程

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

B=np.array([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0]])

returnD@B.T@B*size_x*size_y

#填充全局剛度矩陣

foriinrange(n_elements_x):

forjinrange(n_elements_y):

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要考慮單元的連接和邊界條件

K[i*n_elements_y*2:(i+1)*n_elements_y*2,j*n_elements_y*2:(j+1)*n_elements_y*2]+=element_stiffness_matrix(E,nu,element_size_x,element_size_y)

#應(yīng)用邊界條件和外力

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要更復(fù)雜的邊界條件處理

F[-1]=1000#在最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)上施加1000N的力

#求解位移向量

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#計(jì)算應(yīng)力場(chǎng)

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要使用插值函數(shù)和單元?jiǎng)偠染仃?/p>

stress=np.zeros((n_elements_x,n_elements_y,3))

foriinrange(n_elements_x):

forjinrange(n_elements_y):

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要考慮單元的連接和邊界條件

u=U[i*n_elements_y*2:(i+1)*n_elements_y*2,j*n_elements_y*2:(j+1)*n_elements_y*2]

stress[i,j]=element_stiffness_matrix(E,nu,element_size_x,element_size_y)@u4.3.3.2有限體積法(FVM)示例#導(dǎo)入必要的庫(kù)

importnumpyasnp

#定義問(wèn)題的尺寸和材料屬性

length=1.0

width=1.0

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

#控制體積劃分

n_volumes_x=10

n_volumes_y=10

volume_size_x=length/n_volumes_x

volume_size_y=width/n_volumes_y

#創(chuàng)建全局平衡方程矩陣和力向量

A=np.zeros((n_volumes_x*n_volumes_y*2,n_volumes_x*n_volumes_y*2))

F=np.zeros(n_volumes_x*n_volumes_y*2)

#定義控制體積上的通量計(jì)算

defflux(E,nu,size_x,size_y,u_left,u_right):

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要更復(fù)雜的通量計(jì)算方法

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

returnD@(u_right-u_left)/(size_x*size_y)

#填充全局平衡方程矩陣

foriinrange(n_volumes_x):

forjinrange(n_volumes_y):

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要考慮控制體積的連接和邊界條件

ifi<n_volumes_x-1:

A[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,(i+1)*n_volumes_y*2:(i+2)*n_volumes_y*2]-=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,0,1)

A[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2]+=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,0,1)

ifj<n_volumes_y-1:

A[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,i*n_volumes_y*2+2:(i+1)*n_volumes_y*2+2]-=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,0,1)

A[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2]+=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,0,1)

#應(yīng)用邊界條件和外力

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要更復(fù)雜的邊界條件處理

F[-1]=1000#在最后一個(gè)控制體積上施加1000N的力

#求解位移向量

U=np.linalg.solve(A,F)

#計(jì)算應(yīng)力場(chǎng)

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要使用通量計(jì)算方法

stress=np.zeros((n_volumes_x,n_volumes_y,3))

foriinrange(n_volumes_x):

forjinrange(n_volumes_y):

#簡(jiǎn)化示例，實(shí)際應(yīng)用中需要考慮控制體積的連接和邊界條件

u=U[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,j*n_volumes_y*2:(j+1)*n_volumes_y*2]

stress[i,j]=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,u,u+1)4.3.4結(jié)論在上述簡(jiǎn)化示例中，我們比較了FEM和FVM在解決彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)的計(jì)算效率和精度。實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)EM通常能夠提供更高的精度，但可能需要更復(fù)雜的單元?jiǎng)澐趾筒逯岛瘮?shù)選擇。FVM則在處理守恒問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出較高的計(jì)算效率，但在處理復(fù)雜幾何和邊界條件時(shí)可能需要更精細(xì)的控制體積劃分。選擇哪種方法取決于具體問(wèn)題的需求和計(jì)算資源的限制。5案例研究5.1FVM與FEM在平面應(yīng)力問(wèn)題中的應(yīng)用在平面應(yīng)力問(wèn)題中，結(jié)構(gòu)的厚度遠(yuǎn)小于其平面尺寸，且在厚度方向上應(yīng)力均勻分布。這種情況下，可以使用二維模型來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。下面，我們將通過(guò)一個(gè)具體的案例來(lái)比較有限體積法(FVM)和有限元法(FEM)在解決平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)的差異。5.1.1問(wèn)題描述考慮一個(gè)矩形平板，尺寸為10mx5m，厚度為0.1m，材料為鋼，彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。平板受到均勻的面內(nèi)拉力，大小為100MPa。我們的目標(biāo)是計(jì)算平板內(nèi)的應(yīng)力分布。5.1.2有限體積法(FVM)應(yīng)用FVM通過(guò)將計(jì)算域劃分為一系列控制體積，然后在每個(gè)控制體積上應(yīng)用守恒定律來(lái)求解。在平面應(yīng)力問(wèn)題中，F(xiàn)VM可以用來(lái)直接求解應(yīng)力和應(yīng)變的守恒方程。5.1.2.1FVM網(wǎng)格劃分假設(shè)我們使用一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格劃分，將矩形平板劃分為10x5的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的尺寸為1mx1m。5.1.2.2FVM方程離散對(duì)于每個(gè)網(wǎng)格，我們應(yīng)用應(yīng)力平衡方程，即：?和?這里，σx和σ5.1.2.3FVM求解過(guò)程使用FVM，我們將在每個(gè)網(wǎng)格邊界上計(jì)算應(yīng)力的通量，然后通過(guò)迭代求解來(lái)更新每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的應(yīng)力值，直到滿足平衡條件。5.1.3有限元法(FEM)應(yīng)用FEM通過(guò)將結(jié)構(gòu)劃分為一系列有限元，然后在每個(gè)元上建立局部的位移-應(yīng)力關(guān)系，最后通過(guò)全局的平衡方程來(lái)求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和位移。5.1.3.1FEM網(wǎng)格劃分同樣，我們將矩形平板劃分為10x5的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的尺寸為1mx1m。5.1.3.2FEM方程離散對(duì)于每個(gè)有限元，我們使用位移函數(shù)來(lái)表示位移，然后通過(guò)應(yīng)變-位移關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來(lái)建立局部的平衡方程。在平面應(yīng)力問(wèn)題中，我們通常使用三角形或四邊形的有限元。5.1.3.3FEM求解過(guò)程使用FEM，我們將所有局部的平衡方程組合成一個(gè)全局的平衡方程，然后通過(guò)求解線性方程組來(lái)得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和位移。5.1.4比較分析FVM和FEM在求解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)的主要區(qū)別在于它們的基本假設(shè)和求解策略。FVM直接在控制體積上應(yīng)用守恒定律，而FEM則通過(guò)位移函數(shù)來(lái)建立局部的平衡方程。在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)EM通常提供更準(zhǔn)確的解，因?yàn)樗梢愿玫靥幚韽?fù)雜的邊界條件和材料屬性。然而，F(xiàn)VM在處理對(duì)流主導(dǎo)的問(wèn)題時(shí)可能更有效，因?yàn)樗诳刂企w積上的守恒性質(zhì)可以更好地捕捉對(duì)流效應(yīng)。5.2FVM與FEM在三維彈性問(wèn)題中的比較三維彈性問(wèn)題涉及到結(jié)構(gòu)在三個(gè)方向上的應(yīng)力和應(yīng)變。在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，F(xiàn)VM和FEM的差異更加明顯。5.2.1問(wèn)題描述考慮一個(gè)立方體結(jié)構(gòu)，尺寸為10mx10mx10m，材料為鋁，彈性模量E=70GPa，泊松比ν=0.33。結(jié)構(gòu)受到均勻的三維應(yīng)力，大小分別為100MPa、50MPa和25MPa。我們的目標(biāo)是計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)的三維應(yīng)力分布。5.2.2有限體積法(FVM)應(yīng)用在三維彈性問(wèn)題中，F(xiàn)VM需要在每個(gè)控制體積上應(yīng)用三個(gè)方向的應(yīng)力平衡方程。5.2.2.1FVM網(wǎng)格劃分假設(shè)我們使用一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)格劃分，將立方體結(jié)構(gòu)劃分為10x10x10的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的尺寸為1mx1mx1m。5.2.2.2FVM方程離散對(duì)于每個(gè)網(wǎng)格，我們應(yīng)用三個(gè)方向的應(yīng)力平衡方程，即：???這里，σx、σy和5.2.2.3FVM求解過(guò)程使用FVM，我們將在每個(gè)網(wǎng)格邊界上計(jì)算應(yīng)力的通量，然后通過(guò)迭代求解來(lái)更新每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的應(yīng)力值，直到滿足平衡條件。5.2.3有限元法(FEM)應(yīng)用在三維彈性問(wèn)題中，F(xiàn)EM需要在每個(gè)有限元上建立六個(gè)方向的位移-應(yīng)力關(guān)系，然后通過(guò)全局的平衡方程來(lái)求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和位移。5.2.3.1FEM網(wǎng)格劃分同樣，我們將立方體結(jié)構(gòu)劃分為10x10x10的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的尺寸為1mx1mx1m。5.2.3.2FEM方程離散對(duì)于每個(gè)有限元，我們使用位移函數(shù)來(lái)表示位移，然后通過(guò)應(yīng)變-位移關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來(lái)建立局部的平衡方程。在三維彈性問(wèn)題中，我們通常使用四面體或六面體的有限元。5.2.3.3FEM求解過(guò)程使用FEM，我們將所有局部的平衡方程組合成一個(gè)全局的平衡方程，然后通過(guò)求解線性方程組