蘇教版2024-2025學年六年級數(shù)學上冊夯實提煉第一單元長方體和正方體·思維素養(yǎng)篇·第一部分【從課內(nèi)到奧數(shù)】(原卷版+解析)

目錄TOC\o"1-1"\h\u【課內(nèi)精選一】長方體和正方體的棱長與棱長和問題 3【課內(nèi)精選二】正方體的表面展開圖 4【課內(nèi)精選三】小正方體數(shù)量問題 5【課內(nèi)精選四】長方體的表面積與生活實際應(yīng)用 5【奧數(shù)拓展一】最短路徑問題 7【奧數(shù)拓展二】棱長與生活實際綜合應(yīng)用問題 8【奧數(shù)拓展三】趣味展開圖 9【奧數(shù)拓展四】染色問題 10【奧數(shù)拓展五】露在外面的面（堆砌的正方體） 12蘇教版2024-2025學年六年級數(shù)學上冊夯實提煉第一單元長方體和正方體·思維素養(yǎng)篇·第一部分【從課內(nèi)到奧數(shù)】【課內(nèi)精選一】長方體和正方體的棱長與棱長和問題。一個長方體棱長的總和是60厘米，已知長是寬的1.5倍，寬是高的2倍，求這個長方體的長、寬、高?！緦ｍ椨柧殹?.一個長方體的棱長總和是96厘米，已知長是寬的1.5倍，寬是高的2倍，求這個長方體的長、寬、高。2.一個正方體的棱長總和是88.8厘米，它的棱長是多少?3.一個長方體的棱長總和是103.2厘米，已知長是寬的1.2倍，寬是高的1.5倍，求這個長方體的長、寬、高?！菊n內(nèi)精選二】正方體的表面展開圖。在如圖所示的20個展開圖中，哪些可以恢復(fù)成完整的正方體?在序號上打“√”?！緦ｍ椨柧殹?．下面的圖形中，（

）是正方體的表面展開圖。A． B． C． D．2．下面的折紙材料中，能圍成正方體的是（

）。A． B． C． D．3．下面的圖形中，不能圍成正方體的是（

）。A． B．C． D．【課內(nèi)精選三】小正方體數(shù)量問題。用棱長為1厘米的小正方體擺放成稍大一些的正方體，至少需要多少個小正方體?【專項訓練】1.用棱長為1厘米的小正方體擺放成棱長是3厘米的大正方體，需要多少個小正方體?2.用棱長為1厘米的小正方體擺放成一個大正方體，可能需要()個小正方體。A.4B.16C.50D.643.用棱長是2厘米的小正方體擺成長是8厘米、寬是4厘米、高是6厘米的長方體，需要多少個小正方體?【課內(nèi)精選四】長方體的表面積與生活實際應(yīng)用。公園的露天廣場上有5根長方體的長柱子，底面長80厘米、寬40厘米，高3米，給這些柱子的表面涂上新的油漆，按每平方米用油漆0.5千克計算，漆這5根柱子一共需要油漆多少千克?【專項訓練】1.一個正方體食品盒，棱長為4分米，在它四周貼一圈商標紙(上下面不貼)，這圈商標紙面積是多少?2.一個長方體，底面積是42平方厘米，底面周長是26厘米，高是5厘米，求這個長方體的表面積。3.李師傅根據(jù)下圖所示的圖紙做了一個無蓋鐵皮盒，他至少要用多少平方分米的鐵皮?(單位：分米)【奧數(shù)拓展一】最短路徑問題。有一只蜘蛛在正方體的一個頂點A，要爬到距它最遠的另一個頂點B去，哪條路最短呢？請你為它找一條最短路線?！緦ｍ椨柧殹?.有一只螞蟻在正方體的一個頂點A，要從正方體表面爬到距它最遠的另一個頂點B去，想一想，最短路線一共有幾條？2.如圖所示，一條小蟲沿長6分米、寬4分米、高5分米的長方體的棱爬行，如果它只能進不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么，它最多爬多少分米?3.如圖所示，有一個長2米、寬2米、高3米的長方體盒子，盒子的A角上停著一只蜘蛛，B角上有一只蒼蠅被蜘蛛絲纏住了，蜘蛛覺察到了，就沿著長方體盒子的表面去捉蒼蠅，它爬行的速度是每分鐘4米。請你算一算，蜘蛛最少要經(jīng)過多少分鐘才能把蒼蠅捉住?【奧數(shù)拓展二】棱長與生活實際綜合應(yīng)用問題。媽媽給奶奶買了一件生日禮物，她用絲帶把禮物按照下圖的方法捆扎打結(jié)處需要50厘米。捆扎這個禮物一共需要多少厘米絲帶？【專項訓練】1．小紅為媽媽準備了一件生日禮物，下圖是這件禮物的包裝盒，它的長、寬、高分別是25厘米、15厘米、6厘米。現(xiàn)在用彩帶把這個包裝盒捆上，接頭處長18厘米，一共需要多少厘米的彩帶？2．如圖是一個長為50厘米，寬為36厘米，高為24厘米的長方體禮盒，包裝這個禮盒至少需要多長的絲帶？（打結(jié)處用了20厘米長的絲帶）3．如圖所示，捆扎這個禮品盒（打結(jié)處有15厘米），需要多長的彩帶？【奧數(shù)拓展三】趣味展開圖。在下面的正方體展開圖中，只有當動物和它喜歡的食物在正方體的相對面上時它才能吃到，下面圖（

）正方體中的動物不能吃到自己喜歡的食物。A． B．C． D．【專項訓練】1．觀察正方體展開圖，試著折一折，再想一想，下面蓋住的是（

）點。A．1 B．4 C．6 D．52．如圖的圖形可以折成下面的（

）。A． B． C．3．下列展開圖不能折成如圖所示的立體圖形的是（

）。A．B．C．D．【奧數(shù)拓展四】染色問題。把一個長6厘米、寬4厘米、高5厘米的長方體木塊表面全部涂成紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊，如圖1所示。(1)切開后有多少個小正方體木塊分別有三個面、兩個面、一個面被涂成紅色?(2)切開后有多少個小正方體木塊沒有染上紅色(切面都是白色)?【專項訓練】1.把一個長5厘米、寬3厘米、高4厘米的長方體木塊表面全部涂成紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊，如圖所示，問：(1)切開后，有多少個小正方體木塊分別有三個面、兩個面、一個面被涂成紅色?(2)切開后，有多少個小正方體木塊沒有染上色?2.如圖所示，在大正方體的棱上挖掉一個小正方體后涂上顏色，再鋸成大小相同的小正方體，其中3面涂色、2面涂色和1面涂色的小正方體分別有多少個?3.有125個同樣大小的正方體木塊，木塊的每個面的面積均為1平方厘米，其中63個表面涂上白色，還有62個表面涂上藍色.將這125個正方體木塊粘在一起，形成一個棱長為5厘米的大正方體木塊，則這個大正方體木塊的表面上，藍色的面積最多是多少平方厘米?【奧數(shù)拓展五】露在外面的面（堆砌的正方體）。如圖1所示，這個立體圖形由20個棱長為1厘米的小正方體木塊堆放而成，求它的表面積。【專項訓練】1.如圖所示是由13個棱長為1厘米的小正方體木塊堆放而成的物體，求它的表面積。2.如圖所示是一個用棱長為1厘米的小正方體木塊堆放而成的物體。(1)這個物體的表面積是多少?(2)要把這個物體補成一個大正方體，這個大正方體的表面積至少是多少?3.如圖是由22個棱長為2厘米的小正方體組成的立體圖形，那么此物體的表面積(含下底面)為多少平方厘米?目錄TOC\o"1-1"\h\u【課內(nèi)精選一】長方體和正方體的棱長與棱長和問題 3【課內(nèi)精選二】正方體的表面展開圖 4【課內(nèi)精選三】小正方體數(shù)量問題 6【課內(nèi)精選四】長方體的表面積與生活實際應(yīng)用 7【奧數(shù)拓展一】最短路徑問題 8【奧數(shù)拓展二】棱長與生活實際綜合應(yīng)用問題 9【奧數(shù)拓展三】趣味展開圖 11【奧數(shù)拓展四】染色問題 14【奧數(shù)拓展五】露在外面的面（堆砌的正方體） 15蘇教版2024-2025學年六年級數(shù)學上冊夯實提煉第一單元長方體和正方體·思維素養(yǎng)篇·第一部分【從課內(nèi)到奧數(shù)】【課內(nèi)精選一】長方體和正方體的棱長與棱長和問題。一個長方體棱長的總和是60厘米，已知長是寬的1.5倍，寬是高的2倍，求這個長方體的長、寬、高。解析：設(shè)長方體的高是a厘米，那么寬是2a厘米，長是3a厘米.因為一個長體有四組相等的長、寬、高，所以，(a+2a+3a)×4=60，6a=15，a=2.5，2a=2×2.5=5，3a=3×2.5=7.5。答：長方體的長、寬、高分別是7.5厘米、5厘米、2.5厘米?！緦ｍ椨柧殹?.一個長方體的棱長總和是96厘米，已知長是寬的1.5倍，寬是高的2倍，求這個長方體的長、寬、高。解析：設(shè)高是a厘米，寬是2a厘米，長是3a厘米，按題意有(a+2a+3a)×4=96，a=4，2a=8，3a=12，所以，長方體的長、寬、高分別是12厘米、8厘米、4厘米。2.一個正方體的棱長總和是88.8厘米，它的棱長是多少?解析：88.8÷12=7.4(厘米),所以，它的棱長是7.4厘米。3.一個長方體的棱長總和是103.2厘米，已知長是寬的1.2倍，寬是高的1.5倍，求這個長方體的長、寬、高。解析：設(shè)高是a厘米，寬是1.5a厘米，長是1.2×1.5a厘米，(a+1.5a+1.2×1.5a)×4=103.2，a=6，1.5a=9，9×1.2=10.8，所以，長方體的長、寬、高分別是10.8厘米、9厘米、6厘米。【課內(nèi)精選二】正方體的表面展開圖。在如圖所示的20個展開圖中，哪些可以恢復(fù)成完整的正方體?在序號上打“√”。解析：正方體的展開圖有“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”型，對照著幾種類型，圖中只有(2)、(3)、(6)、(8)、(9)、(12)、(14)、(16)、(17)、(19)、(20)可以恢復(fù)成正方體。【專項訓練】1．下面的圖形中，（

）是正方體的表面展開圖。A． B． C． D．【答案】A【分析】正方體的展開圖類型：（1）“1—4—1”型：中間4個一連串，兩邊各一隨便放；（2）“2—3—1”型：二三緊連錯一個，三一相連一隨便；（3）“2—2—2”型：兩兩相連各錯一；（4）“3—3”型：三個兩排一對齊；據(jù)此判斷?！驹斀狻緼．符合“1—4—1”型，是正方體的展開圖；B．不符合正方體的展開圖類型，不是正方體的展開圖；C．不符合正方體的展開圖類型，不是正方體的展開圖；D．不符合正方體的展開圖類型，不是正方體的展開圖。故答案為：A2．下面的折紙材料中，能圍成正方體的是（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】正方體展開圖有：“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型，共11種正方體展開圖；據(jù)此解答?！驹斀狻緼．不屬于正方體展開圖的四種類型，不能圍成正方體；B．不屬于正方體展開圖的四種類型，不能圍成正方體；C．不屬于正方體展開圖的四種類型，不能圍成正方體；D．屬于正方體展開圖的“1－4－1”型，能圍成正方體；故答案為：D3．下面的圖形中，不能圍成正方體的是（

）。A． B．C． D．【答案】C【分析】正方體展開圖有11種特征，分四種類型：第一種：“1－4－1”結(jié)構(gòu)，即第一行放1個，第二行放4個，第三行放1個；第二種：“2－2－2”結(jié)構(gòu)，即每一行放2個正方形，此種結(jié)構(gòu)只有一種展開圖；第三種：“3－3”結(jié)構(gòu)，即每一行放3個正方形，只有一種展開圖；第四種：“1－3－2”結(jié)構(gòu)，即第一行放1個正方形，第二行放3個正方形，第三行放2個正方形；據(jù)此解答?！驹斀狻緼．屬于“1－4－1”結(jié)構(gòu)，能圍成正方體，不符合題意；B．屬于“2－2－2”結(jié)構(gòu)，能圍成正方體，不符合題意；C．雖然也是“3－3”結(jié)構(gòu)，但不是這種結(jié)構(gòu)，不能圍成正方體，符合題意；D．屬于“1－4－1”結(jié)構(gòu)，能圍成正方體，不符合題意。故答案為：C【課內(nèi)精選三】小正方體數(shù)量問題。用棱長為1厘米的小正方體擺放成稍大一些的正方體，至少需要多少個小正方體?解析：8個?！緦ｍ椨柧殹?.用棱長為1厘米的小正方體擺放成棱長是3厘米的大正方體，需要多少個小正方體?解析：27個。2.用棱長為1厘米的小正方體擺放成一個大正方體，可能需要()個小正方體。A.4B.16C.50D.64解析：D3.用棱長是2厘米的小正方體擺成長是8厘米、寬是4厘米、高是6厘米的長方體，需要多少個小正方體?解析：24個?！菊n內(nèi)精選四】長方體的表面積與生活實際應(yīng)用。公園的露天廣場上有5根長方體的長柱子，底面長80厘米、寬40厘米，高3米，給這些柱子的表面涂上新的油漆，按每平方米用油漆0.5千克計算，漆這5根柱子一共需要油漆多少千克?解析：80厘米=0.8米，40厘米=0.4米0.8×0.4+0.8×3×2+0.4×3×2=7.52(平方米)7.52×5=37.6(平方米)，37.6×0.5=18.8(千克)答：漆這5根柱子一共需要油漆18.8千克。【專項訓練】1.一個正方體食品盒，棱長為4分米，在它四周貼一圈商標紙(上下面不貼)，這圈商標紙面積是多少?解析：4×4×4=64(平方分米)所以，商標紙面積是64平方分米。2.一個長方體，底面積是42平方厘米，底面周長是26厘米，高是5厘米，求這個長方體的表面積。解析：42×2+26×5=84+130=214(平方厘米)所以，這個長方體的表面積是214平方厘米。3.李師傅根據(jù)下圖所示的圖紙做了一個無蓋鐵皮盒，他至少要用多少平方分米的鐵皮?(單位：分米)解析：(8-4)÷2=2(分米)6×2×2+4×2×2+6×4=64(平方分米)【奧數(shù)拓展一】最短路徑問題。有一只蜘蛛在正方體的一個頂點A，要爬到距它最遠的另一個頂點B去，哪條路最短呢？請你為它找一條最短路線。解析：如圖所示，我們知道：兩點之間，線段最短。因此，最短路線不能沿著棱走，而應(yīng)該從面上穿過去.如下圖，我們畫出正方體的平面展開圖，連結(jié)點A和點B,AB就是最短路徑。【專項訓練】1.有一只螞蟻在正方體的一個頂點A，要從正方體表面爬到距它最遠的另一個頂點B去，想一想，最短路線一共有幾條？解析：6條2.如圖所示，一條小蟲沿長6分米、寬4分米、高5分米的長方體的棱爬行，如果它只能進不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么，它最多爬多少分米?解析：(6+5)×4+4=48(分米),所以，它最多爬48分米。3.如圖所示，有一個長2米、寬2米、高3米的長方體盒子，盒子的A角上停著一只蜘蛛，B角上有一只蒼蠅被蜘蛛絲纏住了，蜘蛛覺察到了，就沿著長方體盒子的表面去捉蒼蠅，它爬行的速度是每分鐘4米。請你算一算，蜘蛛最少要經(jīng)過多少分鐘才能把蒼蠅捉住?解析：將長方體盒子的前面和右面折放在同一平面，如圖所示，由勾股定理可求得AB的距離，也就可求蜘蛛需要的最少時間了，所以，3×3+4×4=5×5，5÷4=1.25(分鐘)?！緤W數(shù)拓展二】棱長與生活實際綜合應(yīng)用問題。媽媽給奶奶買了一件生日禮物，她用絲帶把禮物按照下圖的方法捆扎打結(jié)處需要50厘米。捆扎這個禮物一共需要多少厘米絲帶？【答案】290厘米【分析】觀察圖形可知，捆扎這個禮物一共需要絲帶的長度＝2條長＋2條寬＋4條高＋打結(jié)用的長度，據(jù)此解答?！驹斀狻?0×2＋30×2＋25×4＋50＝80＋60＋100＋50＝290（厘米）答：捆扎這個禮物一共需要290厘米絲帶?！緦ｍ椨柧殹?．小紅為媽媽準備了一件生日禮物，下圖是這件禮物的包裝盒，它的長、寬、高分別是25厘米、15厘米、6厘米?，F(xiàn)在用彩帶把這個包裝盒捆上，接頭處長18厘米，一共需要多少厘米的彩帶？【答案】122厘米【分析】觀察圖形可知，捆扎這個包裝盒至少需要彩帶的長度＝2條長＋2條寬＋4條高＋接頭處的長度，據(jù)此解答?！驹斀狻?5×2＋15×2＋6×4＋18＝50＋30＋24＋18＝122（厘米）答：一共需要122厘米的彩帶。2．如圖是一個長為50厘米，寬為36厘米，高為24厘米的長方體禮盒，包裝這個禮盒至少需要多長的絲帶？（打結(jié)處用了20厘米長的絲帶）【答案】288厘米【分析】根據(jù)題意和圖形可知，所需絲帶的長度等于兩條長＋兩條寬＋四條高＋打結(jié)用的長度，由此列式解答?！驹斀狻?0×2＋36×2＋24×4＋20＝100＋72＋96＋20＝172＋96＋20＝268＋20＝288（厘米）答：包裝這個禮盒至少需要288厘米的絲帶。3．如圖所示，捆扎這個禮品盒（打結(jié)處有15厘米），需要多長的彩帶？【答案】91厘米【分析】觀察圖形可知，捆扎這個禮品盒至少需要彩絲的長度＝2條長＋2條寬＋4條高＋打結(jié)用的長度，據(jù)此解答。【詳解】12×2＋14×2＋6×4＋15＝24＋28＋24＋15＝91（厘米）答：捆扎這個禮品盒需要91厘米長的彩帶?！緤W數(shù)拓展三】趣味展開圖。在下面的正方體展開圖中，只有當動物和它喜歡的食物在正方體的相對面上時它才能吃到，下面圖（

）正方體中的動物不能吃到自己喜歡的食物。A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方體展開圖，結(jié)合正方體展開圖找對面的規(guī)律：在通過正方體展開圖形找相對面時，首先在同層中隔一面尋找，再在異層中，隔兩面尋找，剩下的兩面自然相對。選項A1對4，2對3，魚對貓；選項B1對3，2對4，桃對猴；選項C1對胡蘿卜，2對4，3對兔子；選項D1對3，2對4，羊?qū)Σ?。?jù)此選擇即可?！驹斀狻扛鶕?jù)正方體展開圖，結(jié)合正方體展開圖找對面的規(guī)律可知，正方體中的動物不能吃到自己喜歡食物的是。故答案為：C【專項訓練】1．觀察正方體展開圖，試著折一折，再想一想，下面蓋住的是（

）點。A．1 B．4 C．6 D．5【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須隔一個正方形，展開的圖形符合正方體展開圖的“1－4－1”結(jié)構(gòu)，則上下兩個單獨的正方形相對；據(jù)此折疊成正方體，1點相對5點，2點相對6點，3點相對4點；由于前面看是3點，則后面是4點，右邊是2點，則左面是6點，那么上面1點，下面就應(yīng)該是5點，據(jù)此解答。【詳解】根據(jù)分析可知，下面蓋住的是5點。故答案為：D2．如圖的圖形可以折成下面的（

）。A． B． C．【答案】B【分析】此平面展開圖屬于正方體展開圖的“1－4－1”型，找出每個數(shù)字相對的面，利用排除法，找出折成的正方體?！驹斀狻空鄢烧襟w后，5號面與6號相對，排除A；2號面與4號面相對，排除C；2號、3號、5號面兩兩相鄰，當5號面為正面時，2號面在右面，3號面在上面，B符合題意。故答案為：B3．下列展開圖不能折成如圖所示的立體圖形的是（

）。A．B．C．D．【答案】A【分析】通過觀察可知，立體圖形折疊后，每個直角三角形的斜邊可接成一個等邊三角形，且每個直角三角形的直角邊沒有重合，據(jù)此將每個選項折疊再判斷即可。【詳解】A．不能折疊成要求的立體圖形；B．能夠折疊成要求的立體圖形；C．能折疊成要求的立體圖形；D．能折疊成要求的立體圖形。故答案為：A【點睛】本題考查了立體圖形的展開圖，鍛煉了學生的空間想象能力?！緤W數(shù)拓展四】染色問題。把一個長6厘米、寬4厘米、高5厘米的長方體木塊表面全部涂成紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊，如圖1所示。(1)切開后有多少個小正方體木塊分別有三個面、兩個面、一個面被涂成紅色?(2)切開后有多少個小正方體木塊沒有染上紅色(切面都是白色)?解析：（1）8；36；52；（2）24【專項訓練】1.把一個長5厘米、寬3厘米、高4厘米的長方體木塊表面全部涂成紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊，如圖所示，問：(1)切開后，有多少個小正方體木塊分別有三個面、兩個面、一個面被涂成紅色?(2)切開后，有多少個小正方體木塊沒有染上色?解析：三個面是紅色的小正方體共有8個，兩個面是紅色的小正方體有12+4+8=24(個)，一個面是紅色的小正方體有(3+6+2)×2=22(個)，切開后，沒有