蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.13三角形全等幾何模型(半角模型)(學(xué)生版+解析)

專題12.13三角形全等幾何模型（半角模型）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【定義】把過等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型稱為半角模型?！咎卣鳌浚?）大角內(nèi)部有一個(gè)小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的兩邊相等?！绢愋汀咳缦聢D，有三類型半角模型【解題思路】半角模型解題思路是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，應(yīng)用兩次全等（兩次全等判定都是SAS型）解題，具體步驟如下：（1）將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題時(shí)通常不一定是說旋轉(zhuǎn)，因?yàn)椴荒鼙ＷC旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角形的邊共線）；（2）證明（1）中構(gòu)造的三角形與原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通過旋轉(zhuǎn)方式得到三角形，則沒有這一步）；（3）證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等（SAS）；（4）通過全等的性質(zhì)得出線段相等、角度相等，從而解決問題.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】“等邊三角形含半角”模型【例1】如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【變式】（22-23九年級(jí)下·山東濱州·期中）（1）如圖1，在四邊形中，，，且，求證：．（2）如圖2，若在四邊形中，，，分別是上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【題型2】“等腰三角形含半角”模型【例2】如圖，若在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，連接，，，若，求證：．【變式】（22-23八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形以為頂點(diǎn)作，交邊、于、．(1)若，，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，、、三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)時(shí)，、、三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)如圖③，在（2）的條件下，若將、改在、的延長(zhǎng)線上，完成圖3，其余條件不變，則、、之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【題型3】“正方形含半角”模型【例3】如圖，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，過點(diǎn)A作∠GAB＝∠FAD，且點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上．（1）△GAB與△FAD全等嗎？為什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的長(zhǎng)．【變式】如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接、、．

(1)試判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線上，，連接，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．第三部分【拓展延伸】【例1】（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）【問題背景】如圖1，在四邊形中，，分別是上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論______；【探索延伸】如圖2，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【靈活變通】如圖4，已知在四邊形中，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，仍然滿足【初步探索】中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

【例2】（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，線段之間的關(guān)系是；（不需要證明）（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

專題12.13三角形全等幾何模型（半角模型）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【定義】把過等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型稱為半角模型?！咎卣鳌浚?）大角內(nèi)部有一個(gè)小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的兩邊相等?！绢愋汀咳缦聢D，有三類型半角模型【解題思路】半角模型解題思路是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，應(yīng)用兩次全等（兩次全等判定都是SAS型）解題，具體步驟如下：（1）將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題時(shí)通常不一定是說旋轉(zhuǎn)，因?yàn)椴荒鼙ＷC旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角形的邊共線）；（2）證明（1）中構(gòu)造的三角形與原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通過旋轉(zhuǎn)方式得到三角形，則沒有這一步）；（3）證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等（SAS）；（4）通過全等的性質(zhì)得出線段相等、角度相等，從而解決問題.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】“等邊三角形含半角”模型【例1】如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將關(guān)于對(duì)稱得到，從而可得的面積為15，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據(jù)與的面積之和等于與的面積之和即可得．解：如圖，將關(guān)于AE對(duì)稱得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式】（22-23九年級(jí)下·山東濱州·期中）（1）如圖1，在四邊形中，，，且，求證：．（2）如圖2，若在四邊形中，，，分別是上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論仍然成立；理由見解析【分析】本題主要考查的是三角形的綜合題，主要涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解此題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)到，使，連接，根據(jù)證明可得，再證明，可得，即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到，使，連接，根據(jù)證明可得，再證明，可得，即可得出結(jié)論．證明：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，則，又，∴，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，∵，∴，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．【題型2】“等腰三角形含半角”模型【例2】如圖，若在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，連接，，，若，求證：．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；延長(zhǎng)到G使，連接，先證明得到，再證明得到，可得，然后再證明即可．證明：如圖，延長(zhǎng)到G使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【變式】（22-23八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形以為頂點(diǎn)作，交邊、于、．(1)若，，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，、、三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)時(shí)，、、三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)如圖③，在（2）的條件下，若將、改在、的延長(zhǎng)線上，完成圖3，其余條件不變，則、、之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，運(yùn)用了類比推理的方法．（1）延長(zhǎng)到，使，證，推出，，證，推出即可；（2）延長(zhǎng)到，使，證，推出，，證，推出即可；（3）在截取，連接，證，推出，，證，推出即可．（1）解：，證明：延長(zhǎng)到，使，，，在和中，，，，，，，，，，，；（2）解：，證明：延長(zhǎng)到，使，連接，由（1）知：，，，，，，，，，，，；（3）解：，證明：在截取，連接，，，，，，，，，，，，，，，，．【題型3】“正方形含半角”模型【例3】如圖，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，過點(diǎn)A作∠GAB＝∠FAD，且點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上．（1）△GAB與△FAD全等嗎？為什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）全等，理由詳見解析；（2）5【分析】（1）由題意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，進(jìn)而問題可求解．解：（1）全等．理由如下∵∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，在△ABG和△ADF中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∵△GAB≌△FAD，∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∴∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE∵△GAB≌△FAD，∴GB＝DF，∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式】如圖①，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖①，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接、、．

(1)試判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，點(diǎn)、分別在正方形的邊、的延長(zhǎng)線上，，連接，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(3)如圖③，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，請(qǐng)直接寫出，，之間數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）首先利用證明，得，從而得出答案；（2）在上取,連接，首先由，得，，再利用證明，得，即可證明結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得點(diǎn)、、共線，由（1）同理可得，得，從而解決問題．（1）解：，證明如下：如圖：四邊形是正方形，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，點(diǎn)、、共線，，，，，在和中，，，，；（2）解：，證明如下：如圖，在上取，連接，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，

，，，，，點(diǎn)、、共線，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．第三部分【拓展延伸】【例1】（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）【問題背景】如圖1，在四邊形中，，分別是上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論______；【探索延伸】如圖2，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【靈活變通】如圖4，已知在四邊形中，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，仍然滿足【初步探索】中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

【答案】【初步探索】；【探索延伸】仍成立，理由見析；【結(jié)論運(yùn)用】210海里；【靈活變通】，理由見解答過程．【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．〖初步探索〗延長(zhǎng)到，使，連接，先證明，再證明，則可得到結(jié)論；〖探索延伸〗延長(zhǎng)到，使，連接，證明，再證明，則結(jié)論可求；〖結(jié)論運(yùn)用〗連接，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，利用已知條件得到：四邊形中：，且，符合“探索延伸”具備的條件，則．〖靈活變通〗在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，連接，先判定，再判定，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，即可得出結(jié)論．解：〖初步探索〗如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，

在和中，，，，，∵，∴，即，∵，∴，在和中，，，，，；〖探索延伸〗仍成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，

，，，在和中，，，，，，，．，，．在和中，，，，，；〖結(jié)論運(yùn)用〗連接，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，如圖3，

，，，，，在四邊形中：，且，四邊形符合探索延伸中的條件，結(jié)論成立，即（海里），答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．〖靈活變通〗結(jié)論：．理由：如圖4，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，連接，

，，，即在和中，，，，，∵點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，仍然滿足【初步探索】中的結(jié)論，即，∴在和中，，，，，，，即，．【例2】（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，線段之間的關(guān)系是；（不需要證明）（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（）如圖，在四邊形中，，，分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】（）；（）（）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（）（）中的結(jié)論不成立，．【分析】()延長(zhǎng)至，使，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，