蘇科版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊1.7探索三角形全等的條件(HL)(知識梳理與考點分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題1.7探索三角形全等的條件（HL）（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊（HL）（1）判定方法：斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.（2）書寫格式：如圖，在Rt△ABC和△Rt中，【知識點二】判定兩個直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法對判定兩個直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這五種方法來判定兩個直角三角形全等.【知識點三】判定兩個直角三角形全等的思路已知一條直角邊對應(yīng)相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；已知斜邊對應(yīng)相等，可用判定方法“HL”“AAS”;已知一銳角對應(yīng)相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】用“HL”證明直角三角形全等【例1】（23-24八年級上·山東濟南·期末）如圖，在和中，，，與分別為，邊上的中線，且，求證：．【變式1】（23-24八年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，，，垂足分別為，，要根據(jù)“”證明與全等，則還需要添加一個條件是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級上·遼寧大連·期中）如圖，在和中，，，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，則還需補充的條件是．【題型2】全等的性質(zhì)與“HL”綜合【例2】（2024·四川達州·一模）如圖，在中，，于點D，，且，過C作．（1）求證：；（2）求證：．【變式1】（22-23八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，，，點A，D和B，C分別在直線和上，點E在上，，，，則的值為（

）

A．3 B．5 C．7 D．9【變式2】如圖，點D在上，于點E，交AC于點F，．若，則．

【題型3】全等三角形的綜合問題【例3】（22-23八年級上·重慶綦江·期末）綜合與探究：如圖，在和中，，，，的延長線交于點．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．（3）過點作于點，請?zhí)骄俊?、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式1】（23-24八年級上·浙江湖州·期中）如圖，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【變式2】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，對角線平分，那么為度．

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】

（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．求證：．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．【例2】（2019·湖北孝感·中考真題）如圖，已知，與交于點，，求證：.2、拓展延伸【例1】（23-24八年級上·重慶江北·階段練習(xí)）閱讀下列材料，然后解決問題：截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學(xué)問題．

（1）如圖，平分，，探究、與之間的關(guān)系．解決此問題可以用如下方法：在上截，易證，則，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的數(shù)量關(guān)系是．（此方法為截長法，當然我們也可以考慮延長）（2）問題解決：如圖，在四邊形中，，，、分別是邊，邊上的兩點，且，求證：．（3）問題拓展：如圖，在中，，，平分的外角，交延長線于點，是上一點，且．求證：．【例2】（22-23七年級上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）綜合與探究如圖，在和中，，，，的延長線交于點F．（1）求證：．（2）若，請直接寫出的度數(shù)．（3）過點A作于點H，求證：．專題1.7探索三角形全等的條件（HL）（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊（HL）（1）判定方法：斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.（2）書寫格式：如圖，在Rt△ABC和△Rt中，【知識點二】判定兩個直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法對判定兩個直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這五種方法來判定兩個直角三角形全等.【知識點三】判定兩個直角三角形全等的思路已知一條直角邊對應(yīng)相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；已知斜邊對應(yīng)相等，可用判定方法“HL”“AAS”;已知一銳角對應(yīng)相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】用“HL”證明直角三角形全等【例1】（23-24八年級上·山東濟南·期末）如圖，在和中，，，與分別為，邊上的中線，且，求證：．【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)三角形中線的定義得到，，由，得到，利用即可證明．證明：∵與分別為，邊上的中線，∴，，∵，∴，在和中，，∴．【變式1】（23-24八年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，，，垂足分別為，，要根據(jù)“”證明與全等，則還需要添加一個條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定定理；根據(jù)已知公共邊為，根據(jù)只要找到對應(yīng)的直角邊或，即可求解．解：在與中，∴，故選：B．【變式2】（23-24八年級上·遼寧大連·期中）如圖，在和中，，，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，則還需補充的條件是．【答案】【分析】根據(jù)證明兩個直角三角形全等，需滿足一組直角邊、一組斜邊分別相等，由此可得答案．解：由題意知，在和都是直角三角形，已有一組直角邊相等，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，還需滿足“斜邊相等”，因此還需補充的條件是，故答案為：．【題型2】全等的性質(zhì)與“HL”綜合【例2】（2024·四川達州·一模）如圖，在中，，于點D，，且，過C作．（1）求證：；（2）求證：．【分析】本題考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵；（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）先證明，再證明即可得到結(jié)論．（1）證明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【變式1】（22-23八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，，，點A，D和B，C分別在直線和上，點E在上，，，，則的值為（

）

A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】運用方法判定，得，進而求解．解：∵，，∴．∵，，∴．∴．∴．故選：C．【點撥】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，點D在上，于點E，交AC于點F，．若，則．

【答案】/55度【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，證明得到，是解題的關(guān)鍵．利用證明得到，利用三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可得到答案．解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【題型3】全等三角形的綜合問題【例3】（22-23八年級上·重慶綦江·期末）綜合與探究：如圖，在和中，，，，的延長線交于點．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．（3）過點作于點，請?zhí)骄?、、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析；(2)；(3)，證明見解析【分析】（1）可利用證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合平角的定義可得，根據(jù)，可求得，即可求解；（3）連接，過點A作于點J．結(jié)合全等三角形的性質(zhì)利用證明，可得，，進而可證明結(jié)論．（1）證明：．．在和中，，；（2）解：，，．，，；（3）結(jié)論：證明：如圖，連接，過點作于點．，，，，．，．在和中，，，．在和中，，，，．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24八年級上·浙江湖州·期中）如圖，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【分析】由E、F分別是上的任意點，可知與不一定相等，與也不一定全等，可判斷①錯誤，②錯誤；延長到點G，使，連接，先證明，得，由，可以推導(dǎo)出，則，即可證明，得，因為，所以，可判斷③正確，因為，所以，可判斷⑤正確；由平分結(jié)合，推出與題干互相矛盾，可得④錯誤．解：∵E、F分別是上的任意點，∴與不一定相等，故①錯誤；∵于點于點D，∴，∵，∴的另一個條件是，∵與不一定相等，∴與不一定全等，故②錯誤；延長到點G，使，連接，則，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴∴，∴平分，故③⑤正確；若平分，而，∴，與題干信息矛盾，故④錯誤；故選C【點撥】此題重點考查角平分線的定義，線段的和差運算，角的和差運算，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線并且證明是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，對角線平分，那么為度．

【答案】59【分析】延長，過點D作，，根據(jù)條件證明可得，過點D作，證明，，運用三角形內(nèi)角和即可求解．解：延長，過點D作，，如圖，

∴，∵對角線平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴平分，過點D作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查幾何問題，涉及到角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】

（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．求證：．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．【答案】(1)二(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．（1）解：則小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤，故答案為：二．（2）證明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2】（2019·湖北孝感·中考真題）如圖，已知，與交于點，，求證：.【分析】由證明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論．解：∵，∴和是直角三角形，在和中，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的判定定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級上·重慶江北·階段練習(xí)）閱讀下列材料，然后解決問題：截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學(xué)問題．

（1）如圖，平分，，探究、與之間的關(guān)系．解決此問題可以用如下方法：在上截，易證，則，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的數(shù)量關(guān)系是．（此方法為截長法，當然我們也可以考慮延長）（2）問題解決：如圖，在四邊形中，，，、分別是邊，邊上的兩點，且，求證：．（3）問題拓展：如圖，在中，，，平分的外角，交延長線于點，是上一點，且．求證：．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進而即可求解；（2）延長到，使，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）作于，在上截取，分別證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．【詳解】（1）解：在上截，∵平分，∴，又∴；∴，∵，，∴，∴∴；（2）證明：延長到，使，，，，在和中，，（），，，，，，在和中，，（），，；（3）證明：作于，在上截取，

點是外角平分線上一點，，，DE=DH，，在和中，（），在和中，，（），，，則．【點撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【例2】（22-23七年級上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）綜合與探究如圖，在和中，，，，的延長線交于點F．（1