蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.7探索三角形全等的條件(HL)(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題1.7探索三角形全等的條件（HL）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊（HL）（1）判定方法：斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.（2）書寫格式：如圖，在Rt△ABC和△Rt中，【知識(shí)點(diǎn)二】判定兩個(gè)直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這五種方法來判定兩個(gè)直角三角形全等.【知識(shí)點(diǎn)三】判定兩個(gè)直角三角形全等的思路已知一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；已知斜邊對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“HL”“AAS”;已知一銳角對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用“HL”證明直角三角形全等【例1】（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在和中，，，與分別為，邊上的中線，且，求證：．【變式1】（23-24八年級(jí)下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，，，垂足分別為，，要根據(jù)“”證明與全等，則還需要添加一個(gè)條件是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，在和中，，，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，則還需補(bǔ)充的條件是．【題型2】全等的性質(zhì)與“HL”綜合【例2】（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在中，，于點(diǎn)D，，且，過C作．（1）求證：；（2）求證：．【變式1】（22-23八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）如圖，，，點(diǎn)A，D和B，C分別在直線和上，點(diǎn)E在上，，，，則的值為（

）

A．3 B．5 C．7 D．9【變式2】如圖，點(diǎn)D在上，于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，．若，則．

【題型3】全等三角形的綜合問題【例3】（22-23八年級(jí)上·重慶綦江·期末）綜合與探究：如圖，在和中，，，，的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄?、、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式1】（23-24八年級(jí)上·浙江湖州·期中）如圖，，，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【變式2】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，對(duì)角線平分，那么為度．

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】

（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在，上，，，相交于點(diǎn)，．求證：．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫出正確的證明過程．【例2】（2019·湖北孝感·中考真題）如圖，已知，與交于點(diǎn)，，求證：.2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·重慶江北·階段練習(xí)）閱讀下列材料，然后解決問題：截長法與補(bǔ)短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)來解決數(shù)學(xué)問題．

（1）如圖，平分，，探究、與之間的關(guān)系．解決此問題可以用如下方法：在上截，易證，則，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的數(shù)量關(guān)系是．（此方法為截長法，當(dāng)然我們也可以考慮延長）（2）問題解決：如圖，在四邊形中，，，、分別是邊，邊上的兩點(diǎn)，且，求證：．（3）問題拓展：如圖，在中，，，平分的外角，交延長線于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．求證：．【例2】（22-23七年級(jí)上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）綜合與探究如圖，在和中，，，，的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．（3）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，求證：．專題1.7探索三角形全等的條件（HL）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】直角三角形全等的判定方法——斜邊、直角邊（HL）（1）判定方法：斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.（2）書寫格式：如圖，在Rt△ABC和△Rt中，【知識(shí)點(diǎn)二】判定兩個(gè)直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等全部適用，因此我們可以根據(jù)“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”這五種方法來判定兩個(gè)直角三角形全等.【知識(shí)點(diǎn)三】判定兩個(gè)直角三角形全等的思路已知一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；已知斜邊對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“HL”“AAS”;已知一銳角對(duì)應(yīng)相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用“HL”證明直角三角形全等【例1】（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在和中，，，與分別為，邊上的中線，且，求證：．【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)三角形中線的定義得到，，由，得到，利用即可證明．證明：∵與分別為，邊上的中線，∴，，∵，∴，在和中，，∴．【變式1】（23-24八年級(jí)下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，，，垂足分別為，，要根據(jù)“”證明與全等，則還需要添加一個(gè)條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定定理；根據(jù)已知公共邊為，根據(jù)只要找到對(duì)應(yīng)的直角邊或，即可求解．解：在與中，∴，故選：B．【變式2】（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，在和中，，，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，則還需補(bǔ)充的條件是．【答案】【分析】根據(jù)證明兩個(gè)直角三角形全等，需滿足一組直角邊、一組斜邊分別相等，由此可得答案．解：由題意知，在和都是直角三角形，已有一組直角邊相等，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，還需滿足“斜邊相等”，因此還需補(bǔ)充的條件是，故答案為：．【題型2】全等的性質(zhì)與“HL”綜合【例2】（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在中，，于點(diǎn)D，，且，過C作．（1）求證：；（2）求證：．【分析】本題考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵；（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）先證明，再證明即可得到結(jié)論．（1）證明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【變式1】（22-23八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）如圖，，，點(diǎn)A，D和B，C分別在直線和上，點(diǎn)E在上，，，，則的值為（

）

A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】運(yùn)用方法判定，得，進(jìn)而求解．解：∵，，∴．∵，，∴．∴．∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，點(diǎn)D在上，于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，．若，則．

【答案】/55度【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，證明得到，是解題的關(guān)鍵．利用證明得到，利用三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可得到答案．解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【題型3】全等三角形的綜合問題【例3】（22-23八年級(jí)上·重慶綦江·期末）綜合與探究：如圖，在和中，，，，的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄?、、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析；(2)；(3)，證明見解析【分析】（1）可利用證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合平角的定義可得，根據(jù)，可求得，即可求解；（3）連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)J．結(jié)合全等三角形的性質(zhì)利用證明，可得，，進(jìn)而可證明結(jié)論．（1）證明：．．在和中，，；（2）解：，，．，，；（3）結(jié)論：證明：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，．，．在和中，，，．在和中，，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24八年級(jí)上·浙江湖州·期中）如圖，，，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【分析】由E、F分別是上的任意點(diǎn)，可知與不一定相等，與也不一定全等，可判斷①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤；延長到點(diǎn)G，使，連接，先證明，得，由，可以推導(dǎo)出，則，即可證明，得，因?yàn)?，所以，可判斷③正確，因?yàn)?，所以，可判斷⑤正確；由平分結(jié)合，推出與題干互相矛盾，可得④錯(cuò)誤．解：∵E、F分別是上的任意點(diǎn)，∴與不一定相等，故①錯(cuò)誤；∵于點(diǎn)于點(diǎn)D，∴，∵，∴的另一個(gè)條件是，∵與不一定相等，∴與不一定全等，故②錯(cuò)誤；延長到點(diǎn)G，使，連接，則，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴∴，∴平分，故③⑤正確；若平分，而，∴，與題干信息矛盾，故④錯(cuò)誤；故選C【點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查角平分線的定義，線段的和差運(yùn)算，角的和差運(yùn)算，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線并且證明是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，對(duì)角線平分，那么為度．

【答案】59【分析】延長，過點(diǎn)D作，，根據(jù)條件證明可得，過點(diǎn)D作，證明，，運(yùn)用三角形內(nèi)角和即可求解．解：延長，過點(diǎn)D作，，如圖，

∴，∵對(duì)角線平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴平分，過點(diǎn)D作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查幾何問題，涉及到角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】

（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在，上，，，相交于點(diǎn)，．求證：．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫出正確的證明過程．【答案】(1)二(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．（1）解：則小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：二．（2）證明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例2】（2019·湖北孝感·中考真題）如圖，已知，與交于點(diǎn)，，求證：.【分析】由證明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論．解：∵，∴和是直角三角形，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的判定定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·重慶江北·階段練習(xí)）閱讀下列材料，然后解決問題：截長法與補(bǔ)短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用．具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)來解決數(shù)學(xué)問題．

（1）如圖，平分，，探究、與之間的關(guān)系．解決此問題可以用如下方法：在上截，易證，則，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的數(shù)量關(guān)系是．（此方法為截長法，當(dāng)然我們也可以考慮延長）（2）問題解決：如圖，在四邊形中，，，、分別是邊，邊上的兩點(diǎn)，且，求證：．（3）問題拓展：如圖，在中，，，平分的外角，交延長線于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．求證：．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解；（2）延長到，使，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）作于，在上截取，分別證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．【詳解】（1）解：在上截，∵平分，∴，又∴；∴，∵，，∴，∴∴；（2）證明：延長到，使，，，，在和中，，（），，，，，，在和中，，（），，；（3）證明：作于，在上截取，

點(diǎn)是外角平分線上一點(diǎn)，，，DE=DH，，在和中，（），在和中，，（），，，則．【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【例2】（22-23七年級(jí)上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）綜合與探究如圖，在和中，，，，的延長線交于點(diǎn)F．（1