蘇科版2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.5探索三角形全等的條件(ASA與AAS)(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)

專題1.5探索三角形全等的條件（ASA與AAS）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形全等的判定方法——角邊角（ASA）（1）基本事實(shí)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.（2）書(shū)寫(xiě)格式：如圖，在△ABC和△中，【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定方法——角角邊（AAS）（1）基本事實(shí)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）（2）三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【知識(shí)點(diǎn)三】判定方法的選擇（1）選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見(jiàn)下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS（2）如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用ASA和AAS證明三角形全等【例1】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）已知：點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，．求證：．

【變式1】（23-24八年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，點(diǎn)在外部，點(diǎn)在的邊上，交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24八年級(jí)上·河南周口·期中）如圖，在中，是邊上的高，是邊上的高，且交于點(diǎn)F，若，則線段的長(zhǎng)為．【題型2】用ASA和AAS證明三角形全等與三角形全等性質(zhì)綜合求值【例2】（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），連接，作，交線段于．（1）當(dāng)時(shí)，，；（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在中，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若面積為的面積為，則的面積為（

）．A．3 B．4 C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·上海黃浦·期末）如圖，在四邊形中，，，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．若，，則四邊形的面積是．【題型3】添加條件證明三角形全等【例3】（2024·廣東陽(yáng)江·一模）問(wèn)題情境：在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了如圖所示的圖形及下面三個(gè)等式：①，②，③，若以其中兩個(gè)等式作為已知條件，能否得到余下一個(gè)等式成立？解決方案：探究與全等．問(wèn)題解決：（1）當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)，與全等嗎？_________（填“全等”或“不全等”），依據(jù)是_________；（2）當(dāng)選擇_________兩個(gè)等式作為已知條件時(shí)，不能說(shuō)明，但補(bǔ)充一個(gè)條件例如_________也可以證明，請(qǐng)寫(xiě)出過(guò)程．【變式1】（2024·浙江杭州·一模）如圖，點(diǎn)、點(diǎn)分別在線段，上，線段與交于點(diǎn)，且滿足．下列添加的條件中不能推得的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·陜西渭南·二模）如圖，在和中，點(diǎn)D在上，，，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件：______，使得，并說(shuō)明理由．【題型4】靈活運(yùn)用SSS、SAS、ASA、AAS證明三角形全等【例4】（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）【初步探索】（1）如圖1：在四邊形中，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）已知在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【變式1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列條件能判定的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式2】（2024七年級(jí)下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，點(diǎn)、分別在、上，與相交于點(diǎn)，連接，如果，，那么圖中的全等三角形共有對(duì)．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)度為．

【例2】（2020·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在一個(gè)寬度為長(zhǎng)的小巷內(nèi)，一個(gè)梯子的長(zhǎng)為，梯子的底端位于上的點(diǎn)，將該梯子的頂端放于巷子一側(cè)墻上的點(diǎn)處，點(diǎn)到的距離為，梯子的傾斜角為；將該梯子的頂端放于另一側(cè)墻上的點(diǎn)處，點(diǎn)到的距離為，且此時(shí)梯子的傾斜角為，則的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)下·山東青島·期中）如圖，，，．求證：．

以下是合作小組三名同學(xué)關(guān)于此題的討論：小麗說(shuō)：“我可以根據(jù)全等三角形的判定定理‘’證明兩個(gè)三角形全等，從而得到．”小穎說(shuō)：“我可以根據(jù)直角三角形全等的判定定理‘’證明兩個(gè)三角形全等，從而得到．”小雨說(shuō)：“我可以根據(jù)三角形的面積相等，來(lái)證明．”看了他們的討論，你一定也有了自己的主意，請(qǐng)寫(xiě)出你的證明．【例2】如圖，在中，，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段上以6厘米/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

（1）用含有t的代數(shù)式表示，則________；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，那么當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？專題1.5探索三角形全等的條件（ASA與AAS）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形全等的判定方法——角邊角（ASA）（1）基本事實(shí)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.（2）書(shū)寫(xiě)格式：如圖，在△ABC和△中，【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定方法——角角邊（AAS）（1）基本事實(shí)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）（2）三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【知識(shí)點(diǎn)三】判定方法的選擇（1）選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見(jiàn)下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS（2）如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用ASA和AAS證明三角形全等【例1】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）已知：點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，．求證：．

【分析】此題考查了全等三角形的判定，由平行線的性質(zhì)得到，，由線段之間的關(guān)系得到，即可證明．證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴．【變式1】（23-24八年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，點(diǎn)在外部，點(diǎn)在的邊上，交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定方法，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件，得到，，從而得到，，利用全等三角形的判定方法，得到，由此得到答案．解：根據(jù)題意得：，，，，，在和中，，，故選：．【變式2】（23-24八年級(jí)上·河南周口·期中）如圖，在中，是邊上的高，是邊上的高，且交于點(diǎn)F，若，則線段的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明，得，，即可得出答案．解：是邊上的高，是邊上的高，，，，在和中，，，，．故答案為：6．【題型2】用ASA和AAS證明三角形全等與三角形全等性質(zhì)綜合求值【例2】（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），連接，作，交線段于．（1）當(dāng)時(shí)，，；（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)【分析】此題主要考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．（）利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（）當(dāng)時(shí)，利用，，求出，再利用，即可得出．（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，理由如下：，，又，，，在和中，，．【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在中，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若面積為的面積為，則的面積為（

）．A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中線平分三角形的面積，利用平分，點(diǎn)作的垂線，得到，則的面積等于的面積為，的面積等于的面積，即可解答，證明是解題的關(guān)鍵．解：平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線，,，在與中，，，，則的面積等于的面積為，，故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)下·上海黃浦·期末）如圖，在四邊形中，，，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．若，，則四邊形的面積是．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角全等模型是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直可得，從而可得，，進(jìn)而可得，然后利用證明，從而可得，，進(jìn)而可得，最后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解∶，四邊形的面積的面積的面積故答案為：．【題型3】添加條件證明三角形全等【例3】（2024·廣東陽(yáng)江·一模）問(wèn)題情境：在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了如圖所示的圖形及下面三個(gè)等式：①，②，③，若以其中兩個(gè)等式作為已知條件，能否得到余下一個(gè)等式成立？解決方案：探究與全等．問(wèn)題解決：（1）當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)，與全等嗎？_________（填“全等”或“不全等”），依據(jù)是_________；（2）當(dāng)選擇_________兩個(gè)等式作為已知條件時(shí)，不能說(shuō)明，但補(bǔ)充一個(gè)條件例如_________也可以證明，請(qǐng)寫(xiě)出過(guò)程．【答案】(1)全等；(2)當(dāng)選擇②③作為已知條件時(shí)，不能說(shuō)明，補(bǔ)充條件，證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定：（1）利用即可證明；（2）當(dāng)選擇①③作為已知條件時(shí)，可以利用證明；當(dāng)選擇②③作已知條件時(shí)，不能說(shuō)明，據(jù)此根據(jù)全等三角形的判定定理補(bǔ)充條件證明即可．（1）解：當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)，在和中，，∴，故答案為：全等；；（2）解；當(dāng)選擇①③作為已知條件時(shí)，可以利用證明；當(dāng)選擇②③作為已知條件時(shí)，不能說(shuō)明，補(bǔ)充條件，證明如下：在和中，，∴；【變式1】（2024·浙江杭州·一模）如圖，點(diǎn)、點(diǎn)分別在線段，上，線段與交于點(diǎn)，且滿足．下列添加的條件中不能推得的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形全等的判定．利用全等三角形的判定方法一一判斷即可．解：A、若添加，能證明，故不符合題意；B、若添加，連接，先證得出，利用證明，故不符合題意；C、若添加，可得出，則可利用證明，故不符合題意；D、若添加，則不能證明，故符合題意；故選：D．【變式2】（2024·陜西渭南·二模）如圖，在和中，點(diǎn)D在上，，，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件：______，使得，并說(shuō)明理由．【答案】，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了三角形全等的判定條件，判定三角形全等的定理有：，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件可推知，兩個(gè)三角形有一組角、一組邊分別對(duì)應(yīng)相等，只需要再添加一組對(duì)應(yīng)角相等，構(gòu)成或即可證得兩三角形全等（也可添加條件，構(gòu)成）．解：添加的條件是：．理由：∵，∴，即．在和中，，，，∴．注：答案不唯一，添加或均可．【題型4】靈活運(yùn)用SSS、SAS、ASA、AAS證明三角形全等【例4】（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）【初步探索】（1）如圖1：在四邊形中，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）已知在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，可判定≌，進(jìn)而得出，，再判定≌，可得出，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，先判定≌，進(jìn)而得出，，再判定≌，可得出；（3）在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得，連接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，利用，推導(dǎo)出的度數(shù)，即可得出結(jié)論．解：（1），理由如下：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，在和中，，≌，，，，，，在和中，，≌，故答案為：；（2）上述結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，，，，在和中，，≌，，，在和中，，≌，；（3）如圖3，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得，連接，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，，，，即，，，，【點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．【變式1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列條件能判定的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．解：選項(xiàng)A，，，，不是兩邊及其夾角，不能判斷三角形全等；選項(xiàng)B，，，，不是兩邊及其夾角，不能判斷三角形全等；選項(xiàng)C，，，，、不是對(duì)應(yīng)邊，不能判斷三角形全等；選項(xiàng)D，當(dāng)，，時(shí)，符合“”，所以．故選：D．【變式2】（2024七年級(jí)下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，點(diǎn)、分別在、上，與相交于點(diǎn)，連接，如果，，那么圖中的全等三角形共有對(duì)．【答案】5【分析】本題考查了全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．已知，，先根據(jù)“”證明，則，，再證明，即可根據(jù)“”證明，得，，然后根據(jù)“”證明，同樣方法可得，，從而可判斷圖中的全等三角形共有5對(duì)．解：在和中，，，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，在和中，，，在和中，，，綜上所述，圖中的全等三角形共有5對(duì)．故答案為：5．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·重慶·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)度為．

【答案】3【分析】證明，得到，即可得解．解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中：，∴，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【例2】（2020·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在一個(gè)寬度為長(zhǎng)的小巷內(nèi)，一個(gè)梯子的長(zhǎng)為，梯子的底端位于上的點(diǎn)，將該梯子的頂端放于巷子一側(cè)墻上的點(diǎn)處，點(diǎn)到的距離為，梯子的傾斜角為；將該梯子的頂端放于另一側(cè)墻上的點(diǎn)處，點(diǎn)到的距離為，且此時(shí)梯子的傾斜角為，則的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，證明≌即可解決問(wèn)題．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，則CE//AB，，且PD=PC，為等邊三角形，，，，，，，∴，∴，∴，，在和中，，∴≌，，故選：D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，作輔助線CE是解答此題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)下·山東青島·期中）如圖，，，．求證：．

以下是合作小組三名同學(xué)關(guān)于此題的討論：小麗說(shuō)：“我可以根據(jù)全等三角形的判定定理‘’證明兩個(gè)三角形全等，從而得到．”小穎說(shuō)：“我可以根據(jù)直角三角形全等的判定定理‘’證明兩個(gè)三角形全等，從而得到．”小雨說(shuō)：“我可以