吉林省松原寧江區(qū)五校聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

吉林省松原寧江區(qū)五校聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事方法是（?）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去2．下列命題中，是假命題的是（）A．如果一個(gè)等腰三角形有兩邊長分別是1，3，那么三角形的周長為7B．等腰三角形的高、角平分線和中線一定重合C．兩個(gè)全等三角形的面積一定相等D．有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形一定全等3．下列運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（）A． B． C．+＝ D．＝44．已知三角形兩邊長分別為5cm和16cm，則下列線段中能作為該三角形第三邊的是（）A．24cm B．15cm C．11cm D．8cm5．如圖，BE=CF，AB∥DE，添加下列哪個(gè)條件不能證明△ABC≌△DEF的是(

)A．AB=DE B．∠A=D C．AC=DF D．AC∥DF6．下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（）A．1、2、3 B．2、3、6 C．4、6、8 D．5、6、127．下列哪個(gè)點(diǎn)在第四象限()A． B． C． D．8．若分式有意義，則應(yīng)滿足的條件是（）A． B． C． D．9．已知是方程2x－ay＝5的一個(gè)解，則的值為（）A． B．4 C．25 D．110．不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是（）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等C．一組對(duì)邊平行且相等 D．兩組對(duì)邊分別相等11．的算術(shù)平方根為（）A． B． C． D．12．如圖，分別以的邊，所在直線為對(duì)稱軸作的對(duì)稱圖形和，，線段與相交于點(diǎn)，連接、、、．有如下結(jié)論：①；②；③平分；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題（每題4分，共24分）13．若，，則＝_____．14．已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為___15．用反證法證明“是無理數(shù)”時(shí)，第一步應(yīng)先假設(shè):____________________________________________．16．若關(guān)于的不等式組有且只有五個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是__________.17．若關(guān)于，的方程組的解是，則__________．18．舉反例說明下面的命題是假命題，命題：若，則且，反例：__________三、解答題（共78分）19．（8分）一個(gè)等腰三角形的一邊長為5，周長為23，求其他兩邊的長．20．（8分）計(jì)算=21．（8分）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，．（1）在下圖中作出關(guān)于軸對(duì)稱的，并寫出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）的面積為（直接寫出答案）；（3）在軸上作出點(diǎn)，使最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）．22．（10分）某商場銷售兩種品牌的足球，購買2個(gè)品牌和3個(gè)品牌的足球共需280元；購買3個(gè)品牌和1個(gè)品牌的足球共需210元．（1）求這兩種品牌足球的單價(jià)；（2）開學(xué)前，該商場對(duì)這兩種足球開展了促銷活動(dòng)，具體辦法如下：品牌足球按原價(jià)的九折銷售，品牌足球10個(gè)以上超出部分按原價(jià)的七折銷售．設(shè)購買個(gè)品牌的足球需要元，購買個(gè)品牌的足球需要元，分別求出，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）某校準(zhǔn)備集體購買同一品牌的足球，若購買足球的數(shù)量為15個(gè)，購買哪種品牌的足球更合算？請(qǐng)說明理由．23．（10分）已知：如圖，和均為等腰直角三角形，，連結(jié)，，且、、三點(diǎn)在一直線上，，．（1）求證：；（2）求線段的長．24．（10分）(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說明理由．25．（12分）在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等邊三角形△ACD，E為AC的中點(diǎn)，連接DE并延長交BC于點(diǎn)F，連接BD．（1）如圖1，若∠BAC=100°，則∠ABD的度數(shù)為_____，∠BDF的度數(shù)為______；（2）如圖2，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N，連接BN，若BN=DN，∠ACB=．(I)用表示∠BAD；(II)①求證：∠ABN=30°；②直接寫出的度數(shù)以及△BMN的形狀．26．計(jì)算及解方程組：（1）（2）（3）解方程組：

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】本題就是已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【詳解】第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的；第三塊不僅保留了原來三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．應(yīng)帶③去．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法．2、B【分析】根據(jù)等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)即可一一判斷.【詳解】A、正確．一個(gè)等腰三角形有兩邊長分別是1，3，那么三角形的邊長為1，3，3周長為7；B、等腰三角形底邊上的高，中線和頂角的平分線重合，故本項(xiàng)錯(cuò)誤；C、正確．兩個(gè)全等三角形的面積一定相等；D、正確．有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形一定全等；故選B．3、C【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則和性質(zhì)逐一判斷可得答案．【詳解】A．，正確，此選項(xiàng)不符合題意；B．，正確，此選項(xiàng)不符合題意；C．與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．＝4，正確，此選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，二次根式的化簡，熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.4、B【分析】先根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出第三邊的取值范圍，然后從選項(xiàng)中選擇范圍內(nèi)的數(shù)即可．【詳解】∵三角形兩邊長分別為5cm和16cm，∴第三邊的取值范圍為，即，而四個(gè)選項(xiàng)中只有15cm在內(nèi)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5、C【分析】由已知條件得到相應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等.再根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”，“SAS”，“ASA”依次判斷.【詳解】∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，∵AB//DE，∴∠B=∠DEF，其中BC是∠B的邊，EF是∠DEF的邊，根據(jù)“SAS”可以添加邊“AB=DE”，故A可以，故A不符合題意；根據(jù)“AAS”可以添加角“∠A=∠D”，故A可以，故B不符合題意；根據(jù)“ASA”可以添加角“∠ACB=∠DFE”，故D可以，故D不符合題意；故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．6、C【分析】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)A：1+2=3，兩邊之和等于第三邊，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：2+3=5<6，兩邊之和小于第三邊，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：符合三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：5+6=11<12，兩邊之和小于第三邊，故選線D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形的三邊之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7、C【分析】根據(jù)第四象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正數(shù)，縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)解答即可．【詳解】因?yàn)榈谒南笙迌?nèi)的點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，各選項(xiàng)只有C符合條件，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)．8、B【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不能為0即可得出結(jié)論【詳解】解：∵分式有意義，∴∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是分式有意義的條件，當(dāng)分母不為0時(shí)，分式有意義．9、D【分析】把x與y的值代入方程計(jì)算求出a的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【詳解】把代入方程得：4﹣a＝5，解得：a＝﹣1，則＝1，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．10、B【解析】根據(jù)平行四邊形的判定：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．A、D、C均符合是平行四邊形的條件，B則不能判定是平行四邊形．故選B．11、B【解析】分析：先求得的值，再繼續(xù)求所求數(shù)的算術(shù)平方根即可．詳解：∵=2，而2的算術(shù)平方根是，∴的算術(shù)平方根是，故選B．點(diǎn)睛：此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，解題時(shí)應(yīng)先明確是求哪個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，否則容易出現(xiàn)選A的錯(cuò)誤．12、B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行一一判斷即可．【詳解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的軸對(duì)稱圖形，

∴∠BAD=∠CAE=∠BAC，AB=AE，AC=AD，

∴∠EAD=3∠BAC?360°=3×150°?360°=90°，故①正確；

∴∠ABE=∠CAD=×(360°?90°?150°)=60°，

由翻折的性質(zhì)得，∠AEC=∠ABD=∠ABC，

又∵∠EPO=∠BPA，

∴∠BOE=∠BAE=60°，故②正確；

在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB，

∴S△ACE=S△ADB，BD=CE，

∴BD邊上的高與CE邊上的高相等，

即點(diǎn)A到∠BOC兩邊的距離相等，

∴OA平分∠BOC，故③正確；綜上所述，結(jié)論正確的是①②③，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算即可．【詳解】∵，，

∴．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．14、1【分析】因?yàn)槭钦麛?shù)，且，則1n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為1．【詳解】∵，且是整數(shù)，

∴是整數(shù)，即1n是完全平方數(shù)；

∴n的最小正整數(shù)值為1．

故答案為1．【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的定義，關(guān)鍵是根據(jù)乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)行解答．15、是有理數(shù)【分析】根據(jù)反證法的證明步驟即可．【詳解】解：第一步應(yīng)先假設(shè)：是有理數(shù)故答案為：是有理數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，解題的關(guān)鍵是熟知反證法的證明步驟．16、【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)不等式組有且只有五個(gè)整數(shù)解，列出關(guān)于k的不等式即可得到答案.【詳解】解不等式組得，∵不等式組有且只有五個(gè)整數(shù)解，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查不等式組的整數(shù)解問題，能根據(jù)不等式組的解集列出k的不等式是解題的關(guān)鍵.17、1【分析】把代入方程組可求解到m、n的值，之后代入計(jì)算即可求解本題．【詳解】解：把代入方程組得，；故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是方程組的定義，正確理解題意并計(jì)算即可．18、，，則且，【分析】根據(jù)要說明一個(gè)命題是假命題可以舉個(gè)反例來說明，且反例要求符合原命題的條件，但結(jié)論卻與原命題不一致進(jìn)行分析即可．【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，原條件ab＞0仍然成立，所以反例為：，，則且，．故答案為：，，則且，.【點(diǎn)睛】本題考查命題相關(guān)，熟練掌握命題的定義即判斷一件事情的語句，叫做命題以及判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．三、解答題（共78分）19、其他兩邊為9cm，9cm．【分析】分兩種情況解答：5為腰長或5為底邊長，根據(jù)周長求出另兩邊的長度并驗(yàn)證是否能構(gòu)成三角形.【詳解】若長為5的邊是腰,設(shè)底邊長為xcm,則2×5+x=23，解之得x=1．∵5+5＜1∴長度為5,5,1的三條線段不能組成三角形.若長為5的邊是底邊,設(shè)腰長為xcm,則2x+5=23,解之得x=9.∵5+9＞9∴長度為5,9,9的三條線段能組成三角形.答：其他兩邊為9cm,9cm.【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的定義，三角形三邊的關(guān)系.20、3【解析】原式=2+1=321、（1）見解析，A1（-1，2），B1（-3，1），C1（-4，3）；（2）；（3）見解析．【分析】（1）分別作出點(diǎn)A，B，C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，然后順次連接即可；（2）用矩形面積減去三個(gè)小三角形面積，即可求得面積；（3）作點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)即可．【詳解】（1）關(guān)于y軸對(duì)稱的如圖所示：三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：；（2）△ABC的面積為；（3）如圖所示：點(diǎn)P即為所求．∵點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)最短．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱變換、三角形的面積、利用軸對(duì)稱求最短路徑等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置．22、（1）A品牌足球的單價(jià)為50元，B品牌足球的單價(jià)為60元；（2）；；（3）購買A品牌的足球更劃算，理由見解析【分析】（1）設(shè)A品牌足球的單價(jià)為a元，B品牌足球的單價(jià)為b元，根據(jù)題意列方程組，解方程組即可；（2）分別根據(jù)A、B品牌的促銷方式表示出購買所需費(fèi)用即可，對(duì)B品牌分類討論；（3）根據(jù)上述所求關(guān)系式，分別求出當(dāng)購買足球的數(shù)量為15個(gè)時(shí)，購買兩種品牌足球的價(jià)格，花費(fèi)越少越劃算．【詳解】（1）設(shè)A品牌足球的單價(jià)為x元，B品牌足球的單價(jià)為y元，，解得：．答：A品牌足球的單價(jià)為50元，B品牌足球的單價(jià)為60元．（2）A品牌：；B品牌：①當(dāng)0≤x≤10時(shí)，；②當(dāng)x>10時(shí)，．綜上所述：；．（3）購買A品牌：45×15=675(元)；購買B品牌：15>10，42×15+180=810，675<810，所以購買A品牌的足球更劃算．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確列出二元一次方程組和一次函數(shù)是解題關(guān)鍵．23、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)可得∠DAB=∠EAC，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DA=EA，BA=CA，再利用SAS即可證出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出DE，從而求出EC和DC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出DB，∠ADB=∠AEC，從而求出∠BDC=90°，最后根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE∴∠DAB=∠EAC∵和均為等腰直角三角形∴DA=EA，BA=CA在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（2）∵是等腰直角三角形，∴DE=，∵∴EC=，∴DC=DE＋EC=3∵△ADB≌△AEC∴DB=EC=3，∠ADB=∠AEC∵∠ADB=∠ADE＋∠BDC，∠AEC=∠ADE＋∠DAE=∠ADE＋90°∴∠BDC=90°在Rt△BDC中，【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．24、（1）EF=BE+DF；（2）成立，見解析【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

（2）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；【詳解】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：

在△ABE和△ADG中，在△AEF和△AGF中，故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；

理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”構(gòu)造全等的方法是解題的關(guān)鍵．25、(1)10°，20°；（2）（Ⅰ）；(II)①證明見解析；②=40°，△BMN等腰三角形．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AD=AC，∠CAD=60°，利用等量代換可得AD=AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠ABD的度數(shù)，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠ADE=30°，進(jìn)而可求出∠BDF的度數(shù)；（2）（Ⅰ）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可用表示出∠BAC，由∠CAD=60°即可表示出∠BAD；（Ⅱ）①如圖，連接AN，由角平分線的定義可得∠CAN=，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得DN是AC的垂直平分線，可得AN=CN，∠CAN=∠CAN，即可求出∠DAN=+60°，由（Ⅰ）可知∠BAD=240°-2，由△ABN≌△AND可得∠BAN=∠DAN，可得∠BAN=120°+，列方程即可求出的值，利用外角性質(zhì)可求出∠ANM的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和可求出∠AMN的度數(shù)，利用外角性質(zhì)可求出∠MNB的度數(shù)，可得∠BMN=∠ABN，可證明△BMN是等腰三角形．【詳解】（1）∵△ACD是等邊三角形，∴AD=AC=CD，∠CAD=∠ADC=60°，∵AB=AC，∴AD=AB，∵∠BAC=100°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°，∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=10°，∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴∠ADE=∠CDE=30°，∴∠BDF=∠ADE