第七章 突破3 立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題

第七章立體幾何與空間向量突破3立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題命題點(diǎn)1

空間位置關(guān)系的判定問(wèn)題

A.當(dāng)λ＝1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)μ＝1時(shí)，三棱錐P－A1BC的體積為定值BD訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

圖1圖1訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)μ＝1時(shí)，點(diǎn)

P

在棱

B

1

C

1上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，圖2

圖2訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

解法一由多選題特征，排除A，C，故選BD.解法二對(duì)于選項(xiàng)D，易知四邊形

ABB

1

A

1為正方形，所以

A

1

B

⊥

AB

1.設(shè)

AB

1與

A

1

B

交于點(diǎn)

K

，連接

PK

，要使

A

1

B

⊥平面

AB

1

P

，需

A

1

B

⊥

KP

，所以點(diǎn)

P

只能是棱

CC

1的中點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.綜上，選BD.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

圖3訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧解決空間位置關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的方法(1)特殊位置法.(2)應(yīng)用位置關(guān)系定理轉(zhuǎn)化法.(3)建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算法.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練1

[2023惠州第一次調(diào)研]如圖，在四棱錐

P

－

ABCD

中，

PA

⊥底面

ABCD

，且

底面各邊都相等，

AC

∩

BD

＝

O

，

M

是

PC

上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)

M

滿足

?

時(shí)，平面

MBD

⊥平面

PCD

.

(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)DM

⊥

PC

(答

案不唯一)

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3[解析]由題意知，四邊形

ABCD

為菱形，∴

AC

⊥

BD

，∵

PA

⊥底面

ABCD

，∴

PA

⊥

BD

，又

PA

∩

AC

＝

A

，

PA

，

AC

?平面

PAC

，∴

BD

⊥平面

PAC

，又

PC

?平面

PAC

，∴

BD

⊥

PC

.

∵平面

PCD

為固定平面，平面

MBD

為運(yùn)動(dòng)平面，且運(yùn)動(dòng)平面

MBD

中的固定直線

BD

垂直

PC

，∴只需在運(yùn)動(dòng)平面

MBD

中找到一條與

BD

相交且

垂直于

PC

的直線即可使平面

MBD

⊥平面

PCD

，則

DM

⊥

PC

，

BM

⊥

PC

等都滿足

要求.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3命題點(diǎn)2

軌跡問(wèn)題

A訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3[解析]如圖1，取

AD

的中點(diǎn)

H

，連接

EH

，

FH

，則

EH

∥

AA

1.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧與立體幾何有關(guān)的軌跡問(wèn)題的解題方法(1)幾何法：利用幾何圖形的性質(zhì)找滿足題意的點(diǎn).(2)排除法：利用特殊位置或者特殊值進(jìn)行排除.(3)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問(wèn)題，利用解析幾何相關(guān)知識(shí)計(jì)算.(4)建系法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意建立方程(組)，得出軌

跡方程.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

[解析]

如圖，連接

AD

1，

D

1

F

，易證

AD

1∥

EF

，從而

A

，

E

，

F

，

D

1四點(diǎn)共

面，平面

AEF

即平面

AEFD

1.記

AA

1，

A

1

D

1的中點(diǎn)分別為

M

，

N

，連接

MN

，

NC

1，

MC

1，可得

MN

∥

AD

1，

MC

1∥

AF

.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

D.[18，27]C訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧立體幾何中的范圍問(wèn)題的解題方法(1)幾何法：分析變化過(guò)程，找到滿足條件的最值位置.(2)代數(shù)法：通過(guò)引入變量，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的代數(shù)式，利用函數(shù)思想或

不等式思想求最值.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練3

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，點(diǎn)

E

，

F

分別是棱

BC

，

CC

1的中點(diǎn)，

P

是側(cè)面

BCC

1

B

1內(nèi)一點(diǎn)，若

A

1

P

∥平面

AEF

，則線段

A

1

P

的長(zhǎng)度的

取值范圍是(

B

)B訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

1.在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

是側(cè)面

BB

1

C

1

C

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).若

P

到直線

BC

的

距離等于它到直線

C

1

D

1的距離，則動(dòng)點(diǎn)

P

的軌跡所在的曲線是(

D

)A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線D12345678[解析]

如圖，連接

C

1

P

，過(guò)點(diǎn)

P

作

PE

⊥

BC

，

E

為垂足，易知

PC

1就是點(diǎn)

P

到直

線

C

1

D

1的距離，則

PC

1＝

PE

，

(點(diǎn)

P

到定點(diǎn)

C

1的距離與到定直線

BC

的距離相等)

所以動(dòng)點(diǎn)

P

在側(cè)面

BB

1

C

1

C

內(nèi)的一段拋物線上.123456782.如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，點(diǎn)

M

是平面

A

1

B

1

C

1

D

1內(nèi)一點(diǎn)，且

BM

∥平面

ACD

1，則tan∠

DMD

1的最大值為(

D

)B.1C.2

D123456783.在空間直角坐標(biāo)系

Oxyz

中，正四面體

P

－

ABC

的頂點(diǎn)

A

，

B

分別在

x

軸、

y

軸上

移動(dòng).若該正四面體的棱長(zhǎng)是2，則｜

OP

｜的取值范圍是(

A

)B.[1，3]A12345678

12345678

A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.△AEF的面積與△BEF的面積相等D.三棱錐E－AFB的體積為定值A(chǔ)BD12345678

12345678

A.三棱錐D1－ADF的體積為定值C.不存在點(diǎn)F使平面DEF⊥平面BB1C1CAB12345678

12345678

123456786.[多選/2024浙江名校聯(lián)考]已知正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)

P

為平

面

ABC

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(

BCD

)C.若點(diǎn)P滿足PD1⊥DC1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線BCD12345678

圖1

圖1圖212345678圖2對(duì)于選項(xiàng)C，如圖3，連接

CD

1，

A

1

B

，則在正方體中，易知

A

1

D

1⊥

DC

1，

DC

1⊥

CD

1，又

A

1

D

1∩

CD

1＝

D

1，

A

1

D

1，

CD

1?平面

A

1

BCD

1，所以

DC

1⊥平面

A

1

BCD

1，又

P

在平面

ABC

內(nèi)，平面

ABC

∩平面

A

1

BCD

1＝

BC

，所以要使

PD

1⊥

DC

1，則

P

∈

BC

，即動(dòng)點(diǎn)

P

的軌跡是一條直線，所以選項(xiàng)C正確.圖3圖312345678

圖4123456787.[2023高三名校聯(lián)考]在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，已知

AA

1＝7，點(diǎn)

O

在棱

AA

1上，且

AO

＝4，則該正方體表面上到點(diǎn)

O

距離為5的點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為

?

?.

π

12345678

123456788.[解題創(chuàng)新/2023石家莊市質(zhì)檢(二)]長(zhǎng)方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

BC

＝1，

AA

1＝2，平面

AB

1

C

與直線

D

1

C

1的交點(diǎn)為

M

，現(xiàn)將△

MCB

1繞

CB

1旋轉(zhuǎn)一周，在

旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，動(dòng)直線

CM

與底面

A

1

B

1

C

1

D

1內(nèi)任一直線所成角中的最小角記為α，

則sinα的最大值是

?.

12345678[解析]如圖1，延長(zhǎng)

D

1

C

1至

M

1，使

C

1

M

1＝1，連接

B

1

M

1，

CM

1，則

B

1

M

1∥

AC

，

B

1

M

1＝

AC

，所以四邊形

AB

1

M

1

C

為平行四邊形，因此

M

1為直線

D

1

C

1與平

面

AB

1

C

的交點(diǎn)，即

M

與

M

1重合.將△

B

1

MC

繞

CB

1旋轉(zhuǎn)一周，得到的圖形如圖2.

在△

B