2021-2022版老教材數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：第2課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)

第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)

1.進(jìn)一步「解等乘數(shù)列的項(xiàng)，序號(hào)之間的規(guī)律.(數(shù)學(xué)抽象)

2.理解等差數(shù)列的性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)

3.掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用.(邏輯推理)

必備知識(shí)?自主學(xué)習(xí)

1.等差數(shù)列有哪些常用的性質(zhì)？

2.由等差數(shù)列可構(gòu)成哪些新的等差

導(dǎo)思數(shù)列？

3.等差數(shù)列的單調(diào)性與公差有什么

關(guān)系？

1.等差數(shù)列中項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系

(1)兩項(xiàng)關(guān)系.

an=am+(n-m)d(m,n￡N*)

⑵多項(xiàng)關(guān)系.

若m+n=p+q(m,n,p,q￡N*)

貝(Ja,,+a“,=a“+a”.

特別地,若m+n=2p(m,n,p￡N*),則a“+an=2a”

思考7

⑴由an=am+(n-m)d(m,n￡N*)mWn,如何求出公差d?其幾何意義是什

么？

提示：d=&3.等差數(shù)列通項(xiàng)公式可變形為a=dn+(a「d),其圖象為一

n-m

條直線上孤立的一系列點(diǎn)，(n,an),(m,aj都是這條直線上的

點(diǎn)為直線的斜率.

n-m

(2)如何證明若m+n=p+q(m,n,p,qWN*),則am+an=ap+aq?

提示:因?yàn)閍ra=ai+(m-1)d,an=ai+(n-1)d.

-

所以am+an-2ai+(m+n2)d.

同理，ap+aq=2ai+(p+q-2)d,

因?yàn)閙+n=p+q,所以am+an=ap+aq.

2.由等差數(shù)列構(gòu)成的新等差數(shù)列

⑴條件.

{an},{bj分別是公差為&,d2的等差數(shù)列

⑵結(jié)論.

數(shù)列結(jié)論

{c+aj公差為必的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）

{c?a?}公差為回的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）

公差為組的等差數(shù)列（k為常

{an+an+k}

數(shù),k￡N*）

公差為Pdi+qdz的等差數(shù)列（p,q為常

{pan+qbn}

數(shù)）

3.等差數(shù)列的單調(diào)性

等差數(shù)列｛aj的公差為d,

（1）當(dāng)d>0時(shí),數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列.

（2）當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)歹U｛4｝為遞減數(shù)列.

⑶當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列｛aj為常數(shù)列.

j基礎(chǔ)小測(cè)＞

1.辨析記憶(對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“義”).

(1)若｛an｝是等差數(shù)列，則｛|a"|｝也是等差數(shù)列.

⑵若數(shù)列瓜｝是等差數(shù)列，則aba3,a5,a7,ag也是等差數(shù)列.

⑶在等差數(shù)列｛an｝中，若ara+an=ap+aq,則m+n=p+q也能成立

(m,n,p,qGN*).

(4)在等差數(shù)列｛aj中,若m+n=r,m,n,r￡N*,則am+an=ar.

提示：(1)X.如-1,2是等差數(shù)列，但其絕對(duì)值就不是等差數(shù)列.

⑵V.若等差數(shù)列｛aj公差為d,則a“a3,a5,a7,ag也是等差數(shù)為1,且其公

差為2d.

⑶X.若數(shù)列｛aj是常數(shù)列,則m+n=p+q不一定成立.

(4)X.如等差數(shù)列1,3,5,7,9^,ai+a2=#a3.

2.在等差數(shù)列｛a—中，若ai=2,a3+a5=10,貝!Ja7=

A.5B.8C.10D.14

【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a+a7=a3+a5.

因?yàn)閍〕=2,a3+a5—10,

所以a7=8.

3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)若｛aj是等差數(shù)列，則由下列關(guān)系確定的

數(shù)列｛b0｝也一定是等差數(shù)列的是

2

A.bn=WB.bn=an+n

=

C.bnan+a.n+iD.bn=na?

【解析】選C.｛aj是等差數(shù)歹山設(shè)a、「an=d,

則數(shù)列bn=an+ant1滿足:

——=

bn+ibn—(an+i+an+2)—(an+an+i)—3n+2an2d.

關(guān)鍵能力-合作學(xué)習(xí)

類型一等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

【典例】1.(2020?麗水高二檢測(cè))在等差數(shù)列瓜｝中，a4+a5+a6=15,則

@5二

A.5B.10C.15D.20

2.設(shè)數(shù)列｛%｝,?｝都是等差數(shù)列，且ai=25,b尸75,a2+b2=100,則a37+b37

等于

A.0B.37C.100D.-37

3.若｛aj為等差數(shù)列，3i5=8,aeo=2O,求a75.

【思路導(dǎo)引】1.利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a6=2a5,進(jìn)而可根據(jù)題目條

件求as的值；

2.關(guān)鍵是注意｛an+bn｝也是等差數(shù)列；

3.思路一:直接列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組求解；

思路二：根據(jù)ai5,a30,a45,耿,a?5為等差數(shù)列求解；

思路三:利用性質(zhì)an=am+(n-m)d(m,neN*)求解.

【解析】1.選A.依據(jù)題意a4+a5+a6=3a5=15,所以a5=5.

2.選C設(shè)｛aj,｛bj的公差分別為dbd2,

貝I(an+i+bn+i)-(an+bn)=(an+i-an)+(bn+i-bn)=di+d2,

所以｛an+bn｝為等差數(shù)列，

又a1+bi=az+b2=100,

所以｛an+bj為常數(shù)列，所以a37+b3Fl00.

3.方法一：設(shè)等差數(shù)列｛a1的公差為d,

因?yàn)閍〔5二a1+14d,a60二a1+59d,

所以fl4d=8,

“Ni+59d=20,

解得《廣

Id=—.

644

所以a75=a1+74d=—+74X—=24.

1515

方法二：因?yàn)椋鸻n｝為等差數(shù)列，

所以3l5,830,845,a60,a75也為等差數(shù)列.

設(shè)其公差為d,則a15為首項(xiàng)，am為第4項(xiàng)，

所以a6fFai5+3d,即20=8+3d,解得d=4.

所以a75=a6o+d=2O+4=24.

方法三：因?yàn)閍60=a15+(60-15)d,

所以d=3i&±.

60-1515

4

所以a5=ao+(75-60)d=20+15X—24.

7615

?解題策略

等差數(shù)列運(yùn)算的兩條常用思路

(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于abd的方程(組)，確定a”d,然后求其他

量.

⑵利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)，若滿足m+n=p+q

=2r(m,n,p,q,rGN*),則am+an=ap+aq=2ar.

特別提醒:遞增等差數(shù)列d>0,遞減等差數(shù)列d〈0,解題時(shí)要注意數(shù)列的

單調(diào)性對(duì)d取值的限制.

跟蹤訓(xùn)練,

1.(2020?玉溪高二檢測(cè))等差數(shù)列｛4｝中，若ai+4a5+a9=24,則2a9-a13=

A.1B.2C.3D.4

【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，ai+4a5+a9=6a5=24,

故a5=4,

所以2a廠a13=a13+a5-a13=a5=4.

2.已知數(shù)列｛bj為等差數(shù)列，若b3=-2,bl0=12,則b8=.

【解析】方法一：因?yàn)椋鸼j為等差數(shù)列，

所以可設(shè)其公差為d,則d*。"A-:2,

10-37

所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2X8—8=8.

方法二：由曳國(guó)也也d=2,

8-310-3

得b8=處也X5+b3=2X5+(-2)=8.

10-3

答案：8

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.在等差數(shù)列｛an｝中，若a3+ai+a5+a6+a7=450,則az+a^的值等于

A.45B.75C.180D.300

［解析］選C.因?yàn)閍s+ad+as+ae+a7

=(as+a?)+(a4+a6)+a§=5a5=450,

所以a5=90.

戶斤以32~^-38：=235=180.

2.在等差數(shù)列｛a"中，ai+a3+a5=-12,且a1?a3?a5=80.求通項(xiàng)an.

【解析】因?yàn)閍1+a5=2a3,

所以2+。3+。5=-12=3。3=T2=a3=-4,

=80,

二-20,

%+。5=-8,

解得3i——10,a$=2或3i—-2,35——10,

因?yàn)閐二3^,所以d=3或-3,

5-1

所以a=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.

類型二等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

【典例】已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積

為40,求這四個(gè)數(shù).

四步內(nèi)容

1條件:①四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列;②這四個(gè)數(shù)的和為26;③第二個(gè)數(shù)

理解

與第三個(gè)數(shù)之積為40.

題意

結(jié)論:求這四個(gè)數(shù)

思路

設(shè)這四個(gè)數(shù)=列方程組=解方程組得這四個(gè)數(shù)

探求

設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,①

則由題意得，

(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26,

■②

、(a-d)(a+d)=40,

書寫13(13

a二「Q=T2，

/或〈3

表達(dá)(d=|Id=-|.

所以這四個(gè)數(shù)為2,5,8,H或11,8,5,2.③

注意書寫的規(guī)范性:①巧設(shè)未知數(shù),簡(jiǎn)化運(yùn)算；

②根據(jù)題目條件正確列方程組；

③準(zhǔn)確解方程組,給出全面的答案.

題后恰當(dāng)利用等差數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系設(shè)未知數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算是解

反思答此類問題的關(guān)鍵.

◎解題策略

設(shè)等差數(shù)列的三個(gè)技巧

(1)對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，可設(shè)為：…,x-d,X,x+d,…，此時(shí)公差

為d.

⑵對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，通?？稍O(shè)

為：…，a-3d,a-d,a+d,a+3d,,,,,此時(shí)公差為2d.

⑶等差數(shù)列的通項(xiàng)可設(shè)為a.,=pn+q.

跟蹤訓(xùn)練、

設(shè)三個(gè)數(shù)成單調(diào)遞減的等差數(shù)列,三個(gè)數(shù)的和為12,三個(gè)數(shù)的積為48,

求這三個(gè)數(shù).

【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)為a+d,a,a-d,

則a-d+a+a+d=12,①

(a-d)?a?(a+d)=48,②

由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去)，所以這三個(gè)數(shù)為6,4,2.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

已知四個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，四個(gè)數(shù)的平方和為94,首尾

兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18,求此等差數(shù)列.

【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,

,f(a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94

則《

l(a-3d)(a+3d)+18=(a-d)(a+d)

73

又遞增數(shù)列d>0,所以解得a二士一,d=此等差數(shù)列為7,2,5,8或

22

一8,一5,一2,1.

類型三等差數(shù)列的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

—角一度一L…與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用―

【典例】等差數(shù)列｛an｝中，a2+a5+a8=9,那么關(guān)于x的方程

2

x+(a，i+a6)x+10=0

A.無(wú)實(shí)根B.有兩個(gè)相等實(shí)根

C.有兩個(gè)不等實(shí)根D.不能確定有無(wú)實(shí)根

【思路導(dǎo)引】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和題目條件可求a4+a6,判斷判別式

△的符號(hào)可得方程實(shí)數(shù)根的情況.

［解析］選A.由于a4+a6=az+a8=2a5,而3a5=9,

22

所以a5=3,方程為X+6X+10=0,A=6-4X10<0,無(wú)實(shí)數(shù)根.

—角度2…實(shí)際應(yīng)用―

【典例】《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下

各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4

升,則第5節(jié)的容積為

A.1升B.—升C.—升D.一升

664433

【思路導(dǎo)引】關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)列模型，明確此等差數(shù)列共9項(xiàng)，已知前4

項(xiàng)的和及后3項(xiàng)的和求第5項(xiàng).

【解析】選B.設(shè)該等差數(shù)列為｛aj,公差為d.

由題意得+。3+。4=3,

a7+他+的=4

+6d=3,

解得4

+21d=4,

所以a5=^+4X-^=~.

226666

e解題策略

1.解決數(shù)列綜合問題的方法策略

⑴結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項(xiàng).

⑵利用通項(xiàng)公式，得到一個(gè)以首項(xiàng)a和公差d為未知數(shù)的方程或不等

式.

⑶利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決.

2.解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟

特別提醒:在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等

關(guān)鍵問題.

題組訓(xùn)練\

1.已知數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，若ai+a5+a9=n，貝！Jsin(a2+a8)=.

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛aj為等差數(shù)列，

右ai+a$+a9=n=3a5,

所以a5=-,貝Isin(a2+a8)=sin(2a5)=sin^：—.

332

答案:立

2

2.古代中國(guó)數(shù)學(xué)輝煌燦爛，在《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有十等人，大

官甲等十人官賜金，以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出；下四人

后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更給.問：各得金幾何

及未到三人復(fù)應(yīng)得金幾何？”則該問題中未到三人共得金

斤.

【解析】設(shè)十人得金按等級(jí)依次設(shè)為a1)a2,-saw,

則aba2,,,,,a］。成等差數(shù)列,

且=4,

a

\a7+。8+。9+io~3,

設(shè)等差數(shù)列aba2,…,aio的公差為d,

+3d=4,

filiU1

14%+30d=3,

7

解得d=~

78

..83

戶斤以a4+as+a6=(ai+az+a?)+9dzz.

26

答案:巴

26

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

-1

1.若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(arb)的4個(gè)根可組成首項(xiàng)為-

4

的等差數(shù)列，則a+b的值為

111331

A.38B.—C.—D.—

242472

【解析】選D.判斷各個(gè)根對(duì)應(yīng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù).因?yàn)槊總€(gè)方程的兩個(gè)根的和

131

都為1,故必有一個(gè)方程的根為-和-，不妨設(shè)方程x2-x+a=0的根為-和

444

O-1O

士.士為等差數(shù)列的首項(xiàng)，士為等差數(shù)列4項(xiàng)中的某一項(xiàng)，由x2-x+b=o的兩

444

3

根和為1,且兩根為等差數(shù)列中的后3項(xiàng)中的兩項(xiàng)，知只有-為第4項(xiàng)，

4

1q73

才能滿足中間兩項(xiàng)之和為1的條件，所以四根的排列順序?yàn)?,一,一,-，

412124

之,,,1、，35、，731

所以a+b-—X—+—X———.

44121272

2.已知AABC的一個(gè)內(nèi)角為120°,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)

列,則4ABC的面積為.

【解析】設(shè)4ABC的三邊長(zhǎng)為a-4,a,a+4(a>4),

a2+(a-4)2-(a+4)21

則------；~；----二一,

2a(a-4)2

解得a=10,三邊長(zhǎng)分別為6,10,14.

所以S=-X6X10X—=15Vs.

AABC22

答案：156

課堂檢測(cè)-素養(yǎng)達(dá)標(biāo)

1.等差數(shù)列瓜｝中，alflO=120,a90=100,則公差d等于()

A.2B.20C.100D.不確定

【解析】選A.因?yàn)閍10o-a9o=10d,

所以10d=20,

即d=2.

2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)由公差dr0的等差數(shù)列aba2,a”組成

一個(gè)新的數(shù)列a,+a3,a2+a4,as+as,…下歹U說法正確的是

A.