2020-2021學年重慶市七校高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題解析版

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁第Page\*MergeFormat16頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2020-2021學年重慶市七校高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)滿足，則復平面內(nèi)與復數(shù)對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】計算可得，即可得復平面內(nèi)與復數(shù)對應的點坐標，即可得答案.【詳解】由題意得，在復平面內(nèi)與復數(shù)對應的點為（-1,3），在第二象限，故選：B2．大足中學高一20位青年教師的月工資（單位：元）為，，…，，其均值和方差分別為和，若從下月起每位教師月工資增加200元，則這20位員工下月工資的均值和方差分別為（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用平均數(shù)的定義以及方差的含義進行分析求解即可．【詳解】每位員工的月工資增加200元，所以平均值也增加200元，由于員工工資的波動性并沒有發(fā)生變化，即方差不變．所以這位員工下個月工資的均值和方差分別為；故選：D3．某校高一(1)班甲、乙兩同學進行投籃比賽，他們進球的概率分別是和，現(xiàn)甲、乙各投籃一次，至少有一人投進球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對立事件的概率公式以及相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式即可求出．【詳解】設事件“甲、乙各投籃一次，至少有一人投進球”，所以．故選：D．4．在圓O中弦AB的長度為8，則=（）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理以及平面向量數(shù)量積的定義即可求出．【詳解】．故選：D5．在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為DC上靠近C點處的三等分點，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的加減法運算即可.【詳解】如圖，因為E為AB的中點，F(xiàn)為DC上靠近C點處的三等分點，所以,故選：A6．已知兩條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中錯誤的為（）A．若，，，則B．若，，則C．若，且，則D．若，那么【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直，線面平行，線線平行的有關(guān)定理結(jié)論即可判斷．【詳解】對A，因為，，所以，又，所以，A正確；對B，若，，則不一定成立，有可能斜交，B錯誤；對C，若，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，則存在平面，滿足，，使得，同理可得，存在平面，滿足，，使得，所以，即有，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可得，所以，（當出現(xiàn)或與重合，顯然成立），C正確；對D，根據(jù)面面平行的定義，若，那么，D正確．故選：B．7．已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，且，若M是的中點，則異面直線A1M與AD所成角的余弦值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義即可求出．【詳解】如圖所示：因為，所以異面直線A1M與AD所成角為（或其補角）．在中，，，所以．故選：C．8．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【分析】根據(jù)獨立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】，故選：B【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應概率，再判斷是否成立二、多選題9．一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（）A．事件“兩次均擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件B．事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”為互斥事件C．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件D．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對立事件【答案】AC【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項的內(nèi)容即可得到答案【詳解】對于A，事件“至多一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均未擊中“，與事件“兩次均擊中”是對立事件，故A正確；對于B，事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”可以同時發(fā)生，故B不正確；對于C，事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”不能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確；對于D，事件“兩次均未擊中”的對立事件是“至少一次擊中”，故D錯誤.故選：AC10．下列結(jié)論正確的是（）A．在中，是充要條件B．在中，，則為等腰三角形C．在中，，則為等腰三角形D．在中，，且，則為正三角形【答案】ABD【分析】利用正弦定理及三角恒等變換即可作出判斷.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，由，可得，∴，即，∴，故B正確；對于C，由可得，即，∴或，即為等腰或直角三角形，故C錯誤；對于D，由可得，．又，，．，，即，故此三角形是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.11．正方體中，E為棱CC1的中點，則下列說法正確的是（）A．DC平面AD1EB．⊥平面AD1EC．直線AE與平面所成的正切值為D．平面AD1E截正方體所得截面為等腰梯形【答案】CD【分析】利用線面平行的定義可判斷A；利用線面垂直的判定定理可判斷B；作出線面角，在三角形中求解即可判斷C；根據(jù)兩條平行線確定一個平面即可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)題意可得，因為與平面AD1E相交，則與平面AD1E也相交，故A不正確；對于B，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以，又⊥，所以平面，若⊥平面AD1E，則平面平面，與平面平面矛盾，故B不正確；對于C，取的中點，連接，,則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以為直線與平面所成的角，等于AE與平面所成的角，設正方體的邊長為，則，，所以，故C正確；對于D，取的中點，連接，則，所以，且，所以四邊形為等腰梯形，即平面AD1E截正方體所得截面為等腰梯形，故D正確；故選：CD.【點睛】本題考查了線、面之間的位置關(guān)系、線面角以及正方體的截面形狀，考查了考生的空間想象能力，屬于中檔題.12．關(guān)于復數(shù)下列說法正確的是（）A． B．若則C．若為純虛數(shù)，則 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算，可判斷A的正誤；根據(jù)求模公式，代入計算，可判斷B的正誤；根據(jù)純虛數(shù)的概念，可判斷C的正誤，根據(jù)基本不等式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，因為，所以，即，故B正確；對于C：，若為純虛數(shù)，則，所以，故C正確；對于D：，當且僅當時等號成立，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題13．已知i是虛數(shù)單位，則_______．【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算即可.【詳解】,故答案為：14．為了研究疫情病毒和人的血型間的關(guān)系，在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人．在這2400人中，采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120人的樣本，則應從O型血中抽取的人數(shù)為_____．【答案】40【分析】直接根據(jù)其所占比例求解即可.【詳解】因為在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人，即O型血的人數(shù)占，所以應從O型血中抽取的人數(shù)為故答案為：4015．若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=，，則球O的表面積____【答案】【分析】由正弦定理求出外接圓半徑，再根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)求解.【詳解】如圖所示，三棱錐的所有頂點都在球的表面上，，所以所在平面截所得的圓的半徑為,因為平面，，所以由球的對稱性知，球心到平面的距離，所以球的半徑為，所以的表面積為.故答案為：16．在中，已知，且，則面積的最大值為___【答案】2【分析】利用解析法，建立平面直角坐標系，設，，，由題意可得到，求出的范圍，即可得到面積的最大值．【詳解】如圖所示：建立平面直角坐標系，設，，，由化簡可得，，所以，故面積為，即面積的最大值為2．故答案為：2．四、解答題17．已知.（1）求與的夾角；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將展開，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求出；（2）根據(jù)平面向量模的計算公式即可求出．【詳解】（1），，∴，又，∴，∴向量與的夾角.（2）因為，所以．18．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求角A的值；（2）若，且△ABC的面積為，求△ABC的周長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，再根據(jù)誘導公式，二倍角公式即可求出；（2）由可得，再由正弦定理角化邊可得，即可求出，然后根據(jù)余弦定理求出，即得到△ABC的周長．【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，即.因為，所以，因為，所以.（2）由，可得.因為，所以，解得由余弦定理得，，所以周長為.19．如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是棱長為4的菱形，平面ABCD，，E是BC中點，若H為的中點.（1）求證：平面；（2）求E點到平面PAB的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點，連接，則HM為中位線，進而可得且，所以四邊形為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證.（2）利用等體積法，分別求得各個長度，代入公式，即可求得答案.【詳解】（1）取的中點，連接，因為H為的中點，且M為PA的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，所以平面.（2）設E點到平面PAB的距離為h，由等體積法可得，因為平面ABCD，所以為三棱錐P-ABE的高，因為菱形ABCD，且，所以AB=AC，又E為BC中點，所以，所以，所以，解得故E點到平面PAB的距離為.20．我校近幾年加大了對學生奧賽的培訓，為了選擇培訓的對象，今年5月我校進行一次化學競賽，從參加競賽的同學中，選取50名同學將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）求補全這個頻率分布直方圖，并利用組中值估計本次考試成績的平均數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計第65百分位數(shù)是多少；（3）已知學生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中成績不小于90分時為優(yōu)秀等級，若從第5組和第6組兩組學生中，隨機抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成績優(yōu)秀的概率.【答案】（1）直方圖見解析，66.8；（2）73；（3）.【分析】（1）根據(jù)各矩形面積之和為1，即可求出內(nèi)的頻率，從而補全頻率分布直方圖，再根據(jù)平均數(shù)等于各小矩形的面積乘以各組中值的和，即可求出；（2）先判斷第65百分數(shù)在內(nèi)，根據(jù)百分位數(shù)公式即可求出；（3）先根據(jù)分層抽樣確定第5，6組人數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】（1）由圖可得分數(shù)在內(nèi)的頻率為，，所以頻率分布直方圖如下：所以本次考試成績的平均數(shù)約為.（2）由題可知第65百分數(shù)應該在內(nèi)，所以第65百分數(shù)=，（3）第5組人數(shù)為，第6組人數(shù)為被抽取的成績在內(nèi)的4人，分別記為，，，；成績在內(nèi)的3人，分別記為，，；則從這7人中隨機抽取2人的情況為：，，，共21種；被抽到2人中至少有1人成績優(yōu)秀的情況為：，，，，，共15種.故抽到2人中至少有1人成績優(yōu)秀的概率為.21．如圖1，在平行四邊形ABCD中，，，，將沿折起，使得平面平面，如圖2．（1）證明：平面平面BCD；（2）在線段上是否存在點M，使得二面角的大小為45°？若存在，指出點M的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，M是的中點.【分析】（1）在中，易證，作于點，根據(jù)平面平面，得到，再由，得到平面，進而得到，然后由，得到平面即可.（2）存在點M，當M是的中點，二面角的大小為45°，由（1）知平面，取BD的中點為O，DC的中點為E，連接MO，EM，OE，證明是二面角的平面角即可.【詳解】（1）在中，因為，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如圖所示：作于點，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以，又由，所以平面.所以平面平面BCD；（2）如圖所示：存在點M，當M是的中點，二面角的大小為45°.證明如下：由（1）知平面，且，，又因為是的中點，同理可得：BM=，取BD的中點為O，DC的中點為E，連接MO，EM，OE，因為，所以是二面角的平面角，又因為，.22．在中，角所對的邊分別為，若且（1）當時，求面積的最小值；（2）若的面積不小于，求的取值范圍.【答案】