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文檔簡介
整式的運算
一、知識梳理
(-)考點總結:
1、代數(shù)式
2、列代數(shù)式
3、代數(shù)式的值
4、整式的概念
5、整式的運算
(-)考點講解
考點一代數(shù)式
定義:用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)與字母連接而成的式子叫代數(shù)式。
注意:(I)單個數(shù)字與字母也是代數(shù)式;(2)代數(shù)式與公式、等式的區(qū)別是代數(shù)式中不含等號,而公式和等式
中都含有等號;
考點二列代數(shù)式
1.列代數(shù)式:用含有數(shù)、字母和運算符號的式子把問題中與數(shù)量有關的詞表示出來,就是列代數(shù)式。
2.代數(shù)式的書寫要求
(1)代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號通常用“?”表示或者省略不寫;數(shù)與字母相乘時,數(shù)應寫在字母前面;數(shù)與數(shù)相乘時,
仍用“X”號。
(2)數(shù)字與字母相乘、單項式與多項式相乘時,一般按照先寫數(shù)字,再寫單項式,最后寫多項式的書寫順序,
如式子(a+b)-2-a應寫成2a(a+b)。
(3)帶分數(shù)與字母相乘時,應先把帶分數(shù)化成假分數(shù)后再與字母相乘。
(4)在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時,按分數(shù)的寫法來寫
(5)在一些實際問題中,有時表示數(shù)量的代數(shù)式有單位名稱,如果代數(shù)式是積或商的形式,則單位直接寫在
式子后面;如果代數(shù)式是和或差的形式,則必須先把代數(shù)式用括號括起來,再將單位名稱寫在式子的后面,如2a
米,(2a-b)kg。
注意:列代數(shù)式的關鍵是找出問題中的數(shù)量關系及公式,如:路程=速度x時間。售價=標價X折扣率;質(zhì)量=密
度*體積等等,另外要想正確列出代數(shù)式,必須正確理解問題中的關鍵詞語,如“和、差、積、商、大、小、多、少”
等。
考點三代數(shù)式的值
1.代數(shù)式的值:用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母,按照代數(shù)式中的運算關系計算得出的結果,叫做代數(shù)式的值。
2.求代數(shù)式的值的基本步驟:
(1)代入,一般情況下,先對代數(shù)式進行化簡,再將字母的數(shù)值代人;
(2)計算時按代數(shù)式里的運算關系計算出結果。
說明:
①代數(shù)式中的字母所取的值,要使代數(shù)式有意義:
②一個代數(shù)式中的同一字母要用同一個數(shù)值去代替,且注意多個字母情形下的對應關系,切忌張冠李戴;
③為了避免混淆,注意括號前原來省略乘號的地方要添上乘號,當代入的字母是負數(shù)時,代入后應加上括號,
另外字母是分數(shù)時,遇到乘方也要加括號。
考點四整式的概念
1.單項式:數(shù)與字母的積所表示的代數(shù)式叫做單項式,單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù);單項式中所
有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù),特別地,單獨一個數(shù)或者一個字母也是單項式。
注意:(1)TT是個數(shù),不能把它當成字母。如TTXy2的系數(shù)是TT,次數(shù)是3,不能錯寫成系數(shù)是1,次數(shù)是4。
2x3y2_1口
(2)像a,oln'-己等都是單項式。特別地,像(TT+目)也是單項式。
(3)單項式的次數(shù)應是字母的指數(shù)和,與系數(shù)沒有任何關系。如105x2y次數(shù)是2+1=3,而不是5+2+1=8。
2.多項式:幾個單項式的和叫做多項式,在多項式中,每個單項式叫做多項式的項,其中不含字母的項叫做
常數(shù)項;在多項式里,次數(shù)最高項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)。
注意:(1)像國這樣的代數(shù)式也是多項式;(2)多項式的項數(shù)指的是合并完同類項后的項數(shù)。
3.整式:單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。
4.升(降)幕排列:把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大(或從大到小)的順序排列起來,叫做把多
項式按這個字母升(降)嘉排列。
5.同類項:所含字母相同并且相同字母的指數(shù)相同的項叫做同類項,
考點五整式的運算
1.整式的加減
(1)合并同類項:把多項式中的同類項合并成一項,叫做合并同類項。合并法則:把同類項中的系數(shù)相加,
所得結果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)保持不變。
(2)去括號法則:括號前面是“+”號,把括號和它前面的“+”號去掉,括號里面的各項都不改變符號;括號前面
是號,把括號和它前面的號去掉,括號里面的各項都改變符號,符號表示:+(a+b)=a+b;-(a+b)=-a-bo
(3)添括號法則:所添括號前面是“+”號,括到括號里面的各項都不改變符號;所添括號前面是號,括到括
號里面的各項都改變符號。符號表示:a+b=+(a+b);-a-b=-(a+b)。
(4)整式加減的步驟:有括號先去括號;有同類項,先合并同類項。
說明:添括號法則在北師大版教材中沒有出現(xiàn),但整式加減運算較多;去括號和添括號是互逆的。
2.整式的乘法
(I)幕的運算性質(zhì):am.an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an-bn,amEln=am-no
(2)零指數(shù)扇和負指數(shù)幕:a°=1(aWO);
(3)單項式乘以單項式:將系數(shù)與同底數(shù)的基分別相乘。
(4)單項式乘以多項式:用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加。
(5)多項式乘以多項式:先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加。
特殊的多項式乘以多項式
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
注意:要掌握以上兩種公式的結構特征。
3.整式的除法
(1)單項式除以單項式:將系數(shù)及同底數(shù)事分別相除。對五只在被除式中出現(xiàn)的字母則連同它的指數(shù)保留在
商中。
(2)多項式除以單項式:把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加。
4.累的運算
(1)同底數(shù)幕相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。
g|]am-an=am+n(m、n都是正整數(shù))。
(2)幕的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘,
即(am)n=amn(m、n都是正整數(shù))。
(3)積的乘方,等于把積的每一個因式分別乘方,再把所得的事相乘,
即(ab)n=an?bn(n是正整數(shù)是
(4)同底數(shù)基相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,
HPam1i]ar'=ani'n(a#0,m、n都是正整數(shù))。
(5)整式的混合運算:先乘方,后乘除,最后加減,如有括號,就先算括號里面的,說明:要盡量使用公式
或運算律時,使運算過程簡捷。
(三)易混知識清單
知識歸納
易混點一同類項的概念及運用。
1.所含字母相同。2.相同字母的指數(shù)也分別相同。
易混點二不能準確把握單項式、多項式、同類項及整式等的差異,從而導致判斷或運算錯誤。
易混點三運用去括號與添括號法則。當去括號時,括號前是號,把括號和它前面的號去掉,括號里各項
都改變符號:有多層括號時,依去括號法則,可以先去大括號,再去中括號,最后去小括號,由外及內(nèi),添括號時
反之。
易混點四由于混淆基的四條運算性質(zhì)而導致運算錯誤。
(1)同底數(shù)幕相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。am-an=am+n(m,n為正整數(shù))。
(2)同底數(shù)基相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。amEan=am-n(m,n為正整數(shù))。
(3)幕的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘。(am)n=amn(m,n為正整數(shù))。
(4)積的乘方,等于把積的每一個因式分別乘方,再把所得的基相乘。(ab)n=anbn(n為正整數(shù))。
易混點五(a-b)n與(b-a)n的關系
當n為奇數(shù)時兩者互為相反數(shù),當n為偶數(shù)時,兩者相等。
二、經(jīng)典習題
(一)方法篇
方法一分類討論法:根據(jù)同類項的概念;尋找同類項的過程就是把多項式的項按所含字母及字母的次數(shù)進行分類。
在尋找中,如果幾個單項式所含的字母的順序不同,可以根據(jù)乘法的交換律把字母按照一定的順序(如英文字母表
順序)排列好,以便比較其字母是否相同,只有所含字母完全相同,而且相同字母的指數(shù)也分別相同的兩個單項式
才是同類項。在多項式中,若有幾組同類項,要分類進行合并化簡。
例1下列四組中的兩項是同類項的是()
ArB.>b與5ab2B.0.5ab與塾
C.-2x2y3與5y3x2D.3a與2b
例2已知a+b=m,ab=-4,化簡(a-2)(b-2)的結果是()
A.6B.2m-8C.2mD.-2m
例3觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式,探究其中的規(guī)律:
(1)請你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對應的等式:
①。日4x0+1=4x1-3
(2)通過猜想,寫出與第n個圖形相對應的等式。
(二)精析篇
例1某公園一塊草坪的形狀如圖2-6所示(陰影部分),用代數(shù)式表示它的面積為
圖2-6
例2如果代數(shù)式4y2-2y+5的值為7,那么代數(shù)式2y2-y+1的值等于()
A.2B.3C.-2D.4
例3下列算式是一次式的是()
-ab
A.8B.4a+3bC.OD.H
例4下列各式中,與x2y是同類項的是()
A.xy2B.2xyC.-x2yD.3X2y2
例5化簡m-n-(m+n)的結果是()
A.2mB.-2mC.-2nD.2n
例6下列運算正確的是()
A.x9[±]x3=x3B.(-x4)3=-x12
C.x2-x4=x8D.(x2+x3)2=x4+x5+x6
例7計算2x2?(-3)x3的結果是()
A.-6x5B.6x5C,-2x5D.2x5
例8己知x?+y2=25,x+y=7,且x>y,則x-y的值為多少?
(三)易錯篇
易錯題一為鼓勵節(jié)約用電,某地對居民用戶用電收費標準作如下規(guī)定:每戶每月用電如果不超過100度,那
么每度電價按a元收費;如果超過100度,那么超過部分每度電價按b元收費。某戶居民在一個月內(nèi)用電160度,
他這個月應繳納電費是元(用含a、b的代數(shù)式表示)。
0
易錯題二若9xa+bya-b與國歐83是同類項,那么()
A.a=-1,b=2B.a=1,b=-2
C.a=?2,b=1D.a=2,b=-1
易錯題三
(1)計算x2y3?](xy)2的結果是()
A.xyB.xC.yD.xy2
(2)a3-a4[±]a5=°
(3)下列計算正確的是()
A.2x3-3x2=6x6B.x3+x3=x6
C.x10[±]x5=x2D.x40x5y=S
(4)下列運算中,正確的是()
T
A.2a+3b=5abB.3a-2=|3ajC.(-x)5-(-x)3=-x8D.(-1)0=1
易錯題四下列計算正確的是()
A.(-4X)-(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x
B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3
C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2
D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2
三、學生練習
1.買一個籃球需要m元,買一個排球需要n元,則買3個籃球和5個排球共需要元。
2.數(shù)字解密:若第一個數(shù)是3=2+1,第二個數(shù)是5=3+2,第三個數(shù)是9=5+4,第四個數(shù)是17=9+8,…,觀
察并猜想第六個數(shù)應是。
3.碳氫化合物的化學式:CH4、C2H6、C3H8、C4H10,…觀察其化學式的變化規(guī)律,則第n個碳氫化合物的
化學式為。
4.按一定的規(guī)律排列的一列數(shù)依次為:口,口,S,匠運二運,…按此規(guī)律排列下去,這列數(shù)中的第7個
數(shù)是.
9~9~9~9~iolfiol[To_ibl
5.觀察下列各等式的數(shù)字特征:…,將你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含
字母a、b的等式表示出來:。
6.觀察下列等式:2=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…通過觀察,用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定
22。。6的個位數(shù)字是。
7.在整式運算中,任意兩個一次二項式相乘后,將同類項合并后的項數(shù)可以是項式。
8.若(0-x)3=ao+aix+aax2+a3x3,則(ao+a2)2-(ai+as)2的值為。
2
9.觀察下列各式:0,x,X,2x3,3x35x5,8x6,o按此規(guī)律寫出的第10個式子是。
10.計算:(J3)2=。
11.下列運算正確的是()
A.0=±2
B.2-3=-6
C.x2-x3=x6
D.(-2x)4=16x4
12.下列運算中,正確的是()
A.0J3=2a4
B.H-0=a6
C.a6C3a3=a2
D.(ab2)2=a2b4
13.如圖2-1,邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形,小明將圖中的陰影部分拼成了一個矩形,
如圖2-2這一過程可以驗證()
A.a2+b2-2ab=(a-b)2
B.a2+b2+2ab=(a+b)2
C.2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
14.下列運算正確的是()
A.2x5-3x3=-x2
B.2t3+ES=2E^
C.(-x)5-(-x2)=-x10
D.(3a6x3-9ax5)+(-3ax3)=3x2-a5
15.計算:(x-y)2-(x+y)(x-y)?
16.化簡:2a(a-b)-2a2+3abo
17.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”。如:4=22-02,12=42-22,
20=62-42因此4,12,20這三個數(shù)都是神秘數(shù)。
(1)28和2012這兩個數(shù)是神秘數(shù)嗎?為什么?
(2)設兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負整數(shù)),由這兩個連續(xù)偶數(shù)構造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎?為
什么?
(3)兩個連續(xù)奇數(shù)(取正整數(shù))的平方差是神秘數(shù)嗎?為什么?
18.去括號:4(a-b)-[-a(-b2-a2)]?
19.填空:(1)a2m-U=a3;
(2)(x3y2)4s(x3y)5=。
20.單項式-lilxa+byaT與3x2y是同類項,則a-b的值為
)
A.2B.0
C.-2D.1
21.已知m-n=3,求代數(shù)式3-m+n的值
22.如圖2-3,用黑白兩種顏色的正方形紙片按黑紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一列圖案:
第I個第2個第3個
圖2-3
(1)第4個圖案中有白色紙片張;
(2)第n個圖案中有白色紙片張。
23.用火柴棒如圖2-4所示的方式擺圖形,按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺下去,第4個圖形需要根火柴棒,第n
個圖形需要根火柴棒(用含n的代數(shù)式表示)。
(I)(2)(3)
圖24
24.在很小的時候,我們用手指練習過數(shù)數(shù)。一個小朋友按如圖2-5所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù),數(shù)到2006時.,對
應的指頭是(填出指頭的名稱,各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無名指、小指)。
.17--
圖2-5
25.如圖2-7所示的是小明用火柴棒搭的1條,2條,3條,…“金魚”,則搭,n條“金魚”需要火柴棒根。
I條2條3條
圖2?7
26.當x=-2時代數(shù)式(x+2)2-x(x+1)的值等于()
A.2B.-2C.4D.-4
27.當a=-1時,代數(shù)式(a+1)2+a(a-3)的值等于()
A.-4B.4C.-2D.2
28.若單項式4xm與?x2yM的和是單項式,則m=,n=。
29.若2amb2m+3n與a2n-3b8的和仍是一個單項式,則m,Fl的值分別是()
A.1.2B.2,1C.1,ID.1,3
30.小馬虎在下面的計算中只做對了一道題,他做對的題目是()
A.(a-b)2=a2A2
B.(-2a3)2=4a6
C.a3+a2=2a5
D.-(a-1)=-a-1
2
31.觀察下列單項式:0,3x,8x3,15x324x5,…按此規(guī)律寫出第13個單項式是o
32.下列各式正確的是()
A.(x3)2=x5
B.(a+b)(b-a)=a2-b2
C.5x2y-3x2y=2
D.x5-x=x6
33.計算(-3a3)包2的結果是()
A.-9a4B.6a4
C.9a3D.9a4
34.已知a-b=b-c=口,a2+b2
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