2021-2022學(xué)年浙江省杭州市八縣市區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年浙江省杭州市八縣市區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】,，.故選：B2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，再利用復(fù)數(shù)求模公式即可.【詳解】，.故選：C3．已知平面??滿足：，，則“”是“”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】判斷當(dāng)時(shí)，有可能相交，故不能推出，反之成立，由此可判斷答案.【詳解】由題意，，，則不能推出，因?yàn)橛锌赡芟嘟?，如圖示三棱柱，當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，因此“”是“”的必要不充分條件，故選：B4．已知，為第三象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)?，故，即，，所以，因?yàn)闉榈谌笙藿?，故故選：D5．正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=1，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．5 D．8【答案】B【分析】利用基本不等式，可直接求得答案.【詳解】由題意得：，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：B6．為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將這種新飲料每6罐裝成一箱，其中每箱中都放置了2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出1罐，則能中獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】因?yàn)橐幌渲杏?罐飲料，其中有2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料，所以從一箱中隨機(jī)抽出1罐，則能中獎(jiǎng)的概率為.故選：A7．袋子中有9個(gè)材質(zhì)與大小都相同的小球，其中6個(gè)白球，3個(gè)紅球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球且不放回，則兩次都摸到白球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算兩次不放回摸球的結(jié)果可能性的種數(shù)，再計(jì)算出兩次都摸到白球的可能種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式求得答案.【詳解】由題意可得兩次不放回摸球的結(jié)果可能性有種，兩次都摸到白球的可能有種故兩次都摸到白球的概率是,故選：C8．某學(xué)校高一?高二?高三3個(gè)年級(jí)共有1080名學(xué)生，其中高一年級(jí)學(xué)生540名，高二年級(jí)學(xué)生360名，為了解學(xué)生身體狀況，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中高二學(xué)生有32人，則該樣本中高三學(xué)生人數(shù)為（

）A．54 B．48 C．32 D．16【答案】D【分析】先求得樣本容量，再根據(jù)分層抽樣的比例，即可求得答案.【詳解】由題意可知，抽取的樣本容量為，則樣本中高三學(xué)生有人，故選:D9．正六邊形ABCDEF中，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加法法則和進(jìn)行求解.【詳解】如圖，由題意得：，可以得到故選：A10．十六?十七世紀(jì)之交，隨著天文?航海?工程?貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即（且），已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)互化以及換底公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故選：B.11．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱作鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面ABC，是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，則異面直線BC與SA所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】將底面補(bǔ)形為正方形，找到異面直線BC與SA所成角的平面角，在求解即可.【詳解】作正方形，連接SD，則異面直線BC與SA所成角的平面角為（或其補(bǔ)角），如圖所示由已知有平面ABC，所以又因?yàn)?，則面SCD，因?yàn)?所以面SCD，所以，設(shè)則，，，則，所以故選：C.12．過(guò)點(diǎn)（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合得到過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，利用點(diǎn)到直線距離求出直徑，設(shè)，列出方程組，求出圓心坐標(biāo)，得到圓的方程.【詳解】過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，其中，設(shè)，則，解得：，故的中點(diǎn)，即圓心為，即，故該圓為故選：B13．平面向量，滿足，，記，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的模與向量數(shù)量積運(yùn)算法則，先求出的范圍，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，因?yàn)樗缘淖畲笾禐?，故選：A.14．如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在t秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開(kāi)始向下移動(dòng)，則小球在秒時(shí)h的值為（

）A．-2 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開(kāi)始向下移動(dòng)可求得，進(jìn)而求得h的解析式，再代入求解即可【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開(kāi)始向下移動(dòng)，故，即，又，故，故，故當(dāng)時(shí)，故選：D15．如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，N為棱上的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N作平面ABM的垂線段，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件先判斷出點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，再由弧長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】取AB中點(diǎn)P，連接PC，C1N，如圖，因?yàn)镻C⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面=PM，過(guò)N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1時(shí)，點(diǎn)是以PN為直徑的圓(部分)，如圖，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到最高點(diǎn)，此時(shí)，所以，從而，所以弧長(zhǎng)，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選:B16．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可計(jì)算，構(gòu)造函數(shù)，可證明其為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，由此將化為，求得答案.【詳解】由可知，，故，即，令，則，即為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為R上的單調(diào)增函數(shù)，為R上的單調(diào)減函數(shù)故為單調(diào)增函數(shù)，則也單調(diào)遞增；不等式，即，即，故，即解集為，故選:A二、多選題17．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．觀察成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以直觀推斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系B．樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是[-1，1]，則越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)C．對(duì)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)解釋變量x增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量平均增加2個(gè)單位D．：2×2分類變量X和Y獨(dú)立.通過(guò)列聯(lián)表計(jì)算得到的值，則數(shù)值越大越能推斷分類變量X和Y有關(guān)聯(lián)【答案】ABD【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖可判斷變量的相關(guān)關(guān)系判斷A，由相關(guān)系數(shù)的意義可判斷B，根據(jù)回歸直線方程的意義可判斷C，根據(jù)的意義可判斷D.【詳解】由散點(diǎn)圖可以直觀推斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，故A正確；根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的意義可知越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B正確；由回歸方程可知變量x增加1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)變量平均減少2個(gè)單位，故C不正確；當(dāng)獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，的值越大越能推斷分類變量X和Y有關(guān)聯(lián)正確，故D正確.故選：ABD18．某校為了解高二年級(jí)學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的分布情況，從該年級(jí)的760名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，發(fā)現(xiàn)都在[80，150]內(nèi).現(xiàn)將這100名學(xué)生的成績(jī)按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分組后，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）A．頻率分布直方圖中a的值為0.03B．樣本數(shù)據(jù)低于120分的頻率為0.3C．總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計(jì)為123.3分D．總體分布在[90，100）的頻數(shù)一定與總體分布在[100，110）的頻數(shù)相等【答案】AC【分析】由頻率分布直方圖先計(jì)算出值，判斷A，然后計(jì)算頻率判斷B，由頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)判斷C，根據(jù)頻率判斷D．【詳解】由頻率分布直方圖，，解得，故A正確；樣本數(shù)據(jù)不低于120分的頻率為，因此低于分的頻率為，故B錯(cuò)誤；分?jǐn)?shù)低于120分的頻率為，因此中位數(shù)在這一組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故C正確；樣本分布在與的頻率相等，所以頻數(shù)相等，但總體分布在與頻數(shù)只能大致相等但不一定相等，故D錯(cuò)誤．故選：AC19．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.點(diǎn)F為邊AB中點(diǎn)，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．三角形EAB面積的最小值為 B．當(dāng)點(diǎn)E為邊CD中點(diǎn)時(shí)，C． D．的最小值為【答案】AB【分析】根據(jù)特殊位置可求三角形面積最小值判斷A，當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，利用向量線性運(yùn)算可判斷B，取E在D點(diǎn)時(shí)計(jì)算可判斷C，計(jì)算后根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D.【詳解】由題，當(dāng)E在D點(diǎn)時(shí)，取得最小值，，故A項(xiàng)正確；當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，，又因?yàn)椋?，故B項(xiàng)正確；當(dāng)E在D點(diǎn)時(shí)，由余弦定理計(jì)算可得，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，而，所以，?所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AB20．已知函數(shù)，，則（

）A．，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)B．，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)C．，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)D．，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】作出的圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，的零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題，由圖象可知，與圖象總會(huì)有交點(diǎn)，至少有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；由圖象可知，與圖象可以有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；設(shè)，則，，，設(shè)，可得，由，，故當(dāng)時(shí)，與函數(shù)相切于點(diǎn)，結(jié)合圖象可知當(dāng)直線與平行或重合時(shí)，與有一個(gè)公共點(diǎn)，即存在時(shí)，對(duì)都能使得函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，不存在使得函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故D不正確.故選：BC三、填空題21．在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是___________.【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可直接寫出含項(xiàng)的系數(shù)，求得答案.【詳解】由題意得，在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為,故答案為：22．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M，N分別從A，F(xiàn)出發(fā)沿對(duì)角線AC，F(xiàn)B勻速移動(dòng)，已知彈子N的速度是彈子M的速度的2倍，且當(dāng)彈子N移動(dòng)到B處時(shí)試驗(yàn)中止.則活動(dòng)彈子M，N間的最短距離是___________.【答案】【分析】設(shè)出與長(zhǎng)度，根據(jù)已知的面面垂直得到，再利用余弦定理與勾股定理求得的長(zhǎng)度表達(dá)式，即可得到最小值.【詳解】過(guò)點(diǎn)M做MH垂直AB于H，連接NH，如圖所示，因?yàn)槊婷?，面面，，則面，面，所以.由已知彈子N的速度是彈子M的速度的2倍，設(shè)，則，因?yàn)?，為正方形，，則，，所以所以，，由余弦定理可得所以，當(dāng)時(shí)，，所以,故答案為：.四、雙空題23．已知函數(shù)，則___________；的定義域是___________.【答案】

3

【分析】根據(jù)解析式直接求函數(shù)值，再由二次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)和對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，列不等式組求解即可.【詳解】，.由可得，，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：3；.24．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲6次，正面朝上得2分，反面朝上得-1分，用X表示拋擲6次后得到的總分，則___________；___________.【答案】

3【分析】表示6次均是正面朝上，繼而算出；設(shè)正面朝上的次數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，且，繼而算出.【詳解】由題意，拋一枚均勻的硬幣，正反面朝上的概率均為，所以將一枚均勻的硬幣重復(fù)拋擲6次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，且，表示6次均是正面朝上，所以；又因?yàn)?，所?故答案為：；325．已知函數(shù)，，,則___________；最小值為_(kāi)__________.【答案】

1

1【分析】第一空，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入，即可求得a的值；第二空，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)最小值.【詳解】由題意得：，，故；則，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故，故答案為：1；126．中，，，，___________；AC=___________.【答案】

；

【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可求出，再由正弦定理求出即可.【詳解】，B為三角形內(nèi)角，，由正弦定理可得，即故答案為：；.五、解答題27．設(shè)函數(shù)，.(1)求的值；(2)從下述問(wèn)題①?問(wèn)題②?問(wèn)題③中選擇一個(gè)進(jìn)行解答.問(wèn)題①：當(dāng)時(shí)，求的值域.問(wèn)題②：求的單調(diào)遞增區(qū)間.問(wèn)題③：若，且，試求的值.注：作答時(shí)首先說(shuō)明選擇哪個(gè)問(wèn)題解答；如果選擇多個(gè)問(wèn)題解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)1(2)選①：；選②：；選③：或.【分析】（1）三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，代入求值即可；（2）選①：利用圖象求解函數(shù)值域；選②：整體法求解函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；選③：計(jì)算得到，結(jié)合，求出的值.【詳解】(1)，(2)選①：當(dāng)時(shí)，，則，故；選②：令，解得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；選③：若，且，試求的值.，解得：，因?yàn)?，所以，故或，解得：?8．如圖，在三棱錐中，側(cè)面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，，BC=2，AB=4.(1)求證：；(2)記二面角的平面角為，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明平面PAC,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）求得相關(guān)線段的長(zhǎng)，作輔助線，作出二面角的平面角，解直角三角形求得答案.【詳解】(1)證明：因?yàn)?側(cè)面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC,平面PAC平面ABC=AC,平面ABC,故平面PAC,而平面PAC，故；(2)由勾股定理得,側(cè)面PAC是正三角形，故,由平面PAC,則,則,又,故設(shè)PA中點(diǎn)為D,連接CD,BD,則,故即為二面角的平面角，在直角三角形BCD中，，故記二面角的平面角為,則.29．已知，，.(1)證明：（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(2)若方程有解，求a的范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)或.【分析】（1）作差后，分析差的正負(fù)，即可證明；（2）分離參數(shù)，討論可得分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及均值不等式分別求解即可.【詳解】(1)(2)由可得，，即當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)為減函數(shù)可得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；綜上，a的取值范圍為或.30．去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中6萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，14萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理，為了確定處理生活垃圾的十年預(yù)算，預(yù)計(jì)從今年起，每年生活垃圾的總量遞增5%，同