2021-2022學年浙江省杭州市八縣市區(qū)高二下學期期末數(shù)學試題解析版

2021-2022學年浙江省杭州市八縣市區(qū)高二下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集運算求解.【詳解】,，.故選：B2．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用復數(shù)的除法法則將復數(shù)表示為一般形式，再利用復數(shù)求模公式即可.【詳解】，.故選：C3．已知平面??滿足：，，則“”是“”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】判斷當時，有可能相交，故不能推出，反之成立，由此可判斷答案.【詳解】由題意，，，則不能推出，因為有可能相交，如圖示三棱柱，當時，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，因此“”是“”的必要不充分條件，故選：B4．已知，為第三象限角，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關系求解即可【詳解】因為，故，即，，所以，因為為第三象限角，故故選：D5．正實數(shù)a，b滿足ab=1，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．5 D．8【答案】B【分析】利用基本不等式，可直接求得答案.【詳解】由題意得：，，故，當且僅當時取等號，故選：B6．為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將這種新飲料每6罐裝成一箱，其中每箱中都放置了2罐能夠中獎的飲料.若從一箱中隨機抽出1罐，則能中獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】因為一箱中有6罐飲料，其中有2罐能夠中獎的飲料，所以從一箱中隨機抽出1罐，則能中獎的概率為.故選：A7．袋子中有9個材質(zhì)與大小都相同的小球，其中6個白球，3個紅球，每次從袋子中隨機摸出1個球且不放回，則兩次都摸到白球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算兩次不放回摸球的結果可能性的種數(shù)，再計算出兩次都摸到白球的可能種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式求得答案.【詳解】由題意可得兩次不放回摸球的結果可能性有種，兩次都摸到白球的可能有種故兩次都摸到白球的概率是,故選：C8．某學校高一?高二?高三3個年級共有1080名學生，其中高一年級學生540名，高二年級學生360名，為了解學生身體狀況，現(xiàn)采用分層隨機抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中高二學生有32人，則該樣本中高三學生人數(shù)為（

）A．54 B．48 C．32 D．16【答案】D【分析】先求得樣本容量，再根據(jù)分層抽樣的比例，即可求得答案.【詳解】由題意可知，抽取的樣本容量為，則樣本中高三學生有人，故選:D9．正六邊形ABCDEF中，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加法法則和進行求解.【詳解】如圖，由題意得：，可以得到故選：A10．十六?十七世紀之交，隨著天文?航海?工程?貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當務之急.蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化大數(shù)運算而發(fā)明了對數(shù)，后來瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關系，即（且），已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)互化以及換底公式，對數(shù)的運算即可求解.【詳解】因為，所以，又因為，所以，故選：B.11．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱作鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面ABC，是以點B為直角頂點的等腰直角三角形，且，則異面直線BC與SA所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】將底面補形為正方形，找到異面直線BC與SA所成角的平面角，在求解即可.【詳解】作正方形，連接SD，則異面直線BC與SA所成角的平面角為（或其補角），如圖所示由已知有平面ABC，所以又因為，則面SCD，因為,所以面SCD，所以，設則，，，則，所以故選：C.12．過點（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結合得到過點作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，利用點到直線距離求出直徑，設，列出方程組，求出圓心坐標，得到圓的方程.【詳解】過點作直線的垂線，垂足為，則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，其中，設，則，解得：，故的中點，即圓心為，即，故該圓為故選：B13．平面向量，滿足，，記，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的模與向量數(shù)量積運算法則，先求出的范圍，進而求得的最大值.【詳解】因為，，所以，，即，所以，當且僅當?shù)忍柍闪?，因為所以的最大值為，故選：A.14．如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h（厘米）由如下關系式確定：，，.已知當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在秒時h的值為（

）A．-2 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動可求得，進而求得h的解析式，再代入求解即可【詳解】因為當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，故，即，又，故，故，故當時，故選：D15．如圖，在直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，，N為棱上的中點，M為棱上的動點，過N作平面ABM的垂線段，垂足為點O，當點M從點C運動到點時，點O的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件先判斷出點的軌跡為圓的一部分，再由弧長公式求解即可.【詳解】取AB中點P，連接PC，C1N，如圖，因為PC⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面=PM，過N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，當點M從點C運動到點C1時，點是以PN為直徑的圓(部分)，如圖，當M運動到點時，點到最高點，此時，所以，從而，所以弧長，即點的軌跡長度為.故選:B16．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可計算，構造函數(shù)，可證明其為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，由此將化為，求得答案.【詳解】由可知，，故，即，令，則，即為奇函數(shù)，因為函數(shù)為R上的單調(diào)增函數(shù)，為R上的單調(diào)減函數(shù)故為單調(diào)增函數(shù)，則也單調(diào)遞增；不等式，即，即，故，即解集為，故選:A二、多選題17．下列說法中正確的是（

）A．觀察成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖可以直觀推斷兩個變量的相關關系B．樣本相關系數(shù)r的取值范圍是[-1，1]，則越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強C．對于經(jīng)驗回歸方程，當解釋變量x增加1個單位時，響應變量平均增加2個單位D．：2×2分類變量X和Y獨立.通過列聯(lián)表計算得到的值，則數(shù)值越大越能推斷分類變量X和Y有關聯(lián)【答案】ABD【分析】根據(jù)散點圖可判斷變量的相關關系判斷A，由相關系數(shù)的意義可判斷B，根據(jù)回歸直線方程的意義可判斷C，根據(jù)的意義可判斷D.【詳解】由散點圖可以直觀推斷兩個變量的相關關系，故A正確；根據(jù)樣本相關系數(shù)r的意義可知越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強，故B正確；由回歸方程可知變量x增加1個單位時，響應變量平均減少2個單位，故C不正確；當獨立性檢驗時，的值越大越能推斷分類變量X和Y有關聯(lián)正確，故D正確.故選：ABD18．某校為了解高二年級學生某次數(shù)學考試成績的分布情況，從該年級的760名學生中隨機抽取了100名學生的數(shù)學成績，發(fā)現(xiàn)都在[80，150]內(nèi).現(xiàn)將這100名學生的成績按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分組后，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）A．頻率分布直方圖中a的值為0.03B．樣本數(shù)據(jù)低于120分的頻率為0.3C．總體的中位數(shù)（保留1位小數(shù)）估計為123.3分D．總體分布在[90，100）的頻數(shù)一定與總體分布在[100，110）的頻數(shù)相等【答案】AC【分析】由頻率分布直方圖先計算出值，判斷A，然后計算頻率判斷B，由頻率分布直方圖計算中位數(shù)判斷C，根據(jù)頻率判斷D．【詳解】由頻率分布直方圖，，解得，故A正確；樣本數(shù)據(jù)不低于120分的頻率為，因此低于分的頻率為，故B錯誤；分數(shù)低于120分的頻率為，因此中位數(shù)在這一組，設中位數(shù)為，則，解得，故C正確；樣本分布在與的頻率相等，所以頻數(shù)相等，但總體分布在與頻數(shù)只能大致相等但不一定相等，故D錯誤．故選：AC19．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.點F為邊AB中點，若點E為邊CD上的動點，則（

）A．三角形EAB面積的最小值為 B．當點E為邊CD中點時，C． D．的最小值為【答案】AB【分析】根據(jù)特殊位置可求三角形面積最小值判斷A，當E為CD中點時，利用向量線性運算可判斷B，取E在D點時計算可判斷C，計算后根據(jù)向量的運算性質(zhì)可判斷D.【詳解】由題，當E在D點時，取得最小值，，故A項正確；當E為CD中點時，，又因為，所以，故B項正確；當E在D點時，由余弦定理計算可得，所以，故C項錯誤；因為，而，所以，又,所以，故D項錯誤.故選:AB20．已知函數(shù)，，則（

）A．，函數(shù)沒有零點B．，函數(shù)恰有三個零點C．，函數(shù)恰有一個零點D．，函數(shù)恰有兩個零點【答案】BC【分析】作出的圖象，問題轉化為直線與圖象交點個數(shù)問題，數(shù)形結合求解即可.【詳解】如圖，作出函數(shù)的圖象，的零點問題可轉化為與的交點問題，由圖象可知，與圖象總會有交點，至少有一個交點，故A錯誤；由圖象可知，與圖象可以有3個交點，即函數(shù)有三個零點，故B正確；設，則，，，設，可得，由，，故當時，與函數(shù)相切于點，結合圖象可知當直線與平行或重合時，與有一個公共點，即存在時，對都能使得函數(shù)恰有一個零點，故C選項正確；當時，不存在使得函數(shù)恰有兩個零點，故D不正確.故選：BC三、填空題21．在的展開式中，含項的系數(shù)是___________.【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式可直接寫出含項的系數(shù)，求得答案.【詳解】由題意得，在的展開式中，含項的系數(shù)為,故答案為：22．在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別從A，F(xiàn)出發(fā)沿對角線AC，F(xiàn)B勻速移動，已知彈子N的速度是彈子M的速度的2倍，且當彈子N移動到B處時試驗中止.則活動彈子M，N間的最短距離是___________.【答案】【分析】設出與長度，根據(jù)已知的面面垂直得到，再利用余弦定理與勾股定理求得的長度表達式，即可得到最小值.【詳解】過點M做MH垂直AB于H，連接NH，如圖所示，因為面面，面面，，則面，面，所以.由已知彈子N的速度是彈子M的速度的2倍，設，則，因為，為正方形，，則，，所以所以，，由余弦定理可得所以，當時，，所以,故答案為：.四、雙空題23．已知函數(shù)，則___________；的定義域是___________.【答案】

3

【分析】根據(jù)解析式直接求函數(shù)值，再由二次根式的被開方數(shù)非負和對數(shù)的真數(shù)大于零，列不等式組求解即可.【詳解】，.由可得，，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：3；.24．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復拋擲6次，正面朝上得2分，反面朝上得-1分，用X表示拋擲6次后得到的總分，則___________；___________.【答案】

3【分析】表示6次均是正面朝上，繼而算出；設正面朝上的次數(shù)為，則服從二項分布，且，繼而算出.【詳解】由題意，拋一枚均勻的硬幣，正反面朝上的概率均為，所以將一枚均勻的硬幣重復拋擲6次，設正面朝上的次數(shù)為，則服從二項分布，且，表示6次均是正面朝上，所以；又因為，所以;故答案為：；325．已知函數(shù)，，,則___________；最小值為___________.【答案】

1

1【分析】第一空，求出函數(shù)的導數(shù)，將代入，即可求得a的值；第二空，判斷導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)最小值.【詳解】由題意得：，，故；則，當時，，遞減，當時，，遞增，故，故答案為：1；126．中，，，，___________；AC=___________.【答案】

；

【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可求出，再由正弦定理求出即可.【詳解】，B為三角形內(nèi)角，，由正弦定理可得，即故答案為：；.五、解答題27．設函數(shù)，.(1)求的值；(2)從下述問題①?問題②?問題③中選擇一個進行解答.問題①：當時，求的值域.問題②：求的單調(diào)遞增區(qū)間.問題③：若，且，試求的值.注：作答時首先說明選擇哪個問題解答；如果選擇多個問題解答，按第一個解答計分.【答案】(1)1(2)選①：；選②：；選③：或.【分析】（1）三角恒等變換化簡得到，代入求值即可；（2）選①：利用圖象求解函數(shù)值域；選②：整體法求解函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；選③：計算得到，結合，求出的值.【詳解】(1)，(2)選①：當時，，則，故；選②：令，解得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；選③：若，且，試求的值.，解得：，因為，所以，故或，解得：或28．如圖，在三棱錐中，側面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC，，BC=2，AB=4.(1)求證：；(2)記二面角的平面角為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面PAC,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結論；（2）求得相關線段的長，作輔助線，作出二面角的平面角，解直角三角形求得答案.【詳解】(1)證明：因為,側面PAC是正三角形，且垂直于底面ABC,平面PAC平面ABC=AC,平面ABC,故平面PAC,而平面PAC，故；(2)由勾股定理得,側面PAC是正三角形，故,由平面PAC,則,則,又,故設PA中點為D,連接CD,BD,則,故即為二面角的平面角，在直角三角形BCD中，，故記二面角的平面角為,則.29．已知，，.(1)證明：（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)若方程有解，求a的范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)或.【分析】（1）作差后，分析差的正負，即可證明；（2）分離參數(shù)，討論可得分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及均值不等式分別求解即可.【詳解】(1)(2)由可得，，即當時，，由函數(shù)為減函數(shù)可得；當時，，當且僅當時等號成立，故；當時，，即，當且僅當時等號成立；綜上，a的取值范圍為或.30．去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中6萬噸垃圾以填埋方式處理，14萬噸垃圾以環(huán)保方式處理，為了確定處理生活垃圾的十年預算，預計從今年起，每年生活垃圾的總量遞增5%，同