2021屆全國(guó)卷地區(qū)超級(jí)全能生高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)文試題丙卷解析版

2021屆全國(guó)卷地區(qū)“超級(jí)全能生”高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（丙卷）一、單選題1．已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，先將集合A中每個(gè)元素代入集合B的函數(shù)中求出y，再求并集即可.【詳解】本題考查集合的并集運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).∵，，∴，元素個(gè)數(shù)為6.故選：A.2．復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算得，進(jìn)而得z的虛部為，即可得答案.【詳解】解：，故z的虛部為，故選：B．3．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用冪指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)即可比較大小.【詳解】，，，故選：D．4．如圖所示的扇形是某個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，已知扇形所在圓的半徑，扇形弧長(zhǎng)，則該圓錐的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算出圓錐底面圓的半徑，然后根據(jù)表面積等于側(cè)面積加上底面積求解出表面積的結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，則，解得，∴圓錐的表面積，故選：B.5．若過(guò)函數(shù)圖象上一點(diǎn)的切線與直線平行，則該切線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于切線與直線平行，所以可得，從而可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程【詳解】解：由題意，求導(dǎo)函數(shù)可得，∵切線與直線平行，∴，∴，∴切點(diǎn)P坐標(biāo)為，∴過(guò)點(diǎn)P且與直線平行的切線方程為，即．故選：C．6．在中角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先結(jié)合正弦定理角化邊，然后由余弦定理求出角，結(jié)合均值不等式求出的最大值，從而求出面積的最大值.【詳解】由題結(jié)合正弦定理角化邊得.由余弦定理得.又，則.由基本不等式得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的面積的最大值，故選：B.7．五行學(xué)說(shuō)最早出現(xiàn)在黃老?道家學(xué)說(shuō)中，據(jù)《尚書(shū)·洪范》記載：“五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土.水曰潤(rùn)下，火曰炎上，木曰曲直，金曰從革，土曰稼穡.潤(rùn)下作咸，炎上作苦，曲直作酸，從革作辛，稼穡作甘.”后人根據(jù)對(duì)五行的認(rèn)識(shí)，又創(chuàng)造了木?火?土?金?水五行相生相克理論，如金與木?金與火?水與火?水與土?土與木相克，若從5大類(lèi)元素中任選2類(lèi)，則2類(lèi)元素相克的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型公式求解即可【詳解】從木、火、土、金、水中任選2個(gè)，有木火、木土、木金、?木水、火土、火金、火水、土金、土水、金水，共10種情況，其中五行相克的有木土、木金、火金、火水、土水，共5種情況，所以所求的概率，故選：D8．已知向量，，，，則的值為（）A． B． C．2 D．10【答案】C【分析】先求出的坐標(biāo)，再借助向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因，，則，而，，于是得，即，解得，所以的值為2.故選：C9．已知雙曲線：(，)的左?右焦點(diǎn)分別為，，為左支上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合雙曲線的定義以及在中利用余弦定理可以求出的關(guān)系，進(jìn)而可以求得離心率.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義知，∴，又，∴，即，∴，即，∴雙曲線的離心率為，故選：D.10．已知函數(shù)()的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)圖象平移求解出的解析式，最后根據(jù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求得關(guān)于的等式，從而的最小正值可求.【詳解】∵∴.又的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，，∴()，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：B.11．如圖，在四棱錐中，是正方形的中心，底面，，，則四棱錐內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先求出幾何體的體積，再結(jié)合等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可求解.【詳解】由題可知,該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都為，連接.底面，.，，，.設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，球心為，由，得，即，解得，故四棱錐內(nèi)切球的體積為.故選：B.12．已知橢圓：的兩個(gè)頂點(diǎn)在直線上，，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，則的值為（）A．- B． C．- D．-【答案】A【分析】根據(jù)題意求出，，進(jìn)而寫(xiě)出橢圓的方程，設(shè)點(diǎn)的切線方程為，與橢圓聯(lián)立，由得到，然后依次表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式表示出，進(jìn)而化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果.【詳解】∵橢圓的兩頂點(diǎn)在直線上，∴，，∴橢圓的方程為，∴，，設(shè)點(diǎn)的切線方程為，，聯(lián)立，消去得，∵直線與橢圓相切，∴，即，∴，，∴，∴點(diǎn)，又，∴，∴，設(shè)點(diǎn)，又在切線上，∴，∴，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．二、填空題13．若x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)__．【答案】4【分析】由約束條件作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)使得直線縱截距最大從而求得結(jié)果.【詳解】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得．化為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．故答案為：4．14．某社區(qū)為了解本社區(qū)中老年人鍛煉身體的方式，在全社區(qū)范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分中老年人，了解到鍛煉方式有：-走路?-騎行?-打球?-其他方式，且統(tǒng)計(jì)得知走路鍛煉占45%，并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制得到如圖所示不完整的統(tǒng)計(jì)圖，則打球鍛煉的人數(shù)為_(kāi)__________.【答案】120【分析】首先根據(jù)走路鍛煉的人數(shù)占總體的比例，求出總?cè)藬?shù)，然后即可求出結(jié)果.【詳解】由條形統(tǒng)計(jì)圖可知走路鍛煉的有360人，且占總體的45%，所以抽查360的總?cè)藬?shù)為(人)，所以打球鍛煉的人數(shù)為(人).故答案為：120.15．已知角，，若，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)的范圍確定的范圍，然后求出和，將變形為，結(jié)合兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】∵，，∴，，又，，∴∴，，∴.故答案為：.16．已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到是偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和奇偶性得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以是偶函?shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減.所以，即，所以，即，解得或.故答案為：.三、解答題17．在遞增的等比數(shù)列中，，是一元二次方程的根.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）()；（2）.【分析】（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)及一元二次方程求出，，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組可求出首項(xiàng)與公比，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列的定義及前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.∵，是一元二次方程的兩個(gè)根且數(shù)列是遞增數(shù)列，∴，.由得∴().（2）設(shè)，由（1）知，∴.又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴.18．實(shí)施新規(guī)后，某商場(chǎng)2020年1月份至10月份的收入情況如表.月份12345678910收入(萬(wàn)元)10121513161715161620并計(jì)算得，，，.（1）是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(當(dāng)時(shí)，那么變量，有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系)（2）建立關(guān)于的回歸方程(結(jié)果保留1位小數(shù))，并預(yù)測(cè)該商場(chǎng)12月份的收入情況.(結(jié)果保留整數(shù))附：，，.【答案】（1）與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型擬合，說(shuō)明答案見(jiàn)解析；（2），預(yù)測(cè)該商場(chǎng)12月份的收入為20萬(wàn)元.【分析】（1）由題中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)，即可作出判斷；（2）由題中數(shù)據(jù)及（1）中結(jié)果計(jì)算出，，即可得出關(guān)于的回歸方程，再把代入即可求解.【詳解】（1）由題中數(shù)據(jù)得，，，于是得，又，從而，，所以與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型擬合；（2）由(1)知，而，，從而得，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，從而預(yù)測(cè)該商場(chǎng)12月份的收入為20萬(wàn)元.19．如圖，在直四棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，底面是菱形，且，，.（1）證明：；（2）求到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】(1)連接，，由線面垂直的判定定理可證平面，進(jìn)而可明；(2)利用等體積法，，即可求解.【詳解】(1)證明：連接，.四邊形是菱形，，.又是的中點(diǎn)，.又，.是直四棱柱，平面.又平面，.又，平面.又平面，.(2)，菱形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，，.又是直四棱柱，側(cè)棱長(zhǎng)為4，為的中點(diǎn)，.由(1)知，，.設(shè)到平面的距離為.平面，，即，解得，即到平面的距離為.20．(，).（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，即可得證；（2）對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可得證.【詳解】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，，則.由得，由得，所以在上單調(diào)遞增；由得，所以在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，也是最小值，最小值，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.（2）當(dāng)時(shí)，()，則，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，，所以存在，使得，即存在兩個(gè)零點(diǎn)，1，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).21．已知拋物線：()的焦點(diǎn)與雙曲線：右頂點(diǎn)重合.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，是拋物線的焦點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解；（2）設(shè)，及直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，由判別式?韋達(dá)定理得出，，結(jié)合已知條件求出的值，即可求得直線的方程.【詳解】（1）由題設(shè)知，雙曲線的右頂點(diǎn)為，∴，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，顯然直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由得，即，∴，.又∵，，∴，∴，即，解得或，∴直線的方程為或.22．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的極坐標(biāo)方程為（）．（1）求曲線C的參數(shù)方程，若曲線C過(guò)原點(diǎn)O，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根據(jù)，可得，再由圓的參數(shù)方程可得，將原點(diǎn)代入可求a的值.（2）將代入曲線C的極坐標(biāo)方程，由，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】解：（1）將，代入，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為，∴曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．∵曲線C過(guò)原點(diǎn)O，∴，得；（2）當(dāng)時(shí)，曲線C的極坐標(biāo)方程為，將代入，得．設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑分