高中數(shù)學(xué)人教A版高中選修4-4第二講參數(shù)方程-高中數(shù)學(xué)極坐標(biāo)與參數(shù)方程

極坐標(biāo)與參數(shù)方程

極坐標(biāo)與參數(shù)方程在高考中常以選做題的形式出現(xiàn),在知識上結(jié)合解析幾何,考查學(xué)生曲線方程的轉(zhuǎn)化能力，

以及解析幾何的初步技能。題目難度不大，但需要學(xué)生能夠快速熟練的解決問題

一、基礎(chǔ)知識：

（-）極坐標(biāo)：

1、極坐標(biāo)系的建立：以平面上一點(diǎn)為中心（作為極點(diǎn)），由此點(diǎn)引出一條射線，稱為極軸，這樣就建立了一個(gè)極

坐標(biāo)系

2、點(diǎn)坐標(biāo)的刻畫：用一組有序?qū)崝?shù)對（2,。）確定平面上點(diǎn)的位置，其中「代表該點(diǎn)到極點(diǎn)的距離，而。表示極

軸繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至過該點(diǎn)時(shí)轉(zhuǎn)過的角度，通常：夕＞0,6G[0,2%）

3、直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系坐標(biāo)的互化：如果將極坐標(biāo)系的原點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸重合，則

x=pcos6

同一個(gè)點(diǎn)可具備極坐標(biāo)（夕,夕）和直角坐標(biāo)（x,y）,那么兩種坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化公式為：＜y=0sin。，由點(diǎn)組成的

[p-9^x-2+y2

直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程也可按照此法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

例如：極坐標(biāo)方程夕cos（9+Qsin（9=l=x+y=l（在轉(zhuǎn)化成時(shí)要設(shè)法構(gòu)造Qcose,/?sin9,然后進(jìn)行

整體代換即可）

（-）參數(shù)方程:

X=/（/）

1、如果曲線R（x,y）=0中的變量x,y均可以寫成關(guān)于參數(shù)/的函數(shù)，;就稱為該曲線

[y=g（。

的參數(shù)方程，其中f稱為參數(shù)

2、參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化：消參法

x=t+3

（1）代入消參:=>y-2+3（x-3）

y=2+3r

1

x=t+-

一=/+1+2可得：/=>+2

整體消參：]由

（3）平方消參：利用sit?6+cos?6=1消去參數(shù)

x

—=cos0n2

x-3cos63x2

例如：?=><=>一Tb—==1

y=2sin62=sin。94

12

3、常見圖形的參數(shù)方程：

,、2,、2,[x=a+rcos0、

（1）圓：（工一。）~+（y一人）一=/的參數(shù)方程為：J,。€r0,2萬），其中。為參數(shù)

22x=acos0「、

（2）橢圓：2r+方=1（。>〃>0）的參數(shù)方程為<，0,2〃），其中。為參數(shù),

y=bsin0

x=a+tcos0

（3）直線：過M（a,。）,傾斜角為6的直線參數(shù)方程為《teR,其中M代表該點(diǎn)與M的距離

y=b+tsin0

注：對于極坐標(biāo)與參數(shù)方程等問題，通常的處理手段是將方程均轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程，然后利用傳

統(tǒng)的解析幾何知識求解

二、典型例題：

（1）轉(zhuǎn)換為普通方程解答

x=/+3x—2cos0

例1：已知直線參數(shù)方程為1，圓C的參數(shù)方程為1,則圓心到直線的距離為_____________

y-3-t[y=2sin6+2

思路：將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程：/:x+y=6,C:x2+（y—2）2=4

所以圓心為（0,2）,到直線的距離為：1=艮郭=2及

答案：272

例2：已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中圓C的參數(shù)方程為：1*=6+3COS。，以0r為極軸建立極坐標(biāo)系，直線

y=l+3sin6

極坐標(biāo)方程為°cos（e+?）=o,則圓c截直線所得弦長為

思路：圓。的方程為：（x—Gy+（y—1）2=9,對于直線方程0cos+.）=0,無法直接替換為x,y,需

構(gòu)造/?COS。,/?sing再進(jìn)行轉(zhuǎn)換：+=0

（73A1.z11n61八

=>p——cos9——sinJ=0n——x——y=0

（22）22

再求出弦長即可：/=4近

答案：472

例3：以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，已知直線的極

坐標(biāo)方程為。=一（夕ER）,它與曲線1—（a為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)AB,則|A@=—

4'[y=2+2sina

jr

思路：先將兩個(gè)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程。對于。=一，這種特殊的極坐標(biāo)方程可以考慮數(shù)形結(jié)合

4

來確定直線：即/:y=x,曲線消參后可得：（％—1）2+（丁-2）2=4即圓心是0（1,2）,半徑為2的圓，所以

%-/=+=乎,|陰=2"-

答案：V14

TT

小煉有話說：對于形如。=—的極坐標(biāo)方程，可以作出圖像并根據(jù)圖像得到直角坐標(biāo)方程，或者可以考慮對。賦

4

予三角函數(shù)，然后向直角坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

71sin。<psindy

0=—=>tan6=1=>---=1^>—----=l=>—=\^y=x

4cos。pcos。x

（2）利用普通方程和極坐標(biāo)方程幾何意義解答

7T

例4：已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為G：夕COS6=3，G：Q=4COS。，其中220,0?。<,，則曲線G，G交

點(diǎn)的極坐標(biāo)為

思路一：按照傳統(tǒng)思路，將6，。2轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后再轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)

解：G：夕cos6=3nx=3

122

C2:p=4cos。=>p=4/7COS。=>x+y=4x

x=3x=3x=3

*v—S<v

x2+y2=4xy=V3y=-y/3

將兩個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)分別為-看），因?yàn)椤?0,0所以只有126總符合條件

思路二：觀察到所給方程G：0cos6=3,C2：0=4cos6形式簡單，且所求也為極坐標(biāo)，所以考慮直接進(jìn)行極

坐標(biāo)方程聯(lián)立求解

解：1代入消去?可得：4cos-。=3=cos。=±——

p=4cos6?2

0e0,->1/.cos0--=>3--

2J26

反思：（1）思路一中規(guī)中矩，但解題過程中要注意原極坐標(biāo)方程對0,6的限制條件

（2）思路二有些學(xué)生會對聯(lián)立方程不很適應(yīng)，要了解到極坐標(biāo)中的本身是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于它們的方程與

方程一樣，都是實(shí)數(shù)方程，所以可以用實(shí)數(shù)方程的方法去解根，只是由于其具備幾何含義（尤其。）導(dǎo)致方程形

式有些特殊（數(shù)與三角函數(shù)）。但在本題中，通過代入消元還是容易解出的

例5：已知在極坐標(biāo)系中，0為極點(diǎn)，圓C的極坐標(biāo)方程為夕=4sin[e+,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4,，則,。CP

的面積為____________

思路一：將〉C轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系方程：

p=4sinl^+―I=>夕=2sin6+26cos。np~=2ps\n0+2\!?>pcos6

=>x2+y2=2\/3x+2y=>y-1）2=4,所以C（G』），再求出P的直角坐標(biāo)為僅26），則

\GI-I2V3—65/3!

S0CP--|OC|-dp_oc,因?yàn)?。C:y=—x=>yJ3x-3y=0,所以dp_oc=-------r=——-=2,且|OC|=2,

232A/3

所以S=--2-2=2

n0CrpP2

71

思路二：本題求出c（省,1）后，發(fā)現(xiàn)其極坐標(biāo)為12,看），而P[4,,所以可結(jié)合圖像利用極坐標(biāo)的幾何含義

jrjr-rrI

求解，可得NC0P=§—w=|OC|=2,3=4,所以S℃p=#C|?|0PkinC0P=—?2?4?sin—=2

26

答案：Socp=2

反思：（1）在思路一中面積的求法用向量求解還可以更為簡單:

OC=（G1）,OP=（2,@,所以5"戶=丫（|0。0尸『_（".0尸『，代人即可

（2）思路二體現(xiàn)了極坐標(biāo)本身具備幾何特點(diǎn)，即長度（0）與角（。），在解決一些與幾何相關(guān)的問題時(shí)，靈活

運(yùn)用極坐標(biāo)的幾何含義往往能達(dá)到出奇制勝的效果

（3）直線參數(shù)方程的幾何意義解答

[°O

x=2------1

例6：在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為4「，（其中，為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸

V=-14-----1

V2

2

正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=/，設(shè)點(diǎn)M（2,-l）,曲線G，G交于

Vl+3sin2^

A,B,求的值

2

思路'一：將G,G轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下普通方程：G：y=—x+1,G:p=―/龍~+4,2=4,

Vl+3sin2^

聯(lián)立方程，解出A,6坐標(biāo)，再求出即可

0a

x=2----1/

2x-2

解：c,「n------------=-1=>y=-x4-1

?也y+i

y=-1+——t

.2

2I_________

G：夕=j——npVl+3sin2^=2=>p2（1+3sin2。）=4=>°?+3p2sin20=4x2+4y2=4

Vl+3sin26>''

x2+4y2=4

nf+4（T+I）2=4

y=-x+1

/.5x2-8x=0設(shè)4（工“1）,8（尤2，%）

8

Xj=08_3

:.<A（0,l）,6

35，-5

y1=1

：.\AM\^2>j2,\BM\=^y/2.-.|AM|?|BA/|=|

思路二：觀察到恰好是直線G參數(shù)方程的定點(diǎn)，且所求恰好是A8到M的距離，所以聯(lián)系到直線參

數(shù)方程中參數(shù)f的幾何含義。只需求得對應(yīng)參數(shù)4,L的乘積即可

C夜

玉=2--—tiX2=2~~Z2

2

解：設(shè)4（為,必），則有?「，B（x2,y2）,則有?

.V2.V2

M=-1+-11丫2=-1+—？2

代入到。2：/+4y2=1中可得:

[伍烏2]）"口[+2>）4

（72YrV2Y

2----1.+4-1+—L=4

2J2?

所以乙,％是方程2-」一『+4-1+—Z=4的兩根，整理可得：

、2JI2,

2

-r-6V2r+4=0-|MB|=|r/2|=|

,..8

答案：一

5

反思：（1）思路一體現(xiàn)了處理線段模長乘積時(shí)，可觀察涉及線段是否具備共線特點(diǎn)，如果具備可以將其轉(zhuǎn)化為向

量的數(shù)量積，從而簡化運(yùn)算，但要注意與圖像結(jié)合，看好向量是同向還是反向

（2）思路三體現(xiàn)了對直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何含義的巧用。在處理兩條曲線（其中一條為參數(shù)方程）的交點(diǎn)問

題時(shí)，可以將參數(shù)代換掉另一曲線中的得到關(guān)于參數(shù)的方程。另外在使用直線參數(shù)方程時(shí)，要注意參數(shù)前面

的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正余弦值。否則參數(shù)不具備幾何含義。例如本題中如果G參數(shù)方程為

X=2—>p2.t??/、

\,則M并不代表點(diǎn)到M（2,—1）的距離。

y=-1+yJ2t

三、歷年好題精選

1、已知直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《x一-t~「~3。為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)。為極點(diǎn),

y=J3f

x軸的非負(fù)半軸為極軸，圓C的極坐標(biāo)方程為02-4/?cose+3=O,則圓心C到直線/的距離為

2、（2023,北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)2,（到直線p（cose+J§sin6）=6的距離為

3、（2023,廣東）己知直線/的極坐標(biāo)方程為2psin（e—?卜J5,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為?2血,彳），則點(diǎn)A到

直線/的距離為

x=tcosa

4、（2023,新課標(biāo)II）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線（/為參數(shù)，iwO）,其中04&<乃，在以

[y=tsina

。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線。2：P=2sin6,C3：2=2gcos。

（1）求。2，。3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)

（2）若G，G相交于點(diǎn)A，6，。3相交于點(diǎn)3,求恒國的最大值

5、（2023,陜西）在直角坐標(biāo)系，中，直線/的參數(shù)方程為?（f為參數(shù)）,以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，，。的極坐標(biāo)方程為°=26sge

（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程

（2）P為直線/上一動點(diǎn)，當(dāng)尸到圓心C的距離最小時(shí)，求尸的直角坐標(biāo)

習(xí)題答案：

573

1、答案:

解析：可知直線/的方程為：y=G（x+3）=JIr-y+36=0,圓的直角坐標(biāo)方程為

x2+y1-4x+3=0=>(x-2)2+y21,所以圓心到直線的距離為d

2、答案：1

解析：點(diǎn)2,?化為直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為直線方程為x+百y-6=0,從而該點(diǎn)到直線的距離為

八戶3-6:

1+（可

3、答案：—

2

解析：直線/:②sin。一何cose=J^npsin。一夕cos6=l,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為y—x=l,點(diǎn)4的

|2-(~2)+1|_5夜

直角坐標(biāo)為（2,-2），則A到直線的距離為d

V2-2

1222

4、解析：（1）曲線。2，。3的直角坐標(biāo)方程分別為: