專題06 二次函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）-二輪基礎(chǔ)過關(guān)與直擊中考

專題06二次函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用問題專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)|直擊中考】1．（2021·山東泰安市·中考真題）將拋物線的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的拋物線必定經(jīng)過（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)平移性質(zhì)“左加右減，上加下減”，得出將拋物線的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的拋物線的解析式，代入求值即可.【詳解】解：將拋物線化為頂點(diǎn)式，即：，將拋物線的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，根據(jù)函數(shù)圖像平移性質(zhì)：左加右減，上加下減得：，A選項(xiàng)代入，，不符合；B選項(xiàng)代入，，符合；C選項(xiàng)代入，，不符合；D選項(xiàng)代入，，不符合；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖像平移的性質(zhì)，一般先將函數(shù)化為頂點(diǎn)式：即的形式，然后按照“上加下減，左加右減”的方式寫出平移后的解析式，能夠根據(jù)平移方式寫出平移后的解析式是解題關(guān)鍵．2．（2021·上海中考真題）將拋物線向下平移兩個(gè)單位，以下說法錯(cuò)誤的是（）A．開口方向不變 B．對(duì)稱軸不變 C．y隨x的變化情況不變 D．與y軸的交點(diǎn)不變【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移特點(diǎn)即可求解．【詳解】將拋物線向下平移兩個(gè)單位，開口方向不變、對(duì)稱軸不變、故y隨x的變化情況不變；與y軸的交點(diǎn)改變故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的函數(shù)與圖象，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)圖象平移的特點(diǎn)．3．（2021·江蘇中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是（）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：函數(shù)向右平移3個(gè)單位，得：；再向上平移1個(gè)單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)∴+1即解得：或∵拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)∴＞0∴＜0∴故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．4．（2021·浙江紹興市·中考真題）關(guān)于二次函數(shù)的最大值或最小值，下列說法正確的是（）A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式，得到a的值為2，圖象開口向上，函數(shù)有最小值，根據(jù)定點(diǎn)坐標(biāo)（4,6），即可得出函數(shù)的最小值．【詳解】解：∵在二次函數(shù)中，a=2>0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,6），∴函數(shù)有最小值為6．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定a的符號(hào)和根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出最值．5．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是（）A． B．函數(shù)的最大值為C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線開口方向、拋物線的對(duì)稱軸位置和拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可判斷a、b、c的符號(hào)，利用拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），從而分別判斷各選項(xiàng)．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，∴，即b=2a，則b＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，則abc＞0，故A正確；當(dāng)x=-1時(shí)，y取最大值為，故B正確；由于開口向上，對(duì)稱軸為直線x=-1，則點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線x=-1對(duì)稱的點(diǎn)為（-3，0），即拋物線與x軸交于（1，0），（-3，0），∴當(dāng)時(shí)，，故C正確；由圖像可知：當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，即，故D錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．6．（2021·浙江中考真題）已知和均是以為自變量的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別為和，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)和具有性質(zhì)．以下函數(shù)和具有性質(zhì)的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】A【分析】根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別為和，若存在實(shí)數(shù)，使得，對(duì)于A選項(xiàng)則有，由一元二次方程根的判別式可得：，所以存在實(shí)數(shù)m，故符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)則有，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)則有，化簡(jiǎn)得：，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)則有，化簡(jiǎn)得：，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江杭州市·中考真題）已知和均是以為自變量的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別為和，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)和具有性質(zhì)．以下函數(shù)和具有性質(zhì)的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】A【分析】根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別為和，若存在實(shí)數(shù)，使得，對(duì)于A選項(xiàng)則有，由一元二次方程根的判別式可得：，所以存在實(shí)數(shù)m，故符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)則有，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)則有，化簡(jiǎn)得：，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)則有，化簡(jiǎn)得：，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·四川中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是（）A． B．函數(shù)的最大值為C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線開口方向、拋物線的對(duì)稱軸位置和拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可判斷a、b、c的符號(hào)，利用拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），從而分別判斷各選項(xiàng)．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，∴，即b=2a，則b＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，則abc＞0，故A正確；當(dāng)x=-1時(shí)，y取最大值為，故B正確；由于開口向上，對(duì)稱軸為直線x=-1，則點(diǎn)（1，0）關(guān)于直線x=-1對(duì)稱的點(diǎn)為（-3，0），即拋物線與x軸交于（1，0），（-3，0），∴當(dāng)時(shí)，，故C正確；由圖像可知：當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，即，故D錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．9．（2021·江蘇蘇州市·中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是（）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：函數(shù)向右平移3個(gè)單位，得：；再向上平移1個(gè)單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)∴+1即解得：或∵拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)∴＞0∴＜0∴故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．10．（2021·江蘇中考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、于x軸的交點(diǎn)情況、對(duì)稱軸的知識(shí)可判①②③的正誤，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征確定出函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定不等式，最后求解不等式即可判定④．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故①正確；∵拋物線與x軸沒有交點(diǎn)∴＜0，故②錯(cuò)誤∵由拋物線可知圖象過（1,1），且過點(diǎn)（3,3）∴8a+2b=2∴4a+b=1，故③錯(cuò)誤；由拋物線可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），且過點(diǎn)（3,3）則拋物線與直線y=x交于這兩點(diǎn)∴＜0可化為，根據(jù)圖象，解得：1＜x＜3故④錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征以及解不等式的相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象的特征成為解答本題的關(guān)鍵．11．（2021·湖南中考真題）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線的開口方向確定a＜0，對(duì)稱軸可確定b的正負(fù)，與y軸的交點(diǎn)可知c＞0，然后逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：∵拋物線開口方向向下∴a＜0，∵拋物線對(duì)稱軸∴b＞0∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸∴c＞0∴的圖像過二、一、四象限，的圖象在二、四象限∴D選項(xiàng)滿足題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的特征、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，牢記各種函數(shù)圖象的特點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．12．（2021·浙江中考真題）已知拋物線與軸的交點(diǎn)為和，點(diǎn)，是拋物線上不同于的兩個(gè)點(diǎn)，記的面積為的面積為．有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】通過和的不等關(guān)系，確定，在拋物線上的相對(duì)位置，逐一分析即可求解．【詳解】解：∵拋物線與軸的交點(diǎn)為和，∴該拋物線對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)無法確定，在拋物線上的相對(duì)位置，故①和②都不正確；當(dāng)時(shí)，比離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，且同在x軸上方或者下方，∴，∴，故③正確；當(dāng)時(shí)，即在x軸上到2的距離比到的距離大，且都大于1，可知在x軸上到2的距離大于1，到2的距離不能確定，所以無法比較與誰離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，故無法比較面積，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．13．（2021·廣東深圳市·中考真題）二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先分析二次函數(shù)的圖像的開口方向即對(duì)稱軸位置，而一次函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，即可得出正確選項(xiàng)．【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，一次函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，所以一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，只有A選項(xiàng)符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是能推出一次函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．14．（2021·山東泰安市·中考真題）如圖是拋物線的部分圖象，圖象過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③y的最大值為3；④方程有實(shí)數(shù)根．其中正確的為________（將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填入）．【答案】②④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，∴a＜0，c＞0，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴﹣=1，即b=﹣2a＞0∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴根據(jù)對(duì)稱性，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正確；根據(jù)圖象，y是有最大值，但不一定是3，故③錯(cuò)誤；由得，根據(jù)圖象，拋物線與直線y=﹣1有交點(diǎn)，∴有實(shí)數(shù)根，故④正確，綜上，正確的為②④，故答案為：②④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解答的關(guān)鍵．15．（2021·廣西中考真題）如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是——————————

A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】將要求的不等式抽象成兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關(guān)系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】與關(guān)于y軸對(duì)稱拋物線的對(duì)稱軸為y軸，因此拋物線與直線的交點(diǎn)和與直線的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱設(shè)與交點(diǎn)為，則，即在點(diǎn)之間的函數(shù)圖像滿足題意的解集為：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，解決函數(shù)問題更是如此．理解與關(guān)于y軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．16．（2021·四川南充市·中考真題）關(guān)于拋物線，給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，拋物線與直線沒有交點(diǎn)；②若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則其中一定有一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）與（1，0）之間；③若拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)（0，0），（2，0），（0，2）所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】②③【分析】先聯(lián)立方程組，得到，根據(jù)判別式即可得到結(jié)論；②先求出a＜1，分兩種情況：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，進(jìn)行討論即可；③求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：聯(lián)立，得，∴?=，當(dāng)時(shí)，?有可能≥0，∴拋物線與直線有可能有交點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=，若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則?=，解得：a＜1，∵當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則＞1，此時(shí)，x＜，y隨x的增大而減小，又∵x=0時(shí)，y=1＞0，x=1時(shí)，y=a-1＜0，∴拋物線有一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）與（1，0）之間，∵當(dāng)a＜0時(shí)，則＜0，此時(shí)，x＞，y隨x的增大而減小，又∵x=0時(shí)，y=1＞0，x=1時(shí)，y=a-1＜0，∴拋物線有一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）與（1，0）之間，綜上所述：若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則其中一定有一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）與（1，0）之間，故②正確；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵，∴拋物線的頂點(diǎn)所在直線解析式為：x+y=1，即：y=-x+1，∵拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)（0，0），（2，0），（0，2）所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界），∴，解得：，故③正確．故答案是：②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與二次方程的聯(lián)系，熟練應(yīng)用判別式判斷一元二次方程根的情況，是解題的關(guān)鍵．17．（2021·湖北中考真題）已知拋物線（，，是常數(shù)），，下列四個(gè)結(jié)論：①若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；②若，則方程一定有根；③拋物線與軸一定有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；④點(diǎn)，在拋物線上，若，則當(dāng)時(shí)，．其中正確的是__________（填寫序號(hào)）．【答案】①②④【分析】①將代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，則原方程可化為x2+x-2=0，則一定有根x=-2；③當(dāng)b2-4ac≤0時(shí)，圖像與x軸少于兩個(gè)公共點(diǎn)，只有一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③錯(cuò)誤；④若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對(duì)稱軸，因?yàn)閍>0在對(duì)稱軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1<x2<1時(shí)，y1>y2，故④正確．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)∴，即9a-3b+c=0∵∴b=2a故①正確；∵b=c，∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正確；當(dāng)b2-4ac≤0時(shí)，圖像與x軸少于兩個(gè)公共點(diǎn)，只有一個(gè)關(guān)于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③錯(cuò)誤；若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對(duì)稱軸，因?yàn)閍>0在對(duì)稱軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1<x2<1時(shí)，y1>y2，故④正確．故填：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二元一次方程，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．18．（2021·浙江中考真題）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)闹荡_定時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上能使為直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也隨之確定．若拋物線的對(duì)稱軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)，使為直角三角形，則的值是____．【答案】2或【分析】分，和確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)范圍，結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸與，，共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，確定對(duì)稱軸的位置即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得：O（0,0），A（3，4）∵為直角三角形，則有：①當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)M在與OA垂直的直線上運(yùn)動(dòng)（不含點(diǎn)O）；如圖，②當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)M在與OA垂直的直線上運(yùn)動(dòng)（不含點(diǎn)A）；③當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)M在與OA為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，圓心為點(diǎn)P，∴點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，∴∴半徑r=∵拋物線的對(duì)稱軸與x軸垂直由題意得，拋物線的對(duì)稱軸與，，共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為的兩條切線，而點(diǎn)P到切線，的距離，又∴直線的解析式為：；直線的解析式為：；∴或4∴或-8故答案為：2或-8【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有圓的切線的判定，直角三角形的判定，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．19．（2021·山東中考真題）定義：為二次函數(shù)（）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的二次函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過原點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值；④如果，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②③．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)特征數(shù)，以及的取值，逐一代入函數(shù)關(guān)系式，然判斷后即可確定正確的答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，把代入，可得特征數(shù)為∴，，，∴函數(shù)解析式為，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸，故①正確；當(dāng)時(shí)，把代入，可得特征數(shù)為∴，，，∴函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象過原點(diǎn)，故②正確；函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像開口向上，有最小值，故③正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像開口向下，對(duì)稱軸為：∴時(shí)，可能在函數(shù)對(duì)稱軸的左側(cè)，也可能在對(duì)稱軸的右側(cè)，故不能判斷其增減性，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①②③，故答案是：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸等知識(shí)點(diǎn)，牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·湖北武漢市·中考真題）已知拋物線（，，是常數(shù)），，下列四個(gè)結(jié)論：①若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則；②若，則方程一定有根；③拋物線與軸一定有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；④點(diǎn)，在拋物線上，若，則當(dāng)時(shí)，．其中正確的是__________（填寫序號(hào)）．【答案】①②④【分析】①將代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，則原方程可化為x2+x-2=0，則一定有根x=-2；③當(dāng)b2-4ac≤0時(shí)，圖像與x軸少于兩個(gè)公共點(diǎn)，只有一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③錯(cuò)誤；④若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對(duì)稱軸，因?yàn)閍>0在對(duì)稱軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1<x2<1時(shí)，y1>y2，故④正確．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)∴，即9a-3b+c=0∵∴b=2a故①正確；∵b=c，∴a=-2c，∵cx2+bx+a=0∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0∴一定有根x=-2故②正確；當(dāng)b2-4ac≤0時(shí)，圖像與x軸少于兩個(gè)公共點(diǎn)，只有一個(gè)關(guān)于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③錯(cuò)誤；若0<a<c，則有b<0且|b|>|c|>|a|，|b|>2|a|，所以對(duì)稱軸，因?yàn)閍>0在對(duì)稱軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1<x2<1時(shí)，y1>y2，故④正確．故填：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二元一次方程，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為A的拋物線與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，已知A(1，4)，B(3，0).(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F，M是BE的中點(diǎn)，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請(qǐng)說明理由；(3)應(yīng)用：如圖2，P（m，n）是拋物線在第四象限的圖象上的點(diǎn)，且m+m=-1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點(diǎn)N，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點(diǎn)N的坐標(biāo).提示：若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，).【解析】解：(1)拋物線的頂點(diǎn)為A(1，4)，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(3，0)，∴，解得a=-1.∴拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，即.(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分.理由如下：∵DE∥OA，∴（同底等高的兩個(gè)三角形面積相等）.∴，即.∵M(jìn)是BE的中點(diǎn)，∴∴,即OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分.（3）∵點(diǎn)P(m，n)是拋物線的圖象上的點(diǎn)，∴.∵m+n=-1，∴n=-m-1，代入上式，得，解得m=4(m=1不合題意，舍去)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，-5).如圖，過點(diǎn)D作DQ∥CA交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，由(2)知點(diǎn)N為PQ的中點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C(-1，0)，P(4，-5)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,則，解得.∴直線CP對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-1.同理，直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2.∵直線DQ∥CA，故設(shè)直線DQ對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b，∵經(jīng)過點(diǎn)D(0，3)，∴直線DQ對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+3.解方程組得，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）.∵點(diǎn)N為PQ的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）22.如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)F（x，﹣x2+2x+6），則FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）；當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣）；綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）如圖2，設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2﹣n，n），∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，∴滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－2x＋10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8，4)，連接AC，BC.(1)求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)t為何值時(shí)，PA＝QA?(3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解：(1)∵直線y＝－2x＋10與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，∴A(5，0)，B(0，10)，設(shè)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax2＋bx(a≠0)，把點(diǎn)A(5，0)和C(8，4)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25a＋5b＝0,64a＋8b＝4))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6),b＝－\f(5,6)))，∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,6)x2－eq\f(5,6)x；∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，∵AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是直角三角形．(2)如解圖，連接AP，AQ，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝OA,PA＝QA))，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP＝CQ，∴2t＝10－t，∴t＝eq\f(10,3)，∵t<5，∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為eq\f(10,3)秒時(shí)，PA＝QA；(3)存在．由題可得，拋物線的對(duì)稱軸直線為x＝eq\f(5,2)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，b)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)可求得AB2＝102＋52＝125，MB2＝(eq\f(5,2))2＋(b－10)2，MA2＝(eq\f(5,2))2＋b2，∵△MAB是等腰三角形，∴可分以下三種情況討論：①當(dāng)AB＝MA時(shí)，即125＝(eq\f(5,2))2＋b2，解得b＝±eq\f(5\r(19),2)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，－eq\f(5\r(19),2))；②當(dāng)AB＝BM時(shí)，即125＝(eq\f(5,2))2＋(b－10)2，解得b＝10±eq\f(5\r(19),2)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，10＋eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10－eq\f(5\r(19),2))；③當(dāng)MB＝MA時(shí)，即(eq\f(5,2))2＋(b－10)2＝(eq\f(5,2))2＋b2，解得b＝5，此時(shí)點(diǎn)A、M、B共線，故這樣的點(diǎn)M不存在．綜上所述，存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，－eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10＋eq\f(5\r(19),2))或(eq\f(5,2)，10－eq\f(5\r(19),2))．24.如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出⊙M的半徑．【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由見解析；（3）⊙M的半徑為或【解析】【分析】（1）已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)C(0,3)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形，過點(diǎn)Q作OM⊥OB于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥OC于點(diǎn)N，根據(jù)△QCO是等邊三角形，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證Q點(diǎn)是否在拋物線上；（3）分兩種情況①當(dāng)⊙M與y軸相切，如圖所示，令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，PM=t，將PM用t表示出來，列出關(guān)于t的一元二次方程，求得t，進(jìn)而求得半徑；②⊙M與x軸相切，過點(diǎn)M作MN⊥OB于N，如圖所示，令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，因?yàn)镻N=2MN，列出關(guān)于m的一元二次方程，即可求出m，進(jìn)而求得⊙M的半徑．【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)C(0,3)∴解得∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3故答案為：y＝﹣x2+x+3（2）在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形，過點(diǎn)Q作OM⊥OB于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥OC于點(diǎn)N∵△QCO是等邊三角形，OC=3∴CN=∴NQ=即Q(,)當(dāng)x=時(shí)，y＝﹣×()2+×+3=≠∴Q(,)不在拋物線上y＝﹣x2+x+3故答案為：不存在，理由見解析（3）①⊙M與y軸相切，如圖所示∵y＝﹣x2+x+3當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+3=0解得x1=-1，x2=4∴B(4,0)令直線BC的解析式為y=kx+b解得∴直線BC的解析式為令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t∵M(jìn)P∥y軸，⊙M與y軸相切∴t=﹣t2+t+3-解得t=⊙M的半徑為②⊙M與x軸相切，過點(diǎn)M作MN⊥OB于N，如圖所示令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m∵PN=2MN∴解得m=1或m=4（舍去）∴⊙M的半徑為：故答案為：⊙M的半徑為或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，是二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)與幾何問題，二次函數(shù)與圓的問題，其中考查了圓切線的性質(zhì)．1．（2021·四川眉山市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，則該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)新拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），求出它關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入到原拋物線解析式中去，即可得到新拋物線的解析式．【詳解】解:當(dāng)x=0時(shí)，y=5，∴C（0,5）；設(shè)新拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），∵原拋物線與新拋物線關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，由，；∴對(duì)應(yīng)的原拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為；代入原拋物線解析式可得：，∴新拋物線的解析式為：；故選：A．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了求拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)、中心對(duì)稱在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用以及求拋物線的解析式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出新拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出其在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，再代入原拋物線解析式中求新拋物線解析式，本題屬于中等難度題目，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．2．（2021·山東中考真題）一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向以及對(duì)稱軸與y軸的位置關(guān)系，即可得出a、b的正負(fù)性，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出結(jié)論．【詳解】A.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.∵二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a>0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項(xiàng)正確；D.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的綜合，掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海中考真題）將拋物線向下平移兩個(gè)單位，以下說法錯(cuò)誤的是（）A．開口方向不變 B．對(duì)稱軸不變 C．y隨x的變化情況不變 D．與y軸的交點(diǎn)不變【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移特點(diǎn)即可求解．【詳解】將拋物線向下平移兩個(gè)單位，開口方向不變、對(duì)稱軸不變、故y隨x的變化情況不變；與y軸的交點(diǎn)改變故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的函數(shù)與圖象，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)圖象平移的特點(diǎn)．4．（2021·福建中考真題）二次函數(shù)的圖象過四個(gè)點(diǎn)，下列說法一定正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】求出拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線的開口方向和增減性，根據(jù)橫坐標(biāo)的值，可判斷出各點(diǎn)縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系，從而可以求解．【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，且開口向上，距離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，，A，若，則不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B,若，則不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C，若，所以，則一定成立，故選項(xiàng)正確，符合題意；D，若，則不一定成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及不等式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸及開口方向，確定各點(diǎn)縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系，再進(jìn)行分論討論判斷即可．5．（2021·天津中考真題）已知拋物線（是常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．有下列結(jié)論：①；②關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；③．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系,一元二次方程根的判別式,不等式的性質(zhì)，逐一計(jì)算判斷即可【詳解】∵拋物線（是常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵,∴△==＞0,∴有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活使用根的判別式，準(zhǔn)確掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·湖北中考真題）二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，5，上述結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：①由圖象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正確；②∵對(duì)稱軸為直線x==1，且圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），b=﹣2a，∴根據(jù)圖象，當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c＞0，故②錯(cuò)誤；③根據(jù)圖象，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正確；④∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線也經(jīng)過點(diǎn)，∴拋物線與直線y=n的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的兩根分別為，5，故④正確，綜上，上述結(jié)論中正確結(jié)論有①③④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇連云港市·中考真題）關(guān)于某個(gè)函數(shù)表達(dá)式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說出了該函數(shù)的一個(gè)特征．甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；丙：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．則這個(gè)函數(shù)表達(dá)式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A.對(duì)于，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。蔬x項(xiàng)A不符合題意；B.對(duì)于，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1，故函數(shù)圖像不經(jīng)過點(diǎn)；函數(shù)圖象分布在一、三象限；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。蔬x項(xiàng)B不符合題意；C.對(duì)于，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；函數(shù)圖象分布在一、二象限；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．故選項(xiàng)C不符合題意；D.對(duì)于，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，故函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．故選項(xiàng)D符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．（2021·內(nèi)蒙古中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系和象限的性質(zhì)，得；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得，從而得，通過計(jì)算即可得到答案．【詳解】∵點(diǎn)在第一象限∴∴∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)∴∴∴當(dāng)時(shí)，，即和y軸交點(diǎn)為：當(dāng)時(shí)，，即和x軸交點(diǎn)為：∵，∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、直角坐標(biāo)系的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，從而完成求解．9．（2021·浙江中考真題）已知拋物線與軸的交點(diǎn)為和，點(diǎn)，是拋物線上不同于的兩個(gè)點(diǎn)，記的面積為的面積為．有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】通過和的不等關(guān)系，確定，在拋物線上的相對(duì)位置，逐一分析即可求解．【詳解】解：∵拋物線與軸的交點(diǎn)為和，∴該拋物線對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)無法確定，在拋物線上的相對(duì)位置，故①和②都不正確；當(dāng)時(shí)，比離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，且同在x軸上方或者下方，∴，∴，故③正確；當(dāng)時(shí)，即在x軸上到2的距離比到的距離大，且都大于1，可知在x軸上到2的距離大于1，到2的距離不能確定，所以無法比較與誰離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，故無法比較面積，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．10．（2021·湖北中考真題）二次函數(shù)（、、是常數(shù)，且）的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…012……22…且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．有以下結(jié)論：①；②；③關(guān)于的方程的負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間；④和在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】①將點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（1，2）代入解析式可得到a、b互為相反數(shù)，c=2，即可判斷；②將x=-1與x=2代入解析式得到m和n的表達(dá)式，再結(jié)合當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即可表示出m+n的取值范圍；③根據(jù)點(diǎn)（1，2）與當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可知方程的正實(shí)數(shù)根在1和2之間，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性即可求出方程的負(fù)實(shí)數(shù)根的取值范圍；④分類討論，當(dāng)在拋物線的右側(cè)時(shí)，的橫坐標(biāo)恒大于等于對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的x的值時(shí)必有，求出對(duì)應(yīng)的t即可；當(dāng)與在拋物線的異側(cè)時(shí)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離小于到對(duì)稱軸的距離時(shí)滿足，求出對(duì)應(yīng)的t即可.【詳解】①將點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（1，2）代入解析式得：，則a、b互為相反數(shù)，∴，故①錯(cuò)誤；②∵a、b互為相反數(shù)，∴將x=-1與x=2代入解析式得：，則：，∵當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，∴得：，即：，∴.故②正確；③∵函數(shù)過點(diǎn)（1，2）且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，∴方程的正實(shí)數(shù)根在1和之間，∵拋物線過點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（1，2），∴結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得關(guān)于的方程的負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間.故③正確；④∵函數(shù)過點(diǎn)（1，2）且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，∴可以判斷拋物線開口向下，∵在拋物線的右側(cè)時(shí)，恒在拋物線的右側(cè)，此時(shí)恒成立，∴的橫坐標(biāo)大于等于對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的x，即，解得時(shí)；∵當(dāng)與在拋物線的異側(cè)時(shí)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離小于到對(duì)稱軸的距離時(shí)滿足，即當(dāng)時(shí)，滿足，∴當(dāng)時(shí)，解得，即與在拋物線的異側(cè)時(shí)滿足，，∴綜上當(dāng)時(shí)，.故④錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能通過圖表所給的點(diǎn)以及題目的信息來判斷拋物線的開口方向以及對(duì)稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)來解決對(duì)應(yīng)的問題.11．（2021·江蘇連云港市·中考真題）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤(rùn)分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤(rùn)，同時(shí)提高每份B種快餐的利潤(rùn)．售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤(rùn)每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤(rùn)每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤(rùn)最多是______元．【答案】1264【分析】根據(jù)題意，總利潤(rùn)=快餐的總利潤(rùn)＋快餐的總利潤(rùn)，而每種快餐的利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×對(duì)應(yīng)總數(shù)量，分別對(duì)兩份快餐前后利潤(rùn)和數(shù)量分析，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)種快餐的總利潤(rùn)為，種快餐的總利潤(rùn)為，兩種快餐的總利潤(rùn)為，設(shè)快餐的份數(shù)為份，則B種快餐的份數(shù)為份．據(jù)題意：∴∵∴當(dāng)?shù)臅r(shí)候，W取到最大值1264，故最大利潤(rùn)為1264元故答案為：1264【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、通過具體問題找到變化前后的關(guān)系是解題關(guān)鍵點(diǎn)．12．（2021·四川中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則_______．【答案】1【分析】根據(jù)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)可知方程=0根的判別式△=0，解方程求出k值即可得答案．【詳解】∵拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程=0根的判別式△=0，即22-4k=0，解得：k=1，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，對(duì)于二次函數(shù)（k≠0），當(dāng)判別式△＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k=0時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)x＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．13．（2021·安徽）設(shè)拋物線，其中a為實(shí)數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則______；（2）將拋物線向上平移2個(gè)單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是______．【答案】02【分析】（1）直接將點(diǎn)代入計(jì)算即可（2）先根據(jù)平移得出新的拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得出頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，再通過配方得出最值【詳解】解：（1）將代入得：故答案為：0（2）根據(jù)題意可得新的函數(shù)解析式為：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得新拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：∵

∴當(dāng)a=1時(shí)，有最大值為8，∴所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查將拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、將點(diǎn)代入代入函數(shù)解析式、利用配方法求最值是常用的方法14．（2021·湖北武漢市·中考真題）如圖（1），在中，，，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)，，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過點(diǎn)，則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是__________．【答案】【分析】先根據(jù)圖形可知AE+CD=AB+AC=2，進(jìn)而求得AB=AC=1、BC=以及圖象最低點(diǎn)的函數(shù)值即為AE+CD的最小值；再運(yùn)用勾股定理求得CD、AE，然后根據(jù)AE+CD得到+可知其表示點(diǎn)（x，0）到（0,-1）與（，）的距離之和，然后得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有函數(shù)值.最后求出該直線的解析式，進(jìn)而求得x的值．【詳解】解：由圖可知，當(dāng)x=0時(shí)，AE+CD=AB+AC=2∴AB=AC=1，BC=，圖象最低點(diǎn)函數(shù)值即為AE+CD的最小值由題意可得：CD=,AE=∴AE+CD=+，即點(diǎn)（x，0）到（0,-1）與（，）的距離之和∴當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)，AE+CD最小設(shè)該直線的解析式為y=kx+b解得∴當(dāng)y=0時(shí)，x=．故填．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與方程的意義，從幾何圖形和函數(shù)圖象中挖掘隱含條件成為解答本題的關(guān)鍵．15．（2021·湖北中考真題）如圖（1），在中，，，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)，，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過點(diǎn)，則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是__________．【答案】【分析】先根據(jù)圖形可知AE+CD=AB+AC=2，進(jìn)而求得AB=AC=1、BC=以及圖象最低點(diǎn)的函數(shù)值即為AE+CD的最小值；再運(yùn)用勾股定理求得CD、AE，然后根據(jù)AE+CD得到+可知其表示點(diǎn)（x，0）到（0,-1）與（，）的距離之和，然后得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有函數(shù)值.最后求出該直線的解析式，進(jìn)而求得x的值．【詳解】解：由圖可知，當(dāng)x=0時(shí)，AE+CD=AB+AC=2∴AB=AC=1，BC=，圖象最低點(diǎn)函數(shù)值即為AE+CD的最小值由題意可得：CD=,AE=∴AE+CD=+，即點(diǎn)（x，0）到（0,-1）與（，）的距離之和∴當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)，AE+CD最小設(shè)該直線的解析式為y=kx+b解得∴當(dāng)y=0時(shí)，x=．故填．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與方程的意義，從幾何圖形和函數(shù)圖象中挖掘隱含條件成為解答本題的關(guān)鍵．16．（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上．（1）若，求該拋物線的對(duì)稱軸；（2）已知點(diǎn)在該拋物線上．若，比較的大小，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）由題意易得點(diǎn)和點(diǎn)，然后代入拋物線解析式進(jìn)行求解，最后根據(jù)對(duì)稱軸公式進(jìn)行求解即可；（2）由題意可分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，則有點(diǎn)和點(diǎn)，代入二次函數(shù)得：，解得：，∴拋物線解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為；（2）由題意得：拋物線始終過定點(diǎn)，則由可得：①當(dāng)時(shí)，由拋物線始終過定點(diǎn)可得此時(shí)的拋物線開口向下，即，與矛盾；②當(dāng)時(shí)，∵拋物線始終過定點(diǎn)，∴此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸的范圍為，∵點(diǎn)在該拋物線上，∴它們離拋物線對(duì)稱軸的距離的范圍分別為，∵，開口向上，∴由拋物線的性質(zhì)可知離對(duì)稱軸越近越小，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2021·安徽中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線．（1）求a的值；（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比．【答案】（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸，代值計(jì)算即可（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果（3）先根據(jù)求根公式計(jì)算出，再表示出，=，即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）由題意得：（2）拋物線對(duì)稱軸為直線，且當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．當(dāng)時(shí)，y1隨x1的增大而減小，時(shí)，，時(shí)，同理：時(shí)，y2隨x2的增大而增大時(shí)，．時(shí)，（3）令令A(yù)B與CD的比值為【點(diǎn)睛