2.5.2圓與圓的位置關(guān)系課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程2.5.2圓與圓的位置關(guān)系自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法對于圓與圓的位置關(guān)系,是在將兩圓放在同一平面內(nèi)運(yùn)動狀態(tài)下,通過觀察、分析、比較、判斷得到平面上兩圓位置關(guān)系有五種,如圖所示.1.圓與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法:2.(1)圓x2+y2-1=0和圓x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是(

)A.內(nèi)切 B.相交

C.外切 D.外離(2)已知圓x2+y2=1和圓(x+4)2+(y-a)2=25相切,則實(shí)數(shù)a的值為

.

合作探究釋疑解惑探究一圓與圓的位置關(guān)系的判定【例1】

已知圓C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圓C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).求當(dāng)a為何值時,兩圓(1)相切?(2)相交?(3)相離?分析:先將圓的方程配方化成標(biāo)準(zhǔn)方程,再求出圓心距,然后與兩半徑的和或差比較大小,最后求出a的值.解:圓C1的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-1)2=16,圓C2的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2a)2+(y-1)2=1,則圓心C1(a,1),r1=4,圓心C2(2a,1),r2=1,(1)當(dāng)|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時,兩圓外切;當(dāng)|C1C2|=|r1-r2|=3,即a=3時,兩圓內(nèi)切.(2)當(dāng)|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,即3<a<5時,兩圓相交.(3)當(dāng)|C1C2|>r1+r2,即a>5時,兩圓外離;當(dāng)|C1C2|<|r1-r2|,即0<a<3時,兩圓內(nèi)含.若圓x2+y2=a與圓x2+y2+6x-8y-11=0內(nèi)切,則a的值為

.

解析:∵x2+y2=a表示一個圓,∴a>0.答案:1或121反思感悟

判斷兩圓位置關(guān)系的方法有兩種,一是代數(shù)法,看方程組的解的個數(shù),但往往運(yùn)算繁瑣;二是幾何法,看兩圓的圓心距d,當(dāng)d=r1+r2時,兩圓外切;當(dāng)d=|r1-r2|時,兩圓內(nèi)切;當(dāng)d>r1+r2時,兩圓外離;當(dāng)d<|r1-r2|時,兩圓內(nèi)含;當(dāng)|r1-r2|<d<r1+r2時,兩圓相交.【變式訓(xùn)練1】

圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條解析:圓C1的半徑r1=2,圓心C1(-1,-1),圓C2的半徑r2=2,圓心C2(2,1),兩圓的圓心距|C1C2|=.由于|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,故兩圓相交,因而公切線有2條.答案:B探究二兩圓相交問題【例2】

已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長;(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn),且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.分析:(1)兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程,再根據(jù)半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系求出弦長.(2)可求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合圓心在直線x-y-4=0上求出圓心坐標(biāo)與半徑,也可利用圓系方程求解.解:(1)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),①-②,得x-y+4=0.∵A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此直線方程,∴x-y+4=0即為兩圓公共弦所在直線的方程.得兩圓的交點(diǎn)A(-1,3),B(-6,-2).設(shè)所求圓的圓心為(a,b),由于圓心在直線x-y-4=0上,故b=a-4.由圓心到A,B兩點(diǎn)的距離相等,(方法二)由題意可設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的長為2,則a=

.答案:1反思感悟

1.求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時,才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).2.求兩圓公共弦長的方法:一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再用兩點(diǎn)間的距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長、弦心距和弦長的一半滿足勾股定理求解.【變式訓(xùn)練2】

已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0與圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0相交于A,B兩點(diǎn),求AB所在直線的方程和公共弦AB的長.解:由圓C1的方程減去圓C2的方程,得方程3x-4y+6=0,則兩圓交點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程3x-4y+6=0.故兩圓公共弦AB所在直線的方程是3x-4y+6=0.∵圓C1的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-3)2=9,∴圓心為C1(-1,3),半徑r=3.探究三兩圓相切問題分析:要求圓的方程,需求出圓心坐標(biāo)及半徑,可利用直線與圓相切、圓與圓外切,建立關(guān)于a,b,r的方程組求解.解:圓C的方程可化為(x-1)2+y2=1,則圓心C(1,0),半徑為1.設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),反思感悟

1.圓與圓的位置關(guān)系主要是通過圓心距與兩半徑長的和或兩半徑長的差的絕對值的大小關(guān)系來判斷.2.直線與圓相切,即圓心到直線的距離等于半徑,另結(jié)合圓的性質(zhì),圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直,充分利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì)解題可以化繁為簡,提高運(yùn)算效率.【變式訓(xùn)練