專題5 構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì) (湘教版2019)

專題5構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì)(湘教版2019)課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、課程基本信息1.課程名稱：構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中二年級(jí)數(shù)學(xué)選擇性必修班

3.授課時(shí)間：2023-2024學(xué)年第二學(xué)期，具體上課時(shí)間待定

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)（45分鐘）

本節(jié)課將緊密圍繞湘教版2019高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)中的“構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，結(jié)合教材內(nèi)容，以實(shí)際例題引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握構(gòu)造法的原理及其在求解導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用。通過典型題目的講解與練習(xí)，提高學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解決問題的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維與解題技巧。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課圍繞構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，旨在培養(yǎng)學(xué)生以下核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算。通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解決導(dǎo)數(shù)問題，提高學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)思維能力。同時(shí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解題過程中的數(shù)學(xué)運(yùn)算精確性，加強(qiáng)數(shù)學(xué)表達(dá)和論證的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算法則以及基本求導(dǎo)公式，能夠解決一些基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)問題。此外，學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)和分析方法有一定的了解，為構(gòu)造法的應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上表現(xiàn)出不同的興趣和能力，部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題充滿好奇心，喜歡挑戰(zhàn)性題目，具有較強(qiáng)的邏輯思維能力和問題解決能力；而部分學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)興趣不足，需要通過具體實(shí)例和引導(dǎo)來(lái)激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格多樣，有的喜歡獨(dú)立思考，有的則更傾向于小組合作。

3.學(xué)生在構(gòu)造法的理解和應(yīng)用過程中可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：難以從復(fù)雜問題中抽象出關(guān)鍵信息，構(gòu)造合適的函數(shù)解決問題；在邏輯推理和論證過程中可能出現(xiàn)思路不清晰、運(yùn)算錯(cuò)誤等問題。此外，部分學(xué)生可能在面對(duì)新型題目時(shí)，缺乏解題思路和策略。教學(xué)中需針對(duì)這些情況進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)和解惑。四、教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、投影儀、白板、計(jì)算器。

2.軟件資源：數(shù)學(xué)教學(xué)軟件、PPT演示文稿、電子教案。

3.課程平臺(tái)：學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)、在線學(xué)習(xí)平臺(tái)。

4.信息化資源：電子教材、教學(xué)視頻、虛擬數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室。

5.教學(xué)手段：講授法、案例分析法、小組合作學(xué)習(xí)、互動(dòng)提問、課堂練習(xí)與反饋。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-創(chuàng)設(shè)情境：通過現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例，如物體運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系，引出導(dǎo)數(shù)的概念。

-提出問題：如何求解物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度？引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)。

-激發(fā)興趣：強(qiáng)調(diào)構(gòu)造法在解決復(fù)雜導(dǎo)數(shù)問題中的重要性，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

2.講授新課（15分鐘）

-知識(shí)回顧：簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)法則。

-構(gòu)造法原理：介紹構(gòu)造法的概念，解釋其在導(dǎo)數(shù)求解中的應(yīng)用原理。

-案例講解：結(jié)合教材中的典型例題，詳細(xì)講解構(gòu)造法的步驟和技巧。

-互動(dòng)提問：在講解過程中，適時(shí)提問，了解學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的理解和掌握情況。

3.鞏固練習(xí)（15分鐘）

-課堂練習(xí)：布置教材中的相關(guān)習(xí)題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。

-小組討論：將學(xué)生分成小組，針對(duì)練習(xí)中的問題進(jìn)行討論，互相交流解題思路。

-解題指導(dǎo)：針對(duì)學(xué)生在練習(xí)中遇到的問題，給予及時(shí)的指導(dǎo)和解惑。

4.課堂提問與雙邊互動(dòng)（5分鐘）

-提問：針對(duì)課堂練習(xí)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的提問。

-雙邊互動(dòng)：邀請(qǐng)學(xué)生分享自己的解題心得，鼓勵(lì)其他學(xué)生提問和補(bǔ)充。

-點(diǎn)評(píng)與總結(jié)：對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)解題過程中的關(guān)鍵步驟和注意事項(xiàng)。

5.核心素養(yǎng)能力拓展（5分鐘）

-問題解決：提出更具挑戰(zhàn)性的導(dǎo)數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法解決問題。

-數(shù)學(xué)建模：要求學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

-邏輯推理：在解題過程中，強(qiáng)調(diào)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的邏輯思維能力。

6.總結(jié)與作業(yè)布置（5分鐘）

-知識(shí)點(diǎn)回顧：簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用。

-作業(yè)布置：布置與課堂內(nèi)容相關(guān)的作業(yè)，要求學(xué)生在課后鞏固所學(xué)知識(shí)。六、教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-推薦閱讀：與本節(jié)課相關(guān)的數(shù)學(xué)期刊、雜志文章，以及數(shù)學(xué)故事，以豐富學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用場(chǎng)景。

-視頻資料：尋找一些專業(yè)的數(shù)學(xué)教學(xué)視頻，特別是關(guān)于構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中應(yīng)用的講解，幫助學(xué)生從不同角度理解知識(shí)點(diǎn)。

-實(shí)踐項(xiàng)目：設(shè)計(jì)一些實(shí)際問題，讓學(xué)生嘗試使用構(gòu)造法來(lái)解決，如物理中的運(yùn)動(dòng)問題、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問題等。

-跨學(xué)科學(xué)習(xí)：鼓勵(lì)學(xué)生探索構(gòu)造法在其他學(xué)科中的應(yīng)用，如物理學(xué)中的微分方程、工程學(xué)中的優(yōu)化問題等。

2.拓展建議：

-鼓勵(lì)學(xué)生自主閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，撰寫閱讀筆記，加深對(duì)構(gòu)造法的理解。

-組織學(xué)生觀看教學(xué)視頻，并在課堂上分享學(xué)習(xí)心得，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。

-引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)踐項(xiàng)目，通過實(shí)際操作來(lái)提高構(gòu)造法的應(yīng)用能力，同時(shí)培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與跨學(xué)科的學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過團(tuán)隊(duì)合作，探索構(gòu)造法在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的深度和廣度。

-建議學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，嘗試總結(jié)構(gòu)造法的使用規(guī)律，形成自己的解題策略。

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究性學(xué)習(xí)，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于更廣泛的數(shù)學(xué)問題中，提高解題能力和創(chuàng)新思維。七、教學(xué)反思與改進(jìn)在完成“構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用”這一節(jié)課的教學(xué)后，我認(rèn)為有幾個(gè)方面需要進(jìn)行反思和改進(jìn)。

首先，關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的講解，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)構(gòu)造法的理解還不夠深入，可能是因?yàn)槲以谥v解過程中沒有足夠地結(jié)合具體實(shí)例。在未來(lái)的教學(xué)中，我需要更多地使用實(shí)際案例來(lái)闡述構(gòu)造法的原理和應(yīng)用步驟，讓學(xué)生在具體情境中感受和理解構(gòu)造法的價(jià)值。

其次，課堂互動(dòng)方面，雖然我設(shè)計(jì)了提問和小組討論環(huán)節(jié)，但感覺學(xué)生的參與度并不高，可能是因?yàn)閱栴}的設(shè)計(jì)不夠開放或者難度不夠。因此，我計(jì)劃在接下來(lái)的教學(xué)中，提出更具啟發(fā)性和開放性的問題，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，提高課堂的互動(dòng)性。

再者，對(duì)于學(xué)生的課堂練習(xí)，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在解題過程中仍然存在運(yùn)算錯(cuò)誤和邏輯不清的問題。我打算在今后的課堂中增加一些針對(duì)性的練習(xí)，特別是對(duì)于那些容易出錯(cuò)的地方，進(jìn)行重點(diǎn)講解和反復(fù)練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，提高解題準(zhǔn)確性。

此外，教學(xué)資源的利用也需要改進(jìn)。我發(fā)現(xiàn)在課堂上，我沒有充分利用信息化資源，如電子教材和教學(xué)視頻。在接下來(lái)的教學(xué)中，我計(jì)劃結(jié)合電子教材和教學(xué)視頻，為學(xué)生提供更多元化的學(xué)習(xí)材料，豐富他們的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

針對(duì)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，我感覺在課堂上對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力的培養(yǎng)還不夠。因此，我打算在課后增加一些相關(guān)的拓展活動(dòng)和項(xiàng)目，讓學(xué)生在實(shí)際問題中鍛煉這些能力。

具體的改進(jìn)措施如下：

1.教學(xué)內(nèi)容調(diào)整：增加構(gòu)造法在實(shí)際問題中的應(yīng)用案例，讓學(xué)生在理解概念的同時(shí)，能夠看到其在解決實(shí)際問題中的重要性。

2.課堂互動(dòng)優(yōu)化：設(shè)計(jì)更多開放性和挑戰(zhàn)性的問題，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論，提高課堂活躍度。

3.練習(xí)環(huán)節(jié)加強(qiáng)：針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)，設(shè)計(jì)專題練習(xí)，并在課堂上及時(shí)反饋，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤。

4.教學(xué)資源整合：充分利用電子教材、教學(xué)視頻等資源，為學(xué)生提供更豐富的學(xué)習(xí)材料。

5.核心素養(yǎng)培養(yǎng)：通過課后拓展活動(dòng)和項(xiàng)目，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力的培養(yǎng)。八、典型例題講解例題1：

已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f'(x)$。

解答：

構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=x^3$，$G(x)=3x^2-2x$。

由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得：

$f'(x)=F'(x)-G'(x)=3x^2-6x+2$。

例題2：

求函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}$的導(dǎo)數(shù)。

解答：

構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=\sqrt{x}$，$G(x)=1$。

令$u=1+x^2$，則$f(x)=F(u)$。

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。

例題3：

求函數(shù)$f(x)=\ln(x^2)$的導(dǎo)數(shù)。

解答：

構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=\lnx$，$G(x)=x^2$。

令$u=x^2$，則$f(x)=F(u)$。

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$。

例題4：

已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，求$f'(x)$。

解答：

構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=1$，$G(x)=x$。

由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得：

$f'(x)=F'(x)-G'(x)=0-1=-1$。

因此，$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$。

例題5：

求函數(shù)$f(x)=\sin(x^2)$的導(dǎo)數(shù)。

解答：

構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=\sinx$，$G(x)=x^2$。

令$u=x^2$，則$f(x)=F(u)$。

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有$f'(x)=F'(u)\cdotu'(x)=\cosu\cdot2x=2x\cos(x^2)$。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，通過構(gòu)造輔助函數(shù)和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，解決了求導(dǎo)過程中的一些復(fù)雜問題。我們強(qiáng)調(diào)了以下知識(shí)點(diǎn)：

1.構(gòu)造法的原理及其在求解導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用。

2.如何結(jié)合已知函數(shù)和輔助函數(shù)求解未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

3.鏈?zhǔn)椒▌t在構(gòu)造法中的應(yīng)用。

4.典型例題的解題步驟和技巧。

當(dāng)堂檢測(cè)：

為檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，特設(shè)計(jì)以下檢測(cè)題目：

題目1：求函數(shù)$f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1})$的導(dǎo)數(shù)。

題目2：已知函數(shù)$g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$，求$g'(x)$。

題目3：求函數(shù)$h(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{4})$的導(dǎo)數(shù)。

題目4：已知函數(shù)$k(x)=\frac{1}{x^2}$，求$k'(x)$。

題目5：求函數(shù)$m(x)=\sqrt{3x^3-2x^2}$的導(dǎo)數(shù)。

要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成以上題目，并及時(shí)反饋答案。通過這些題目，學(xué)生可以鞏固構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，提高解題能力，同時(shí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。教師根據(jù)學(xué)生的答題情況，給予及時(shí)的指導(dǎo)和解惑，確保學(xué)生能夠扎實(shí)掌握本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-構(gòu)造法原理

-導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

-鏈?zhǔn)椒▌t

-典型例題步驟與技巧

②