高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布22

2.2.3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

學(xué)習(xí)

目標(biāo)\In次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型.2.理解二項(xiàng)分布.

3.能利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

.預(yù)習(xí)案▲自主學(xué)習(xí)

新知提煉

1.〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

2.二項(xiàng)分布

前提在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中

字母的事件4發(fā)生的次數(shù)

含義P每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率

分布列>(4-=C品"(1-k=O,1,2,…，n

結(jié)論隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

記法記作才?6（〃，?，并稱。為成功概率

國(guó)廁碣陶

明確該公式中各量表示的意義："為重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)；。為在一次試驗(yàn)中某事件4發(fā)生的概

率；〃是在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件1發(fā)生的次數(shù).

‘自我嘗試，

Q判斷正誤（正確的打“，錯(cuò)誤的打“x”）

（1）〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的每次試驗(yàn)結(jié)果可以有多種.（）

（2）〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的每次試驗(yàn)的條件可以略有不同.（）

（3）二項(xiàng)分布與超幾何分布是同一種分布.（）

（4）兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特殊情形.（）

答案：⑴X（2）X（3）X（4）J

@已知隨機(jī)變量I服從二項(xiàng)分布，h《6,0,則產(chǎn)（%=2）等于（）

AAB2

16243

八13、80

243243

答案：D

回任意拋擲三枚均勻硬幣，恰有2枚正面朝上的概率為（）

答案：B

EJ設(shè)隨機(jī)變量h5(2,p),若以后l)=w，則。=

y

f自1

答案：g

探究案，講練互動(dòng)y&nq

探究點(diǎn)1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

額甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是，和?假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo),

相互之間沒(méi)有影響.(結(jié)果須用分?jǐn)?shù)作答)

(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；

(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.

【解】(1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件4,由題意，射擊3次，相當(dāng)

于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故0(4)=1一尸(4)=1一鏟2=算1Q

(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件4,“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為

事件A,則件4)=竊X(；9)2=4W，W)=/x(q/x(一令q弋q,由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，

故尸(4㈤=￡4嗎3="1

986

互動(dòng)探究

1.［變問(wèn)法］在本例(2)的條件下，求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率？

21

解：記“甲擊中目標(biāo)1次”為事件4,“乙擊中目標(biāo)1次”為事件%則尸(4)=C；XwXw=

0o

4/、3

產(chǎn)⑻=正

431

所以甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率為w4H)=dX￡=N

986

2.［變問(wèn)法］在本例(2)的條件下，求甲未擊中、乙擊中2次的概率？

21

解：記“甲未擊中目標(biāo)”為事件4,“乙擊中2次”為事件如則尸(4)=C"1—鼻)2=石，必加

QQ1Q1

=莪(］)2=/，所以甲未擊中、乙擊中2次的概率為〃(4￡)=￡義/=左?

41691616

鬧也阻幽

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟

畝正」依據(jù)"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是

邛口1否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

萬(wàn)訴判斷所求事件是否需要分拆

--I_HJ|_________________________________________

:就每個(gè)事件依據(jù)”次獨(dú)立重發(fā)試驗(yàn)的概率公式求

:解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算—

N跟蹤訓(xùn)練月發(fā)生的概率為P,則在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中力發(fā)生〃次的概率為()

A.cM*a-4T

B.(1一

C.(1一0)“

D.ci(i-p)y-A

解析：選D.由于2a)=°,m-i-p.所以在"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件4發(fā)生在次的概率

為《(1—必”了故選D.

2.某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算：(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)

(D“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率；

(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率.

解：(1)記“預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確”為事件4

則產(chǎn)(力=0.8.

5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

“恰有2次準(zhǔn)確”的概率為

^=CsX2X3=0.0512=5,

因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.

(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，

其概率為

JR=C?X5+C5XX4=0.00672.

所以所求概率為-00672*0.99.

所以“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.

探究點(diǎn)2二項(xiàng)分布

額拋擲兩枚骰子，取其中一枚的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，另一枚的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)。的縱坐標(biāo),

求連續(xù)拋擲這兩枚骰子三次，點(diǎn)/在圓/+/=16內(nèi)的次數(shù)1的分布列.

【解】由題意可知，點(diǎn)。的坐標(biāo)共有6X6=36(種)情況，其中在圓夕十/=16內(nèi)的有點(diǎn)

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8種,則點(diǎn)夕在圓

oo

「+/=16內(nèi)的概率為

ooy

由題意可知h43,習(xí)，

所以夕(X=0)=c[D°x(J|3=1g,

m=c(敬軟=藕

產(chǎn)(乃=2)=《敬圖=彘

內(nèi)=3)=啕晨辭=割

故才的分布列為

X0123

34398288

P

729243243729

回國(guó)醫(yī)用

解決二項(xiàng)分布問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)對(duì)于公式?(*=4)=c](l—p)k*G=O,1,2,…，〃)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)

才能運(yùn)用，否則不能應(yīng)用該公式.

(2)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件

發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了〃次.

M跟蹤訓(xùn)練，如果出現(xiàn)k次正面的概率等于出現(xiàn)A+1次正面的概率，那么k的值等于

()

A.0B.1

C.2D.3

由題設(shè)得=cf'Qy,

解析：選C.事件4="正面向上”，發(fā)生的次數(shù)f

所以々+4+1=5,所以〃=2.

2,位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下列規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄?/p>

上或向右，并且向上、向右移動(dòng)的概率都是看質(zhì)點(diǎn)夕移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是()

解析：選B.質(zhì)點(diǎn)尸由原點(diǎn)移動(dòng)到(2,3)需要移

動(dòng)5次，且必須有2次向右，3次向上，所以質(zhì)點(diǎn)夕移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3)的概率即為質(zhì)

點(diǎn)。的5次移動(dòng)中恰有2次向右移動(dòng)的概率，而每一次向右移動(dòng)的概率都是看所以向右移

動(dòng)的次數(shù)乃~45,3，所以所求的概率為2(4=2)=點(diǎn)仔)◎=心(3)?

究點(diǎn)3二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用

側(cè)閉袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球.求：

(1)有放回抽樣時(shí)，取到黑球的次數(shù)才的分布列；

(2)不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)N的分布列.

【解】(1)有放回抽樣時(shí)，取到的黑球的次數(shù)/可能的取值為0,1,2,3.由于每次取到

黑球的概率均為，，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則h43,3,則

64

=125,

/V=1)=C；X?X?=48

125,

。(1=2)=弓><

/V=3)=C；X電3xg

所以才的分布列為

X0123

6448121

P

125125125125

(2)不放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)y可能的取值為0,1,2,

則P(y=o)=等=親，

Cio15

/g)華工

'"cto15

內(nèi)=2)=單」

所以y的分布列為

Y012

771

P"1515?5

二項(xiàng)分布實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解題策略

(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量.

(2)分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.

(3)找到參數(shù)"(試驗(yàn)的次數(shù))和事件發(fā)生的概率).

(4)寫出二項(xiàng)分布的分布列.

?跟蹤訓(xùn)練在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只需

在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為

(D求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；

(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的考生人數(shù)為％求X的分布列.

解：(D設(shè)事件力表示''甲選做第14題”，事件6表示“乙選做第14題”，則甲、乙2名

考生選做同一道題的事件為UABUAB”，且事件48相互獨(dú)立.

所以KABUA協(xié)=P(A)P(B)+尸(冷產(chǎn)(⑸=1x|+(1-1)X(1-1)=|,

(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4.

且X?8(4,.

所以夕(才=4)=仁§)”(1—今「"=《(》'(4=(),1,2,3,4).

所以隨機(jī)變量才的分布列為

X01234

11311

P

1648416

當(dāng)堂檢測(cè)，

9

1.某人投籃一次投進(jìn)的概率為引現(xiàn)在他連續(xù)投籃6次，且每次投籃相互之間沒(méi)有影響，那

么他投進(jìn)的次數(shù)&服從參數(shù)為(6,1)的二項(xiàng)分布，記為f??6,計(jì)算P(f=2)=

()

,20「8

243243

C----I)—

72927

解析：選A.根據(jù)二項(xiàng)分布概率的計(jì)算公式可得，?(4=2)=以修)彳1一|)'=券，故選A.

OQ

2.一名射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次，已知他至少命中一次的概率為無(wú)，則此射手一次

射擊命中的概率為()

1c2

A.§B-3

12

C.7D-

45

解析：選B.設(shè)此射手射擊四次命中次數(shù)為

一次射擊命中的概率為夕，所以f?5(4,p).

on

依題意可知，p(f2l)=而，

on

所以1—戶(<=0)=1—C?(l—p)4=—,

所以(1一0)'=5,

2

所以夕=1.

3.某市公租房的房源位于甲、乙、丙三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源,

且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的.則該市的4位申請(qǐng)人中恰有2人申請(qǐng)甲片區(qū)房源

的概率為.

解析：每位申請(qǐng)人申請(qǐng)房源為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)申請(qǐng)甲片區(qū)房源記為4

則尸⑼=|.恰有2人申請(qǐng)甲片區(qū)的概率為P=C\?(或?(J4

8

口案：訴

19

4.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為J,乙每次擊中目標(biāo)的概率為三.

求乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率.

解：設(shè)“乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次”為事件4“乙擊中目標(biāo)2次且甲擊中目標(biāo)0次”為

事件兒”乙擊中目標(biāo)3次且甲擊中目標(biāo)1次”為事件打，則4=5U氏，B、,氏為互斥事件,

則尸(4)=尸(加+尸(5)=C熾

所以乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率咻

課堂知識(shí)小結(jié)■■■

知識(shí)結(jié)構(gòu)深化拓展

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征

(1)每次試驗(yàn)都在同樣條件下進(jìn)行.

(2)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果：發(fā)生與不發(fā)生.

(3)各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立.

________」。次獨(dú)立1

獨(dú)立重飛成6驗(yàn)J(4)每次試驗(yàn)，某事件發(fā)生的概率都是一樣的.

品試驗(yàn)與一■(概率公式的應(yīng)用)-

［二項(xiàng)分布J候念的理解)T解決實(shí)際應(yīng)用:2.〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式中各字母的含義

上項(xiàng)分制

事件彳發(fā)生的概率

■(分布列及其應(yīng)用X事件4發(fā)生的概率7

P(演飛陟篇A,(溫尸"(其中*=0,1,2,

試驗(yàn)總次數(shù)\

事件4發(fā)生的次數(shù)

應(yīng)用案，鞏固提升i('巧豆跟豆，驗(yàn)證」

［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.某學(xué)生通過(guò)英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率對(duì),他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過(guò)的概

率是()

,4,2

A.§B-9

A

CDA

2727

解析：選A.記“恰有1次獲得通過(guò)”為事件A,

則尸(4)=以(\)?(1—故選A.

ooy

2.設(shè)隨機(jī)變量S服從二項(xiàng)分布f?8(6,6，則P(fW3)等于()

11B.擊

A-32

C紅D?看

32

解析：選C.P(fW3)=P(f=0)+P(f=l)+P(f=2)+P(f=3)=&xg)6+c；.(；尸+

1191

Co,(o)6+Ce?(7)6=77.故選C.

乙乙力乙

3.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，比賽采取五局三勝制，無(wú)論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束,

2

假定甲每局比賽獲勝的概率均為可，則甲以3：1的比分獲勝的概率為（）

O

A64

A，27

八48

C.TD.-

99

解析：選A.當(dāng)甲以3：1的比分獲勝時(shí)，說(shuō)明甲乙兩人在前三場(chǎng)比賽中，甲只贏了兩局，乙

22241

贏了一局，第四局甲贏，所以甲以3：1的比分獲勝的概率為—C女R2（l—

oJJyo

2g

X-=—,故選A.

4.一個(gè)學(xué)生通過(guò)某種英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率是看他連續(xù)測(cè)試〃次，，那么n的最小值為（）

A.6B.5

C.4D.3

解析：選c.由i-cgy,得gy,所以"24.

5.口袋里放有大小相同的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，每次有放回地摸取一個(gè)球，定義數(shù)列｛a｝,

_[-1,第〃次摸取紅球

=11,第〃次摸取白球如果S,為數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，那么$=3的概率為（)

A.dX(11)2X^9)5

B.C?X（9!）2X（1）S

C.C?X（1）2X（1）5

i）.dx（|1）2x（p92

解析：選B.由S=3知，在7次摸球中有2次摸取紅球，5次摸取白球，而每次摸取紅球的

9191

概率為*摸取白球的概率為于則s=3的概率為C次（§>2xq）5,故選B.

6.下列例子中隨機(jī)變量J服從二項(xiàng)分布的有一

①隨機(jī)變量f表示重復(fù)拋擲一枚骰子〃次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)；

②，從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)打

③有一批產(chǎn)品共有N件，其中"件為次品，采用有放回抽取方法，f表示〃次抽取中出現(xiàn)次

品的件數(shù)（，人V）；

④有一批產(chǎn)品共有N件，其中"件為次品，采用不放回抽取方法，f表示〃次抽取中出現(xiàn)次

品的件數(shù).

解析：對(duì)于①，設(shè)事件］為“拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)"，義力)=〈.而在〃次獨(dú)

立重復(fù)試驗(yàn)中事件力恰好發(fā)生了在次(衣=0,1,2,…，〃)的概率?(§=a=(：權(quán)(；，\停)

,符合二項(xiàng)分布的定義，即有f?彳〃，??；對(duì)于②，f的取值是1,2,3,…，n,Hf

=/=乂1(?=1,2,3,…，ri),顯然不符合二項(xiàng)分布的定義，因此f不服從二項(xiàng)分布；

③和④的區(qū)別是：③是“有放回”抽取，而④是“不放回”抽取，顯然④中〃次試驗(yàn)是不獨(dú)

立的，因此f不服從二項(xiàng)分布，對(duì)于③有f??〃，4

答案：①③

7.一袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個(gè)，取出后記下球的

顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)3次停止，設(shè)停止時(shí)，取球次數(shù)為隨機(jī)變量X,則尸(乃=5)

解析：X=5表示前4次中有2次取到紅球，2次取到白球，第5次取到紅球.

則尸(1=5)=d(1)2X(1)2x1=^-.

答案嚕

8.張師傅駕車從公司開往火車站，途經(jīng)4個(gè)交通崗，這4個(gè)交通崗將公司到火車站分成5

個(gè)路段，每個(gè)路段的駕車時(shí)間都是3分鐘，如果遇到紅燈要停留1分鐘.假設(shè)他在各交通崗

是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，并且概率都是［則張師傅此行程時(shí)間不少于16分鐘的概率為

解析：如果不遇到紅燈，全程需要15分鐘，否則至少需要16分鐘，所以張師傅此行程時(shí)間

不少于16分鐘的概率41-(1

OO1

_.65

口案：而

9.下列隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？如果服從二項(xiàng)分布，其參數(shù)各是什么？

(1)擲5枚相同的正方體骰子，才為出現(xiàn)“1點(diǎn)”的骰子數(shù).

(2)1000個(gè)新生嬰兒，乃為男嬰的個(gè)數(shù).

(3)某產(chǎn)品的次品率為0,X為〃個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù).

%,才為任取10個(gè)女人中患色盲的人數(shù).

解：(1)才服從參數(shù)為5,上的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為h?5,0

(2)才服從參數(shù)為1000,3的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為才?41000,

(3)才服從參數(shù)為〃，0的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為p).

(4)才服從參數(shù)為10,0.25%的二項(xiàng)分布,簡(jiǎn)記為h6(10,0.25%).

10.甲、乙兩隊(duì)參加世博會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一

2

分，答錯(cuò)或不答者得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為工，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別

221

為鼻，W，5,且每人答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響.用f表示甲隊(duì)的總得分.

(1)求隨機(jī)變量f的分布列；

(2)設(shè)。表示事件“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，求尸(0.

解：(1)由題意知，f的可能取值為0,1,2,3,且

2(30)=以(1一(f/,

Rf=D=以X|X(L|)W,

/叱=2)=以(於(1一|居,

仆=3)=C；X?3=/

所以f的分布列為

0123

1248

P

279927

(2)甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分，兩個(gè)事件是獨(dú)立的，

由上表可知，

4

甲隊(duì)得2分，其概率為尸(f=2)=§,

乙隊(duì)得1分，其概率為/^|x|x1+|x|x1+|x|x1=-^.

根據(jù)獨(dú)立事件概率公式得P9=張4得6=音10.

yiooi

[B能力提升]

11.近年來(lái)，政府提倡低碳減排，某班同學(xué)利用寒假在兩個(gè)小區(qū)逐戶調(diào)查人們的生活習(xí)慣是

否符合低碳觀念.若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為低碳族，否則稱為非低碳族.數(shù)據(jù)如下表

(計(jì)算過(guò)程把頻率當(dāng)成概率):

4小區(qū)低碳族非低碳族

頻率。

6小區(qū)低碳族非低碳族

頻率〃

(1)如果甲、乙來(lái)自4小區(qū)，丙、丁來(lái)自6小區(qū)，求這4人中恰有2人是低碳族的概率；

(2)4小區(qū)經(jīng)過(guò)大力宣傳，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列.如果2周后隨機(jī)

地從力小區(qū)中任選25個(gè)人，記才表示25個(gè)人中低碳族人數(shù)，試寫出才滿足的分布.

解：(1)設(shè)事件。表示“這4人中恰有2人是低碳族"，AO=d-2-Cb2+ti-XXti-X

2=0.01+0.16+0.16=0.33.

即甲、乙、丙、丁這4人中恰有2人是低碳族的概率為0.33.

(2)設(shè)A小區(qū)有a人，兩周后非低碳族的概率尸尸"85X"二2。%)=0.32.

a

故低碳族的概率8=1—0.32=0.68.

隨機(jī)地從A小區(qū)中任選25個(gè)人，這25個(gè)人是否為低碳族相互獨(dú)立，，故這25個(gè)人中低碳族

人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即46(25,).

12.為向國(guó)際化大都市目標(biāo)邁進(jìn)，沈陽(yáng)市今年新建三大類重點(diǎn)工程，它們分別是30項(xiàng)基礎(chǔ)

設(shè)施類工程，20項(xiàng)民生類工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程.現(xiàn)有來(lái)自沈陽(yáng)的3名工人相互獨(dú)立

地從這60個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).

(1)求這3人選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率；

(2)將此3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程的人數(shù)記為X求匯的分

布列.

解：記第/名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類，民生類，產(chǎn)業(yè)建設(shè)類分別為事件4,C,,

7=1,2,3.

由題意知4,4,4,By,Bz,&,G,G,G均相互獨(dú)立.

…、301,、201

則0(4)=而=5，尸(氏)=訴=可，

602603

/、101,\

產(chǎn)(乙)=云=/(2=1,2,3).

606

(1)3人選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率:

/^A^^G)=6x|x|X|=|.

(2)任一名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程的概率：P=3^04-10=-2

603

由才?13,|),所以,(％=/=成仔)"(1_|)3k

(k=0,1,2,3).

所以x的分布列為

X0123

1248

P

279927

13.(選做題)如圖，在豎直平面內(nèi)有一個(gè)“游戲滑道”，空白部分表示

光滑滑道，黑色正方形表示障礙物，自上而下第一行有1個(gè)障礙物，第

二行有2個(gè)障礙物，……，依此類推，一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)墓饣鶆蛐∏驈?/p>

入口/投入滑道，小球?qū)⒆杂上侣洌阎∏蛎看斡龅秸叫握系K物上

頂點(diǎn)時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是今記小球遇到第〃行第0個(gè)障礙物(從左至右)上頂點(diǎn)

的概率為P(〃，曲.

(1)求尸(4,1),尸(4,2)的值，并猜想夕(〃，血的表達(dá)式(不必證明)；

[4—x,

⑵已知人X)=.“1、設(shè)小球遇到第6行第勿個(gè)障礙物(從左至右)上頂點(diǎn)時(shí)，得

[十一3,3<xW6,

到的分?jǐn)?shù)為g=f(而，試求f的分布列.

解：⑴夕(4,D=C￡3=i

3

一(4,2)I

猜想P(〃，\

(2)f=3,2,1,

P(f=3)=尸(6,1)+P(6,6)=

5

P(f=2)=尸(6,2)+尸(6,5)=—,

5

夕(f=l)=P(6,3)+2(6,4)=-

O

故f的分布列為

2321

155

P

168

離散型隨機(jī)變量及其分布列、

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用（強(qiáng)化練）

一、選擇題

1.下列隨機(jī)變量乃不服從二項(xiàng)分布的是（）

A.投擲一枚均勻的骰子5次，才表示點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)的次數(shù)

B.某射手射中目標(biāo)的概率為0,設(shè)每次射擊是相互獨(dú)立的，才為從開始射擊到擊中目標(biāo)所需

要的射擊次數(shù)

C.實(shí)力相等的甲、乙兩位選手進(jìn)行了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝的次數(shù)

D.某星期內(nèi)，每次下載某網(wǎng)站的數(shù)據(jù)被病毒感染的概率為，片表示下載〃次數(shù)據(jù)電腦被病

毒感染的次數(shù)

解析：選B.選項(xiàng)A,試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種：點(diǎn)數(shù)為6和點(diǎn)數(shù)不為6,且點(diǎn)數(shù)6在每一次

試驗(yàn)中概率都為《，每一次試驗(yàn)都是相互獨(dú)立的，故隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布.選項(xiàng)B,雖

然隨機(jī)變量在每一次試驗(yàn)中的結(jié)果只有兩種，每一次試驗(yàn)事件相互獨(dú)立且概率不發(fā)生變化，

但隨機(jī)變量的取值不確定，故隨機(jī)變量/不服從二項(xiàng)分布.選項(xiàng)C,甲、乙的獲勝率相等，

進(jìn)行5次比賽，相當(dāng)于進(jìn)行了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故彳服從二項(xiàng)分布.選項(xiàng)D,由二項(xiàng)分布

的定義，知被感染次數(shù)—6（〃，）.

2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列各項(xiàng)中正確的是（）

-10123

P

A.0（彳=1.5）=0B.。（尤＞一1）=1

C.尸（*3）=0.5D.P（*0）=0

解析：選A.由分布列知人故PCT=L5）=0,正確；而P（XP（X,。（招正確.

3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如表所示，則尸（-21=1）等于（）

1234

111

Pm

643

7

-

12

1

2D.6-

解析：選C.由分布列的性質(zhì)知工+彳+[+必=1,故/=).又由?戶2|=1,知X=3或片=1.

04o4

115

所以尸(11—21=1)=P(￥=3)+P(X=1)=-+-=—選C.

4612

93

4.甲、乙兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為不和不兩個(gè)零件是否

加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為()

1

2-

A.

C11

4-D.6-

解析：選B.設(shè)事件4甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品，

事件6：乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品，

23

則a(4)=-,P{B)=~,

所以這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為

P{AB)+夕("7B)=204)PCB)+P(A)P(B)=

5.盒中有10只螺絲釘，其中3只是壞的，現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩只，那么在第一

只抽取為好的條件下，第二只是壞的概率為()

11

A-12B-3

831

C-84D-84

解析：選B.設(shè)事件4為“第一只抽取為好

的”，事件6為“第二只是壞的"，則尸。)=詈，P(陰=串所以P(曲⑷選B.

6.從混有5張假鈔的20張一百元紙幣中任意抽取2張，將其中一張?jiān)隍?yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是

假鈔，則這兩張都是假鈔的概率為()

A------R------

1918

C4c2

r—n—

1917

解析：選D.設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件8表示“抽到的兩張至少有一張

假鈔”，

則所求的概率即。(如⑸.

z*0c/八d八/"d+tick4八一小P(AB)d102

P(A3)—P(A)-TF>P(B)—73，由公式’(川0—p(口、—-r2?riri-1A?7t：一行?故選

C20C20ryD)十C5c1510十7517

D.

7.某工廠師徒二人加工相同型號(hào)的零件，是否加工出精品互不影響.已知師傅加工一個(gè)零

21

件是精品的概率為尋徒弟加工一個(gè)零件是精品的概率轉(zhuǎn)，師徒二人各加工2個(gè)零件不全是

精品的概率為()

82

A.§B.-

11

C-3D-9

21

解析：選A.因?yàn)閹煾导庸ひ粋€(gè)零件是精品的概率為可，徒弟加工一個(gè)零件是精品的概率為5,

?J乙

師徒二人各加工2個(gè)零件不全是精品的對(duì)立事件是師徒二人各加工2個(gè)零件全是精品，所以

師徒二人各加工2個(gè)零件不全是精品的概率為

/*=1—d(1)2d1-故選A.

8.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來(lái)跳去(每次跳躍時(shí)，均從

一片荷葉跳到另一片荷葉)，而且逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适琼槙r(shí)針?lè)较蛱母怕实?/p>

兩倍，如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在4荷葉上，則跳三次之后停在/荷葉上的概

率是()

21

解析：選A.由已知得逆時(shí)針跳一次的概率為1,順時(shí)針跳一次的概率為9則逆時(shí)針跳三次

停在A上的概率為順時(shí)針跳三次停在A上的概率為5〈=白所

O11

以跳三次之后停在A上的概率為P=P\+P2=—+—=^.

9.如果—傘0,；),h420,那么當(dāng)其踐化時(shí)，使夕(1=及)=P(?=%)成立的(四,

%的個(gè)數(shù)為()

A.10B.20

C.21D.0

解析：選C.根據(jù)二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，知⑸,㈤分別為(0,20),(1,19),(2,18),…,(20,

0),共21個(gè)，故選C.

10.己知隨機(jī)變量h8(20,1),若使P(￥=衣)的值最大，則"等于()

A.5或6B.6或7

C.7D.7或8

但人產(chǎn)(￥=4+1)嗡方+'產(chǎn)120-A

解析：選B.令p(x=k)=c""一赤超4

得內(nèi)6,

即當(dāng)尿6時(shí),/(￥=左+1)>/(片=1)；

當(dāng)A=6時(shí)，P(1=7)=A/=6)；

當(dāng)4>6時(shí)，P(X=k+l)WX=a.

所以P(￥=6)和P(￥=7)的值最大，故選B.

二、填空題

11.現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張2元的，2張5元的，從中同時(shí)取3張，記所得金額為f元,

則,(f=6)=,Plf=9)=.

解析：f=6代表事件為取出的三張都是2元的，

所以P(g=6)=油=后，

a=9代表事件為取出的三張有兩張2元的，一張5元的,

dC27

所以尸(6=9)

77

答案：西

15

5

12.設(shè)隨機(jī)變量f?6(2,0)，〃?8(4,p),若P(f'l)=w，則P(〃22)的值為

y

解析：因?yàn)殡S機(jī)變量f?6(2,p),“?6(4,加，又P(f21)=1一0(f=0)=1—(1—p)?

4

51,所以〃~44,1

=g,角軍得夕=§貝|JP(n22)=1—p(〃=o)—P(〃=1)=1—11—g

11X1/_____

MT?3-27,

答案：而

42

13.某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是二，刮四級(jí)以上風(fēng)的概率為77,既刮四級(jí)以上

風(fēng)又下雨的概率端,設(shè)事件1為下雨，事件8為刮四級(jí)以上的風(fēng)，那么。(倒4)=.

解析：由題意知2(4)=白，戶(面=卷，P(A%=白,所以。(6|4)==」=[.

151510P(力)8

答案：j

14.,每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種.則每穴至少種粒，才能

保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.(1g2=0.3010)

解析：記事件4為“種一粒種子,發(fā)芽”，則P(4尸(4)=1-0.8=0.2.

因?yàn)槊垦ǚN〃粒相當(dāng)于做了〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，記事件6為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”，

則尸(面=a°(1一。8)砌,

所以?(而=1一2(下".

根據(jù)題意，得P(而>98%,"<0.02.

兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，得

n,即〃(1g2-1)<lg2—2,

1g2-21.6990八八

所以〃〉------=-------弋243

1g2-10.6990

因?yàn)??eN,,

所以〃的最小正整數(shù)值為3.

答案：3

三、解答題

23

15.已知甲、乙兩人在一次射擊中命中目標(biāo)的概