6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例課件高一下學期數(shù)學人教A版

第六章平面向量及其應用平面幾何中的向量方法向量在物理中的應用舉例人教A版

數(shù)學

必修第二冊課程標準1.能運用平面向量的知識解決一些簡單的平面幾何問題和物理問題.2.掌握用向量法解決平面幾何問題的兩種基本方法——選擇基底法和建系坐標法.3.通過具體問題的解決,理解用向量知識研究物理問題的一般思路與方法,培養(yǎng)探究意識和應用意識,體會向量的工具作用.基礎落實·必備知識全過關知識點1

向量在平面幾何中的應用1.由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質,如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的___________

及

表示出來,因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.

2.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用

表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為

問題;

(2)通過

運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;

(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.線性運算數(shù)量積向量向量向量3.(1)證明線段平行或點共線問題,常用共線向量定理:a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0[a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0].(2)證明垂直問題,常用數(shù)量積的運算性質:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0[a=(x1,y1),b=(x2,y2)].過關自診1.平面幾何的哪些問題可以借助向量處理?試舉幾個例子.提示

平面幾何中可以借助向量處理的問題有很多,例如平行問題可借助向量共線解決,垂直問題可借助向量數(shù)量積解決,求線段的長可借助求向量的模解決,求角的大小可借助向量夾角公式解決等等.A.是正三角形

B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形狀無法確定

C3.已知四邊形ABCD是菱形,AC和BD是它的兩條對角線,求證:AC⊥BD.知識點2

向量在物理中的應用1.物理學中的許多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.2.物理學中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加減法.3.利用向量方法解決物理問題的基本步驟:(1)問題轉化,即把物理問題轉化為數(shù)學問題;(2)建立模型,即建立以向量為載體的數(shù)學模型;(3)求解參數(shù),即求向量的模、夾角、數(shù)量積等;(4)回答問題,即把所得的數(shù)學結論回歸到物理問題.過關自診1.物理學中的哪些問題可以借助向量處理?試舉幾個例子.提示

例如物理學中的矢量的合成與分解即為向量的合成與分解,做功問題即為向量的數(shù)量積運算等等.2.在平面直角坐標系中,作用于坐標原點的兩個力為F1=(1,1),F2=(2,3),為使它們平衡,需在原點施加力F3=

.

(-3,-4)解析

由題意知,F1+F2+F3=0,∴F3=-F1-F2=-(F1+F2)=(-3,-4).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一向量在平面幾何中的應用角度1

平行或共線問題

規(guī)律方法

證明A,B,C三點共線的步驟證明其中兩點組成的向量與另外兩點組成的向量共線→說明兩向量有公共點→下結論:三點共線變式訓練1[人教B版教材例題]如圖所示,已知平行四邊形ABCD中,E,F在對角線BD上,并且BE=FD.求證:四邊形AECF是平行四邊形.角度2

垂直問題【例2】

如圖,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,四邊形PECF是矩形,用向量證明:PA⊥EF.(方法二)以D為原點,DC,DA所在直線分別為x軸、y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.規(guī)律方法

向量法證明平面幾何中AB⊥CD的方法

變式訓練2如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點,求證:AF⊥DE.角度3

長度問題【例3】

如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對角線BD=2,求對角線AC的長.變式訓練3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,則BC的長為(

)B角度4

夾角問題【例4】

已知矩形ABCD,AB=,AD=1,E為DC上靠近D的三等分點,求∠EAC的大小.變式探究本例中,條件不變,試問:在BC上是否存在點M,使得∠EAM=45°?若存在,求出點M的位置;若不存在,說明理由.規(guī)律方法

平面幾何中夾角問題的求解策略利用平面向量解決幾何中的夾角問題時,本質是將平面圖形中的角視為兩個向量的夾角,借助夾角公式進行求解,這類問題也有兩種方向,一是利用基底法,二是利用坐標運算.在求解過程中,務必注意向量的方向.探究點二向量在物理中的應用角度1

用向量解決力學問題【例5】

[蘇教版教材例題]如圖,無彈性的細繩OA,OB的一端分別固定在A,B處,同樣的細繩OC下端系著一個稱盤,且使得OB⊥OC,試分析OA,OB,OC三根繩子受力的大小,并判斷哪根繩子受力最大.解

設OA,OB,OC三根繩子所受的力分別為a,b,c,則a+b+c=0.如圖,因為a,b的合力為c'=a+b,所以|c|=|c'|.規(guī)律方法

力的合成與分解的向量解法運用向量解決力的合成與分解時,實質就是向量的線性運算,因此可借助向量運算的平行四邊形法則或三角形法則進行求解.變式訓練4一個物體受到平面上的三個力F1,F2,F3的作用處于平衡狀態(tài),已知F1,F2成60°角,且|F1|=3N,|F2|=4N,則F1與F3夾角的余弦值是

.

角度2

用向量解決速度問題【例6】

在風速為

的西風中,飛機以150km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風時飛機的航速和航向.解

設ω為風速,va為有風時飛機的航行速度,vb為無風時飛機的航行速度,va=vb+ω.如圖所示.規(guī)律方法

速度問題的向量解法運用向量解決物理中的速度問題時,一般涉及速度的合成與分解,因此應充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問題轉化為數(shù)學中的向量問題,正確地作出圖形解決問題.變式訓練5一船以8km/h的速度向東航行,船上的人測得風自北方來;若船速加倍,則測得風自東北方向來,求風速的大小及方向.解

分別取正東、正北方向上的單位向量i,j組成基底,設風速為xi+yj.依題意第一次船速為8i,第二次船速為16i.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)利用向量解決平面幾何中的平行(垂直)、長度、角度等問題.(2)利用向量解決物理學中的位移、速度、力做功等問題.2.方法歸納:數(shù)學建模.3.常見誤區(qū):不能將幾何、物理問題建立起向量模型.成果驗收·課堂達標檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎練1.[探究點一(角度4)]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D為AC中點,則cos∠BDC=(

)B12345678910111213141516172.[探究點二(角度1)]體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的部分,某學生做引體向上運動,處于如圖所示的平衡狀態(tài),若兩只胳膊的夾角為60°,每只胳膊的拉力大小均為360N,則該學生的體重m(單位:kg)約為(

)(參考數(shù)據(jù):取重力加速度大小g=10m/s2,=1.732)A.64 B.62

C.76

D.60B1234567891011121314151617C12345678910111213141516174.[探究點二(角度2)]一條河寬為80000m,一船從A處出發(fā)垂直航行到達河正對岸的B處,船速為20km/h,水速為12km/h,則船到達B處所需時間為

h.

512345678910111213141516175.[探究點二(角度1)]用兩條成120°角的等長的無彈性的繩子懸掛一個燈具,如圖所示,已知燈具受到的重力為10N,則每根繩子的拉力大小為

N.

10解析

設重力為G,每根繩的拉力分別為F1,F2,則由題意得F1,F2與-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10

N,∴每根繩子的拉力都為10

N.12345678910111213141516176.[探究點一(角度3)·2023河南洛陽月考]如圖,E,F分別是四邊形ABCD的邊AD,BC的中點,AB=1,CD=2,∠ABC=75°,∠BCD=45°,則線段EF的長是

.

12345678910111213141516177.[探究點一(角度2)]如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.123456789101112131415161712345678910111213141516178.[探究點二(角度2)]某人騎摩托車以20km/h的速度向西行駛,感覺到風從正南方向吹來,而當其速度變?yōu)?0km/h時,他又感覺到風從西南方向吹來,求實際風速的大小和方向.1234567891011121314151617解

設v1表示20

km/h的速度,在無風時,此人感覺到的風速為-v1,實際的風速為v,那么此人所感覺到的風速為v+(-v1)=v-v1.12345678910111213141516171234567891011121314151617B級關鍵能力提升練A.內心 B.外心

C.重心 D.垂心

B123456789101112131415161710.(多選題)如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運動時設水的阻力大小不變,那么小船勻速靠岸過程中,下列四個選項中,其中正確的是(

)A.繩子的拉力不斷增大B.繩子的拉力不斷變小C.船的浮力不斷變小D.船的浮力保持不變AC1234567891011121314151617123456789101112131415161711.一條漁船距對岸4km,以2km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去,到達對岸時,船的實際行程為8km,則河水的流速是

km/h.

解析

如圖,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,則v=v1+v2為船的實際航行速度.12345678910111213141516175123456789101112131415161713.一條東西方向的河流兩岸平行,河寬250m,河水的速度為向東2km/h.一艘小貨船準備從河南岸的碼頭A處出發(fā),航行到位于對岸B(AB與河岸的方向垂直)的正西方向并且與B相距250m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船的速度(自身動力產(chǎn)生的速度)的合速度的大小為6km/h,則當小貨船的航程最短時,航行的合速度方向與正西方向的夾角為

,小貨船的速度大小為

km/h.

30°123456789101112131415161714.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點,BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于點F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.123456789101112131415161712345678910111213