2.1兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第四章三角恒等變換2.1兩角和與差的余弦公式及其應(yīng)用北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.能利用三角函數(shù)的定義與向量知識推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式.2.掌握兩角和與差的余弦公式,能夠運(yùn)用公式解決相關(guān)問題.3.體會公式運(yùn)用中一般與特殊的轉(zhuǎn)化關(guān)系.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)一

兩角差的余弦公式

如圖,設(shè)角α,β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別記為P,Q.此時,點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ).如果0≤α-β≤π,由于向量

和向量

都是單位向量,它們的夾角是α-β,根據(jù)向量數(shù)量積的定義知,=cos(α-β),再利用向量的坐標(biāo)表示,得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.所以對于任意角α,β來說,上述結(jié)論仍然成立.這樣,就得到了兩角差的余弦公式:cos(α-β)=

,記作Cα-β.

cosαcosβ+sinαsinβ過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)對于任意角α,β,總有cos(α-β)=cosα-cosβ.(

)(3)cos54°cos24°+cos36°sin24°=cos30°.(

)××√知識點(diǎn)二

兩角和的余弦公式這里用的是加法和減法運(yùn)算的聯(lián)系.因為Cα-β中對任意α,β都成立,所以把其中的β?lián)Q成-β也一定成立因為α+β=α-(-β),所以由公式Cα-β,得cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=

.

這就是兩角和的余弦公式,記作Cα+β.cosαcosβ-sinαsinβ名師點(diǎn)睛公式中的角α,β是任意的,要注意公式的逆用、變形應(yīng)用.兩角和的余弦值等于兩角的余弦之積減去正弦之積.名稱公式簡記符號條件兩角和的余弦cos(α+β)=cos

αcos

β-sin

αsin

βCα+βα,β∈R兩角差的余弦cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsin

βCα-β過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)不存在角α,β,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(

)(2)對于任意角α,β,總有cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(

)(3)對于任意角α,β,總有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)××√×2.在cos(α±β)的公式中,α,β可以是幾個角的組合嗎?提示

可以.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一利用兩角和與差的余弦公式解決給角求值問題【例1】

求下列各式的值:(1)cos(-375°);(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα;(2)cos

75°cos

15°-sin

75°sin

195°=cos

75°cos

15°+sin

75°sin

15°=cos(75°-15°)=cos

60°=.(3)cos(α+45°)cos

α+sin(α+45°)sin

α=cos

[(α+45°)-α]=cos

45°=.規(guī)律方法

利用公式Cα-β求值的方法技巧在利用兩角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題時,要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差(或同一個非特殊角與特殊角的差),利用公式直接化簡求值.在轉(zhuǎn)化過程中,要充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,正確地順用公式或逆用公式來求值.變式訓(xùn)練1求值:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).解

(1)sin

46°cos

14°+sin

44°cos

76°=sin(90°-44°)cos

14°+sin

44°cos(90°-14°)=cos

44°cos

14°+sin

44°sin

14°=cos(44°-14°)=cos

30°=.(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)=cos

[(θ+70°)-(θ+10°)]=cos

60°=.探究點(diǎn)二利用兩角和與差的余弦公式解決給值求值問題規(guī)律方法

給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系,適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角.(2)由于和、差角與單角是相對的,因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見角的變換有:探究點(diǎn)三利用兩角和與差的余弦公式解決給值求角問題規(guī)律方法

解決三角函數(shù)給值求角問題的方法步驟(1)確定角的范圍,根據(jù)條件確定所求角的范圍;(2)求所求角的某種三角函數(shù)值,最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù);(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.B本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo);(2)給角求值,給值求值,給值求角.2.方法歸納:構(gòu)造法.3.常見誤區(qū):(1)公式中符號易弄反;(2)求角時易忽視角的范圍.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選)下列各式化簡正確的是(

)A.cos80°cos20°-sin80°sin20°=cos100°B.cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°C.sin(α+45°)sinα+cos(α+45°)cosα=cos45°ABC解析

根據(jù)兩角和與差的余弦公式知,A,B,C均正確,D選項錯誤.12345678910111213141516A12345678910111213141516C12345678910111213141516BCD1234567891011121314151612345678910111213141516AC123456789101112131415166.化簡cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=

.

123456789101112131415167.已知sinα=,α是第二象限角,則tanα=

,cos(α+60°)=

.

1234567891011121314151612345678910111213141516B級關(guān)鍵能力提升練A.最小正周期為π的偶函數(shù) B.最小正周期為2π的偶函數(shù)C.最小正周期為π的奇函數(shù) D.最小正周期為2π的奇函數(shù)D12345678910111213141516A12345678910111213141516ABCD12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151613.在△ABC中,A,B,C為三個內(nèi)角,向量p=(cosB,-sinB),q=(cosC,sinC),且(q-2p)⊥q,則A=

.

123456789101112131415161234567891011121314151615.如圖,在平面直角坐標(biāo)系的單位圓O中,設(shè)∠AOx=α,∠BOx=β,∠AOB=α-β.(1)利用單位圓、向量知識證明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角α,β的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合,角α的終邊上有一點(diǎn)A,坐標(biāo)為(1,-1).(2)若角β滿足下列三個條件之一:①銳角