2.1兩角和與差的余弦公式及其應用課件高一下學期數學北師大版

第四章三角恒等變換2.1兩角和與差的余弦公式及其應用北師大版

數學

必修第二冊目錄索引基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.能利用三角函數的定義與向量知識推導出兩角和與差的余弦公式.2.掌握兩角和與差的余弦公式,能夠運用公式解決相關問題.3.體會公式運用中一般與特殊的轉化關系.基礎落實·必備知識全過關知識點一

兩角差的余弦公式

如圖,設角α,β的終邊與單位圓的交點分別記為P,Q.此時,點P和點Q的坐標分別為(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ).如果0≤α-β≤π,由于向量

和向量

都是單位向量,它們的夾角是α-β,根據向量數量積的定義知,=cos(α-β),再利用向量的坐標表示,得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.所以對于任意角α,β來說,上述結論仍然成立.這樣,就得到了兩角差的余弦公式:cos(α-β)=

,記作Cα-β.

cosαcosβ+sinαsinβ過關自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)對于任意角α,β,總有cos(α-β)=cosα-cosβ.(

)(3)cos54°cos24°+cos36°sin24°=cos30°.(

)××√知識點二

兩角和的余弦公式這里用的是加法和減法運算的聯系.因為Cα-β中對任意α,β都成立,所以把其中的β換成-β也一定成立因為α+β=α-(-β),所以由公式Cα-β,得cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=

.

這就是兩角和的余弦公式,記作Cα+β.cosαcosβ-sinαsinβ名師點睛公式中的角α,β是任意的,要注意公式的逆用、變形應用.兩角和的余弦值等于兩角的余弦之積減去正弦之積.名稱公式簡記符號條件兩角和的余弦cos(α+β)=cos

αcos

β-sin

αsin

βCα+βα,β∈R兩角差的余弦cos(α-β)=cos

αcos

β+sin

αsin

βCα-β過關自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)不存在角α,β,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(

)(2)對于任意角α,β,總有cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(

)(3)對于任意角α,β,總有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)××√×2.在cos(α±β)的公式中,α,β可以是幾個角的組合嗎?提示

可以.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用兩角和與差的余弦公式解決給角求值問題【例1】

求下列各式的值:(1)cos(-375°);(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα;(2)cos

75°cos

15°-sin

75°sin

195°=cos

75°cos

15°+sin

75°sin

15°=cos(75°-15°)=cos

60°=.(3)cos(α+45°)cos

α+sin(α+45°)sin

α=cos

[(α+45°)-α]=cos

45°=.規(guī)律方法

利用公式Cα-β求值的方法技巧在利用兩角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函數式的求值問題時,要先把非特殊角轉化為特殊角的差(或同一個非特殊角與特殊角的差),利用公式直接化簡求值.在轉化過程中,要充分利用誘導公式,構造出兩角差的余弦公式的結構形式,正確地順用公式或逆用公式來求值.變式訓練1求值:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).解

(1)sin

46°cos

14°+sin

44°cos

76°=sin(90°-44°)cos

14°+sin

44°cos(90°-14°)=cos

44°cos

14°+sin

44°sin

14°=cos(44°-14°)=cos

30°=.(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)=cos

[(θ+70°)-(θ+10°)]=cos

60°=.探究點二利用兩角和與差的余弦公式解決給值求值問題規(guī)律方法

給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數值,求另外一些角的三角函數值,要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系,適當地拆角與湊角.(2)由于和、差角與單角是相對的,因此解題過程中根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換.常見角的變換有:探究點三利用兩角和與差的余弦公式解決給值求角問題規(guī)律方法

解決三角函數給值求角問題的方法步驟(1)確定角的范圍,根據條件確定所求角的范圍;(2)求所求角的某種三角函數值,最好選取在上述范圍內單調的三角函數;(3)結合三角函數值及角的范圍求角.B本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)兩角和與差的余弦公式的推導;(2)給角求值,給值求值,給值求角.2.方法歸納:構造法.3.常見誤區(qū):(1)公式中符號易弄反;(2)求角時易忽視角的范圍.成果驗收·課堂達標檢測12345678910111213141516A級必備知識基礎練1.(多選)下列各式化簡正確的是(

)A.cos80°cos20°-sin80°sin20°=cos100°B.cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°C.sin(α+45°)sinα+cos(α+45°)cosα=cos45°ABC解析

根據兩角和與差的余弦公式知,A,B,C均正確,D選項錯誤.12345678910111213141516A12345678910111213141516C12345678910111213141516BCD1234567891011121314151612345678910111213141516AC123456789101112131415166.化簡cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=

.

123456789101112131415167.已知sinα=,α是第二象限角,則tanα=

,cos(α+60°)=

.

1234567891011121314151612345678910111213141516B級關鍵能力提升練A.最小正周期為π的偶函數 B.最小正周期為2π的偶函數C.最小正周期為π的奇函數 D.最小正周期為2π的奇函數D12345678910111213141516A12345678910111213141516ABCD12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151613.在△ABC中,A,B,C為三個內角,向量p=(cosB,-sinB),q=(cosC,sinC),且(q-2p)⊥q,則A=

.

123456789101112131415161234567891011121314151615.如圖,在平面直角坐標系的單位圓O中,設∠AOx=α,∠BOx=β,∠AOB=α-β.(1)利用單位圓、向量知識證明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.在平面直角坐標系中,已知角α,β的頂點都在坐標原點,始邊都與x軸的非負半軸重合,角α的終邊上有一點A,坐標為(1,-1).(2)若角β滿足下列三個條件之一:①銳角