2024-2025學年北師版中學數學九年級上冊 1.2矩形的性質與判定（第3課時） 教學課件

第一章特殊平行四邊形第三課時第一章特殊平行四邊形1.2

矩形的性質與判定

矩形的判定與性質的應用學習目標1．回顧矩形的性質及判定方法．2．矩形的性質和判定方法與其他有關知識的綜合運用.(難點)有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.矩形的特殊性質1.矩形的定義（Ａ）矩形的四個角都是直角.（Ｂ）矩形的對角線相等.3.矩形的判定(A)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.(B)對角線相等的平行四邊形是矩形.(C)有三個角是直角的四邊形是矩形.知識回顧24September20244、直角三角形的性質及判定方法角：直角三角形兩銳角互余。線段：邊角關系：（1）勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（2）斜邊中線的性質：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半。（1）直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

（2）直角三角形中，若直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。ABCD例1：如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，求AE的長.分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易證得△OAB是等邊三角形，繼而求得∠BAE的度數，由△OAB是等邊三角形，求出∠ADE的度數，又由AD=6，即可求得AE的長.矩形的性質與判定綜合運用例題講解

【點評】此題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用.例2：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）連接DE，交AC于點F，請判斷四邊形ABDE的形狀，并證明；（3）線段DF與AB有怎樣的關系？請直接寫出你的結論.（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°.∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°.∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四邊形ADCE為矩形.（1）求證：四邊形ADCE為矩形；分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可證得四邊形ADCE為矩形.解：四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：由（1）知，四邊形ADCE為矩形，則AE=CD，AC=DE．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形.（2）連接DE，交AC于點F，請判斷四邊形ABDE的形狀，并證明；分析：利用（1）中矩形的對角線相等推知：AC=DE；結合已知條件可以推知AB∥DE，又AE=BD，則易判定四邊形ABDE是平行四邊形.解：DF∥AB，DF=AB．理由如下：∵四邊形ADCE為矩形，∴AF=CF.∵BD=CD，∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥AB，DF=AB.（3）線段DF與AB有怎樣的關系？請直接寫出你的結論.分析：由四邊形ADCE為矩形，可得AF=CF，又由AD是BC邊的中線，即可得DF是△ABC的中位線，則可得DF∥AB，DF=AB.【點評】此題考查了矩形的判定與性質、三線合一以及三角形中位線的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用.例3：如圖，在△ABC中,

AB=AC,D為BC上一點，以AB,BD為鄰邊作平行四邊形ABDE,連接AD

,

EC.（1）求證：△ADC≌△ECD;（2）若BD=CD,求證：四邊形ADCE是矩形.證明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四邊形ABDE是平行四邊形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.ADCEB(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四邊形ABDE是平行四邊形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四邊形ADCE是平行四邊形,而∠ADC=90°,∴四邊形ADCE是矩形.ADCEB例4：如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF＝BD.連接BF.(1)BD與DC有什么數量關系？請說明理由；(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中點，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC.分析：根據“兩直線平行，內錯角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”證明△AEF和△DEC全等，根據“全等三角形對應邊相等”可得AF＝CD，再利用等量代換即可得BD＝CD.(2)當△ABC滿足AB＝AC時，四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四邊形AFBD是矩形．【方法總結】本題綜合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關鍵．分析：先利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三線合一的性質可知△ABC滿足的條件必須是AB＝AC.例5：如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N.(1)求證：CM＝CN；(2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，求的值．(1)求證：CM＝CN；解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，由折疊知∠CNM＝∠ANM，∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM.

解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1，設DN＝x，則CM＝3x，過點N作NK⊥BC于點K，∵DC⊥BC，∴NK∥DC.又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x.由(1)知CN＝CM＝3x，∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2，

1.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1，S2，則S1，S2的大小關系是(

)A．S1>S2

B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2B當堂檢測2．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點，AH⊥BC于點H，連接EH，若DF＝10cm，則EH等于(

)A．8cm

B．10cm

C．16cm

D．24cmB3.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，若∠CAE＝15°，則∠BOE＝____度．754．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么點C的坐標為

．5.如圖，點D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA＝MC.(1)求證：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

證明：(1)證△AMD≌△CMN得AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四邊形ADCN是平行四邊形，∴CD＝AN.

(2)若∠AMD＝2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

證明：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由(1)知四邊形ADCN是平行四邊形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴?ADCN是矩形.

1.如圖，矩形ABCD中，AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為（）A.3B.4C.5D.6分析：先根據矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長．D拓展提升解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8.∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5.在Rt△CEF中，設AB=x，在Rt△ABC中,即，解得x=6，則AB=6．故答案為：D．2．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD＝____．分析：連接EF，則可證明△EA'F≌△EDF，從而根