2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（二）：第41煉 指對數(shù)比較大小含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題（二）：第41煉指對數(shù)比較大小含答案第41煉指對數(shù)比較大小在填空選擇題中我們會遇到一類比較大小的問題，通常是三個指數(shù)和對數(shù)混在一起，進行排序。這類問題如果兩兩進行比較，則花費的時間較多，所以本講介紹處理此類問題的方法與技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判斷對數(shù)的符號？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負”，容我慢慢道來：判斷對數(shù)的符號，關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為和（1）如果底數(shù)和真數(shù)均在中，或者均在中，那么對數(shù)的值為正數(shù)（2）如果底數(shù)和真數(shù)一個在中，一個在中，那么對數(shù)的值為負數(shù)例如：等2、要善于利用指對數(shù)圖像觀察指對數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關(guān)系，一作圖，自明了3、比較大小的兩個理念：（1）求同存異：如果兩個指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關(guān)系，所以要熟練運用公式，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況例如：，比較時可進行轉(zhuǎn)化，盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底，但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤?，從而只需比較底數(shù)的大小即可（2）利用特殊值作“中間量”：在指對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“0,1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各個擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如，可知，進而可估計是一個1點幾的數(shù)，從而便于比較4、常用的指對數(shù)變換公式：（1）（2）（3）（4）換底公式：進而有兩個推論：（令）二、典型例題：例1：設(shè)，則的大小關(guān)系是______________思路：可先進行分堆，可判斷出，從而肯定最大，只需比較即可，觀察到有相同的結(jié)構(gòu)：真數(shù)均帶有根號，抓住這個特點，利用對數(shù)公式進行變換：，從而可比較出，所以答案：例2：設(shè)，則的大小關(guān)系是___________思路：觀察發(fā)現(xiàn)均在內(nèi)，的真數(shù)相同，進而可通過比較底數(shù)得到大小關(guān)系：，在比較和的大小，由于是指數(shù)，很難直接與對數(shù)找到聯(lián)系，考慮估計值得大?。?，可考慮以為中間量，則，進而，所以大小順序為答案：例3：設(shè)則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.思路：觀察到都是以為底的對數(shù)，所以將其系數(shù)“放”進對數(shù)之中，再進行真數(shù)的比較。發(fā)現(xiàn)真數(shù)的底與指數(shù)也不相同，所以依然考慮“求同存異”，讓三個真數(shù)的指數(shù)一致：，通過比較底數(shù)的大小可得：答案：C小煉有話說：（1）本題的核心處理方式就是“求同存異”，將三個數(shù)變形為具備某相同的部分，從而轉(zhuǎn)換比較的對象，將“無法比較”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱梢员容^”（2）本題在比較指數(shù)冪時，底數(shù)的次數(shù)較高，計算起來比較麻煩。所以也可以考慮將這三個數(shù)兩兩進行比較，從而減少底數(shù)的指數(shù)便于計算。例如可以先比較，從而，同理再比較或即可例4：設(shè)，，，則（）A.B.C.D.思路：觀察可發(fā)現(xiàn)：，所以可得：答案：D例5：設(shè)則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.思路：觀察可發(fā)現(xiàn)的底數(shù)相同，的指數(shù)相同，進而考慮先進行這兩輪的比較。對于，兩者底數(shù)在，則指數(shù)越大，指數(shù)冪越小，所以可得，再比較，兩者指數(shù)相同，所以底數(shù)越大，則指數(shù)冪越大，所以，綜上：答案：B例6：已知三個數(shù)，則它們之間的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.思路：可先進行分組，，，所以只需比較大小，兩者都介于之間且一個是對數(shù)，一個是三角函數(shù)，無法找到之間的聯(lián)系。所以考慮尋找中間值作為橋梁。以作為入手點。利用特殊角的余弦值估計其大小。，而，從而，大小順序為答案：A小煉有話說：在尋找中間量時可以以其中一個為入手點，由于非特殊角的三角函數(shù)值可用特殊角三角函數(shù)值估計值的大小，所以本題優(yōu)先選擇作為研究對象。例7：（2015甘肅河西三校第一次聯(lián)考）設(shè)，則（）A.B.C.D.思路：首先進行分組，可得，下面比較的大小，可以考慮以作為中間量，，所以，從而答案：D例8：設(shè)且，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.思路：由可得：，先用將分堆，，，則為最大，只需要比較即可，由于的底數(shù)與真數(shù)不同，考慮進行適當(dāng)變形并尋找中間量。，而，因為，所以，所以順序為答案：C例9：下列四個數(shù)：的大小順序為________思路：觀察發(fā)現(xiàn)，其余均為正。所以只需比較，考慮，所以，而，所以下一步比較：，所以，綜上所述，大小順序為答案：例10：已知均為正數(shù)，且，則（）A.B.C.D.思路：本題要通過左右相等的條件，以某一側(cè)的值作為突破口，去推斷的范圍。首先觀察等式左側(cè)，左側(cè)的數(shù)值均大于0，所以可得：均大于0，由對數(shù)的符號特點可得：，只需比較大小即可。觀察到，從而，所以順序為答案：A小煉有話說：本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小，觀察發(fā)現(xiàn)前兩個等式右側(cè)為的形式，而第三個等式也可變形為，從而可以考慮視分別為兩個函數(shù)的交點。先作出圖像，再在這個坐標(biāo)系中作出，比較交點的位置即可。第42煉利用函數(shù)性質(zhì)與圖像比較大小一、基礎(chǔ)知識：（一）利用函數(shù)單調(diào)性比較大小1、函數(shù)單調(diào)性的作用：在單調(diào)遞增，則(在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁）2、導(dǎo)數(shù)運算法則：（1）（2）3、常見描述單調(diào)性的形式（1）導(dǎo)數(shù)形式：單調(diào)遞增；單調(diào)遞減（2）定義形式：或：表示函數(shù)值的差與對應(yīng)自變量的差同號，則說明函數(shù)單調(diào)遞增，若異號則說明函數(shù)單調(diào)遞減4、技巧與方法：（1）此類問題往往條件比較零散，不易尋找入手點。所以處理這類問題要將條件與結(jié)論結(jié)合著分析。在草稿紙上列出條件能夠提供什么，也列出要得出結(jié)論需要什么。兩者對接通?？梢源_定入手點（2）在構(gòu)造函數(shù)時要根據(jù)條件的特點進行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)系的函數(shù)。在構(gòu)造時多進行試驗與項的調(diào)整（3）在比較大小時，通?？衫煤瘮?shù)性質(zhì)（對稱性，周期性）將自變量放入至同一單調(diào)區(qū)間中進行比較（二）數(shù)形結(jié)合比較大小1、對稱性與單調(diào)性：若已知單調(diào)性與對稱性，則可通過作出草圖觀察得到諸如“距軸越近，函數(shù)值越……”的結(jié)論，從而只需比較自變量與坐標(biāo)軸的距離，即可得到函數(shù)值的大小關(guān)系（1）若關(guān)于軸對稱，且單調(diào)增，則圖像可能以下三種情況，可發(fā)現(xiàn)一個共同點：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越?。?）若關(guān)于軸對稱，且單調(diào)減，則圖像可能以下三種情況，可發(fā)現(xiàn)一個共同點：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越大2、函數(shù)的交點：如果所比較的自變量是一些方程的解，則可將方程的根視為兩個函數(shù)的交點。抓住共同的函數(shù)作為突破口，將其余函數(shù)的圖像作在同一坐標(biāo)系下，觀察交點的位置即可判斷出自變量的大小三、例題精析：例1：對于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有（）A.B.C.D.思路：由可按各項符號判斷出與異號，即時，,時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進而答案：C小煉有話說：相乘因式與零比較大小時，可分別判斷每一個因式的符號，再判斷整個式子的符號。這樣做可以簡化表達式的運算。例2：已知定義域為的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，若，則下列關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.思路：觀察所給不等式，左側(cè)呈現(xiàn)輪流求導(dǎo)的特點，所比較大小的的結(jié)構(gòu)均為的形式，故與不等式找到聯(lián)系。當(dāng)時，，即，令，由此可得在上單調(diào)遞增。為奇函數(shù)，可判定出為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱。，作圖觀察距離軸近的函數(shù)值小，與可作差比較大小：進而可得：答案：D例3：函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時，，設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.思路：由可判斷出關(guān)于軸對稱，再由，可得時，，所以在單調(diào)遞增，由軸對稱的特點可知：在單調(diào)遞減。作出草圖可得：距離越近的點，函數(shù)值越大。所以只需比較自變量距離的遠近即可判斷出答案：B例4：已知是周期為的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.思路：的周期為，所以可利用周期性將自變量放置同一個周期內(nèi)：，而由偶函數(shù)及單調(diào)遞增，作圖可知在區(qū)間中，距離軸近的函數(shù)值小，所以有答案：C小煉有話說：周期性的一大應(yīng)用就是可在已知區(qū)間中找到與所給自變量相同函數(shù)值的點。從而代替原來的自變量。例5：已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)，設(shè)，，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.思路：本題依然是利用對稱性與單調(diào)性比較函數(shù)值大小，先分析的性質(zhì)，由為偶函數(shù)可得：，從而關(guān)于軸對稱，當(dāng)，可計算，所以在單調(diào)遞減，結(jié)合對稱性可得距離對稱軸越近，函數(shù)值越大，所以答案：D小煉有話說：本題的關(guān)鍵在于確定入手點是用函數(shù)的對稱性單調(diào)性比較大小，從而對的處理才會想到選出單調(diào)性而不是將自變量代入解析式。所以說題目中有的條件可以有多種用途，要根據(jù)所求及其他條件來選擇一個比較正確的方向。例6：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，令，，則大小關(guān)系為________思路：由為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增可得距離軸越近，函數(shù)值越小。所以需比較自變量與軸距離：，則需比較的大小，因為，所以，所以答案：小煉有話說：本題實質(zhì)上是一道三角函數(shù)大小關(guān)系和函數(shù)性質(zhì)比較大小的綜合題，只需分解成這兩步分別處理即可。在比較三角函數(shù)時，本題有這樣兩個亮點：一是“求同存異”發(fā)現(xiàn)涉及的角存在互補關(guān)系，進而利用誘導(dǎo)公式和絕對值運算將角統(tǒng)一，以便于比較；二是利用好“橋梁”，比較的關(guān)鍵之處在與這個角的選擇，這個角是兩條分界線，一條是正切值與1大小的分界線，而正余弦不大于1，所以的正切值最大；另一條是正余弦大小的分界線，時，；而時，。例7：已知函數(shù)，且，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.思路：本題具備同構(gòu)特點，但導(dǎo)數(shù)難于分析單調(diào)性，故無法比較的大小。換一個角度，可發(fā)現(xiàn)的圖像可作，且具備幾何含義，即，即與原點連線的斜率。所以作出的圖像，可觀察到圖像上的點橫坐標(biāo)越大，與原點連線的斜率越小，所以由可得：答案：B例8：已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，則下列判斷一定正確的是（）A．B．C．D．思路：聯(lián)系選項分析條件：當(dāng)時，，即令在單調(diào)遞增，而選項中均不在單增區(qū)間中，考慮利用進行轉(zhuǎn)換。首先要讀懂說的是與的關(guān)系，而與剛好在的兩側(cè)，所以達到一個將左側(cè)的點轉(zhuǎn)到右側(cè)的作用。在中令可得：，可代入B,C選項進行比較，C正確。而A,D兩個選項也可以代入進行驗證。答案：C小煉有話說：由于，所以在求導(dǎo)時此項不發(fā)生變化，有可能在化簡時隱藏起來。所以對于形如等輪流求導(dǎo)的式子可猜想隱含項，進而結(jié)合選項進行變形例9：定義在上的函數(shù)，為它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則（）A.B.C.D.思路：盡管發(fā)現(xiàn)存在輪流求導(dǎo)很難直接發(fā)現(xiàn)乘除關(guān)系?？催x項不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律：等，不等號兩側(cè)均為的形式，其導(dǎo)函數(shù)為于是考慮構(gòu)造條件中的不等式：即,在上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性即可判斷四個選項是否正確答案：D例10：設(shè)均為實數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.思路：本題單從指對數(shù)方面，不便于比較大小。進一步可發(fā)現(xiàn)均可視為兩個函數(shù)的交點，且每一個等式的左側(cè)為同一個函數(shù)，而右側(cè)也都可作圖，所以考慮在同一個坐標(biāo)系下作圖，并觀察交點的位置，進而判斷出的大小答案：A三、歷年好題精選1、（2016，內(nèi)江四模）設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，在上，且，有，則以下大小關(guān)系一定正確的是（）A.B.C.D.2、（2015，福建）若定義在上的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（）A.B.C.D.3、（2015，陜西文）設(shè)，若，則下列關(guān)系式中正確的是（）A.B.C.D.4、（2015，天津）已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，記，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.5、（2014，山東）已知實數(shù)滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（）A.B.C.D.6、已知的導(dǎo)函數(shù)是，記，則（）A.