2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第43煉 線性規(guī)劃-作圖與求解含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（二）：第43煉線性規(guī)劃——作圖與求解含答案第43煉線性規(guī)劃——作圖與求解一、基礎(chǔ)知識(shí)1、相關(guān)術(shù)語(yǔ)：（1）線性約束條件：關(guān)于變量的一次不等式（或方程）組（2）可行解：滿足線性約束條件的解（3）可行域：所有可行解組成的集合（4）目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于的函數(shù)解析式（5）最優(yōu)解：是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐標(biāo)系中作出可行域：（1）先作出圍成可行域的直線，利用“兩點(diǎn)唯一確定一條直線”可選取直線上的兩個(gè)特殊點(diǎn)（比如坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），以便快速做出直線（2）如何判斷滿足不等式的區(qū)域位于直線的哪一側(cè)：一條曲線（或直線）將平面分成若干區(qū)域，則在同一區(qū)域的點(diǎn)，所滿足不等式的不等號(hào)方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊點(diǎn)判斷其是否符合不等式，如果符合，則該特殊點(diǎn)所在區(qū)域均符合該不等式，具體來(lái)說(shuō)有以下三種情況：①豎直線或水平線：可通過(guò)點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)直接進(jìn)行判斷②一般直線：可代入點(diǎn)進(jìn)行判斷，若符合不等式，則原點(diǎn)所在區(qū)域即為不等式表示區(qū)域，否則則為另一半?yún)^(qū)域。例如：不等式，代入符合不等式，則所表示區(qū)域?yàn)橹本€的右下方③過(guò)原點(diǎn)的直線：無(wú)法代入，可代入坐標(biāo)軸上的特殊點(diǎn)予以解決，或者利用象限進(jìn)行判斷。例如：：直線穿過(guò)一、三象限，二、四象限分居直線兩側(cè)。考慮第四象限的點(diǎn)，所以必有，所以第四象限所在區(qū)域含在表示的區(qū)域之中。（3）在作可行域時(shí)要注意邊界是否能夠取到：對(duì)于約束條件（或）邊界不能取值時(shí)，在圖像中邊界用虛線表示；對(duì)于約束條件（或）邊界能取值時(shí)，在圖像中邊界用實(shí)線表示3、利用數(shù)形結(jié)合尋求最優(yōu)解的一般步驟（1）根據(jù)約束條件，在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域所代表的區(qū)域（2）確定目標(biāo)函數(shù)在式子中的幾何意義，常見(jiàn)的幾何意義有：（設(shè)為常數(shù)）①線性表達(dá)式——與縱截距相關(guān)：例如，則有，從而的取值與動(dòng)直線的縱截距相關(guān)，要注意的符號(hào)，若，則的最大值與縱截距最大值相關(guān)；若，則的最大值與縱截距最小值相關(guān)。②分式——與斜率相關(guān)（分式）：例如：可理解為是可行域中的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率。③含平方和——與距離相關(guān)：例如：可理解為是可行域中的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方。（3）根據(jù)的意義尋找最優(yōu)解，以及的范圍（或最值）4、線性目標(biāo)函數(shù)影響最優(yōu)解選取的要素：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率符號(hào)相同時(shí)，目標(biāo)函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率的大小會(huì)影響最優(yōu)解的選取。例如：若變量滿足約束條件，則的最大值等于_____作出可行域如圖所示，直線的斜率，直線的斜率，目標(biāo)函數(shù)的斜率，所以，所以在平移直線時(shí)，目標(biāo)函數(shù)直線的傾斜程度要介于兩直線之間，從而可得到在取得最優(yōu)解。但在作圖中如果沒(méi)有考慮斜率間的聯(lián)系，平移的直線比還要平，則會(huì)發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在處取得，以及若平移的直線比還要陡，則會(huì)發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在處取得，都會(huì)造成錯(cuò)誤。所以在處理目標(biāo)函數(shù)與約束條件的關(guān)系時(shí)，要觀察斜率的大小，并確定直線間“陡峭”程度的不同。（1）在斜率符號(hào)相同的情況下：越大，則直線越“陡”（2）在作圖和平移直線的過(guò)程中，圖像不必過(guò)于精確，但斜率符號(hào)相同的直線之間，陡峭程度要與斜率絕對(duì)值大小關(guān)系一致，這樣才能保證最優(yōu)解選取的準(zhǔn)確（3）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率與約束條件中的某條直線斜率相同時(shí)，有可能達(dá)到最值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)（位于可行域的邊界上）（4）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率含參時(shí)，涉及到最優(yōu)解選取的分類(lèi)討論，討論通常以約束條件中同符號(hào)的斜率作為分界點(diǎn)。二、典型例題：例1：若變量滿足約束條件，則的最小值等于（）A.B.C.D.思路：按照約束條件作出可行域，可得圖形為一個(gè)封閉的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為：，則的最小值即為動(dòng)直線縱截距的最大值。目標(biāo)函數(shù)的斜率大于約束條件的斜率，所以動(dòng)直線斜向上且更陡。通過(guò)平移可發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)處，縱截距最大。且解得，所以的最小值答案：A例2：設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A.B.C.D.思路：作出目標(biāo)函數(shù)的可行域，得到一個(gè)開(kāi)放的區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)平移可得最優(yōu)解為，所以答案：B例3：若變量滿足，則的最大值為（）A.B.C.D.思路：目標(biāo)函數(shù)可視為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，所以只需求出可行域里距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)即可，作出可行域，觀察可得最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以答案：D例4：設(shè)變量滿足約束條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：所求可視為點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率。從而在可行域中尋找斜率的取值范圍即可，可得在處的斜率最小，即，在處的斜率最大，為，結(jié)合圖像可得的范圍為答案：D例5：若實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值為（）A.B.C.D.思路：設(shè)，則可先計(jì)算出的范圍，即可求出的最大值：，則最優(yōu)解為，所以，則答案：B例6：設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)滿足不等式組，則使取得最大值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A.1B.C.D.無(wú)數(shù)個(gè)思路：設(shè)，作出可行域，通過(guò)平移可發(fā)現(xiàn)達(dá)到最大值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)與直線重合，所以有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)均能使取得最大值答案：D例7：（2015，福建）變量滿足約束條件，若的最大值為，則實(shí)數(shù)等于（）A.B.C.D.思路：本題約束條件含參，考慮先處理常系數(shù)不等式，作出圖像，直線為繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的直線，從圖像可觀察出可行域?yàn)橐粋€(gè)封閉三角形，目標(biāo)函數(shù)，若最大則動(dòng)直線的縱截距最小，可觀察到為最優(yōu)解。，則有，解得：答案：C小煉有話說(shuō)：當(dāng)線性約束條件含參數(shù)時(shí)，一方面可先處理常系數(shù)不等式，作出可行域的大致范圍，尋找參數(shù)變化時(shí)，可行域的共同特征；另一方面對(duì)含參數(shù)的直線確定是否過(guò)定點(diǎn)，在變化中尋找區(qū)域的規(guī)律。找到共同的最優(yōu)解所滿足的方程，便可根據(jù)最值求出參數(shù)例8：在約束條件下，若目標(biāo)函數(shù)的最大值不超過(guò)4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：先做出常系數(shù)直線，動(dòng)直線時(shí)注意到，斜率為常數(shù)1，且發(fā)現(xiàn)圍成的區(qū)域恒為一個(gè)三角形。目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)圖像可得最優(yōu)解為，所以，則解得：答案：D例9：若變量滿足約束條件，若的最大值為4，則（）A.B.C.D.思路：如圖作出可行域，目標(biāo)函數(shù)為，由于決定直線的方向，且約束條件中的直線斜率有正有負(fù)。所以先考慮的符號(hào)：當(dāng)時(shí)，此時(shí)與的斜率進(jìn)行比較：若，則的最大值為0，不符題意；若，則最優(yōu)解為，代入解得與初始范圍矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線與斜率進(jìn)行比較：若，則最優(yōu)解為，代入解得，符合題意若，可得的最大值為2，不符題意，舍去若，則最優(yōu)解為，代入解得與初始范圍矛盾，舍去綜上所述：答案：B小煉有話說(shuō)：（1）目標(biāo)函數(shù)的直線陡峭程度不同，會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解不同，所以當(dāng)斜率含參時(shí)，可在約束條件中尋找斜率與目標(biāo)函數(shù)斜率同號(hào)的直線，則這些直線的斜率通常是分類(lèi)討論的分界點(diǎn)。（2）本題也可分別假設(shè)可行域3個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解，求出的值，再帶入驗(yàn)證。例10：設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最小值是（）A.B.C.D.思路：先做出可行域，目標(biāo)函數(shù)，由可得直線的斜率為負(fù)，所以由圖像可得最大值在處取得，即，所以答案：C小煉有話說(shuō)：本題判斷出斜率為負(fù)是解題的關(guān)鍵，從而能迅速通過(guò)平移直線得到最優(yōu)解，而后與均值不等式結(jié)合求出最值三、歷年好題精選1、（2016，衡陽(yáng)聯(lián)考）如果實(shí)數(shù)滿足條件，則的最小值為，則正數(shù)的值為_(kāi)_________2、(2014，溫州中學(xué)三月考)已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是_________3、若點(diǎn)在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則的取值范圍是_________4、（2016，南昌二中四月考）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是________5、設(shè)實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍為（）A.B.C.D.6、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則為（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，無(wú)最大值C.有最大值3，無(wú)最小值D.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值7、設(shè)滿足約束條件：，則的最小值是（）A.B.C.D.8、（2016，湖南師大附中月考）若實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，則的最大值為（）A．1B．C．D．29、（2015，北京）若滿足，則的最大值為（）A.B.C.D.10、（2015，廣東）若變量滿足約束條件，則的最小值為（）A．B.C.D.11、（2015，新課標(biāo)I）若滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_______答案：312、（2015，新課標(biāo)II）若滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)___13、（2015，山東）已知滿足約束條件，若的最大值為，則（）A.B.C.D.14、（2014，北京）若滿足約束條件，且的最小值為，則的值為（）A.B.C.D.習(xí)題答案：1、答案：1解析：根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，可知時(shí)，即2、答案：解析：設(shè)，則有，則可知拋物線與不等式可行域有公共點(diǎn)，作出可行域，如圖可知當(dāng)與拋物線相切時(shí)，此時(shí)取得最小值，聯(lián)立方程，所以判別式3、答案：解析：將代入可得：，作出可行域，可視為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方。結(jié)合圖像可知：到原點(diǎn)距離最大，即原點(diǎn)到直線的距離為，所以4、答案：解析：，其中可視為與連線的斜率，作出可行域，數(shù)形結(jié)合可得：直線與在第一象限相切時(shí)，取得最大值，解得：，，而時(shí)，，所以5、答案：C解析：令，作出可行域，可知可視為連線的斜率，且為關(guān)于的增函數(shù)，所以6、答案：B解析：作出可行域（為開(kāi)放區(qū)域），再平移直線即可得到在處達(dá)到最小值，即，但沒(méi)有最大值7、答案：B解析：，則可視為可行域中的點(diǎn)與連線的斜率，作出可行域可得：，所以的最小值為38、答案：C解析：方法一：，其中為可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)，作出可行域可知：，所以，從而可計(jì)算出方法二：由可得：，代入到不等式組可得：，作出可行域，所求為與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可得到最大值為9、答案：D解析：，作出可行域，可得最優(yōu)解為時(shí)，取得最大值10、答案：C解析：由可得：，數(shù)形結(jié)合可知經(jīng)過(guò)時(shí)，取得最小值11、答案：3解析：作出可行域（如圖所示），所求分式，即可行域中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率最大值，由圖可知點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率最大，所以的最大值為12、答案：解析：目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?，即求?dòng)直線縱截距的最大值，作出可行域，數(shù)形結(jié)合可得直線過(guò)，則13、答案：B解析：由得，借助圖形可知：當(dāng)，即時(shí)在時(shí)有最大值0，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)在時(shí)有最大值，不滿足；當(dāng)，即時(shí)在時(shí)有最大值，不滿足；當(dāng)，即時(shí)在時(shí)有最大值，滿足，所以14、答案：D解析：目標(biāo)函數(shù)變形為，由直線可得該直線過(guò)定點(diǎn)，分討論，若，則由圖可知縱截距的最小值在直線過(guò)處取得，即，不符題意；當(dāng)時(shí)，可知直線縱截距的最小值過(guò)與軸的交點(diǎn)，所以，解得第44煉線性規(guī)劃中的非常規(guī)問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：在線性規(guī)劃問(wèn)題中，除了傳統(tǒng)的已知可行域求目標(biāo)函數(shù)最值之外，本身還會(huì)結(jié)合圍成可行域的圖形特點(diǎn)，或是在條件中設(shè)置參數(shù)，與其它知識(shí)相結(jié)合，產(chǎn)生一些非常規(guī)的問(wèn)題。在處理這些問(wèn)題時(shí)，第一依然要借助可行域及其圖形；第二，要確定參數(shù)的作用，讓含參數(shù)的圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái)尋找規(guī)律；第三，要能將圖形中的特點(diǎn)與關(guān)系翻譯成代數(shù)的語(yǔ)言，并進(jìn)行精確計(jì)算。做到以上三點(diǎn)，便可大大增強(qiáng)解決此類(lèi)問(wèn)題的概率。二、典型例題：例1：不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)椋舻拿娣e為，則的最小值為_(kāi)_______思路：先作出平面區(qū)域。直線，可判斷出過(guò)定點(diǎn)，通過(guò)作圖可得平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切?。所以三角形面積。從而，因?yàn)椋源鸢福?2例2：關(guān)于的不等式組所確定的區(qū)域面積為，則的最小值為（）A.B.C.D.思路：要求出的最值，則需要的關(guān)系，所以要借助不等式組的面積，先作出不等式的表示區(qū)域，從斜率可判斷出該區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)矩形，可得長(zhǎng)為，寬為，所以，即，作出雙曲線，通過(guò)平移可得直線與相切時(shí)，取得最小值。即：解得，所以的最小值為答案：B例3：若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或B.C.D.或思路：本題約束條件含參，所以先從常系數(shù)不等式入手作圖，直線為一組平行線，在平移的過(guò)程中觀察能否構(gòu)成一個(gè)三角形。一方面，本身就構(gòu)成一個(gè)三角形。所以當(dāng)時(shí)，不等式組的區(qū)域與區(qū)域相同，從而符合題意。繼續(xù)將直線向下平移。可得時(shí)，不等式組的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)四邊形。當(dāng)時(shí)，從的區(qū)域中切割出來(lái)了一個(gè)三角形。所以符合題意。而時(shí)，不等式組無(wú)公共區(qū)域。綜上所述，或答案：A例4：已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓及其內(nèi)部所覆蓋，則圓的方程為_(kāi)______思路：作圖可得可行域?yàn)橹苯侨切?，所以覆蓋三角形最小的圓即為該三角形的外接圓。，所以外接圓圓心為中點(diǎn)，半徑為，所以圓方程為答案：例5：過(guò)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記，則當(dāng)最小時(shí)的值為()A.B.C.D.思路：通過(guò)作圖可知與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，從而，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找的最小值。可利用三角函數(shù)，，且，所以越大，則越小，從而越小。將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域中尋找距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)。通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得點(diǎn)，所以。從而答案：C例6：(2013,北京，8)設(shè)關(guān)于的不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是__________思路：約束條件含參，但兩條直線有特點(diǎn)，和的交點(diǎn)，依題意可得平面區(qū)域與直線有公共點(diǎn)，結(jié)合圖像可判斷出，從而不等式組在直角坐標(biāo)系中的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)直角三角形（如圖）。若區(qū)域與有公共點(diǎn)，則只需位于的下方即可。因?yàn)榈南路絽^(qū)域?qū)?yīng)的不等式為，代入可得答案：例7：當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________思路一：先作出不等式組所表示的區(qū)域（如圖），設(shè)，則有，，則要對(duì)斜率的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，若，從圖上可看出，不符題意；時(shí)，不符題意；若，無(wú)論為何值，最優(yōu)