2025千題百煉-高考數(shù)學100個熱點問題（一）：第5煉 函數(shù)的對稱性與周期性含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學100個熱點問題（一）：第5煉函數(shù)的對稱性與周期性含答案第5煉函數(shù)的對稱性與周期性一、基礎知識（一）函數(shù)的對稱性1、對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關于對稱軸（或對稱中心）對稱2、軸對稱的等價描述：（1）關于軸對稱（當時，恰好就是偶函數(shù)）（2）關于軸對稱在已知對稱軸的情況下，構造形如的等式只需注意兩點，一是等式兩側前面的符號相同，且括號內前面的符號相反；二是的取值保證為所給對稱軸即可。例如：關于軸對稱，或得到均可，只是在求函數(shù)值方面，一側是更為方便（3）是偶函數(shù)，則，進而可得到：關于軸對稱。①要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在中，僅是括號中的一部分，偶函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時，函數(shù)值相等，即，要與以下的命題區(qū)分：若是偶函數(shù)，則：是偶函數(shù)中的占據(jù)整個括號，所以是指括號內取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有②本結論也可通過圖像變換來理解，是偶函數(shù)，則關于軸對稱，而可視為平移了個單位（方向由的符號決定），所以關于對稱。3、中心對稱的等價描述：（1）關于軸對稱（當時，恰好就是奇函數(shù)）（2）關于軸對稱在已知對稱中心的情況下，構造形如的等式同樣需注意兩點，一是等式兩側和前面的符號均相反；二是的取值保證為所給對稱中心即可。例如：關于中心對稱，或得到均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側是更為方便（3）是奇函數(shù)，則，進而可得到：關于軸對稱。①要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在中，僅是括號中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時，函數(shù)值相反，即，要與以下的命題區(qū)分：若是奇函數(shù)，則：是奇函數(shù)中的占據(jù)整個括號，所以是指括號內取相反數(shù)，則函數(shù)值相反，所以有②本結論也可通過圖像變換來理解，是奇函數(shù)，則關于中心對稱，而可視為平移了個單位（方向由的符號決定），所以關于對稱。4、對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側的性質，便可得到整個函數(shù)的性質，主要體現(xiàn)在以下幾點：（1）可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值（2）在作圖時可作出一側圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點關于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數(shù)中，關于對稱軸對稱的兩個單調區(qū)間單調性相反；在中心對稱函數(shù)中，關于對稱中心對稱的兩個單調區(qū)間單調性相同（二）函數(shù)的周期性1、定義：設的定義域為，若對，存在一個非零常數(shù)，有，則稱函數(shù)是一個周期函數(shù)，稱為的一個周期2、周期性的理解：可理解為間隔為的自變量函數(shù)值相等3、若是一個周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個周期，進而可得：也是的一個周期4、最小正周期：正由第3條所說，也是的一個周期，所以在某些周期函數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù)5、函數(shù)周期性的判定：（1）：可得為周期函數(shù)，其周期（2）的周期分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構造一個等式：所以有：，即周期注：遇到此類問題，如果一個等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個等式，進而通過兩個等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（為常數(shù)）的周期分析：，兩式相減可得：（5）（為常數(shù)）的周期（6）雙對稱出周期：若一個函數(shù)存在兩個對稱關系，則是一個周期函數(shù)，具體情況如下：（假設）①若的圖像關于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期分析：關于軸對稱關于軸對稱的周期為②若的圖像關于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期③若的圖像關于軸對稱，且關于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期7、函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個周期的性質，則得到整個函數(shù)的性質。（1）函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進行調整，進而利用已知條件求值（2）圖像：只要做出一個周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進行“復制+粘貼”（3）單調區(qū)間：由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若在上單調增（減），則在上單調增（減）（4）對稱性：如果一個周期為的函數(shù)存在一條對稱軸（或對稱中心），則存在無數(shù)條對稱軸，其通式為證明：關于軸對稱函數(shù)的周期為關于軸對稱注：其中（3）（4）在三角函數(shù)中應用廣泛，可作為檢驗答案的方法二、典型例題：例1：設為定義在上的奇函數(shù)，，當時，，則__________思路：由可得：的周期，考慮將用中的函數(shù)值進行表示：，此時周期性已經(jīng)無法再進行調整，考慮利用奇偶性進行微調：，所以答案：例2：定義域為的函數(shù)滿足，當時，，則（）A.B.C.D.思路：由，可類比函數(shù)的周期性，所以考慮將向進行轉化：答案：D小煉有話說：雖然不是周期函數(shù)，但函數(shù)值關系與周期性類似，可理解為：間隔2個單位的自變量，函數(shù)值呈2倍關系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，將自變量向已知范圍進行靠攏。例3：定義在上的函數(shù)對任意，都有，則等于（）A.B.C.D.思路：由及所求可聯(lián)想到周期性，所以考慮，所以是周期為4的周期函數(shù)，故，而由已知可得，所以答案：D例4（2009山東）：定義在上的函數(shù)滿足，則的值為（）A.B.C.D.思路：所給的特點為才有解析式能夠求值，而只能通過減少自變量的取值，由所求可聯(lián)想到判斷是否具有周期性，時，，則有，兩式相加可得：，則，即在時周期是6，故，而答案：C小煉有話說：（1）本題的思路依然是將無解析式的自變量通過函數(shù)性質向含解析式的自變量靠攏，而數(shù)較大，所以考慮判斷函數(shù)周期性。（2）如何快速將較大自變量縮至已知范圍中？可利用帶余除法除以周期，觀察余數(shù)。則被除數(shù)的函數(shù)值與余數(shù)的函數(shù)值相同，而商即為被除數(shù)利用周期縮了多少次達到余數(shù)。例如本題中，從而（3）本題推導過程中也有其用處，其含義是間隔為3的自變量函數(shù)值互為相反數(shù)，相比周期，它的間隔更小，所以適用于利用周期縮小自變量范圍后，進行“微調”從而將自變量放置已知區(qū)間內例5：函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，當時，，則不等式在上的解集為___________思路：從已知出發(fā)可知時，為增函數(shù)，且，所以時，，時，，由偶函數(shù)可得：時，，時，。從而可作出草圖。由所解不等式可將分為兩部分，當時，，所以，當時，，所以，綜上解集為：答案：例6：已知是定義在上的函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)的最小值為（）A.B.C.D.思路：由可得是周期為2的周期函數(shù)，所以只需要求出一個周期內的最值即可。由可得為奇函數(shù)，所以考慮區(qū)間，在時，，所以，而由于為奇函數(shù)，所以在時，，所以即為在的最小值，從而也是在上的最小值答案：B例7：已知定義域為的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，如果，且，則的值（）A.可正可負B.恒大于0C.可能為0D.恒小于0思路一：題目中給了單調區(qū)間，與自變量不等關系，所求為函數(shù)值的關系，從而想到單調性，而可得，因為，所以，進而將裝入了中，所以由可得，下一步需要轉化，由可得關于中心對稱，所以有。代入可得，從而思路二：本題運用數(shù)形結合更便于求解。先從分析出關于中心對稱，令代入到可得。中心對稱的函數(shù)對稱區(qū)間單調性相同，從而可作出草圖。而，即的中點位于的左側，所以比距離更遠，結合圖象便可分析出恒小于0答案：D小煉有話說：（1）本題是單調性與對稱性的一個結合，入手點在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關系，與所求函數(shù)值關系，而連接它們大小關系的“橋梁”是函數(shù)的單調性，所以需要將自變量裝入同一單調區(qū)間內。而對稱性起到一個將函數(shù)值等價轉化的作用，進而與所求產(chǎn)生聯(lián)系（2）數(shù)形結合的關鍵點有三個：第一個是中心對稱圖像的特點，不僅僅是單調性相同，而且是呈“對稱”的關系，從而在圖像上才能看出的符號；第二個是，進而可知；第三個是，既然是數(shù)形結合，則題中條件也要盡可能轉為圖像特點，而表現(xiàn)出中點的位置，從而能夠判斷出距離中心對稱點的遠近。例8：函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.是奇函數(shù)思路：從已知條件入手可先看的性質，由為奇函數(shù)分別可得到：，所以關于中心對稱，雙對稱出周期可求得，所以不正確，且由已知條件無法推出一定符合。對于選項，因為，所以，進而可推出關于中心對稱，所以為圖像向左平移個單位，即關于對稱，所以為奇函數(shù)，正確答案：D例9：已知定義域為的函數(shù)在上只有和兩個零點，且與都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（）A.B.C.D.思路：已知區(qū)間僅是，而所求區(qū)間為，跨度如此之大，需要函數(shù)性質。從條件入手為偶函數(shù)可得關于軸對稱，從而判斷出是周期函數(shù)，且，故可以考慮將以10為周期分組，先判斷出一個周期內零點的個數(shù)，再乘以組數(shù)，加上剩余部分的零點即可解：為偶函數(shù)關于軸對稱為周期函數(shù)，且將劃分為關于軸對稱在中只含有四個零點而共組所以在中，含有零點共兩個所以一共有806個零點答案：C小煉有話說：（1）周期函數(shù)處理零點個數(shù)時，可以考慮先統(tǒng)計一個周期的零點個數(shù)，再看所求區(qū)間包含幾個周期，相乘即可。如果有不滿一個周期的區(qū)間可單獨統(tǒng)計（2）在為周期函數(shù)分段時有一個細節(jié)：“一開一閉”，分段的要求時“不重不漏”，所以在給周期函數(shù)分段時，一端為閉區(qū)間，另一端為開區(qū)間，不僅達到分段要求，而且每段之間保持隊型，結構整齊，便于分析。（3）當一個周期內含有對稱軸（或對稱中心）時，零點的統(tǒng)計不能僅限于已知條件，而要看是否由于對稱產(chǎn)生新的零點。其方法一是可以通過特殊值的代入，二是可以通過圖像，將零點和對稱軸標在數(shù)軸上，看是否有由對稱生成的零點（這個方法更直觀，不易丟解）例10：設函數(shù)是定義在上以1為周期的函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則函數(shù)在上的值域為（）A.B.C.D.思路：設，則，因為為周期函數(shù)，故以為突破口，，考慮在中，所以，在中，所以，所以在的值域為答案：B三、近年模擬題題目精選1、（2014，慶安高三期中）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則的值為（）A．0.5B．1.5C．D．12、（2014，安徽）設函數(shù)滿足，當時，，則（）A.B.C.D.3、（2014，四川）設是定義在上的周期為2的函數(shù)，當時，，則_________4、（2014，新課標全國卷I）設函數(shù)的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)5、（2014，會寧縣校級月考）已知，方程在內有且只有一個，則在區(qū)間內根的個數(shù)為（）A.B.C.D.6、已知定義在上的函數(shù)滿足：，當時，，則______________7、已知定義在上的函數(shù)滿足，且時，，則（）A.B.C.D.8、已知是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有，當時，，求習題答案：1、答案：B解析：由可得：，兩式相減可得：，所以的周期，再由是偶函數(shù)可得：2、答案：A解析：由可知，，，所以可得：3、答案：1解析：4、答案：C解析：為奇函數(shù)，可知為偶函數(shù)，所以根據(jù)奇偶性的規(guī)律可得：為奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故C正確5、答案：D解析：，可得關于軸對稱，因為在內有且只有一個零點，所以由對稱性可得在只有兩個零點。所以一個周期中含有兩個零點，區(qū)間共包含1007個周期，所以有2014個零點6、答案：解析：由可得：關于中心對稱，由可得：關于軸對稱，所以可求出的周期，則7、答案：解析：可知為奇函數(shù)，可得，所以8、答案：解析：由可得：的周期，由于具備周期性，故求和時可考慮按照周期將一個周期的函數(shù)值歸為一組，求出一組的結果，在考慮求和的式子中含有多少組周期即可：故第6煉函數(shù)的圖像一、基礎知識1、做草圖需要注意的信息點：做草圖的原則是：速度快且能提供所需要的信息，通過草圖能夠顯示出函數(shù)的性質。在作圖中草圖框架的核心要素是函數(shù)的單調性，對于一個陌生的可導函數(shù)，可通過對導函數(shù)的符號分析得到單調區(qū)間，圖像形狀依賴于函數(shù)的凹凸性，可由二階導數(shù)的符號決定（詳見“知識點講解與分析”的第3點），這兩部分確定下來，則函數(shù)大致輪廓可定，但為了方便數(shù)形結合，讓圖像更好體現(xiàn)函數(shù)的性質，有一些信息點也要在圖像中通過計算體現(xiàn)出來，下面以常見函數(shù)為例，來說明作圖時常體現(xiàn)的幾個信息點（1）一次函數(shù)：,若直線不與坐標軸平行，通常可利用直線與坐標軸的交點來確定直線特點：兩點確定一條直線信息點：與坐標軸的交點（2）二次函數(shù)：，其特點在于存在對稱軸，故作圖時只需做出對稱軸一側的圖像，另一側由對稱性可得。函數(shù)先減再增，存在極值點——頂點，若與坐標軸相交，則標出交點坐標可使圖像更為精確特點：對稱性信息點：對稱軸，極值點，坐標軸交點（3）反比例函數(shù)：,其定義域為，是奇函數(shù)，只需做出正版軸圖像即可（負半軸依靠對稱做出），坐標軸為函數(shù)的漸近線特點：奇函數(shù)（圖像關于原點中心對稱），漸近線信息點：漸近線注：（1）所謂漸近線：是指若曲線無限接近一條直線但不相交，則稱這條直線為漸近線。漸近線在作圖中的作用體現(xiàn)為對曲線變化給予了一些限制，例如在反比例函數(shù)中，軸是漸近線，那么當，曲線無限向軸接近，但不相交，則函數(shù)在正半軸就不會有軸下方的部分。（2）水平漸近線的判定：需要對函數(shù)值進行估計：若（或）時，常數(shù)，則稱直線為函數(shù)的水平漸近線例如：當時，，故在軸正方向不存在漸近線當時，，故在軸負方向存在漸近線（3）豎直漸近線的判定：首先在處無定義，且當時，（或），那么稱為的豎直漸近線例如：在處無定義，當時，，所以為的一條漸近線。綜上所述：在作圖時以下信息點值得通過計算后體現(xiàn)在圖像中：與坐標軸的交點；對稱軸與對稱中心；極值點；漸近線。例：作出函數(shù)的圖像分析：定義域為，且為奇函數(shù)，故先考慮正半軸情況。故函數(shù)單調遞增，，故函數(shù)為上凸函數(shù)，當時，無水平漸近線，時，，所以軸為的豎直漸近線。零點：，由這些信息可做出正半軸的草圖，在根據(jù)對稱性得到完整圖像：2、函數(shù)圖象變換：設函數(shù)，其它參數(shù)均為正數(shù)（1）平移變換：：的圖像向左平移個單位：的圖像向右平移個單位：的圖像向上平移個單位：的圖像向下平移個單位（2）對稱變換：：與的圖像關于軸對稱：與的圖像關于軸對稱：與的圖像關于原點對稱（3）伸縮變換：：圖像縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模簣D像橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼模?）翻折變換：：即正半軸的圖像不變，負半軸的原圖像不要，換上與正半軸圖像關于軸對稱的圖像：即軸上方的圖像不變，下方的圖像沿軸對稱的翻上去。3、二階導函數(shù)與函數(shù)的凹凸性：（1）無論函數(shù)單調增還是單調減，其圖像均有3種情況，若一個函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為下凸函數(shù)若一個函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為上凸函數(shù)（2）上凸函數(shù)特點：增區(qū)間增長速度越來越慢，減區(qū)間下降速度越來越快下凸函數(shù)特點：增區(qū)間增長速度越來越快，減區(qū)間下降速度越來越慢（3）與導數(shù)的關系：設的導函數(shù)為（即的二階導函數(shù)），如圖所示：增長速度受每一點切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨的增大而增大，即為增函數(shù)；上凸函數(shù)隨的增大而減小，即為減函數(shù)；綜上所述：函數(shù)是上凸下凸可由導函數(shù)的增減性決定，進而能用二階導函數(shù)的符號進行求解。二、方法與技巧：1、在處理有關判斷正確圖像的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個選項的不同，再結合函數(shù)的性質即可進行排除，常見的區(qū)分要素如下：（1）單調性：導函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調性，導函數(shù)圖像位于軸上方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調增區(qū)間，位于軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調減區(qū)間（2）函數(shù)零點周圍的函數(shù)值符號：可通過帶入零點附近的特殊點來進行區(qū)分（3）極值點（4）對稱性（奇偶性）——易于判斷，進而優(yōu)先觀察（5）函數(shù)的凹凸性：導函數(shù)的單調性決定原函數(shù)的凹凸性，導函數(shù)增區(qū)間即為函數(shù)的下凸部分，減區(qū)間為函數(shù)的上凸部分。其單調性可由二階導函數(shù)確定2、利用圖像變換作圖的步驟：（1）尋找到模板函數(shù)（以此函數(shù)作為基礎進行圖像變換）（2）找到所求函數(shù)與的聯(lián)系（3）根據(jù)聯(lián)系制定變換策略，對圖像進行變換。例如：作圖：第一步尋找模板函數(shù)為：第二步尋找聯(lián)系：可得第三步制定策略：由特點可得：先將圖像向左平移一個單位，再將軸下方圖像向上進行翻折，然后按照方案作圖即可3、如何制定圖象變換的策略（1）在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：①若變換發(fā)生在“括號”內部，則屬于橫坐標的變換②若變換發(fā)生在“括號”外部，則屬于縱坐標的變換例如：：可判斷出屬于橫坐標的變換：有放縮與平移兩個步驟：可判斷出橫縱坐標均需變換，其中橫坐標的為對稱變換，縱坐標的為平移變換（2）多個步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標還是縱坐標的變換后，在安排順序時注意以下原則：①橫坐標的變換與縱坐標的變換互不影響，無先后要求②橫坐標的多次變換中，每次變換只有發(fā)生相應變化例如：可有兩種方案方案一：先平移（向左平移1個單位），此時。再放縮（橫坐標變?yōu)樵瓉淼模?，此時系數(shù)只是添給，即方案二：先放縮（橫坐標變?yōu)樵瓉淼模?，此時，再平移時，若平移個單位，則（只對加），可解得，故向左平移個單位③縱坐標的多次變換中，每次變換將解析式看做一個整體進行例如：有兩種方案方案一：先放縮：，再平移時，將解析式看做一個整體，整體加1，即方案二：先平移：，則再放縮時，若縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，那么，無論取何值，也無法達到，所以需要對前一步進行調整：平移個單位，再進行放縮即可（）4、變換作圖的技巧：（1）圖像變換時可抓住對稱軸，零點，漸近線。在某一方向上他們會隨著平移而進行相同方向的移動。先把握住這些關鍵要素的位置，有助于提高圖像的精確性（2）圖像變換后要將一些關鍵點標出：如邊界點，新的零點與極值點，與軸的交點等三、例題精析：例1：己知函數(shù)，其導數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極大值是（）A.B.C.D.思路：由圖像可知：時，,單調遞增，時，,單調遞減，所以的極大值為答案：B小煉有話說：觀察導函數(shù)圖像時首要關注的是函數(shù)的符號，即是在軸的上方還是下方，導函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調性例2：設函數(shù)可導，的圖象如圖所示，則導函數(shù)的圖像可能為（）xxyO圖1xyOAxyOBxyOCyODx思路：根據(jù)原函數(shù)的圖像可得：在單調遞增，在正半軸先增再減再增，故在負半軸的符號為正，在正半軸的符號依次為“正負正”，觀察四個選項只有D符合答案：D小煉有話說：本題可直接由導函數(shù)的符號來排除其他選項，若選項中也有符合D中“負半軸的符號為正，在正半軸的符號依次為‘正負正’”，那么可觀察第二條標準：從圖上看在負半軸中，函數(shù)增長的速度越來越快，則說明切線斜率隨的增大而增大，進而導函數(shù)在負半軸也單調遞增，依次類推可得到正半軸的情況，D選項依然符合特征例3：函數(shù)的部分圖象為（）思路：，可得在單調遞增，在單調遞減，且可估計當，即，所以為函數(shù)的漸近線，當由此可判斷出圖像正確答案：A小煉有話說：（1）本題考查的是通過分析函數(shù)性質作圖，單調性是非常重要的一個要素，通過單調性也可排除其他三個選項（2）關于漸近線的判斷：對于，可這樣理解，時，均趨向正無窮，但的速度更快，進而伴隨著，將遠遠大于，進而比值趨于0，當,增長速度的排名為：直線（一次函數(shù)）<二次函數(shù)<指數(shù)函數(shù)例4：函數(shù)的圖像可能是（)思路：觀察解析式可判斷出為奇函數(shù)，排除A,C.當時，,故選擇B答案：B小煉有話說：有兩點可以優(yōu)先觀察：一個是奇偶性，則圖像具有對稱性，只需考慮正半軸的情況即可；二是含有絕對值，可利用的符號去掉絕對值，進而得到正半軸的解析式。例5（2015浙江文）：函數(shù)的圖像可能為（）思路：觀察4個選項的圖像，其中A，B圖像關于軸對稱，C,D圖像關于原點中心對稱。所以先判斷函數(shù)奇偶性，可判斷出所以為奇函數(shù)，排除A，B，再觀察C,D的區(qū)別之一就是的符號，經(jīng)過計算可得，所以排除C答案：D例6：已知為的導函數(shù)，則的圖像是()思路：，，可判