2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第97煉 不等式選講含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個熱點問題（三）：第97煉不等式選講含答案第97煉不等式選講一、基礎(chǔ)知識：（一）不等式的形式與常見不等式：1、不等式的基本性質(zhì)：（1）（2）（不等式的傳遞性）注：，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)前兩個等號同時成立（3）（4）（5）（6）2、絕對值不等式：（1）等號成立條件當(dāng)且僅當(dāng)（2）等號成立條件當(dāng)且僅當(dāng)（3）：此性質(zhì)可用于求含絕對值函數(shù)的最小值，其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)3、均值不等式（1）涉及的幾個平均數(shù)：①調(diào)和平均數(shù)：②幾何平均數(shù)：③代數(shù)平均數(shù)：④平方平均數(shù)：（2）均值不等式：，等號成立的條件均為：（3）三項均值不等式：①②③4、柯西不等式：等號成立條件當(dāng)且僅當(dāng)或（1）二元柯西不等式：，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)（2）柯西不等式的幾個常用變形①柯西不等式的三角公式：②②式體現(xiàn)的是當(dāng)各項系數(shù)不同時，其“平方和”與“項的和”之間的不等關(guān)系，剛好是均值不等式的一個補充。③5、排序不等式：設(shè)為兩組實數(shù)，是的任一排列，則有：即“反序和亂序和順序和”（二）不等式選講的考察內(nèi)容：1、利用不等式的變形與常見不等式證明不等式成立2、利用常見不等式（均值不等式，柯西不等式）求表達式的最值，要注意求最值的思路與利用基本不等式求最值的思路相似，即“尋找合適的模型→將式子向定值放縮（消元）→驗證等號成立條件”3、解不等式（特別是含絕對值的不等式——可參見“不等式的解法”一節(jié)）二、典型例題：例1：若不等式恒成立，則的取值范圍為________．思路：本題為恒成立問題，可知，所以只需求出的最小值即可，一種思路可以構(gòu)造函數(shù)，通過對絕對值里的符號進行分類討論得到分段函數(shù)：，進而得到，另一種思路可以想到絕對值不等式：，進而直接得到最小值，所以，從而答案：例2：若存在實數(shù)使得成立，求實數(shù)的取值范圍思路：本題可從方程有根出發(fā)，得到關(guān)于的不等式，從而解出的范圍解：依題意可知二次方程有解即當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，綜上所述，可得例3：已知函數(shù)（1）當(dāng)時，解不等式（2）若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍（1）思路：所解不等式為，可通過分類討論去掉絕對值進而解出不等式解：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述：不等式的解集為（2）思路：若不等式恒成立，可知只需即可，含絕對值，從而可通過分類討論將其變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，通過分析函數(shù)性質(zhì)即可得到，所以解：恒成立考慮在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增例4：已知都是正數(shù),且,求的最大值思路一：已知為常數(shù)，從所求入手，發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)的和為也為常數(shù)，所以想到均值不等式中“代數(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)”，進而求得最大值解：等號成立當(dāng)且僅當(dāng)思路二：由所求可聯(lián)想到柯西不等式（活用1）：，從而可得：即，所以可知小煉有話說：本題分為兩個思路只是想到的常用不等式不同（分別為均值不等式和柯西不等式），但實質(zhì)上利用柯西不等式是可以證明“代數(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)”。證明的過程如下：例5：已知是實數(shù)，且，則的最大值是__________思路：考慮將向進行靠攏，由柯西不等式可知，對照條件可知令即可，所以，則答案：小煉有話說：使用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造符合條件的形式。首先要選擇合適的柯西不等式形式，然后找到所求與已知之間的聯(lián)系，確定系數(shù)在柯西不等式的位置即可求解。例6：已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是____________思路：本題的核心元素為，若要求的取值范圍，則需要尋找兩個等式中項的不等關(guān)系，即關(guān)于的不等關(guān)系，考慮到，聯(lián)想到柯西不等式，則有，代入可得：解得：，驗證等號成立條件：在時均有解。答案：例7：已知均為正數(shù)，求證：，并確定為何值時，等號成立思路：觀察到不等式左邊的項作和且存在倒數(shù)關(guān)系，右側(cè)為常數(shù)，所以可想到基本不等式中互為倒數(shù)時，，右側(cè)為一個常數(shù)。，從而將左側(cè)的項均轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的項，然后再利用基本不等式即可得到最小值，即不等式得證解：由均值不等式可得：等號成立條件：例8：已知（1）若，求的最小值（2）求證：（1）思路：從所求出發(fā)可發(fā)現(xiàn)其分母若作和，則可與找到聯(lián)系，從而想到柯西不等式的變式：，從而解：由柯西不等式可得：（2）所證不等式等價于：，觀察左右的項可發(fā)現(xiàn)對左邊任意兩項使用均值不等式，即可得到右邊的某項，即：，三式相加即完成證明證明：由均值不等式可得：三式相加：即小煉有話說：對于求倒數(shù)和（即為常數(shù)）的最值，有兩個柯西不等式的變式可供使用：和，其不同之處在于對分母變形時運算的選擇，第一個式子的變形為“分母作和”第二個式子的變形為“分母乘以對應(yīng)系數(shù)再作和”，在解題時要根據(jù)題目中不同的定值條件來選擇對應(yīng)的不等式。例9：設(shè)，求證：思路：所證不等式中的變量位于指數(shù)和底數(shù)位置，且為乘法與乘方運算，并不利于不等式變形；所以考慮利用兩邊同取對數(shù)使得指數(shù)變?yōu)橄禂?shù)，同時將乘法運算轉(zhuǎn)為加法運算。則所證不等式等價于，化簡后可得：①，所證不等式為輪換對稱式，則不妨給定序，即，則，由①的特點想到排序不等式，則為順序和，是最大的，剩下的組合為亂序和或反序和，必然較小，所以有，兩式相加即可完成證明。證明：將所證不等式兩邊同取對數(shù)可得：所證不等式為輪換對稱式不妨設(shè)可得：即證明不等式小煉有話說：使用排序不等式的關(guān)鍵在于首先要有一個“順序”，本題已知條件雖然沒有的大小關(guān)系，但由所證不等式“輪換對稱”的特點，可添加大小關(guān)系的條件，即，從而能夠使用排序不等式。例10：設(shè)正數(shù)滿足（1）求的最大值（2）證明：（1）思路：所求表達式為多元表達式，所以考慮減少變量個數(shù)，由得，則，下面考慮將進行轉(zhuǎn)化，向靠攏，利用基本不等式進行放縮，可得：，再求關(guān)于的表達式的最大值即可。解：的最大值為，此時（2）思路：由（1）可知的最大值為，且所證不等式的左邊分母含有項，所以考慮向的形式進行靠攏，聯(lián)想到柯西不等式的一個變形公式：，可得：，進而結(jié)合第（1）問的結(jié)果再進行放縮即可證明不等式解：由柯西不等式可得：由（1）知等號成立條件：三、歷年好題精選1、設(shè)（1）求證：（2）若不等式對任意非零實數(shù)恒成立，求的取值范圍2、（2014吉林九校聯(lián)考二模，24）已知關(guān)于的不等式（1）當(dāng)時，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．3、（2015，福建）已知，函數(shù)的最小值為4（1）求的值（2）求的最小值4、（2015，新課標(biāo)II）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（1）若，則（2）是的充要條件5、（2015，陜西）已知關(guān)于的不等式的解集為（1）求實數(shù)的值（2）求的最大值6、已知定義在上的函數(shù)的最小值為（1）求的值（2）若是正實數(shù)，且滿足，求證：7、（2014，江西）對任意的，的最小值為（）A.B.C.D.8、（2014，浙江）（1）解不等式：（2）設(shè)正數(shù)滿足，求證：，并給出等號成立條件9、（2016，蘇州高三調(diào)研）設(shè)函數(shù)（1）證明：（2）若，求實數(shù)的取值范圍習(xí)題答案：1、解析：（1）（2）恒成立不等式為：設(shè)當(dāng)時，當(dāng)時，不成立當(dāng)時，2、解析：（1）時，不等式為或，解得（2）問題轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立設(shè)或3、解析：（1）（2），等號成立條件：4、解析：（1）從而不等式得證（2）若，則即，由（1）可得若，則即綜上所述：是的充要條件5、解析：（1）不等式解得：（2）由（1）可得：由柯西不等式可得：6、解析：（1）（2）由柯西不等式可得：7、答案：C解析：8、解析：（1）當(dāng)時，解得當(dāng)時，解得當(dāng)時。解得綜上所述：解集為（2）由可得：由柯西不等式可得：等號成立條件：9、解析：（1）（2）即時，不等式轉(zhuǎn)化為：解得：當(dāng)時，解得：綜上所述：不等式的解集為：第98煉含新信息問題的求解一、基礎(chǔ)知識：所謂“新信息背景問題”，是指題目中會介紹一個“課本外的知識”，并說明它的規(guī)則，然后按照這個規(guī)則去解決問題。它主要考察學(xué)生接受并運用新信息解決問題的能力。這類問題有時提供的信息比較抽象，并且能否讀懂并應(yīng)用“新信息”是解決此類問題的關(guān)鍵。在本文中主要介紹處理此類問題的方法與技巧1、讀取“新信息”的步驟（1）若題目中含有變量，則要先確定變量的取值范圍（2）確定新信息所涉及的知識背景，尋找與所學(xué)知識的聯(lián)系（3）注意信息中的細節(jié)描述，如果是新的運算要注意確定該運算是否滿足交換律（4）把對“新信息”的理解應(yīng)用到具體問題中，進行套用與分析。2、理解“新信息”的技巧與方法（1）可通過“舉例子”的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對新信息的理解（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述“新信息”所表達的內(nèi)容，如果能夠清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹。（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律（4）如果“新信息”是書本知識上某個概念的推廣，則要關(guān)注此信息與原概念的不同之處，以及在什么情況下可以使用原概念。二、典型例題例1：設(shè)是兩個集合，定義集合，如果，，則等于（）A.B.C.D.思路：依可知該集合為在中且不屬于中的元素組成，或者可以理解為集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。，，所以，從而可得：答案：B例2：在內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)取函數(shù)。若對任意的，恒有，則（）A．的最大值為2B.的最小值為2C．的最大值為1D.的最小值為1思路：由所給分式函數(shù)可知，若，則取，如果，就取，由這個規(guī)則可知，若恒成立，意味著，均有恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即，下面求的最大值：，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，從而，即的最小值為1答案：D例3：設(shè)集合，在上定義運算為：，其中為被4除的余數(shù)，，則滿足關(guān)系式的的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1思路：本題的關(guān)鍵在于讀懂規(guī)則，“”運算的結(jié)果其實與角標(biāo)和除以4的余數(shù)相關(guān)，如果理解文字?jǐn)⑹鲚^為抽象不如舉幾個例子，例如：，按照要求，除以4的余數(shù)為0，所以。掌握規(guī)律后再看所求關(guān)系式：要求得，則需要先解出，將其視為一個整體，可知，即除以4的余數(shù)為0，可推斷，即，不妨設(shè)，即除以4的余數(shù)為2，則的值為，所以或者，共有兩個解答案：C例4：定義兩個平面向量的一種運算，其中為的夾角，對于這種運算，給出以下結(jié)論：①；②；③；④若，則你認(rèn)為恒成立的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個思路：本題的新運算，即的模長乘以夾角。所以對于結(jié)論①，；對于②，，而，顯然當(dāng)時等式不成立；對于③，（其中表示的夾角），而，顯然等式不會恒成立（也可舉特殊情況如，左邊為0，而右邊大于等于0）；對于④，可代入坐標(biāo)進行運算，為了計算簡便考慮將左邊平方，從而，可與找到聯(lián)系：，即。綜上所述，①④正確答案：B例5：如果函數(shù)對任意兩個不等實數(shù)，均有，在稱函數(shù)為區(qū)間上的“G”函數(shù)，給出下列命題：①函數(shù)是上的“G”函數(shù)②函數(shù)是上的“G”函數(shù)③函數(shù)是上的“G”函數(shù)④若函數(shù)是上的“G”函數(shù)，則其中正確命題的個數(shù)是（）A.B.C.D.思路：本題看似所給不等式復(fù)雜，但稍作變形可得：，所以即與同號，反映出是上的增函數(shù)，從而從單調(diào)性的角度判斷四個命題：①：恒成立，所以是上的增函數(shù)②③：可通過作出函數(shù)的圖像來判斷分段函數(shù)是否在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，通過作圖可知②正確，③不正確④：若是“G函數(shù)”，則是上的增函數(shù)，所以即恒成立，因為，所以可得：，④正確綜上所述：①②④正確，共有三個命題答案：C例6：對于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組，其中，如果在時，有，則稱“與”是該數(shù)組的一個“順序”，一個數(shù)組中所有“順序”的個數(shù)稱為此數(shù)組的“順序數(shù)”，例如：數(shù)組中有順序“”，“”，其“順序數(shù)”等于2，若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組的“順序數(shù)”是4，則的“順序數(shù)”是（）A.B.C.D.思路：本題中對于“順序”的定義為，即序數(shù)小的項也小。要得到“順序數(shù)”則需要對數(shù)組中的數(shù)兩兩進行比較，再進行統(tǒng)計。在所求數(shù)組中可發(fā)現(xiàn)剛好是進行倒序的排列，所以原先數(shù)組的“順序”在新數(shù)組中不成立，而原先數(shù)組不成“順序”的（即）反而成為所求數(shù)組的“順序”。在五元數(shù)組中任意兩個數(shù)比較大小，共有組，在中“順序”有4個，則非“順序”有6個，所以到了中，順序數(shù)即為6答案：B小煉有話說：本題也可以通過特殊的例子得到答案：例如由的“順序數(shù)”是4，假設(shè)，其余各項，則在中即可數(shù)出順序數(shù)為6例7：對任意實數(shù)定義運算如下：，則函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.思路：本題可將描述成取中較小的數(shù)，即，所以對于，即為中較小的數(shù)。解不等式，則，所以，從而可解得值域為答案：B小煉有話說：本題也可以利用數(shù)形結(jié)合的方式，的圖像為將的圖像畫在同一坐標(biāo)系下，取位于下方的部分，從而作出的圖像，其中的交點通過計算可得，所以結(jié)合圖像即可得到的值域為，即例8：已知平面上的線段及點，任取上一點，線段長度的最小值稱為到的距離，記作（1）求點到線段的距離（2）設(shè)是長為2的線段，求點的集合所表示的圖形面積思路：首先要明確新定義的“距離”，即線段上的點到該點的最小值。此時可做幾個具體的圖形來理解定義。可發(fā)現(xiàn)過作線段的垂線，若垂足在線段上，則垂線段最短，與傳統(tǒng)的定義相同；若垂足在線段的延長線上，則需找線段上距離點最近的，即線段的某個端點。在第（1）問中，作出圖像可得在線段上的垂足位于線段延長線上，所以只需比較到兩個端點的距離即可；在第（2）問中，先作出的圖形，表示的圖形是長為2，寬為2的正方形和兩個半徑是1的半圓的組合圖形，則為該圖形的內(nèi)部，再求出面積即可解：（1）設(shè)線段的端點，代入直線方程可得：（2）若，則點的軌跡為長，寬的正方形和兩個半徑的半圓的組合圖形例9：設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如），對于給定的，定義，則當(dāng)時，函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.思路：由定義的式子可知分子分母含多少項，與的取值有關(guān)，即分子分母分別為個項的乘積，所以根據(jù)的定義將分為和兩段進行考慮。當(dāng)時，，所以，所以在的值域為；當(dāng)時，，所以，從而在單調(diào)遞減，，綜上所述可得：答案：B例10：在實數(shù)集中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們這平面向量集合上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“”。定義如下：對于任意兩個向量，當(dāng)且僅當(dāng)“”或“且”，按上述定義的關(guān)系“”，給出下列四個命題：①若，則②若，，則③若，則對于任意的，④對于任意的向量，其中，若，則其中命題正確的序號為__________思路：從題意中可發(fā)現(xiàn)比較向量的“序”主要比較的是坐標(biāo)，其中優(yōu)先比較橫坐標(biāo)，若橫坐標(biāo)相等則再比較縱坐標(biāo)，結(jié)合這個規(guī)律便可分析各個命題：（為方便說明，任一向量的橫坐標(biāo)記為，縱坐標(biāo)記為①：顯然，所以，，所以，綜上可得：②：由可知：或“且”，同理：由可得：或“且”，所以由不等式和等式的傳遞性可得“或“且”成立，所以③：設(shè)，由由可知：或“且”，所以或“且”成立，所以④：設(shè)，由可知：或“且”，考慮若“且”，則由可知存在一種情況：且，則即，故④不正確答案：①②③小煉有話說：本題處理④的關(guān)鍵在于定義中的一種情況：且對無大小限制，且數(shù)量積的結(jié)果不僅與取值相關(guān)，還與的值相關(guān)。所以在考慮反例時就可以利用消除橫坐標(biāo)大小的關(guān)系。進而的大小關(guān)系由的縱坐標(biāo)決定，就能輕松找到反例了第98煉含新信息問題的求解一、基礎(chǔ)知識：所謂“新信息背景問題”，是指題目中會介紹一個“課本外的知識”，并說明它的規(guī)則，然后按照這個規(guī)則去解決問題。它主要考察學(xué)生接受并運用新信息解決問題的能力。這類問題有時提供的信息比較抽象，并且能否讀懂并應(yīng)用“新信息”是解決此類問題的關(guān)鍵。在本文中主要介紹處理此類問題的方法與技巧1、讀取“新信息”的步驟（1）若題目中含有變量，則要先確定變量的取值范圍（2）確定新信息所涉及的知識背景，尋找與所學(xué)知識的聯(lián)系（3）注意信息中的細節(jié)描述，如果是新的運算要注意確定該運算是否滿足交換律（4）把對“新信息”的理解應(yīng)用到具體問題中，進行套用與分析。2、理解“新信息”的技巧與方法（1）可通過“舉例子”的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對新信息的理解（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述“新信息”所表達的內(nèi)容，如果能夠清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹。（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律（4）如果“新信息”是書本知識上某個概念的推廣，則要關(guān)注此信息與原概念的不同之處，以及在什么情況下可以使用原概念。二、典型例題例1：設(shè)是兩個集合，定義集合，如果，，則等于（）A.B.C.D.思路：依可知該集合為在中且不屬于中的元素組成，或者可以理解為集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。，，所以，從而可得：答案：B例2：在內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)取函數(shù)。若對任意的，恒有，則（）A．的最大值為2B.的最小值為2C．的最大值為1D.的最小值為1思路：由所給分式函數(shù)可知，若，則取，如果，就取，由這個規(guī)則可知，若恒成立，意味著，均有恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即，下面求的最大值：，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，從而，即的最小值為1答案：D例3：設(shè)集合，在上定義運算為：，其中為被4除的余數(shù)，，則滿足關(guān)系式的的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1思路：本題的關(guān)鍵在于讀懂規(guī)則，“”運算的結(jié)果其實與角標(biāo)和除以4的余數(shù)相關(guān)，如果理解文字?jǐn)⑹鲚^為抽象不如舉幾個例子，例如：，按照要求，除以4的余數(shù)為0，所以。掌握規(guī)律后再看所求關(guān)系式：要求得，則需要先解出，將其視為一個整體，可知，即除以4的余數(shù)為0，可推斷，即，不妨設(shè)，即除以4的余數(shù)為2，則的值為，所以或者，共有兩個解答案：C例4：定義兩個平面向量的一種運算，其中為的夾角，對于這種運算，給出以下結(jié)論：①；②；③；④若，則你認(rèn)為恒成立的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個思路：本題的新運算，即的模長乘以夾角。所以對于結(jié)論①，；對于②，，而，顯然當(dāng)時等式不成立；對于③，（其中表示的夾角），而，顯然等式不會恒成立（也可舉特殊情況如，左邊為0，而右邊大于等于0）；對于④，可代入坐標(biāo)進行運算，為了計算簡便考慮將左邊平方，從而，可與找到聯(lián)系：，即。綜上所述，①④正確答案：B例5：如果函數(shù)對任意兩個不等實數(shù)，均有，在稱函數(shù)為區(qū)間上的“G”函數(shù)，給出下列命題：①函數(shù)是上的“G”函數(shù)②函數(shù)是上的“G”函數(shù)③函數(shù)是上的“G”函數(shù)④若函數(shù)是上的“G”函數(shù)，則其中正確命題的個數(shù)是（）A.B.C.D.思路：本題看似所給不等式復(fù)雜，但稍作變形可得：，所以即與同號，反映出是上的增函數(shù)，從而從單調(diào)性的角度判斷四個命題：①：恒成立，所以是上的增函數(shù)②③：可通過作出函數(shù)的圖像來判斷分段函數(shù)是否在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，通過作圖可知②正確，③不正確④：若是“G函數(shù)”，則是上的增函數(shù)，所以即恒成立，因為，所以可得：，④正確綜上所述：①②④正確，共有三個命題答案：C例6：對于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組，其中，如果在時，有，則稱“與”是該數(shù)組的一個“順序”，一個數(shù)組中所有“順序”的個數(shù)稱為此數(shù)組的“順序數(shù)”，例如：數(shù)組中有順序“”，“”，其“順序數(shù)”等于2，若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組的“順序數(shù)”是4，則的“順序數(shù)”是（）A.B.C.D.思路：本題中對于“順序”的定義為，即序數(shù)小的項也小。要得到“順序數(shù)”則需要對數(shù)組中的數(shù)兩兩進行比較，再進行統(tǒng)計。在所求數(shù)組中可發(fā)現(xiàn)剛好是進行倒序的排列，所以原先數(shù)組的“順序”在新數(shù)組中不成立，而原先數(shù)組不成“順序”的（即）反而成為所求數(shù)組的“順序”。在五元數(shù)組中任意兩個數(shù)比較大小，共有組，在中“順序”有4個，則非“順序”有6個，所以到了中，順序數(shù)即為6答案：B小煉有話說：本題也可以通過特殊的例子得到答案：例如由的“順序數(shù)”是4，假設(shè)，其余各項，則在中即可數(shù)出順序數(shù)為6例7：對任意實數(shù)定義運算如下：，則函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.思路：本題可將描述成取中較小的數(shù)，即，所以對于，即為中較小的數(shù)。解不等式，則，所以，從而可解得值域為答案：B小煉有話說：本題也可以利用數(shù)形結(jié)合的方式，的圖像為將的圖像畫在同一坐標(biāo)系下，取位于下方的部分，從而作出的圖像，其中的交點通過計算可得，所以結(jié)合圖像即可得到的值域為，即例8：已知平面上的線段及點，任取上一點，線段長度的最小