考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬237

考研數(shù)學(xué)二分類(lèi)模擬237解答題1.

設(shè)n→+∞時(shí)，An，Bn為無(wú)窮大量，若用表示無(wú)窮大量Bn的階高于An的階，即．試證：n→+∞時(shí)，下列無(wú)窮大量有如下關(guān)系(a＞1，0＜α＜1，k∈N+)

正確答案：證明：(1)顯然，因．

(2)．記n0=[a]，其中[a]表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，顯然n0≤a＜n0+1，則當(dāng)n＞n0時(shí)，顯然有，所以

(3)．

(4)

(5)

注本題的結(jié)論可當(dāng)作一般性的結(jié)論直接應(yīng)用(尤其是在計(jì)算較復(fù)雜的極限時(shí))．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

2.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)(ab＞0)，在(a，b)內(nèi)可微，求證：存在ξ∈(a，b)，使得．正確答案：證明：命題等價(jià)于證明存在ξ∈(a，b)，使得．

設(shè)．由于ab＞0，則，從而g(x)，h(x)在[a，b]上可微，且，g'(x)≠0，g(a)≠g(b)．

因此g(x)，h(x)滿足柯西中值定理的條件，故，使得

即

整理可得

所以

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

3.

若f(x)在[a，b]上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，f(a)=f(b)=0，且，求．正確答案：解：

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

4.

設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f'(1)=2，求．正確答案：解：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f'(x)為偶函數(shù)，由，

得

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

5.

設(shè)R=R(x)是拋物線上任一點(diǎn)M(x，y)(x≥1)處的曲率半徑，s=s(x)是該拋物線上介于點(diǎn)A(1，1)與M之間的弧長(zhǎng)，計(jì)算．正確答案：解：因?yàn)?，拋物線在點(diǎn)M(x，y)處的曲率為

曲率半徑為

拋物線AM的弧長(zhǎng)

再利用參數(shù)方程的求導(dǎo)法則

所以

[考點(diǎn)]定積分的應(yīng)用

對(duì)于n元齊次線性方程組：(Ⅰ)Am1×nx=0；(Ⅱ)Bm2×nx=0有：6.

(Ⅰ)與(Ⅱ)有非零公共解的充要條件是；正確答案：證明：必要性．設(shè)(Ⅰ)與(Ⅱ)的非零公共解為x0，即

Ax0=0，Bx0=0

從而，即有非零解，故．

充分性．由知線性方程組有非零解．

設(shè)為x0，即，從而Ax0=0，Bx0=0．

即x0是(Ⅰ)(Ⅱ)的非零公共解．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

7.

設(shè)η1，η2，…，ηs是(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系，則(Ⅰ)與(Ⅱ)有非零公共解的充要條件是Aη1，Aη2，…，Aηs線性相關(guān)；正確答案：證明：必要性．設(shè)x0是(Ⅰ)(Ⅱ)的非零公共解，則x0可由η1，η2，…，ηs線性表出，設(shè)x0=k1η1+k2η2+…+ksηs(k1，k2，…，ks不全為零)．

由Ax0=0有

0=Ax0=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs

由于k1，k2，…，ks不全為零，所以Aη1，Aη2，…，Aηs線性相關(guān)．

充分性．由Aη1，Aη2，…，Aηs線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks使得

0=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)

令

x0=k1η1+k2η2+…+ksηs

則x0是(Ⅱ)的解，且滿足Ax0=0．

所以x0是(Ⅰ)(Ⅱ)的非零公共解．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

8.

設(shè)γ1，γ2，…，γt是(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系，η1，η2，…，ηs是(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系，則(Ⅰ)與(Ⅱ)有非零公共解的充要條件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs線性相關(guān)．正確答案：證明：必要性．設(shè)x0是(Ⅰ)(Ⅱ)的非零公共解，則可設(shè)

x0=k1γ1+k2γ2+…+ktγt=l1η1+l2η2+…+lsηs

其中ki(i=1，2，…，t)，lj(j=1，2，…，s)不全為零．

于是

k1γ1+k2γ2+…+ktγt-l1η1-l2η2-…-lsηs=0

從而γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs線性相關(guān)．

充分性．由γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，…，kt，l1，l2，…，ls使得

k1γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0

取

x0=k1γ1+k2γ2+…+ktγt

則x0≠0(否則可得k1，k2，…，kt，l1，l2，…，ls全為零)，且

x0=-l1η1-l2η2-…-lsηs

從而x0是(Ⅰ)(Ⅱ)的非零公共解．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

9.

n維列向量組α1，α2，…，αn-1線性無(wú)關(guān)，且與非零向量β正交．證明：α1，α2，…，αn-1，β線性無(wú)關(guān)．正確答案：證明：令k0β+k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，α2，…，αn-1與盧正交及(β，k0β+k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1)=0，得k0(β，β)=0，又因?yàn)棣聻榉橇阆蛄浚?β，β)=||β||2＞0，于是k0=0，故k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1=0，再由α1，α2，…，αn-1線性無(wú)關(guān)得k1=k2=…=kn-1=0，于是α1，…，αn-1，β線性無(wú)關(guān)．[考點(diǎn)]向量

10.

求．正確答案：解：因?yàn)?/p>

所以

又因?yàn)?/p>

所以根據(jù)夾逼準(zhǔn)則得

[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

11.

設(shè)A是n階矩陣，對(duì)任意的x=(x1，x2，…，xn)T，都有xTAx=0，是否必有A=0，說(shuō)明理由．正確答案：解：不一定，如，對(duì)任意的x=(x1，x2)T都有

但．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

12.

設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)任意的x=(x1，x2，…，xn)T，都有xTAx=0，是否必有A=0，說(shuō)明理由．正確答案：解：在題設(shè)條件下，必有A=0．證明如下：

A是實(shí)對(duì)稱矩陣，AT=A．

對(duì)任意的x=(x1，x2，…，xn)T，都有

故，得A=-A，A=0．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

13.

計(jì)算，其中D由曲線x=y2，x=3-2y2圍成．正確答案：解：積分區(qū)域D(如下圖)關(guān)于x軸對(duì)稱，記D1={(x，y)∈D|y≥0}．函數(shù)y2-x關(guān)于y是偶函數(shù)，函數(shù)ysin2(xy)關(guān)于y是奇函數(shù)，于是

[考點(diǎn)]二重積分

14.

求極限．正確答案：解1：因?yàn)?/p>

所以

解2：[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

15.

證明：r(A+B)≤r(A，B)≤r(A)+r(B)．正確答案：證明：設(shè)r(A)=p，r(B)=q，將A，B按列分塊為

A=(α1，α2，…，αs)，B=(β1，β2，…，βs)

于是

(A，B)=(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)

A+B=(α1+β1，α2+β2，…，αs+βs)

因αi+βi(i=1，2，…，s)均可由向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs線性表出，故

r(A+B)≤r(A，B)

又設(shè)A，B的列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組分別為α1，α2，…，αp和β1，β2，…，βq，則{α1，α2，…，αp，β1，β2，…，βq}可線性表出向量組{α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs}．于是r{α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs}≤r{α1，α2，…，αp，β1，β2，…，βq}≤p+q，故有r(A，B)≤r(A)+r(B)．

綜上，r(A+B)≤r(A，B)≤r(A)+r(B)．[考點(diǎn)]向量

16.

設(shè)求f'(x)．正確答案：解：當(dāng)x＜0時(shí)，f'(x)=-sinx；當(dāng)x＞0時(shí)，；當(dāng)x=0時(shí)，不存在(此時(shí)不用再考慮右導(dǎo)數(shù))．

綜上，f(x)在x=0處不可導(dǎo)．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

17.

求極限．正確答案：解：

所以

綜上，．[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

設(shè)n階方陣A與B相似，證明：18.

對(duì)任意的正整數(shù)k，都有Ak與Bk相似；正確答案：證明：因A與B相似，故有可逆矩陣P，使得P-1AP=B．

由

知Ak～Bk．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

19.

對(duì)任意一個(gè)多項(xiàng)式

f(x)=akxk+ak-1xk-1+…+a1x+a0

矩陣多項(xiàng)式f(A)和f(B)相似；正確答案：由于

P-1(a0E)P=a0E

并且由第一小題可知

P-1(a1A)P=a1B，…，P-1(akAk)P=akBk

等式兩邊全部相加，得

P-1(akAk+…+a1A+a0E)P=akBk+…+a1B+a0E

即

P-1f(A)P=f(B)

故f(A)～f(B)．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

20.

當(dāng)A，B都是可逆矩陣時(shí)，A*和B*相似．正確答案：因A，B相似，故有可逆矩陣P，使P-1AP=B，且|A|=|B|，對(duì)P-1AP=B兩邊求逆，得

P-1A-1P=B-1

上式兩邊乘|A|，得

P-1(|A|A-1)P=|A|B-1=|B|B-1

因

|A|A-1=A*，|B|B-1=B*

故P-1A*P=B*，于是A*～B*．[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

21.

證明：若f(x)在有限區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，但無(wú)界，則其導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a，b)內(nèi)亦必?zé)o界．