考研數(shù)學(xué)二分類模擬題47

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題47解答題1.

證明：當(dāng)x＞0時(shí)，(x2-1)lnx≥(x-1)2.正確答案：[證明]令φ(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，φ(1)=0.

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則故x=1為φ"(x)的極小值點(diǎn)，由其唯一性得其也為最小值點(diǎn)，而最小值為φ"(1)=2＞0，故φ"(x)＞0(x＞0)．

由得

故x=1為φ(x)的極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，而最小值為φ(1)=0，

所以x＞0時(shí)，φ(x)≥0，即(x2-1)lnx≥(x-1)2．

2.

當(dāng)x＞0時(shí)，證明：正確答案：[證明]方法一

令

對(duì)因?yàn)?/p>

所以，從而f'(x)≥0(x＞0)．

由得f(x)≥f(0)=0(x＞0)，即

方法二

令

顯然f(0)=0，F(xiàn)(0)=0.

由柯西中值定理，存在ξ∈(0，x)，使得

令由得

當(dāng)時(shí)，f'(x)＞0；當(dāng)時(shí)，f'(0)＜0，則為φ(x)在(0，+∞)內(nèi)的最大值點(diǎn)，最大值為

所以

3.

設(shè)0＜a＜b，證明：正確答案：[證明]首先證明

因?yàn)?，所以?/p>

由而b＞a，所以φ(b)＜0，即

再證

方法一

因?yàn)椋粤頵(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)，f(a)=0，

由因?yàn)閎＞a，所以f(b)＞f(a)=0，即

方法二

令f(x)=lnx，則存在ξ∈(a，b)，使得，其中0＜a＜ξ＜b，則所以

4.

求由方程x2+y2-xy=0確定的函數(shù)在x＞0內(nèi)的極值，并指出是極大值還是極小值.正確答案：[解]根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法，得

令得y=2x，再將y=2x代入原方程得函數(shù)值為

將代入y"得

所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，且極大值為

5.

設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f'(0)=f(1)=f'(1)=0.證明：方程f"(x)-f(x)=0在(0，1)內(nèi)有根.正確答案：[證明]令φ(x)=e-x[f(x)+f'(x)]．

因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在c∈(0，1)使得φ'(c)=0，

而φ'(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以方程f"(c)-f(c)=0在(0，1)內(nèi)有根．

6.

設(shè)f(x)=3x2+Ax-3(x＞0)，A為正常數(shù)，問(wèn)A至少為多少時(shí)，f(x)≥20?正確答案：[解]f(x)≥20等價(jià)于A≥20x3-3x5，

令φ(x)=20x3-3x5，由φ'(x)=60x2-15x4=0，得x=2，

φ"(x)=120x-60x3，因?yàn)棣?(2)=-240＜0，所以x=2為φ(x)的最大值點(diǎn)，最大值為φ(2)=64，故A至少取64時(shí)，有f(x)≥20.

7.

設(shè)f(x)在[0，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(0)=-2，f'(0)=1，f"(x)≥0.證明：f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)根.正確答案：[證明]因?yàn)閒"(x)≥0，所以f'(x)單調(diào)不減，當(dāng)x＞0時(shí)，f'(x)≥f'(0)=1.

當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)-f(0)=f'(ξ)x，從而f(x)≥f(0)+x，因?yàn)樗?/p>

由f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(0)=-2＜0，則f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)至少有一個(gè)根，又由f'(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．

設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2).8.

證明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；正確答案：[證明]令φn(x)=fn(x)=1，因?yàn)棣課(0)=-1＜0，φn(1)=n-1＞0，所以φn(x)在(0，1)(0，+∞)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，即方程fn(x)=1在(0，+∞)內(nèi)有一個(gè)根．

因?yàn)棣?n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，所以φn(x)在(0，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)內(nèi)有唯一正根，記為xn．

9.

求正確答案：[解]由fn(xn)-fn+1(xn+1)=0，得

從而xn＞xn+1，所以單調(diào)減少，又xn＞0(n-1，2，…)，故存在，設(shè)顯然A≤xn≤x1=1，由得兩邊求極限得，解得

10.

設(shè)a＞0，討論方程aex=x3根的個(gè)數(shù).正確答案：[解]aex=x2等價(jià)于x2e-x-a=0.

令f(x)=x2e-x-a，由f'(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0，x=2.

當(dāng)x＜0時(shí)，f'(x)＜0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'(x)＞0；當(dāng)x＞2時(shí)，f'(x)＜0，

于是x=0為極小點(diǎn)，極小值為f(0)=-a＜0；x=2為極大點(diǎn)，極大值為

又

(1)當(dāng)，即時(shí)，方程有三個(gè)根；

(2)當(dāng)即時(shí)，方程有兩個(gè)根．

(3)當(dāng)即時(shí)，方程只有一個(gè)根．

11.

就k的不同取值情況，確定方程x3-3x+k=0根的個(gè)數(shù).正確答案：[解]令

由f'(x)=3x2-3=0，得駐點(diǎn)為x1=-1，x2=1.f"(x)=6x，由f"(-1)=-6，

f"(1)=6，得x1=-1，x2=1分別為f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，極大值和極小值分別為f(-1)=2+k，f(1)=k-2.

(1)當(dāng)k＜-2時(shí)，方程只有一個(gè)根；

(2)當(dāng)k=-2時(shí)，方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)為x=-1，另一個(gè)位于(1，+∞)內(nèi)；

(3)當(dāng)-2＜k＜2時(shí)，方程有三個(gè)根，分別位于(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)內(nèi)；

(4)當(dāng)k=2時(shí)，方程有兩個(gè)根，一個(gè)位于(-∞，-1)內(nèi)，另一個(gè)為x=1；

(5)當(dāng)k＞2時(shí)，方程只有一個(gè)根．

12.

設(shè)k為常數(shù)，方程在(0，+∞)內(nèi)恰有一根，求k的取值范圍.正確答案：[解]令

(1)若k＞0，由所以原方程在(0，+∞)內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)根；

(2)若k=0，所以原方程也恰有一個(gè)實(shí)根；

(3)若k＜0，又所以為f(x)的最大值，令得，所以k的取值范圍是

13.

設(shè)f(x)在[-1，1]上可導(dǎo)，f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f'(0)=0，f"(0)=4.求正確答案：[解]

對(duì)x＞0，有，同理所以原式=2.

14.

設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f'(0)=0，f"(x)＞0.曲線y=f(x)上任一點(diǎn)(x，f(x))(x≠0)處作切線，此切線在x軸上的截距為u，求正確答案：[解]曲線y=f(x)在點(diǎn)(x，f(x))處的切線方程為Y-f(x)=f'(x)(X-x)，

令Y=0得由泰勒公式得

于是

設(shè)函數(shù)其中g(shù)(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且g(x)=1.15.

確定常數(shù)a，使得f(x)在x=0處連續(xù)；正確答案：[解]

當(dāng)a=g'(0)時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)．

16.

求f'(x)；正確答案：[解]當(dāng)x≠0時(shí)，

而

所以

17.

討論f'(x)在x=0處的連續(xù)性.正確答案：[解]

因?yàn)樗詅'(x)在x=0處連續(xù)．

18.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'+(a)f'-(b)＜0.證明：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0.正確答案：[證明]不妨設(shè)f'+(a)＞0，f'-(b)＜0，根據(jù)極限的保號(hào)性，由則存在δ＞0(δ＜b-a)，當(dāng)0＜x-a＜δ時(shí)，，即f(x)＞f(a)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．

同理由f'-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．

因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)內(nèi)取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)為f(x)在[a，b]上的最大值，故f'(ξ)=0.

19.

設(shè)f(x)在[0，2]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且證明：存在ξ∈(0，2)，使得f'''(ξ)=2.正確答案：[證明]方法一

先作一個(gè)函數(shù)P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得

則

令g(x)=f(x)-P(x)，則g(x)在[0，2]上三階可導(dǎo)，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g'(c1)=g'(1)=g'(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"(ξ)=0，而g"(x)=f'''(x)-2，所以f'''(ξ)=2.

方法二

由泰勒公式，得

兩式相減，得，而f'''(x)∈C[0，2]，所以存在ξ∈(0，2)，使得f'''(ξ)=2.

20.

設(shè)f(x)是在[a，b]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=a＜b=f(b).

證明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得正確答案：[證明]令因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，且f(a)=a＜b=f(b)，

所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端點(diǎn)介值定理和函數(shù)單調(diào)性，

存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得

f(c1)=a+h，f(c2)=a++2h，…，f(cn-1)=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得

f(c1)-f(a)=f'(ξ1)(c1-a)，ξ1∈(a，c1)，

f(c2)-f(c1)=f'(ξ2)(c2-c1)，ξ2∈(c1，c2)，…

f(b)-f(cn-1)=f'(ξn)(b-cn-1)，ξn∈(cn-1，b)，

從而有

21.

設(shè)函數(shù)y=f(x)二階可導(dǎo)，f'(x)≠0，且與x=φ(y)互為反函數(shù)，求φ"(y).正確答案：[解]因?yàn)楹瘮?shù)的一階導(dǎo)數(shù)與其反函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)，所以

于是

22.

設(shè)f(x)在x=x0的鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且證明：f'(x0)=M.正確答案：[證明]由微分中值定理得f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)，其中ξ介于x0與x之間，則，由得即f'(x0)=M．

23.

設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0.證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=正確答案：[證明]令φ(x)=(x-1)2f'(x)，顯然φ(x)在[0，1]上可導(dǎo)．由f(0)=f(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f'(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=2(x-1)f'(x)+(x-1)2f"(x)，所以2(ξ-1)f'(ξ)+(ξ-1)2f"(ξ)=0，整理得

24.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，證明：對(duì)任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得正確答案：[證明]因?yàn)閒(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=0，f(1)=1，且所以由

端點(diǎn)介值定理，存在c∈(0，1)，使得

由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得

整理得

兩式相加得

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且證明：25.

存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；正確答案：[證明]令則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F'(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得

26.

存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；正確答案：[證明]令h(x)=exf(x)，因?yàn)閔(a)=h(c)=h(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，

而h'(x)=ex[f'(x)+f(x)]且ex≠0，所以f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．

27.

存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；正確答案：[證明]令φ(x)=e-x[f'(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．

28.

存在η∈(a，b)，使得f"(η)-3f'(η)+2f(η)=0.正確答案：[證明]令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，

由羅爾定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g'(η1)=g'(η2)=0，

而g'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f'(η1)-f(η1)=0，f'(η2)-f(η2)=0.

令φ(x)=e-2x[f'(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，

由羅爾定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ'(η)=0，

而φ'(x)=e-2x[f"(x)-3f'(x)+2f(x)]且e-2x≠0，

所以f"(η)-3f'(η)+2f(η)=0.

29.

設(shè)a1＜a2＜…＜an，且函數(shù)f(x)在[a1，an]上n階可導(dǎo)，c∈[a1，a2]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0.證明：存在ξ∈(a1，an)，使得

正確答案：[證明]當(dāng)c=ai(i=1，2，…，n)時(shí)，對(duì)任意的ξ∈(a1，an)，結(jié)論成立；

設(shè)c為異于a1，a2，…，an的數(shù)，不妨設(shè)a1＜c＜a2＜…＜an．

令

構(gòu)造輔助函數(shù)φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an)，顯然φ(x)在[a1，a2]上n階可導(dǎo)，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，

由羅爾定理，存在使得在(a1，a2)內(nèi)至少有n個(gè)不同零點(diǎn)，重復(fù)使用羅爾定理，則φ(n-1)(x)在(a1，an)內(nèi)至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，設(shè)為c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，

再由羅爾定理，存在ξ∈(c1，c2)