考研數(shù)學(xué)二分類模擬題68

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題68解答題1.

計(jì)算定積分正確答案：[解]

2.

計(jì)算定積分正確答案：[解]

3.

計(jì)算定積分正確答案：[解]

4.

計(jì)算積分正確答案：[解]

5.

計(jì)算定積分正確答案：[解]

6.

計(jì)算積分正確答案：[解]

由得

故

7.

計(jì)算積分正確答案：[解]

8.

計(jì)算積分正確答案：[解]

9.

計(jì)算積分正確答案：[解]

10.

證明：并用此式計(jì)算正確答案：[證明]

11.

設(shè)正確答案：[解]

12.

設(shè)正確答案：[解]

由

13.

設(shè)f'(x)=arcsin(x-1)2且f(0)=0，求正確答案：[解]由f(0)=0得則

14.

設(shè)f(u)是連續(xù)函數(shù)，證明：并求正確答案：[證明]

15.

設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可積，當(dāng)0≤x＜y≤1時(shí)，|f(x)-f(y)|≤|arctanx-arctany|，又f(1)=0，證明：正確答案：[證明]由得

16.

證明：其中a＞0為常數(shù)．正確答案：[證明]則

17.

證明：正確答案：[證明]

18.

設(shè)f(x)，g(x)為[a，b]上連續(xù)的增函數(shù)(0＜a＜b)，證明：正確答案：[證明]令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}，

因?yàn)閒(x)，g(x)在[a，b]上為增函數(shù)，所以F(x，y)≥0，從而

而

故

19.

設(shè)f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，且|f'(x)|＜M，證明：正確答案：[證明]

由得

同理

故

20.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，2π]上連續(xù)可微，f'(x)≥0，證明：對(duì)任意正整數(shù)n，有

正確答案：[證明]因?yàn)閒'(x)≥0，所以f(0)≤f(2π)，從而f(2π)-f(0)≥0.

由

21.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的有界函數(shù)，|f(x)-f'(x)|≤1，證明：|f(x)|≤1.正確答案：[證明]因?yàn)閒(x)有界，所以

于是

即兩邊取絕對(duì)值得

22.

設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＜0，證明：正確答案：[證明]令

因?yàn)閒"(x)＜0，所以f'(x)單調(diào)遞減，從而φ'(x)＞0(a＜x＜b)．

由得φ(x)≥0(a＜x＜b)，

于是φ(b)≥0，故

23.

已知f(x)在[0，2]上二階連續(xù)可微，f(1)=0，證明：其中正確答案：[證明]由泰勒公式得其中ξ位于1與x之間，

積分得

則

24.

計(jì)算曲線的弧長．正確答案：[解]

25.

設(shè)D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，直線l：x+y=t(t≥0)，S(t)為正方形區(qū)域D位于l左下方的面積，求正確答案：[解]

則

26.

求曲線y=2e-x(x≥0)與X軸所圍成的圖形的面積．正確答案：[解]所圍成的面積為

27.

設(shè)f(x)是(-∞，+∞)上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且求f(x)在區(qū)間[0，π]上的平均值．正確答案：[解]

由得

取x=π，則

從而在[0，π]上的平均值為

28.

設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a＜0)滿足：(1)過點(diǎn)(0，0)及(1，2)；(2)拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2+2x所圍圖形的面積最小，求a，b，c的值．正確答案：[解]由y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0，0)及(1，2)得則y=ax2+(2-a)x．

令ax2+(2-a)x=-x2+2x得x=0及

所圍成的圖形面積為

令

得a=-3，

且當(dāng)a＜-3時(shí)，S'(a)＜0；當(dāng)a＞-3時(shí)，S'(a)＞0，

故當(dāng)a=-3時(shí)，所圍成的面積最小，此時(shí)a=-3，b=5，c=0.

29.

設(shè)由x=0，L及y=sint圍成面積S1(t)；由y=sint，L及圍成面積S2(t)，其中

(1)t取何值時(shí)，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?

(2)t取何值時(shí)，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?正確答案：[解]

由

(1)當(dāng)時(shí)，S(t)最小，且最小面積為

(2)當(dāng)t=0時(shí)，S(t)最大，且最大面積為S(0)=1.

30.

設(shè)求曲線y=f(x)與x軸所圍成的平面區(qū)域的面積．正確答案：[解]當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，

當(dāng)x＞0時(shí)，

即

由

故所求的面積為

31.

求曲線y=xe-x(x≥0)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得延展到無窮遠(yuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：[解]

32.

設(shè)由y軸、y=x2(x≥0)及y=a(0＜a＜1)所圍成的平面圖形及由y=a，y=x2及x=1所圍成的平面圖形都繞x軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積相等，求a．正確答案：[解]

由

設(shè)曲線與曲線在點(diǎn)(x0，y0)處有公共的切線，求