2025年廣東省高中學(xué)業(yè)水平考試春季高考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東學(xué)業(yè)水平考試（春季高考）數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.2．命題“?x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是（）A．?x＜0，x2+2x-m＞0 B．?x≤0，x2+2x-m＞0C．?x＜0，x2+2x-m≤0 D．?x＜0，x2+2x-m≤03.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．4.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．某公司現(xiàn)有普通職員160人，中級(jí)管理人員30人，高級(jí)管理人員10人，要從其中抽取m個(gè)人進(jìn)行身體健康檢查，如果采用分層抽樣的方法，其中高級(jí)管理人員僅抽到1人，那么m的值為（

）A．1 B．3 C．16 D．206．已知，b=log32，c=log23，A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a7.已知是兩條不同直線(xiàn)，是三個(gè)不同平面，下列命題為真命題的是（）A.，B.，C.，D.，8．設(shè)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，=log3（1+x），則=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．39．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B．至少有一個(gè)黑球與都是紅球C．恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球10．下列函數(shù)與有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是（）A．y=x2 B．y=C．y=alogax(a>0，且a≠1) D．y=logaa11.已知函數(shù)，若，則的值是（）A B. C. D.12.從長(zhǎng)度為2，4，6，8，9的5條線(xiàn)段中任取3條，則這3條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為()A．25B．12C．35二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.13.函數(shù)的最小正周期是_____．已知向量．若，則．15．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn的平均數(shù)是3，則數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均數(shù)為.16.口袋內(nèi)裝有100個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，其中有45個(gè)紅球；從中摸出1個(gè)球，若摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為．17.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線(xiàn)長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝______cm2.18.若α，β為銳角，sinα＝55，cosβ＝31010，則α＋三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算步驟.19.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，（1）求b（2）求的值20.甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取9次，記錄如下：甲：828179789588938485乙：929580758380908585（1）求甲成績(jī)的分位數(shù)；（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度（在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩個(gè)）考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由？21．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：，設(shè)y為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求y的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用y達(dá)到最小，并求最小值．22.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：PA∥平面COD；(2)求三棱錐P-ABC的體積．一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧?，，因此?故選：B2．命題“?x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是（）A．?x＜0，x2+2x-m＞0 B．?x≤0，x2+2x-m＞0C．?x＜0，x2+2x-m≤0 D．?x＜0，x2+2x-m≤0【答案】C【解析】解：命題“?x＜0，x2+2x-m＞0”是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題“?x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是“?x＜0，x2+2x-m≤0”.故答案為：C.3.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)求出，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?故選：C.4.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)，用正弦、余弦的定義求解.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以，，,故選：A.5．某公司現(xiàn)有普通職員160人，中級(jí)管理人員30人，高級(jí)管理人員10人，要從其中抽取m個(gè)人進(jìn)行身體健康檢查，如果采用分層抽樣的方法，其中高級(jí)管理人員僅抽到1人，那么m的值為（

）A．1 B．3 C．16 D．20【答案】D【解析】由題意可得110=m160+30+10【分析】利用要抽取的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，這個(gè)概率也等于抽到高級(jí)管理人員數(shù)除以高級(jí)管理人員總數(shù)。6．已知a=log312，b=log32，c=A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】A【解析】a=log312＜log31=0；0＜log31＜b=log32＜log所以a＜b＜c.故答案為：A7.已知是兩條不同直線(xiàn)，是三個(gè)不同平面，下列命題為真命題的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)面關(guān)系和面面關(guān)系的性質(zhì)可判斷.【詳解】若，則可能平行或相交，故A錯(cuò)誤；若，則，故B正確；若，則可能平行、異面或相交，故C錯(cuò)誤；若，則可能平行或相交，故D錯(cuò)誤.故選：B．8．設(shè)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，=log3（1+x），則=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，所以．選B．9．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B．至少有一個(gè)黑球與都是紅球C．恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，記2個(gè)紅球分別為A、B，2個(gè)黑球分別為a，b，則從這4個(gè)球中任取2個(gè)球的總基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：A、都是黑球的基本事件為ab，至少有一個(gè)黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，兩個(gè)事件有交事件ab，所以不為互斥事件，故A錯(cuò)誤；B、至少有一個(gè)黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是紅球的基本事件為AB，兩個(gè)事件不僅是互斥事件，也是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；C、恰有兩個(gè)黑球的基本事件為ab，恰有一個(gè)黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，兩個(gè)事件是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故C正確；D、至少有一個(gè)黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一個(gè)紅球的基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，兩個(gè)事件不是互斥事件，故D錯(cuò)誤.故答案為：C.10．下列函數(shù)與有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是（）A．y=x2 B．y=C．y=alogax(a>0，且a≠1) D．y=logaa【答案】D【解析】由題意可知A：y=|x|；B：y=x（x≠0）；C：y=x（x＞0）；D：y=x。因?yàn)锽，C與y=x的定義域不同，A與函數(shù)y=x的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；只有D與函數(shù)y=x的三要素相同.11.已知函數(shù)，若，則的值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義求值.【詳解】，．故選：D．12.從長(zhǎng)度為2，4，6，8，9的5條線(xiàn)段中任取3條，則這3條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為()A．25B．12C．35B解析：從5條線(xiàn)段中任取3條，共有C53＝10其中能構(gòu)成一個(gè)三角形的有：(2，8，9)，(4，6，8)，(4，6，9)，(4，8，9)，(6，8，9)，共有5種，所以這3條線(xiàn)段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率p＝510＝1二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.13.函數(shù)的最小正周期是_____．【答案】【詳解】解：，，即函數(shù)的最小正周期是．故答案為：．14．已知向量．若，則．【答案】【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.15．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn的平均數(shù)是3，則數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均數(shù)為.15.【答案】7【解析】∵樣本數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn的平均數(shù)是x=3，∴數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均數(shù)x'=2x+1=716．口袋內(nèi)裝有100個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，其中有45個(gè)紅球；從中摸出1個(gè)球，若摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為．【答案】0.32【解析】易得口袋中有23個(gè)白球，則有32個(gè)的黑球，所以摸出黑球的概率為32100=0.3217.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線(xiàn)長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝______cm2.【答案】2600π解析：將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開(kāi)圖的面積S＝×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．18.若α，β為銳角，sinα＝55，cosβ＝31010，則α＋【答案】解析：因?yàn)棣?，β為銳角，sinα＝55，cosβ＝所以cosα＝255，sinβ所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255又0<α＋β<π，所以α＋β=三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算步驟.19.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，（1）求b（2）求的值解：（1）由余弦定理，…3分所以.…………5分（2）由正弦定理得：.…………10分20.甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取9次，記錄如下：甲：828179789588938485乙：929580758380908585（1）求甲成績(jī)的分位數(shù)；（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度（在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩個(gè)）考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由？【答案】（1）93（2）派甲參加比較合適，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將甲的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，再按照百分位數(shù)的定義求解即可.（2）利用平均數(shù)和方差的公式求解出甲乙的平均數(shù)及方差，再根據(jù)方差的定義分析結(jié)果.解：（1）將甲的成績(jī)從低到高排列如下：78，79，81，82，84，85，88，93，95，…………1分因?yàn)椴皇钦麛?shù)，………………2分所以選擇第8個(gè)數(shù)作為分位數(shù)，即93.………………4分（2）甲成績(jī)的平均數(shù)為，………………5分甲成績(jī)的方差為：…………6分乙成績(jī)的平均數(shù)為，………………7分乙成績(jī)的方差為：，………………8分因?yàn)?，＜，………………9分甲的成績(jī)比較穩(wěn)定，所以派甲參加比較合適.………………10分21．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：，設(shè)y為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求y的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用y達(dá)到最小，并求最小值．【分析】（1）將建造費(fèi)用和能源消耗費(fèi)用相加得出y的解析式；（2）利用基本不等式得出y的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值.【詳解】（1）設(shè)隔熱層建造厚度為cm，則……（5分）（2），……（8分）當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)……（9分）所以當(dāng)隔熱層厚度為時(shí)總費(fèi)用最小萬(wàn)元.……（10分）22.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：PA∥平面COD；(2)求三棱錐P-ABC的體積．(1)證明：∵O，D分別是AB，PB的中點(diǎn)，∴OD∥AP.………（2分）又PA?平面COD，OD?