考研數(shù)學(xué)二分類模擬題96

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題96一、填空題1.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y確定，則正確答案：2．[解析]解法1

等式兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)，得

于是得

同理得

于是

解法2

等式兩端直接求全微分，

于是

2.

設(shè)f(u，v)是二元可微函數(shù)，正確答案：．[解析]

還可以利用一階全微分形式不變性求解，留給讀者自練．

3.

設(shè)正確答案：．[解析]解法1

因為

故

解法2

采用“先代后求”．

4.

設(shè)，其中函數(shù)f(u)可微，則正確答案：0．[解析]

所以

5.

設(shè)z=z(x，y)是由方程確定的函數(shù)，則正確答案：．[解析]解法1設(shè)，F(xiàn)'x=1，F(xiàn)'y=2ze2yz+2y，F(xiàn)'z=2ye2yz+1，當x=y=時，z=0，，所以

解法2

將原方程兩端直接求全微分，得

e2yz(2zdy+2ydz)+dx+2ydy+dz=0，

當時，z=0，代入得

6.

若函數(shù)z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1確定，則dz|(0，0)=______．正確答案：．[解析]先求z(0，0)．在原方程中令x=0，y=0得

解法1

將原方程兩邊求全微分得

ex+2y+3zd(x+2y+3z)+d(xyz)=0，

ex+2y+3z(dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xydz=0．

令x=0，y=0，z=0得

解法2

將方程兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)得

令x=0，y=0，z=0可得

令x=0，y=0，z=0可得

因此

二、選擇題1.

二元函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的一個充分條件是

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]二元函數(shù)在一點連續(xù)，可導(dǎo)，可微和偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的概念以及它們的相互關(guān)系是多元函數(shù)微分學(xué)的基本內(nèi)容，這些就是本題要考查的知識點．只要了解各選項中等式的意義，就會得到正確的選項．本題主要利用基本概念和推理，所以有一定的難度．

選項A的等式是函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)的定義，故它不是f(x，y)在點(0，0)處可微的充分條件；

選項B的兩個等式就是f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0，兩個偏導(dǎo)數(shù)存在當然不是可微的充分條件；

選項C的等式就是函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的定義，故是正確的；

由于C是正確的選項，故選項D被排除．也可舉反例：

因為

故

同理

但是在(0，0)處，有

故函數(shù)在(0，0)處不可微．

注意選項D中表示的極限是一元的極限，分別表示一元函數(shù)f'x(x，0)在x=0處與f'y(0，y)在y=0處連續(xù)，不要誤以為是表示一階偏導(dǎo)連續(xù)．

2.

設(shè)函數(shù)f(x，y)可微，且對任意x，y都有，則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個充分條件是A.x1＞x2，y1＜y2．B.x1＞x2，y1＞y2．C.x1＜x2，y1＜y2．D.x1＜x2，y1＞y2．正確答案：D[解析]由于，故對于固定的y，f(x，y)是關(guān)于x單調(diào)增加的函數(shù)；同理，由于，可知對于固定的x，f(x，y)是關(guān)于y單調(diào)減少的函數(shù)．因此，當x1＜x2且y1＞y2時，就有f(x1，y1)＜f(x2，y2)，故應(yīng)選D．

3.

設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)φ具有二階導(dǎo)數(shù)，ψ具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]

比較得

4.

設(shè)函數(shù)f連續(xù)．若其巾區(qū)域Duv為下圖中陰影部分，則

A．vf(u2)．

B．

C．vf(u)．

D．正確答案：A[解析]因為

故

5.

設(shè)，其中函數(shù)f可微，則

A．2yf'(xy)．

B．-2yf'(xy)．

C．

D．正確答案：A[解析]

所以

故選A．

6.

設(shè)函數(shù)f(u，v)滿足，則依次是

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]解法1

先求出f(u，v)．

于是

因此

解法2

不必先求出f(u，v)．

由即(u，v)=(1，1)對應(yīng)，

現(xiàn)對兩邊分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)得

上兩式中令得

由此解出．選D．

7.

已知函數(shù)，則A.f'x-f'y=0．B.f'x+f'y=0．C.f'x-f'y=f．D.f'x+f'y=f．正確答案：D[解析]直接計算，

因而

選D．

8.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程確定，其中F為可微函數(shù)，且F'2≠0，則A.x．B.z．C.-x．D.-z．正確答案：B[解析]在等式兩端關(guān)于x求偏導(dǎo)，得

①

在等式兩端關(guān)于y求偏導(dǎo)，得

②

①×x2+②×xy得

所以．即正確選項為B．

還可以利用一階全微分形式不變性求解，留給讀者自練．

9.

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)的全微分為dz=xdx+ydy，則點(0，0)A.不是f(x，y)的連續(xù)點．B.不是f(x，y)的極值點．C.是f(x，y)的極大值點．D.是f(x，y)的極小值點．正確答案：D[解析]由dz=xdx+ydy，可得

在點(0，0)處，因為

所以(0，0)為函數(shù)z=f(x，y)的極小值點，即選項D正確．

，C是任意常數(shù)，由極值的定義可知，點(0，0)是極小值點．

10.

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0，則函數(shù)z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值的一個充分條件是A.f"(0)＜0，g"(0)＞0．B.f"(0)＜0，g"(0)＜0．C.f"(0)＞0，g"(0)＞0．D.f"(0)＞0，g"(0)＜0．正確答案：A[解析]由z=f(x)g(y)，得

由于

顯然只有當選A：f"(0)＜0，g"(0)＞0時，B2-AC＜0，且A＞0，即此時z=f(x)g(y)在點(0，0)處取得極小值．因此選項A是正確的．

11.

設(shè)f(x，y)與φ(x，y)均為可微函數(shù)，且φ'y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的一個極值點，下列選項正確的是A.若f'x(x0，y0)=0，則f'y(x0，y0)=0．B.若f'x(x0，y0)=0，則f'y(x0，y0)≠0．C.若f'x(x0，y0)≠0，則f'y(x0，y0)=0．D.若f'x(x0，y0)≠0，則f'y(x0，y0)≠0．正確答案：D[解析]設(shè)

F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)．

由已知，點(x0，y0)是f(x，y)在約束條件φ(x，y)=0下的極值點，故有

由于φ'y(x0，y0)≠0，故可得

(*)

將四個選項逐一討論：若f'x(y0，y0)=0，由(*)式知，f'y(x0，y0)可以為0，也可以不為0，所以選項A與B都不是必然的；若f'x(x0，y0)≠0，則f'y(x0，y0)一定不為0，故選項C錯誤，應(yīng)選D．

12.

設(shè)函數(shù)u(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足．則A.u(x，y)的最大值和最小值都在D的邊界上取得．B.u(x，y)的最大值和最小值都在D的內(nèi)部取得．C.u(x，y)的最大值在D的內(nèi)部取得，最小值在D的邊界上取得．D.u(x，y)的最小值在D的內(nèi)部取得，最大值在D的邊界上取得．正確答案：A[解析]u(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以u(x，y)在D內(nèi)必然有最大值和最小值．并且如果在內(nèi)部存在駐點(x0，y0)，也就是，在這個點處．

由條件，可知B2-AC＞0，顯然u(x，y)不是極值點，當然也不是最值點，所以u(x，y)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上，所以應(yīng)選A．

三、解答題1.

設(shè)z=f(x2-y2，exy)，其中f具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求．正確答案：解

2.

設(shè)z=f(x+y，x-y，xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與．正確答案：解

由于

所以

3.

設(shè)函數(shù)z=f[xy，yg(x)]，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1．求正確答案：解法1

因為z=f[xy，yg(x)]，所以

由題意g(1)=1，g'(1)=0，所以

解法2

據(jù)題意，有g(shù)(1)=1，g'(1)=0．

因為z=f[xy，yg(x)]，所以

從而

所以

設(shè)函數(shù)f(u)在(0，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式

4.

驗證正確答案：證由z=f(u)，，得

所以根據(jù)題設(shè)條件可得，即

5.

若f(1)=0，f'(1)=1，求函數(shù)f(u)的表達式．正確答案：解

由上一小題及f'(1)=1，得，所以f(u)=lnu+C．

由f(1)=0，得C=0，因此f(u)=lnu．

6.

設(shè)函數(shù)u=f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式．確定a，b的值，使等式在變換ζ=x+ay，η=x+by下簡化為．正確答案：解

將以上各式代入原等式，得

由題意，令

解得

由10ab+12(a+b)+8≠0，舍去

故a=-2，，b=-2．

7.

設(shè)函數(shù)f(u)具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=f(excosy)滿足

若f(0)=0，f'(0)=0，求f(u)的表達式．正確答案：解

則可化為

f"(excosy)e2x=[4f(excosy)+excosy]e2x．

所以函數(shù)f(u)滿足方程

f"(u)=4f(u)+u．

解得通解為

由f(0)=0，f'(0)=0，得．故

8.

求函數(shù)的極值．正確答案：解

由，得

令解得駐點(1，0)，(-1，0)．

記

在點(1，0)處，由于，所以為f(x，y)的極大值；在點(-1，0)處，由于，所以為f(x，y)的極小值．[解析]本題是求解二元顯函數(shù)的無條件極值，先用必要條件找出可能的極值點，然后再用充分判別法判定是否是極值點，是極大值點還是極小值點．當然這里有一定的運算量，這類問題不難，但一定要計算快速、準確!

9.

已知函數(shù)f(x，y)滿足

f"xy(x，y)=2(y+1)ex，f'x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的極值．正確答案：解

由f"xy(x，y)=2(y+1)ex，得

f'x(x，y)=(y+1)2ex+φ(x)．

因為f'x(x，0)=(x+1)ex，所以

ex+φ(x)=(x+1)ex，

得φ(x)=xex，從而

f'x(x，y)=(y+1)2ex+xex．

對x積分得

f(x，y)=(y+1)2ex+(x-1)e2+ψ(y)，因為f(x，y)=y2+2y，所以ψ(y)=0，從而

f(x，y)=(x+y2+2y)ex．

于是f'y(x，y)=(2y+2)ex，f"xx(x，y)=(x+y2+2y+2)ex，f"yy(x，y)=2ex．

令f'x(x，y)=0，f'y(x，y)=0，得駐點(0，-1)，所以

A=f"xx(0，-1)=1，B=f"xy(0，-1)=0，C=f"yy(0，-1)=2．

由于B2-AC＜0，A＞0，所以極小值為f(0，-1)=-1．

10.

已知函數(shù)z=z(x，y)由方程(x2。+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0確定，求z=z(x，y)的極值．正確答案：解

在(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0兩邊分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，得

①

令

將代入方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0，得，可知z=1，從而

對①中兩式兩邊分別再對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得

②

從而

由于AC-B2＞0，A＜0，所以z(-1，-1)=1是z(x，y)的極大值．

11.

求函數(shù)u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值．正確答案：解

作拉格朗日函數(shù)

F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-4)，

令

解方程組得

(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(-2，-2，8)．

故所求的最大值為72，最小值為6．

12.

求曲線x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的點到坐標原點的最長距離與最短距離．正確答案：解

設(shè)(x，y)為曲線上的任一點，目標函數(shù)為距離的平方f(x，y)=x2+y2，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

L(x，y，λ)=x2+y2+λ(x3-xy+y3-1)．

令

當x＞0，y＞0時，由①，②得

，即3xy(y-x)=(x+y)(x