考研數(shù)學(xué)二分類模擬題179

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題179一、填空題1.

微分方程滿足初值條件y(0)=0，的特解是______．正確答案：[解析]由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，

原方程可化為x關(guān)于y的二階常系數(shù)線性方程．將式①代入原方程，原方程化為

解得x關(guān)于y的通解為

由x=0時，y=0，代入上式，得

0=C1+C2．

再將式②兩邊對y求導(dǎo)，有

當(dāng)x=0時，，代入上式，有

解得C1=1，C2=-1，于是得特解．

2.

微分方程3extanydx+(1-ex)sec2ydy=0的通解是______．正確答案：tany=C(ex-1)3，其中C為任意常數(shù)[解析]方程分離變量得，積分得

ln|tany|=3ln|ex-1|+lnC1，

所以方程的通解為tany=C(ex-1)3，其中C為任意常數(shù)．

3.

微分方程的通解是______．正確答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2為任意常數(shù)[解析]原方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，其通解為y=y齊+y*．其中y齊是對應(yīng)齊次方程的通解，y*是非齊次方程的一個特解，

因原方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為r2-2r+1=0，即(r-1)2=0，特征根為r1，2=1．故y齊=(C1+C2x)ex，其中C1，C2為任意常數(shù)．根據(jù)觀察，顯然y*=1為原方程的一個特解，故其通解如上所填．

4.

微分方程的通解______(一定/不一定)包含了所有的解．正確答案：不一定[解析]例如方程(y2-1)dx=(x-1)ydy，經(jīng)分離變量有

于是

得通解y2-1=C(x-1)2，C≠0，但顯然方程的全部解還應(yīng)包括y=±1和x=1(實際上在分離變量時假定了y2-1≠0，x-1≠0)．

5.

微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是______．正確答案：，其中C為任意常數(shù)[解析]方法一原方程化為，由通解公式得

方法二原方程寫為(y2+1)dx+(2x-y)ydy=0，是全微分方程，再改寫為

(y2+1)dx+xd(y2+1)-y2dy=0，即d[x(y2+1)]=y2dy，積分得通解

或，其中C為任意常數(shù)．

6.

微分方程(1-x2)y-xy'=0滿足初值條件y(1)=1的特解是______．正確答案：[解析]原方程化為．積分得通解，即．由初值y(1)=1解出便得如上所填．

7.

微分方程的通解為______．正確答案：，其中C1，C2為任意常數(shù)[解析]由兩邊積分得，再積分得

8.

特征根為r1=0，的特征方程所對應(yīng)的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為______．正確答案：[解析]特征方程為，即，其對應(yīng)的微分方程即所答方程．

9.

滿足f'(x)+xf'(-x)=x的函數(shù)f(x)=______．正確答案：，其中C為任意常數(shù)[解析]在原方程中以-x代替x得f'(-x)-xf'(x)=-x，與原方程聯(lián)立消去f'(-x)得f'(x)+x2f'(x)=x+x2，所以

積分得，其中C為任意常數(shù)．

10.

已知，則f(x)=______．正確答案：Cx+2，其中C為任意常數(shù)[解析]將所給方程兩邊同乘以x，得

令u=tx，則上式變?yōu)椋畠蛇厡求導(dǎo)得

用一階非齊次線性微分方程通解公式計算即得f(x)=Cx+2，其中C為任意常數(shù)．

11.

微分方程xdy-ydx=ydy的通解是______．正確答案：[解析]方法一原方程化為，是齊次型，令y=xu，則dy=xdu+udx，方程再化為，積分得

(C1為大于零的常數(shù))或

代入y=xu即得通解

方法二原方程變形為

積分即得通解

12.

微分方程y"+4y=2x2在原點處與直線y=x相切的特解為______．正確答案：[解析]

由題意，在原點處切線的斜率為y'|x=0=1，且y|x=0．①

特征方程r2+4=0，對應(yīng)齊次微分方程的通解為C1cos2x+C2sin2x．

又微分方程的一個特解為，因而非齊次方程的通解為

將①代入上式，得特解為

13.

設(shè)y1=xex+2e2x，y2=xex+3e-x，y3=xex-e2x-e-x為某二階常系數(shù)線性非齊次方程的3個特解，設(shè)該方程的y"前的系數(shù)為1，則該方程為______．正確答案：y"-y'-2y=(1-2x)ex[解析]非齊次方程的兩個解的差為對應(yīng)齊次方程的解，故

Y1=y1-y2=2e2x-3e-x，

Y2=y1-y3=3e2x+e-x，

為對應(yīng)的齊次方程的兩個解．于是又可推知

Y1+3Y2=11e2x，3Y1-2Y2=11e-x，

也是對應(yīng)的齊次方程的兩個解．所以r=2，r=-1是特征方程兩個根，特征方程為

(r-2)(r+1)=r2-r-2=0，

對應(yīng)齊次方程為

y"-y'-2y=0．

設(shè)該非齊次方程為

y"-y'-2y=f(x)．

將已知的一個特解代入，求得f(x)=(1-2x)ex，故所求的非齊次方程如上所填．

14.

設(shè)exsin2x為某n階常系數(shù)線性齊次微分方程的一個解，則該方程的階數(shù)n至少是______，該方程為______．正確答案：3；y'''-3y"+7y'-5y=0[解析]由于

所以方程至少有3個特征根：1，1+21，1-21．特征方程為

(r-1)[r-(1+2i)][r-(1-2i)]=0，

即r3-r2+7r-5=0．

故對應(yīng)的微分方程為y'''-3y"+7y'-5y=0．

15.

微分方程的通解是y=______．正確答案：，C1，C2為任意常數(shù)[解析]此為歐拉方程．題中含有l(wèi)nx，故知x＞0．作變換x=et，從而有

于是原方程變成

按二階常系數(shù)線性非齊次方程常規(guī)方法解之，得通解為

，C1，C2為任意常數(shù)．

二、解答題1.

求微分方程y"(3y'2-x)=y'滿足初值條件y(1)=y'(1)=1的特解．正確答案：解：這是不顯含y型的二階微分方程y"=f(x，y')，按典型步驟去做即可，

令y'=p，有，原方程化為

化為

3p2dp-(xdp+pdx)=0，

這是關(guān)于P與x的全微分方程，解之得

p3-xp=C1，

以初值條件：x=1時，p=1代入，得

1-1=C1，

即C1=0．從而得

p3-xp=0，

分解成p=0及p2=x，即

又不滿足初值條件y'(1)=1，棄之，解

得．將x=1時，y=1代入，得．故得特解．

2.

求微分方程的通解．正確答案：解：這是y"=f(y，y')型的可降價二階方程，按典型步驟去做即可，

令y'=p，有，原方程化為

即

解得

①

以下進行討論，y≡0顯然是原方程的一個解，以下設(shè)y≠0，于是式①可改寫為

②

當(dāng)C1＞0時，由式②得

當(dāng)C1=0時，由式②得

±x+C2=-y-1；

當(dāng)C1＜0時，由式②得

綜上所述即得原方程的通解．

3.

求微分方程的通解．正確答案：解：應(yīng)先用三角公式將自由項寫成

e-x+e-xcosx．

然后再用疊加原理和待定系數(shù)法求特解．

對應(yīng)的齊次方程的通解為

Y=(C1cosx+C2sinx)e-x．

為求原方程的一個特解，將自由項分成兩項：e-x，e-xcosx，分別考慮

y"+2y'+2y=e-x，①

與y"+2y'+2y=e-xcosx．②

對于式①，令

代入可求得A=1，從而得

對于式②，令

代入可求得B=0，，從而得．由疊加原理，得原方程的通解為

，其中C1，C2為任意常數(shù)

4.

求y"-y=e|x|的通解．正確答案：解：當(dāng)x≥0時，方程為

y"-y=ex，①

求得通解

當(dāng)x＜0時，方程為y"-y=e-x，②

求得通解

因為原方程的解y(x)在x=0處連續(xù)且y'(x)也連續(xù)，則有

解得，于是得通解：

其中C1，C2為任意常數(shù)．此y在x=0處連續(xù)且y'連續(xù)．又因y"=y+e|x|，所以在x=0處y"亦連續(xù)，即是通解．[解析]自由項帶絕對值，為分段函數(shù)，所以應(yīng)將該方程按區(qū)間(-∞，0)，[0，+∞)分成兩個方程，分別求解．由于y"=y+e|x|在x=0處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以求出解之后，在x=0處拼接成二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，便得原方程的通解，

5.

利用變換y=f(ex)求微分方程y"-(2ex+1)y'+e2xy=e3x的通解．正確答案：解：令t=ex，則y=f(t)，y'=f'(t)·ex=tf'(t)，

代入方程得t2f"(t)+tf'(t)-(2t+1)tf'(t)+t2f(t)=t3，即

f"(t)-2f'(f)+f(t)=t，

解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以原方程的通解為

y=(C1+C2ex)eex+ex+2，其中C1，C2為任意常數(shù)．

6.

(1)用x=et化簡微分方程為

(2)求解正確答案：解：本題考查在已有提示下化簡微分方程，二階常系數(shù)線性微分方程的求解，是一道具有一定計算量的綜合題．

(1)令x=et，則

代入原方程得

即

①

(2)齊次方程y"+2y'+5y=0的特征方程為r2+2r+5=0，解得r1，2=-1±2i，

故齊次方程的通解

Y=e-t(C1cos2t+C2sin2t)，

令y*(t)=(at+b)et代入①得a=2，b=-1，故原方程的通解

y=e-t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t-1)et，其中C1，C2為任意常數(shù)．

設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點P(x，y)(x＞0)到坐標(biāo)原點的距離恒等于該點處的切線在y軸上的截距，且L經(jīng)過點．7.

試求曲線L的方程；正確答案：解：設(shè)曲線L過點P(x，y)的切線方程為Y-y=y'(X-x)．令X=0，則該切線在y軸上的截距為y-xy'．

由題設(shè)知，令，則此方程可化為了，解之得

由L經(jīng)過點

于是L方程為

8.

求L位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最?。_答案：解：設(shè)第一象限內(nèi)曲線在點P(x，y)處的切線方程為

即．它與x軸及y軸的交點分別為，

則所求面積為

上式對x求導(dǎo)，得，令S'(x)=0，解得

當(dāng)時，S'(x)＜0；當(dāng)時，S'(x)＞0，因而是S(x)在內(nèi)的唯一極小值點，即最小值點，于是所求切線為

即

9.

設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)且y'(x)＞0，y(0)=1．過曲線y=y(x)上任意一點P(x，y)作該曲線的切線及到x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1-S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．正確答案：解：曲線y=y(x)上點P(x，y)處的切線方程為Y-y=y'(x)(X-x)，它與x軸的交點為．由于y'(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是

又，由條件2S1-S2=1，知

①

①式兩邊對x求導(dǎo)得，即yy"=(y')2．令p=y'，則上述方程可化為

解得p=C1y，即．于是y=eC1x+C2．

注意到y(tǒng)(0)=1，并由①式得y'(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程是y=ex．

10.

位于上半平面的凹曲線y=y(x)在點(0，1)處的切線斜率為0，在點(2，2)處的切線斜率為1．已知曲線上任一點處的曲率半徑與的乘積成正比，求該曲線方程．正確答案：解：由已知，有y(0)=1，y'(0)=0，y(2)=2，y'(2)=1．

又

即(因為y(x)是凹曲線，所以y"＞0)．

令y'=p，y"=pp'，有

即

代入y(0)=1，y'(0)=0，y(2)=2，y'(2)=1，得k=2，C=0，有

，

代入y(0)=1，C1=0，即，所以．

11.

一長為l(米)、線密度為ρ(千克/米)的鏈條，兩端各系一個質(zhì)量為m(千克)的物體A與B．開始時，僅A下垂，其余部分平置于桌面上，假設(shè)物體、鏈條與桌面的摩擦均略而不計，問從開始算起經(jīng)過多少時間，鏈條全部從桌面上滑下．正確答案：解：設(shè)以開始下垂點作為坐標(biāo)原點，向下為x軸正向．設(shè)在t(秒)時，物體A已下垂x(米)，則此時使該系統(tǒng)向下的力為(ρx+m)g，整個運動系統(tǒng)的質(zhì)量為lρ+2m，于是由牛頓第二定律，有

即，其中，初始條件是x(0)=0，x'(t)=0．

解之，得通解

再由初始條件得特解

令x=l，解得

，其中g(shù)=9.8(米/秒2)．

12.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有定義，且對于任意x與y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立，又設(shè)f'(0)存在且等于a(a≠0)．求f(x)．正確答案：解：由f'(0)存在，設(shè)法去證對一切x，f'(x)存在，并求出f(x)．

將y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得

f(x)=f(x)+f(0)ex，

所以f(0)=0．

令Δx→0，得

f'(x)=f(x)+exf'(0)=f(x)+aex，

所以f'(x)存在，解此一階非齊次線性微分方程，得

f(x)=ex(∫aex·e-xdx+C)=ex(ax+C)．

因f(0)=0，所以C=0，從而得f(x)=axex．

13.

設(shè)f(x)在區(qū)間(-∞，+∞)上連續(xù)且滿足

求f(x)．正確答案：解：由，有f(0)=1．對第一個積分作變量代換4x-t=u，有

兩邊求導(dǎo)

兩邊求導(dǎo)f"(x)-4f(x)=4e2x，

此為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，按常規(guī)方法解之，得通解：

f(x)=C1e2x+C2e-2x+xe2x．

再由初始條件f(0)=1，f'(0)=2得特解：

14.

設(shè)f(x))在區(qū)間(-∞，+∞)上連續(xù)，且滿足

求f(x)的表達式正確答案：解：令，有F(0)=1，且

F'(x)=exf(x)，f(x)=e-xF'(x)．

從而e-xF'(x)F(x)=x+1．這是關(guān)于F(x)的一個變量可分離的微分方程，

分離變量得F(x)F'(x)=(x+1)ex，(*)

兩邊積分得

F2(x)=∫2(x+1)exdx=2xex+C．

因F(0)=1，所以C=1，從而得

F2(x)=2xex+1．

以下證明：當(dāng)x∈(-∞，+∞)時2xex+1＞0．令φ(x)=2xex+1，有

φ'(x)=2(x+1)ex，

令φ'(x)=0得唯一駐點x0=-1．當(dāng)x＜-1時φ'(x)＜0，當(dāng)x＞-1時φ'(x)＞0．故唯一駐點為φ(x)的最小值點，于是有φ(x)≥φ(-1)=-2e-1+1＞0．

從而(開方取“+”原因是F(0)=1)，