考研數(shù)學(xué)二模擬394

考研數(shù)學(xué)二模擬394一、選擇題每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.

設(shè)常數(shù)a，b滿足則

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析一]由

選A．

[解析二]用帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞公式

其中

因此

2.

下列等式中正確的是

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析一]直接證C正確．易知

在[-1，1]連續(xù)，且是奇函數(shù)故選C．

[解析二]指出A、B、D是錯(cuò)的．由于

在[0，π]連續(xù)，又f(x)≥0，不正確．錯(cuò)誤的步驟是應(yīng)是

f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，是奇函數(shù)可能積分不存在．這里不存在．因?yàn)?/p>

同樣道理，是反常積分(瑕積分)x=0是瑕點(diǎn)，是發(fā)散的發(fā)散．因此B、D均不正確．

3.

設(shè)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，反函數(shù)為x=g(y)，又α=f(a)，β=f(b)，A.aβ-bα-A0．B.bβ-aα-A0．C.αβ-bα+A0．D.bβ-aα+A0．正確答案：B[解析]

選B．

4.

設(shè)f(x)在(-∞，+∞)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且滿足：f(x+h)+f(x-h)=f'(x+h)則

A．f(x)只能恒為零．

B．

C．f(x)為一次多項(xiàng)式．

D．f(x)為二次多項(xiàng)式．正確答案：A[解析一]由令h→0得

2f(x)=f'(x)

解此微分方程得

代入原式得Ce2x+2h+Ce2x-2h=2Ce2x+2h

因此，選A．

[解析二]將f(x+h)+f(x-h)=f'(x+h)

兩邊對(duì)h求導(dǎo)得

f'(x+h)-f'(x-h)=f"(x+h)

令h→0得

其中a，b為常數(shù)，代入原式

a(x+h)+b+a(x-h)+b=a

即

因此選A．

5.

設(shè)f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，又記

A=f"xx(x0，y0)，B=f"xy(x0，y0)，C=f"yy(x0，y0)

則下列命題中錯(cuò)誤的是A.若f(x0，y0)是極值，則AC-B2≥0.B.若f'x(x0，y0)≠0，則f(x0，y0)不是極值．C.若AC-B2＞0，則f(x0，y0)是極值．D.若f(x0，y0)是極小值，則f'x(x0，y0)=0且A≥0.正確答案：C[解析一]f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)某鄰域有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)條件下，f(x，y)在P0取極值的必要條件是：f'x(x0，y0)=f'y(x0，y0)=0且AC-B2≥0(否則AC-B2＜0，則f(x0，y0)不是極值點(diǎn))．于是A，B正確．

若f(x0，y0)是極小值一元函數(shù)z=f(x，y0)在x=x0取極小值

且(否則A＜0f(x0，y0)是極大值．)于是，D正確．

因此，選C．

[解析二]在所述條件下，C中缺少必要條件：f'x(x0，y0)=f'y(x0，y0)=0，所以C是錯(cuò)誤的．例如，f(x，y)=x2+y2，x0=y0=1，滿足AC-B2＞0，但f(1，1)=2不是它的極值．

6.

累次積分其中a＞0為常數(shù)，則I可寫成

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]這是把極坐標(biāo)系下的累次積分轉(zhuǎn)換成Oxy直角坐標(biāo)系下的累次積分的問題．先將I表成由D的極坐標(biāo)表示：

0≤θ≤π，0≤r≤asinθ

即r2=x2+y2≤arsinθ=ay

可知

如下圖．

若是先y后x的積分順序，則

于是

因此選C．

若是先x后y的積分順序應(yīng)是

7.

已知α，β，γ1，γ2，γ3均為4維列向量，若|A|=|α，γ1，γ2，γ3|=3，|B|=|β，γ1，γ2，γ3|=1，則|A+2B|=A.135.B.45.C.15.D.81.正確答案：A[解析]由A+2B=(α+2β，3γ1，3γ2，3γ3)

知|A+2B|=27|α+2β，γ1，γ2，γ3|

=27(|A|+2|B|)=135.

8.

三元二次型

xTAx=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)

的正慣性指數(shù)p=A.1.B.2.C.3.D.與a、b有關(guān)．正確答案：A[解析]令

有xTAx=y1y2

再令

得所以必有p=1.

因?yàn)?/p>

所以(1)與(2)都是坐標(biāo)變換．

二、填空題1.

則正確答案：e-1[解析]

又

因此

若對(duì)yn作恒等變形，這是求等比數(shù)列的和．按公式得

其中

2.

已知函數(shù)y(x)的參數(shù)方程是P是曲線y=y(x)上對(duì)應(yīng)參數(shù)t=0的點(diǎn)，則曲線y=y(x)在點(diǎn)P處的曲率K=______．正確答案：[解析]用參數(shù)求導(dǎo)法先求出：

在點(diǎn)P處

因此曲線y=y(x)在點(diǎn)P處的曲率

3.

設(shè)正值函數(shù)f(x)在[1，+∞)連續(xù)，則函數(shù)在[1，+∞)的最小值點(diǎn)是x=______．正確答案：2[解析]

當(dāng)x＞1時(shí)，于是

進(jìn)一步考察單調(diào)性

在，在在[1，+∞)上F(x)在x=2取最小值．

求F"(2)

在[1，+∞)上唯一的駐點(diǎn)x=2是極小值點(diǎn)，從而也是最小值點(diǎn)．

4.

曲線與直線l：y=2x-4從x=1延伸到x→+∞之間的圖形的面積A=______．正確答案：[解析]

5.

設(shè)y=y(x)是y"+4y'+4y=0滿足y(0)=0，y'(0)=1的解，則正確答案：[解析]特征方程λ2+4λ+4=0，特征根λ1=λ2=-2，方程的通解為

y=e-2x(C1x+C2)

方法一：由初條件y(0)=C2=0，y'(0)=C1=1

現(xiàn)求積分

方法二：由通解表達(dá)式易知，總有

因此對(duì)原方程兩邊求積分得

再由初值得

6.

二次型的規(guī)范形是______．正確答案：[解析]二次型矩陣

由

矩陣A的特征值：1，3，-2

那么經(jīng)正交變換則二次型標(biāo)準(zhǔn)形為

而規(guī)范形是

用配方法亦可：

亦知規(guī)范形是

規(guī)范形由正、負(fù)慣性指數(shù)決定，而求正、負(fù)慣性指數(shù)可以通過特征值，也可通過配方法．

三、解答題15～23小題，共94分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

已知正確答案：[解法一]

注意：

由條件

因此

[解法二]由

[解法三]由已知條件知

sin6x-(tanx)f(x)=o(x3)(x→0)

并如同解法一中求得

再由泰勒公式

代入得

化簡得

兩邊除以x3并取極限得

2.

設(shè)f(x)在(a，+∞)連續(xù)又存在，求證：f(x)在(a，+∞)有界；正確答案：[證明]由極限的性質(zhì)可知，因當(dāng)x∈(a，a+δ)時(shí)，f(x)有界，又在[A，+∞)有界，又因f(x)在[a+δ，A]連續(xù)，故有界．因此f(x)在(a，+∞)有界．

3.

求證：在(0+∞)有界．正確答案：[證明]f(x)在(0，+∞)連續(xù)，又

其中ex-1～x(x→0)

因此f(x)在(0，+∞)有界．

設(shè)f(x)在[a，b]有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求證：4.

正確答案：[證法一]

其中

代入上式并移項(xiàng)再除以2即得結(jié)論．

[證法二]引進(jìn)輔助函數(shù)

則F(a)=0，

由F"(x)=0(x∈[a，b])及F'(a)=0F'(x)=0(x∈[a，b])，又F(a)=0

特別有F(b)=0，即原積分等式成立．

5.

若又有f(b)=f'(b)=0，則

正確答案：[證法一]將①式改寫成

因此

[證法二]引進(jìn)輔助函數(shù)

由F(3)(x)=0，x∈[a，b]，且F"(b)=0F"(x)=0(x∈[a，b])，又F'(b)=0F'(x)=0(x∈[a，b])，又由

F(x)=0(x∈[a，b])，

特別F(b)=0，即原積分等式成立．[解析]要把化為被積函數(shù)中含有f"(x)的積分，自然要用分部積分法．為簡化計(jì)算要注意某些小技巧．

6.

求一曲線通過(2，3)，它在兩坐標(biāo)軸間的任意切線段被切點(diǎn)平分，求此曲線的方程y=y(x)．正確答案：[解]曲線y=y(x)上點(diǎn)(x，y(x))處的切線方程是

Y-y(x)=y'(x)(X-x)

其中(X，Y)是切線上點(diǎn)的坐標(biāo)，切線與y軸的交點(diǎn)是(0，Y)：

Y-y(x)=-xy'(x)

與x軸的交點(diǎn)(X，0)：

由條件得(Y-y(x))2+x2=(X-x)2+y2

即

化簡得

即

由xdy+ydx=0

得d(xy)=0，xy=c

由初值y(2)=3c=6.曲線方程為xy=6.

由xdy-ydx=0

得

不合題意．

因此，所求曲線的方程為xy=6.

7.

設(shè)f(x，y)在區(qū)域D上連續(xù)，且

其中積分區(qū)域D是由圓x2+y2=y，x2+y2=4y與直線y=x以及y軸圍成的．求f(x，y)．正確答案：[解]求f(x，y)歸結(jié)為求它是常數(shù)，因?yàn)?/p>

A是f(x，y)在D上的積分，于是為求A，將上式兩邊在區(qū)域D上積分得

求A歸結(jié)為求

積分區(qū)域D如下圖，

由被積函數(shù)與積分區(qū)域D的特點(diǎn)，應(yīng)選極坐標(biāo)變換：

x=rcosθ，y=rsinθ，兩邊界圓的極坐標(biāo)方程分別是

r=sinθ，r=4sinθ

D的極坐標(biāo)表示：

于是

現(xiàn)把②③代入①式得

解出A得

因此

設(shè)u=u(x，t)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并滿足

其中a＞0為常數(shù)．8.

作自變量替換ξ=x-at，η=x+at，導(dǎo)出u作為ξ，η的函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)所滿足的方程；正確答案：[解]先由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求出的關(guān)系：

由上面兩式得u作為ξ，η的函數(shù)的二階編導(dǎo)數(shù)滿足的方程：

即

9.

求u(x，t)．正確答案：[解]把*式改寫成

即是連續(xù)可微的任意函數(shù)，再對(duì)ξ積分一次，并注意到積分常數(shù)可依賴η，于是得

u=f(ξ)+g(η)

其中f(ξ)和g(η)是二次連續(xù)可微的函數(shù)，回到變量x，t得

u(x，t)=f(x-at)+g(x+at)．

10.

設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)可導(dǎo)，且

求證：至少一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)+ξ2(f(ξ)-ξ)=1.正確答案：[證明]g(0)=f(0)＜0，g(1)=f(1)-1＜0

即g(η)=f(η)-η＞0

由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，

現(xiàn)設(shè)在[ξ1，ξ2]可導(dǎo)，又F(ξ1)=F(ξ2)=0，在[ξ1，ξ2]上可對(duì)F(x)用羅爾定理即

f'(ξ)+ξ2(f(ξ)-ξ)=1.[解析]即證明

(f(x)-x)'+x2(f(x)-x)在零點(diǎn)

由此，只需研究在[0，1]或[0，1]內(nèi)的某個(gè)閉區(qū)間上是否滿足羅爾定理的條件．函數(shù)F(x)在這樣的閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)是明顯的，從而關(guān)鍵是驗(yàn)證函數(shù)F(x)在[0，1]內(nèi)某兩點(diǎn)函數(shù)值相等，為此又只須驗(yàn)證函數(shù)在[0，1]上某兩點(diǎn)處取值為零．

11.

已知齊次線性方程組

和

同解，求a，b，c的值并求滿足x1=x2的解．正確答案：[解]對(duì)方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有

可求出(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為

η1=(-1，1，-4，0)T，η2=(-a，0，-3a，1)T

對(duì)方程組(Ⅱ)的系數(shù)矩陣B作初等行變換，有

由于(Ⅰ)與(Ⅱ)同解，r(A)=r(B)知

由于(Ⅰ)與(Ⅱ)同解，η1，η2也是(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系，它應(yīng)是

的解．從而

得a=-2，c=2.

因此(Ⅰ)與(Ⅱ)的通解是k1(-1，1，-4，0)T+k2(2，0，6，1)T

由x1=x2即-k1+2k2=k1知k1=k2

所以滿足x1=x2的解為：k(1，1，2，1)T，k為任意實(shí)數(shù)．

設(shè)A是3階矩陣，α1，α2，α3是3維列向量，其中α3≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，Aα3=0.12.

證明α1，α2，α3線性無關(guān)；正確答案：[解]設(shè)k1α1+k2α2+k3α3=0

(1)

因?yàn)锳α1=α2，Aα2=α3，Aα3=0，用A左乘(1)式兩端，有

k1α2+k2α3=0

(2)

再用A左乘(2)式兩端，有k1α3=0.

由于α3≠0，故必有k1=0.

把k1=0代入(2)得k2=0.把k1=0，k2=0代入(1)得k3=0.

所以α1，α2，α3線性無關(guān)．

13.

求矩陣A