考研數(shù)學(xué)二模擬397

考研數(shù)學(xué)二模擬397一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

A．1．

B．

C．e．

D．e2．正確答案：B[解析]

2.

若函數(shù)連續(xù)，則參數(shù)a，b，c取值情況是______A.a=0，b=1，c=π．B.a=0，b=0，c=-π．C.a=1，b=-1，c=0．D.a=0，b=0，c=π．正確答案：B[解析]

3.

設(shè)函數(shù)y(x)是初值問題(a為常數(shù))的解，則______A.0是y(x)的極小點(diǎn)．B.0是y(x)的極大點(diǎn)．C.0不是y(x)的極值點(diǎn)．D.0是否是y(x)的極值點(diǎn)與a取值有關(guān)．正確答案：A[解析]由y'-asin2y-x=0，得y"-2asiny·cosy·y'-1=0，則

y'(0)=asin2y(0)+x=0，

y"(0)=2asiny(0)·cosy(0)·y'(0)+1=1，

所以y(x)在0處取極小值．

4.

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)，f(x，0)=1，f'y(x，0)=x，f"yy=2，則f(x，y)=______A.1-xy+y2．B.1+xy+y2．C.1-x2y+y2．D.1+x2y+y2．正確答案：B[解析]f"yy=2f'y=2y+C1(x)，由f'y(x，0)=x得

C1(x)=xf'y(x，y)=2y+x，

則

f(x，y)=y2+xy+C2(x)，

由f(x，0)=1C2(x)=1．故f(x，y)=y2+xy+1．

5.

設(shè)f(x)在x=0某鄰域二階可導(dǎo)，且f'(0)=0，則______A.f(0)是f(x)的極大值．B.f(0)是f(x)的極小值．C.(0，f(0))是f(x)的拐點(diǎn)．D.x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是f(x)的拐點(diǎn)．正確答案：B[解析]由已知，得

由極限的保號性可知，f"(x)在x=0的附近與|x|同號，即為正，因此f(x)在x=0的附近為下凸的．

又f'(0)=0，故x=0是f(x)的極小值點(diǎn)．

6.

設(shè)函數(shù)y1(x)，y2(x)是微分方程y'+p(x)y=q(x)的兩個(gè)不同特解，則該方程的通解______A.y=C1y1+C2y2．B.y=y1+Cy2．C.y=y1+C(y1+y2)．D.y=y1+C(y2-y1)．正確答案：D[解析]因?yàn)閥'+p(x)y=q(x)是一階線性非齊次方程，則y2-y1是齊次方程y'+p(x)y=0的一個(gè)解，根據(jù)線性方程解的結(jié)構(gòu)可知y'+p(x)y=q(x)的通解為

y=y1+C(y2-y1)．

7.

二次型的規(guī)范形是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]思路一：二次型的規(guī)范形由它的正負(fù)慣性指數(shù)確定

二次型的矩陣其特征多項(xiàng)式為

故A的特征值為9，0，0，正慣性指數(shù)p=1，負(fù)慣性指數(shù)q=0，則f的規(guī)范形為

思路二：配方法

令

得

8.

設(shè)A是3階矩陣，已知A的行列式|A|=-6，A的跡tr(A)=2，且r(A+2E)=2，則A的伴隨矩陣A*的特征值為______

A．-2，3，-6．

B．2，-3，6．

C．1，-2，3．

D．正確答案：A[解析]設(shè)A的三個(gè)特征值為λ1，λ2，λ3，則

由|A|=-6，得λ1·λ2·λ3=-6；由tr(A)=2，得λ1+λ2+λ3=2；由r(A+2E)=2，得λ3=-2．

解方程組得λ1=1，λ2=3．

所以A-1的三個(gè)特征值為

則A*=|A|A-1的三個(gè)特征值為1×(-6)=-6，

二、填空題1.

已知α，β為常數(shù)，f(x)可導(dǎo)，則正確答案：(α+β)f'(x)[解析]

2.

正確答案：[解析]

3.

一階微分方程y'=xy2的通解是______．正確答案：其中C為任意常數(shù)[解析]已知y'=xy2，當(dāng)y≠0時(shí)，有

另外y=0也是一解．

綜上可得，通解其中C為任意常數(shù)．

4.

正確答案：2e-1[解析]令u2=2x+1，則udu=dx，故

5.

設(shè)已知f'(1)=0，f"(1)=1，則正確答案：4[解析]由參數(shù)方程，得

6.

設(shè)A和B是兩個(gè)相似的三階矩陣，矩陣A有特征值1，矩陣B有特征值2和3，則行列式|AB+A|=______．正確答案：144[解析]由于A，B為相似矩陣，因此有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3．

又

|AB+A|=|A|·|B+E|，

而

|A|=λ1λ2λ3=6，|B+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=24，

故

|AB+A|=6×24=144．

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

正確答案：思路一：

令則

思路二：

則I=1．

思路三：令u=t-x，則

2.

設(shè)f(x)為定義在上且滿足的連續(xù)函數(shù)，試求f(x)在上的平均值．正確答案：將等式關(guān)于x兩邊從0到積分，得

又

故

則f(x)在上的平均值為

3.

已知F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，而F(x)是微分方程xy'+y=ex滿足初始條件的特解．求f(x)及f'(x)．正確答案：由題設(shè)可知是初值問題的特解．

解該問題：

則

綜上，得

當(dāng)x≠0時(shí)，

當(dāng)x=0時(shí)，

所以

當(dāng)x≠0時(shí)，

當(dāng)x=0時(shí)，

綜上，得

今有方程系列P：xn-2x+1=0，n≥3．4.

證明：P中每一個(gè)方程，在(0，1)內(nèi)都有且僅有一個(gè)解；正確答案：記fn(x)=xn-2x+1，則方程xn-2x+1=0的根，即是函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)．

由n＞2，當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，因?yàn)閒"n(x)=n(n-1)xn-2＞0．因此fn(x)在(0，1]內(nèi)是嚴(yán)格下凸的，所以fn(x)在(0，1]內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)．已知有fn(1)=0，因此fn(x)在(0，1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)．

又因而當(dāng)n≥3時(shí)，所以fn(x)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

由此證得，fn(x)在(0，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，記為xn，且

5.

設(shè)P中的第n個(gè)方程的解為xn，求的值．正確答案：思路一：因?yàn)?/p>

由于所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，

由此可知，fn(x)的零點(diǎn)即所以

思路二：先證xn，n=3，4，…是單調(diào)減數(shù)列．

當(dāng)n≥3時(shí)，而且xn-1＜1．

由于ξn位于xn，xn-1之間，所以

因此

因此，序列{xn}(n≥3)單調(diào)減，且有下界因此存在．

又由于而所以有從而則

6.

計(jì)算二重積分正確答案：畫出二重積分區(qū)域，如圖所示，

D1是D的第一象限部分，由對稱性得

7.

設(shè)一旋轉(zhuǎn)拋物面的容器內(nèi)盛有高為H的液體，把另一同軸的旋轉(zhuǎn)拋物面體沿旋轉(zhuǎn)軸方向壓入(不進(jìn)水)盛水的上述容器內(nèi)，浸沒深度為h，問拋物面的容器內(nèi)液面上升多少?正確答案：設(shè)旋轉(zhuǎn)拋物面的容器和旋轉(zhuǎn)拋物面體分別由xOy平面上的拋物線y1=Ax2，y2=Bx2+a繞y軸旋轉(zhuǎn)而成．

如圖所示，設(shè)V1為拋物面容器中的液體被第二個(gè)拋物面體所排開的體積，則

設(shè)被擠上升的液體體積為V2，則

由V1=V2，得

因?yàn)閔+a＞0，則

故液面上升高度為

已知令又有f(x)在[-1，1]上連續(xù)，若φn(x)=nφ(nx)(n=1，2，…)，8.

求極限正確答案：記

令nx=u，則故

注意到φ(x)為偶函數(shù)，并且由于f(x)在[-1，1]上連續(xù)，φ(x)在[-1，1]上不變號，由積分中值定理，得

其中ξ∈(-1，1)，再次由f(x)的連續(xù)性，得到

9.

設(shè)x0∈(-1，1)，求極限正確答案：記

令n(x-x0)=t，則于是

注意到當(dāng)n足夠大時(shí)有(-1，1)[-n(1+x0)，n(1-x0)]，

并應(yīng)用積分中值定理，便得到

其中ξ∈(-1，1)，再次由f(x)的連續(xù)性，得

10.

設(shè)有線性方程組

問：當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有唯一解；a為何值時(shí)，方程組有非零解，并求此時(shí)方程組的通解．正確答案：將方程組改寫為

方程組的系數(shù)行列式為

①當(dāng)a≠2且a≠-2時(shí)，|A|≠0，則方程組Ax=0有唯一解．

②當(dāng)a=2時(shí)，方程組的同解方程為

x1+x2+x3+x4=0．

r(A)=1，基礎(chǔ)解系由4-1=3個(gè)線性無關(guān)的向量組成，取x2，x3，x4為自由變量，則基礎(chǔ)解系為

ξ1=(-1，1，0，0)T，ξ2=(-1，0，1，0)T，ξ3=(-1，0，0，1)T．

則方程組通解為k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)．

③當(dāng)a=-2時(shí)，對系數(shù)矩陣作初等行變換

r(A)=3，基礎(chǔ)解系只有1個(gè)線性無關(guān)的向量組成，解得η=(1，1，1，1)T．

則方程組通解為kη，其中k為任意常數(shù)．

注：可以直接對系數(shù)矩陣A作初等行變換，進(jìn)而討論解的情況并求出通解，留作讀