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文檔簡介
考研數(shù)學(xué)二模擬397一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.
A.1.
B.
C.e.
D.e2.正確答案:B[解析]
2.
若函數(shù)連續(xù),則參數(shù)a,b,c取值情況是______A.a=0,b=1,c=π.B.a=0,b=0,c=-π.C.a=1,b=-1,c=0.D.a=0,b=0,c=π.正確答案:B[解析]
3.
設(shè)函數(shù)y(x)是初值問題(a為常數(shù))的解,則______A.0是y(x)的極小點(diǎn).B.0是y(x)的極大點(diǎn).C.0不是y(x)的極值點(diǎn).D.0是否是y(x)的極值點(diǎn)與a取值有關(guān).正確答案:A[解析]由y'-asin2y-x=0,得y"-2asiny·cosy·y'-1=0,則
y'(0)=asin2y(0)+x=0,
y"(0)=2asiny(0)·cosy(0)·y'(0)+1=1,
所以y(x)在0處取極小值.
4.
設(shè)函數(shù)z=f(x,y),f(x,0)=1,f'y(x,0)=x,f"yy=2,則f(x,y)=______A.1-xy+y2.B.1+xy+y2.C.1-x2y+y2.D.1+x2y+y2.正確答案:B[解析]f"yy=2f'y=2y+C1(x),由f'y(x,0)=x得
C1(x)=xf'y(x,y)=2y+x,
則
f(x,y)=y2+xy+C2(x),
由f(x,0)=1C2(x)=1.故f(x,y)=y2+xy+1.
5.
設(shè)f(x)在x=0某鄰域二階可導(dǎo),且f'(0)=0,則______A.f(0)是f(x)的極大值.B.f(0)是f(x)的極小值.C.(0,f(0))是f(x)的拐點(diǎn).D.x=0不是f(x)的極值點(diǎn),(0,f(0))也不是f(x)的拐點(diǎn).正確答案:B[解析]由已知,得
由極限的保號性可知,f"(x)在x=0的附近與|x|同號,即為正,因此f(x)在x=0的附近為下凸的.
又f'(0)=0,故x=0是f(x)的極小值點(diǎn).
6.
設(shè)函數(shù)y1(x),y2(x)是微分方程y'+p(x)y=q(x)的兩個(gè)不同特解,則該方程的通解______A.y=C1y1+C2y2.B.y=y1+Cy2.C.y=y1+C(y1+y2).D.y=y1+C(y2-y1).正確答案:D[解析]因?yàn)閥'+p(x)y=q(x)是一階線性非齊次方程,則y2-y1是齊次方程y'+p(x)y=0的一個(gè)解,根據(jù)線性方程解的結(jié)構(gòu)可知y'+p(x)y=q(x)的通解為
y=y1+C(y2-y1).
7.
二次型的規(guī)范形是______
A.
B.
C.
D.正確答案:D[解析]思路一:二次型的規(guī)范形由它的正負(fù)慣性指數(shù)確定
二次型的矩陣其特征多項(xiàng)式為
故A的特征值為9,0,0,正慣性指數(shù)p=1,負(fù)慣性指數(shù)q=0,則f的規(guī)范形為
思路二:配方法
令
得
8.
設(shè)A是3階矩陣,已知A的行列式|A|=-6,A的跡tr(A)=2,且r(A+2E)=2,則A的伴隨矩陣A*的特征值為______
A.-2,3,-6.
B.2,-3,6.
C.1,-2,3.
D.正確答案:A[解析]設(shè)A的三個(gè)特征值為λ1,λ2,λ3,則
由|A|=-6,得λ1·λ2·λ3=-6;由tr(A)=2,得λ1+λ2+λ3=2;由r(A+2E)=2,得λ3=-2.
解方程組得λ1=1,λ2=3.
所以A-1的三個(gè)特征值為
則A*=|A|A-1的三個(gè)特征值為1×(-6)=-6,
二、填空題1.
已知α,β為常數(shù),f(x)可導(dǎo),則正確答案:(α+β)f'(x)[解析]
2.
正確答案:[解析]
3.
一階微分方程y'=xy2的通解是______.正確答案:其中C為任意常數(shù)[解析]已知y'=xy2,當(dāng)y≠0時(shí),有
另外y=0也是一解.
綜上可得,通解其中C為任意常數(shù).
4.
正確答案:2e-1[解析]令u2=2x+1,則udu=dx,故
5.
設(shè)已知f'(1)=0,f"(1)=1,則正確答案:4[解析]由參數(shù)方程,得
6.
設(shè)A和B是兩個(gè)相似的三階矩陣,矩陣A有特征值1,矩陣B有特征值2和3,則行列式|AB+A|=______.正確答案:144[解析]由于A,B為相似矩陣,因此有相同的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=3.
又
|AB+A|=|A|·|B+E|,
而
|A|=λ1λ2λ3=6,|B+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=24,
故
|AB+A|=6×24=144.
三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1.
正確答案:思路一:
令則
思路二:
則I=1.
思路三:令u=t-x,則
2.
設(shè)f(x)為定義在上且滿足的連續(xù)函數(shù),試求f(x)在上的平均值.正確答案:將等式關(guān)于x兩邊從0到積分,得
又
故
則f(x)在上的平均值為
3.
已知F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),而F(x)是微分方程xy'+y=ex滿足初始條件的特解.求f(x)及f'(x).正確答案:由題設(shè)可知是初值問題的特解.
解該問題:
則
綜上,得
當(dāng)x≠0時(shí),
當(dāng)x=0時(shí),
所以
當(dāng)x≠0時(shí),
當(dāng)x=0時(shí),
綜上,得
今有方程系列P:xn-2x+1=0,n≥3.4.
證明:P中每一個(gè)方程,在(0,1)內(nèi)都有且僅有一個(gè)解;正確答案:記fn(x)=xn-2x+1,則方程xn-2x+1=0的根,即是函數(shù)fn(x)的零點(diǎn).
由n>2,當(dāng)x∈(0,1]時(shí),因?yàn)閒"n(x)=n(n-1)xn-2>0.因此fn(x)在(0,1]內(nèi)是嚴(yán)格下凸的,所以fn(x)在(0,1]內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn).已知有fn(1)=0,因此fn(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).
又因而當(dāng)n≥3時(shí),所以fn(x)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).
由此證得,fn(x)在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),記為xn,且
5.
設(shè)P中的第n個(gè)方程的解為xn,求的值.正確答案:思路一:因?yàn)?/p>
由于所以存在N>0,當(dāng)n>N時(shí),
由此可知,fn(x)的零點(diǎn)即所以
思路二:先證xn,n=3,4,…是單調(diào)減數(shù)列.
當(dāng)n≥3時(shí),而且xn-1<1.
由于ξn位于xn,xn-1之間,所以
因此
因此,序列{xn}(n≥3)單調(diào)減,且有下界因此存在.
又由于而所以有從而則
6.
計(jì)算二重積分正確答案:畫出二重積分區(qū)域,如圖所示,
D1是D的第一象限部分,由對稱性得
7.
設(shè)一旋轉(zhuǎn)拋物面的容器內(nèi)盛有高為H的液體,把另一同軸的旋轉(zhuǎn)拋物面體沿旋轉(zhuǎn)軸方向壓入(不進(jìn)水)盛水的上述容器內(nèi),浸沒深度為h,問拋物面的容器內(nèi)液面上升多少?正確答案:設(shè)旋轉(zhuǎn)拋物面的容器和旋轉(zhuǎn)拋物面體分別由xOy平面上的拋物線y1=Ax2,y2=Bx2+a繞y軸旋轉(zhuǎn)而成.
如圖所示,設(shè)V1為拋物面容器中的液體被第二個(gè)拋物面體所排開的體積,則
設(shè)被擠上升的液體體積為V2,則
由V1=V2,得
因?yàn)閔+a>0,則
故液面上升高度為
已知令又有f(x)在[-1,1]上連續(xù),若φn(x)=nφ(nx)(n=1,2,…),8.
求極限正確答案:記
令nx=u,則故
注意到φ(x)為偶函數(shù),并且由于f(x)在[-1,1]上連續(xù),φ(x)在[-1,1]上不變號,由積分中值定理,得
其中ξ∈(-1,1),再次由f(x)的連續(xù)性,得到
9.
設(shè)x0∈(-1,1),求極限正確答案:記
令n(x-x0)=t,則于是
注意到當(dāng)n足夠大時(shí)有(-1,1)[-n(1+x0),n(1-x0)],
并應(yīng)用積分中值定理,便得到
其中ξ∈(-1,1),再次由f(x)的連續(xù)性,得
10.
設(shè)有線性方程組
問:當(dāng)a為何值時(shí),方程組有唯一解;a為何值時(shí),方程組有非零解,并求此時(shí)方程組的通解.正確答案:將方程組改寫為
方程組的系數(shù)行列式為
①當(dāng)a≠2且a≠-2時(shí),|A|≠0,則方程組Ax=0有唯一解.
②當(dāng)a=2時(shí),方程組的同解方程為
x1+x2+x3+x4=0.
r(A)=1,基礎(chǔ)解系由4-1=3個(gè)線性無關(guān)的向量組成,取x2,x3,x4為自由變量,則基礎(chǔ)解系為
ξ1=(-1,1,0,0)T,ξ2=(-1,0,1,0)T,ξ3=(-1,0,0,1)T.
則方程組通解為k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3,其中k1,k2,k3為任意常數(shù).
③當(dāng)a=-2時(shí),對系數(shù)矩陣作初等行變換
r(A)=3,基礎(chǔ)解系只有1個(gè)線性無關(guān)的向量組成,解得η=(1,1,1,1)T.
則方程組通解為kη,其中k為任意常數(shù).
注:可以直接對系數(shù)矩陣A作初等行變換,進(jìn)而討論解的情況并求出通解,留作讀
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