第四章 專題復(fù)習(xí) 一線三等角相似模型教案 2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

一線三等角相似模型學(xué)情分析九年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情較高，樂觀向上，有較好的合作精神。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于相似三角形的判定有了一定的了解和認(rèn)識(shí)。在課堂中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，為學(xué)生營造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)氛圍，積極引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究發(fā)現(xiàn)、合作交流。學(xué)生雖然對(duì)相似三角形等知識(shí)有了一定的感性認(rèn)識(shí)，但是更多的是在特定的范圍內(nèi)研究的，對(duì)于相似形的工具性作用，學(xué)生還不能合理運(yùn)用。特別是相似三角形和其他知識(shí)的緊密結(jié)合，對(duì)學(xué)生來講還是有一定難度的。因此在教學(xué)中，我采取從特殊到一般，再由一般到特殊的方式。從學(xué)生已有的認(rèn)知入手，通過提出關(guān)鍵性問題，師生交流討論、質(zhì)疑，釋疑，逐步使學(xué)生思維走向深刻，幫助學(xué)生感悟“一線三等角”相似模型在相似三角形判定中的重要作用。教材分析《圖形的相似》這一章的內(nèi)容有很重要的實(shí)用價(jià)值，它與人類的生產(chǎn)和生活有著廣泛的聯(lián)系，如測(cè)量、繪圖、電影、照相等都涉及相似形的知識(shí)。從研究圖形的全等發(fā)展到研究圖形的相似，用幾何變換的觀點(diǎn)來看，就是從研究圖形的保距變換發(fā)展到研究圖形的保角變換，從研究線段的相等發(fā)展到研究線段的比，這是認(rèn)識(shí)上的一次深化。學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形和四邊形之后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)相似形的知識(shí)，是對(duì)于直線形研究的繼續(xù)。相似形與前面學(xué)習(xí)的全等形之間既有密切的聯(lián)系，又有明顯的區(qū)別。全等形是相似形的特殊情況，相似形比全等形更具有一般性。所以，這一章所研究的知識(shí)實(shí)際上是前面學(xué)習(xí)的全等形問題的發(fā)展和拓廣。相似形與后續(xù)的“解直角三角形”和“圓”的內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，在研究三角函數(shù)的定義、與圓有關(guān)的比例線段時(shí)都要依賴相似形的知識(shí)。同時(shí)，有了全等形和相似形的知識(shí)，又可大大充實(shí)和豐富圓的研究內(nèi)容。所以，相似形在學(xué)習(xí)平面幾何中起著承上啟下的作用。幾何教學(xué)有三種不同形式的語言，即圖形語言、文字語言和符號(hào)語言。其中圖形語言形象、直觀，能幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)問題和理解問題。圖形在幾何教學(xué)中有著不可忽視的作用。幾何問題的解決在很大程度上依賴于幾何圖形。準(zhǔn)確的圖形可以開拓一個(gè)人的解題思路，為解決問題的思考過程提供很大的幫助。還可以幫助學(xué)生更好地理解圖形的基本性質(zhì)、位置關(guān)系，建立幾何直觀。在相似三角形的判定中“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，這一判定定理應(yīng)用特別多。而“一線三等角”這種相似模型，正是因?yàn)榇嬖趦山欠謩e相等才會(huì)一定出現(xiàn)相似三角形。在不同背景中，特別是“一線三直角”即“K型”相似這種情況在矩形、直角梯形、以及平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用都比較廣泛。所以把握住基本圖形對(duì)于學(xué)生在復(fù)雜的圖形中迅速準(zhǔn)確的解決問題起到了關(guān)鍵的作用。教學(xué)目標(biāo)1、學(xué)生會(huì)運(yùn)用兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形為相似三角形的判定方法證明兩個(gè)三角形相似。（核心素養(yǎng)：邏輯推理）2、讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納的學(xué)習(xí)過程，總結(jié)出“一線三等角”圖形的基本特征，并且能夠在不同的背景中認(rèn)識(shí)和把握基本模型。（核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模）3、學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感受幾何直觀圖形對(duì)幾何學(xué)習(xí)的重要性。通過問題的解決，體驗(yàn)探究問題成功的樂趣，積極探索，提高學(xué)習(xí)幾何的興趣。（核心素養(yǎng)：幾何直觀）教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用判定方法解決“一線三等角”的相關(guān)計(jì)算與證明教學(xué)難點(diǎn)在不同背景的圖形中識(shí)別“一線三等角”基本模型教學(xué)方法教師主導(dǎo)與學(xué)生合作探究相結(jié)合課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)過程意圖一、基礎(chǔ)回顧：在證明三角形相似中，我們總結(jié)了一些常用的基本模型，這些基本模型對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)起到了很大的幫助作用。1.A型相似：由圖可知，兩個(gè)三角形存在公共角相等，只需再找一對(duì)等角，即可證明兩三角形相似。1.通過基礎(chǔ)知識(shí)回顧引發(fā)學(xué)生思考。在證明三角形相似的過程中，一能復(fù)習(xí)相似三角形的判定方法，二則引出本節(jié)課所講的內(nèi)容：“一線三等角”；2.通過復(fù)習(xí)A型相似、8型相似、K型相似讓學(xué)生體會(huì)在學(xué)習(xí)相似中，總結(jié)基本模型的重要性，對(duì)我們做題有很大幫助；3.讓學(xué)生說出每一個(gè)問題的證明過程是必要的，使學(xué)生的“直觀經(jīng)驗(yàn)”由“量”變產(chǎn)生“質(zhì)“變。從問題和模型引入本專題，使學(xué)生對(duì)產(chǎn)生模型有個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，為下一環(huán)節(jié)抽象模型打好鋪墊。1.請(qǐng)同學(xué)們考慮證明三角形相似中有哪些常用的基本模型？2.思考不能類型的基本模型，各自的證明思路是什么？3.教師引導(dǎo)學(xué)生從“K型”相似引出“一線三等角”模型。1.入手淺顯易懂，激發(fā)學(xué)生的思考，消除學(xué)生畏難情緒，使學(xué)生盡快盡快融入本節(jié)課；2.學(xué)生觀察三種基本模型，思考各種的條件，口述證明理由。2.8型相似：由圖可知，兩個(gè)三角形存在對(duì)頂角相等，只需再找一對(duì)等角，即可證明兩三角形相似。3．K型相似：由圖可知，兩個(gè)三角形存在一對(duì)直角相等，只需再找一對(duì)相等的銳角，即可證明兩直角三角形相似。二、新知探索：1.我們來證明“K型”相似.如圖，已知∠B=∠E=∠ACD=90°，求證:通過證明“K型”相似，不僅讓學(xué)生熟悉相似三角形判定一：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，而且給學(xué)生也提供了一種證明的思路，即通過同角的余角相等來找出相等的銳角，為后續(xù)證明做好鋪墊。教師演示“K型”相似的分析過程，提供思路，為下一步的證明作方法上的準(zhǔn)備；學(xué)生自主完成這道題，建立信心。2.由特殊到一般，當(dāng)三個(gè)等角為銳角的時(shí)候，我們來證明剛才的兩個(gè)三角形相似依然成立。如圖，已知∠B=∠E=∠ACD，且為銳角，求證:1.圖形的變化讓學(xué)生考慮在運(yùn)動(dòng)變化中結(jié)論是否會(huì)發(fā)生改變？以便在運(yùn)動(dòng)變化中突出圖形所體現(xiàn)的特殊特征。從而進(jìn)一步歸納出兩個(gè)圖形具有的共同點(diǎn)；2.圖形的變化體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程。1.引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，理順已知和要證明的問題，應(yīng)用上面的方法可以順利得以證明；2.教師要給學(xué)生點(diǎn)名，此問題證明方法不唯一，用三角形外角思路，也是很不錯(cuò)的方法，擴(kuò)展學(xué)生的視野。學(xué)生通過“K型”相似的證明思路，橫向遷移，可以解決本題。3.當(dāng)三個(gè)等角為鈍角的時(shí)候，我們來證明剛才的兩個(gè)三角形相似依然成立。如圖，已知∠B=∠E=∠ACD，且為鈍角，求證:三等角是銳角的情況已經(jīng)嚴(yán)格證明，此時(shí)，當(dāng)三等角為鈍角的情況，證明思路完全一致，學(xué)生可以自行完成；抽象模型，揭示實(shí)質(zhì)“一線三等角”是一個(gè)常見的相似模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。特殊地，當(dāng)這三個(gè)等角為直角的時(shí)候，就是我們以前學(xué)習(xí)的“K型”相似。1.通過前面的嚴(yán)格證明，得出“一線三等角”的定義，嚴(yán)格的定義是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)；2.帶領(lǐng)學(xué)生提煉模型的特征，點(diǎn)名對(duì)應(yīng)點(diǎn)，這也是學(xué)生做題中的易錯(cuò)點(diǎn)，課堂上應(yīng)該重視；3.在學(xué)生熟悉“一線三等角”的基本模型后，將“一線三等角”基本圖形由一般再轉(zhuǎn)為特殊，當(dāng)三等角為直角時(shí)，即就是以前的“K型”相似。讓學(xué)生新舊知識(shí)建立聯(lián)系，融會(huì)貫通。教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“一線三等角”基本模型。學(xué)生思考，可以在和同學(xué)交流，說出自己對(duì)“一線三等角”的理解和認(rèn)識(shí)，互相學(xué)習(xí)，加深理解。典例解析綜合運(yùn)用例：如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC上，DE與AC交于F，AB=9,BD=3,求CF長.分析：本題難點(diǎn)在于學(xué)生從原圖中分離出“一線三等角”基本模型，教師可以從已知兩個(gè)等邊三角形入手，提示學(xué)生圖中有很多60°角，啟發(fā)學(xué)生找出模型，得出，進(jìn)而通過已知量求出CF長借助此例題，讓學(xué)生感受在等邊三角形中，因?yàn)槿齻€(gè)角均為60°的特點(diǎn)，容易和“一線三等角”基本模型建立聯(lián)系；在不同背景中學(xué)生體會(huì)“一線三等角”基本圖形的作用。通過“一線三等角”中的等角找到這個(gè)基本模型的生長點(diǎn)；3.板書完整的解題步驟對(duì)學(xué)生全面掌握此題有很大幫助，同時(shí)也讓學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，找基本圖形。師生共同完成，學(xué)生完成證明過程。思維開放提高升華從復(fù)雜圖形中分離出基本模型，對(duì)解決問題有化繁為簡的效果。一線三等角模型在解題中，可以幫助我們快速找到解決問題的突破口。希望這個(gè)模型能起到拋磚引玉的作用，讓我們平時(shí)多總結(jié)多歸納，出現(xiàn)更多的好方法！幫助學(xué)生學(xué)會(huì)在復(fù)雜背景圖形中按照模型的特點(diǎn)快速的分離出模型。教師鼓勵(lì)學(xué)生遇到問題主動(dòng)探索，不畏艱難，與同學(xué)合作交流，共同解決問題，通過例題的解答，學(xué)生深入了解相似模型的構(gòu)造，并掌握“一線三等角”的特征。作業(yè)布置練習(xí)冊(cè)：一線三等角專項(xiàng)練習(xí)板書設(shè)計(jì)一線三等角相似模型基礎(chǔ)回顧一線三等角相似模型基礎(chǔ)回顧二、