專題強化訓練一 雙星與多星問題-高一物理精講與精練高分突破考點專題系列（新教材人教版必修第二冊）

第七章萬有引力與宇宙航行專題強化訓練一:雙星與多星問題解題技巧：雙星問題的分析方法宇宙中往往會有相距較近、質量相當?shù)膬深w星球，它們離其他星球都較遠，因此其他星球對它們的萬有引力可以忽略不計．在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點O做同周期的勻速圓周運動．這種結構叫做雙星模型(如圖6-4-1所示)．圖6-4-1雙星的特點1．由于雙星和該固定點O總保持三點共線，所以在相同時間內轉過的角度必然相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必然相等，因此周期也必然相等．2．由于每顆星球的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，即m1ω2r1＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L(L是雙星間的距離)，可得r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，即固定點離質量大的星球較近．3．列式時需注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，該處按題意應該是L，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的軌道半徑．一、單選題1．宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉，稱之為雙星系統(tǒng)，設某雙星系統(tǒng)繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖所示。若AO＜OB，則（）

A．星球A的質量一定小于B的質量B．星球A的向心力一定等于B的向心力C．星球A的線速度一定大于B的線速度D．雙星的總質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越小2．某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2之間的距離為r，已知引力常量為G，由此可求出S2的質量為（）。A． B． C． D．3．宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉，稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示，設某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的某固定點O做勻速圓周運動，測得兩恒星球心之間的距離為L，運動周期為T，已知萬有引力常量為G若AO>OB，則()A．A的角速度大于B的角速度B．A所受向心力大于B所受向心力C．A的質量大于B的質量D．A的向心加速度大于B的向心加速度4．天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星，若已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為L，引力常量為G，則由以上條件一定可以得出的物理量有（）A．兩顆恒星運行的軌道半徑 B．兩顆恒星繞該固定點做圓周運動的角速度C．兩顆恒星運行的線速度大小 D．兩顆恒星各自的質量5．兩星球a和b的質量之比約為1∶60，若a和b可視為雙星系統(tǒng)，它們都圍繞兩星球連線上某點O做勻速圓周運動，則可知a與b繞O點運動的線速度大小之比約為（）A．1∶3600 B．1∶60 C．60∶1 D．3600∶16．宇宙中有這樣一種三星系統(tǒng)，系統(tǒng)由兩個質量為的小星體和一個質量為的大星體組成，兩個小星體圍繞大星體在同一圓形軌道上運行，軌道半徑為。關于該三星系統(tǒng)的說法中正確的是（）①在穩(wěn)定運行情況下，大星體提供兩小星體做圓周運動的向心力②在穩(wěn)定運行情況下，大星體應在小星體軌道中心，兩小星體在大星體相對的兩側③小星體運行的周期為④大星體運行的周期為A．①③ B．②③ C．①④ D．②④7．假設宇中存在由質量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的萬有引力作用，這四顆星恰好位于正方形的四個頂點上，并沿外接于正方形的圓形軌道運行，若此正方形邊長變?yōu)樵瓉淼?倍，要使此系統(tǒng)依然穩(wěn)定存在，星體運行的周期應變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍8．兩個星球A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖所示，A的軌道半徑大于B的軌道半徑，兩個星球的總質量為M，兩個星球間的距離為L，其運動周期為T，則下列說法中錯誤的是（）A．星球A的質量一定小于星球B的質量B．星球A的線速度一定大于星球B的線速度C．兩個星球間的距離L一定，M越大，T越大D．兩個星球的總質量M一定，L越大，T越大9．宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，下列說法正確的是（）A．每顆星做圓周運動的角速度為B．每顆星做圓周運動的加速度大小與三星的質量無關C．若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍D．若距離L和每顆星的質量m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度變?yōu)樵瓉淼?倍10．所謂“雙星系統(tǒng)”，是指在相互間引力的作用下，繞連線上某點O做勻速圓周運動的兩個星球A和B，如圖所示，星球A、B繞O點做勻速圓周運動的周期為T，其中A星球表面重力加速度為g，半徑為R，A星球的自轉忽略不計，B星球的質量為m，引力常量為G，則A、B兩星球間的距離L可表示為（）A． B． C． D．11．雙星系統(tǒng)是由兩顆恒星組成，在兩者間萬有引力相互作用下繞其連線上的某點做勻速圓周運動。一個雙星系統(tǒng)，兩顆恒量質量分別為m0、3m0，兩顆恒星中心相距為L，萬有引力常數(shù)取G，則此雙星系統(tǒng)做勻速圓周運動的周期是（）A． B．C． D．12．1844年，德國天文學家貝塞爾根據(jù)天狼星的移動路徑出現(xiàn)的波浪圖形，推斷天狼星是雙星系統(tǒng)中的一顆星，因為該星在附近空間中沿一條呈波形的軌跡運動.天狼星及其伴星都在各自軌道上互相繞轉，繞轉的周期是49.9年，平均距離約為日地距離的20倍.如果由天文觀察測得某雙星系統(tǒng)A、B做勻速圓周運動，已知運動周期為T，兩星體之間的距離為r，繞行中心為O，引力常量為G。則（）A．可求出雙星系統(tǒng)的平均密度B．可求出雙星系統(tǒng)中任一星體的質量C．可求出雙星系統(tǒng)的總質量D．雙星系統(tǒng)中質量大的星體離繞行中心O遠13．宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量為m的星球位于等邊三角形的三個頂點上，任意兩顆星球的距離均為L，并繞其中心O做勻速圓周運動．忽略其他星球對它們的引力作用，引力常量為G，以下對該三星系統(tǒng)的說法正確的是()A．每顆星球做圓周運動的半徑都等于LB．每顆星球做圓周運動的加速度與星球的質量無關C．每顆星球做圓周運動的線速度D．每顆星球做圓周運動的周期為二、多選題14．銀河系的恒星大約四分之一是雙星。某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點O做勻速圓周運動，由天文觀察測得其運動周期為T，S1到O點的距離為r1，S2到O點的距離為r2，S1和S2間的距離為r，且r1>r2，已知引力常數(shù)為G，那么以下說法正確的是：（）A．S1的質量為B．的質量為C．S1的質量小于S2的質量D．雙星的總質量一定，若雙星之間的距離增大，其轉動周期變小15．如圖甲所示，一對相互環(huán)繞旋轉的超大質量不等雙黑洞系統(tǒng)A、B，如圖乙所示是其示意圖，A、B在相互之間的萬有引力的作用下，繞其連線上的O點做勻速圓周運動，若雙黑洞A、B做圓周運動的線速度之比為l∶n，則下列說法正確的是（）A．雙黑洞A、B做圓周運動的角速度之比為1：1B．雙黑洞A、B做圓周運動的向心力之比為n2：1C．雙黑洞A、B做圓周運動的半徑之比為1：nD．雙黑洞A、B的質量之比為mA：mB=n∶l16．雙星系統(tǒng)如圖所示，已知恒星A、B間的距離恒為，恒星A和恒星B的總質量為，恒星A與恒星B的轉動半徑之比為，引力常量為，下列說法正確的是（）

A．恒星的角速度為B．恒星A的質量為C．恒星A和恒星B的向心力大小之比為D．恒星A和恒星B的線速度大小之比為17．太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)（通常可忽略其他星體對它們的引力作用）。穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式，如圖所示：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設每顆星的質量均為，若兩種系統(tǒng)中星體的運動半徑相同，引力常量為G，則（）A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B．直線三星系統(tǒng)中甲的向心加速度大于正三角形三星系統(tǒng)中星體的向心加速度C．直線三星系統(tǒng)中甲運行的周期大于正三角形三星系統(tǒng)中星體的運行周期D．直線三星系統(tǒng)中甲運動的線速度大于正三角形三星系統(tǒng)中各星體運行的線速度18．由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內以相同角速度做勻速圓周運動。如圖所示，三顆星體的質量均為m，三角形的邊長為a，引力常量為G，下列說法正確的是（）A．每個星體受到引力大小均為3B．每個星體的角速度均為C．若a不變，m是原來的2倍，則周期是原來的D．若m不變，a是原來的4倍，則線速度是原來的19．宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用相互繞轉，稱之為雙星系統(tǒng)。在浩瀚的銀河系中，多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng)。設某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖所示。若AO>OB，則（）A．星球A的質量一定大于星球B的質量B．星球A的線速度一定大于星球B的線速度C．雙星間距離一定，雙星的質量越大，其轉動周期越大D．雙星的質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越大20．天文觀測是研究天體運動的主要方法。某天文學家經長期觀測發(fā)現(xiàn)，宇宙中存在一些三星系統(tǒng)和雙星系統(tǒng)，這些系統(tǒng)遠離其他星體，其他星體對它們的萬有引力可忽略。若組成三星系統(tǒng)和雙星系統(tǒng)的單個星體質量都是m，相鄰兩個星體之間的距離都是L，則下列說法正確的是（）A．若三星系統(tǒng)的三個星體排列在一條直線上，則兩側的星體一定繞中間的星體做勻速圓周運動，其運動周期為4πLB．若三星系統(tǒng)的三個星體排列在一等邊三角形的三個頂點上，則三個星體做勻速圓周運動的半徑為LC．雙星系統(tǒng)的運動周期為2πLD．雙星系統(tǒng)做勻速圓周運動的軌跡半徑為L三、解答題21．雙星是由兩顆繞著其連線上某一點旋轉的恒星組成，對于其中一顆星來說，另一顆就是其“伴星”，如圖所示。如果甲、乙兩顆星體質量分別為m1、m2，它們之間的距離為L，不考慮其他天體對它們的作用，引力常量為G。求：（1）甲星做圓周運動的軌道半徑r1；（2）乙星做圓周運動的線速度v2。22．宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質量均為的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心做勻速圓周運動，萬有引力常量為，求：(1)每顆星做圓周運動的向心加速度大小；(2)每顆星做圓周運動的線速度大小；(3)每顆星做圓周運動的周期。

23．如圖所示，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L.已知星球A、B的中心和O三點始終共線，星球A和B分別在O的兩側，引力常量為G。（1）求兩星球做圓周運動的周期；（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做勻速圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2。已知地球和月球的質量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（計算結果保留四位有效數(shù)字）24．人類對未知事物的好奇和科學家們的不懈努力，使人類對宇宙的認識越來越豐富。（1）開普勒堅信哥白尼的“日心說”，在研究了導師第谷在20余年中堅持對天體進行系統(tǒng)觀測得到的大量精確資料后，提出了開普勒三定律，為人們解決行星運動問題提供了依據(jù)，也為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律提供了基礎。開普勒認為：所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。行星軌道半長軸的三次方與其公轉周期的二次方的比值是一個常量。實際上行星的軌道與圓十分接近，在中學階段的研究中我們按圓軌道處理。請你以地球繞太陽公轉為例，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律推導出此常量的表達式。（2）已知引力常量為G，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度是g，請估算地球的質量M及第一宇宙速度v的大小。（3）天文觀測發(fā)現(xiàn)，在銀河系中，由兩顆相距較近、僅在彼此間引力作用下運行的恒星組成的雙星系統(tǒng)很普遍。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一點做勻速圓周運動，周期為T，兩顆恒星之間的距離為d，引力常量為G。求此雙星系統(tǒng)的總質量。25．如圖所示，地球和月球實際上也是一個雙星伴繞的天體系統(tǒng)，它們繞著連線上的一個共同的圓心O，保持距離不變在做圓周運動?？茖W研究發(fā)現(xiàn)：在地球A為圓心，地球到月球B的距離為半徑的圓周上，與地球和月球等距離的地方C處，如果建立一個空間站，空間站會成為地、月雙星系統(tǒng)的人造衛(wèi)星。設地球質量為M，月球質量為m，地、月之間的距離為L。求(1)共同的圓心O到地球的距離r1；(2)地、月系統(tǒng)的周期T(3)空間站所受引力的合力方向與地月連線的交點O?與地球的距離r1?以及周期T?。參考答案1．B【詳解】A．設A、B的質量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，雙星的距離為L，角速度相同，滿足整理得星球A的軌道半徑較小，故質量較大，A錯誤；B．向心力為兩星球間的萬有引力，故A的向心力一定等于B的向心力，B正確；C．由可知，A的線速度一定小于B的線速度，C錯誤；D．由結合A的分析可得又進一步可求得由此可判斷，雙星的總質量一定，雙星之間的距離L越大，其轉動周期T越大，D錯誤。故選B。2．D【詳解】設S2的質量為M2，則對S1由牛頓第二定律可得解得故選D。3．D【詳解】A．雙星是同軸轉動模型，其角速度相等，故A錯誤；B．雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第三定律知向心力大小相等，故B錯誤；C．根據(jù)萬有引力提供向心力mAω2rA=mBω2rB因為AO>OB所以mA＜mB即A的質量一定小于B的質量，故C錯誤；D．雙星系統(tǒng)角速度相等，根據(jù)a=rω2且AO＞OB可知A的向心加速度大于B的向心加速度，故D正確。故選D。4．B【詳解】A．根據(jù)解得因為兩顆恒星的質量關系不清楚，無法求得兩顆恒星運行的軌道半徑，A錯誤；B．兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，根據(jù)可求兩顆恒星繞該固定點做圓周運動的角速度，B正確；C．根據(jù)無法求得兩顆恒星運行的軌道半徑，兩顆恒星運行的線速度大小也不能求得，C錯誤；D．根據(jù)無法求得兩顆恒星運行的軌道半徑，則兩顆恒星各自的質量也不能求得，D錯誤。故選B。5．C【詳解】設兩星球之間的距離為，星球a做勻速圓周運動的半徑為，星球b做勻速圓周運動的半徑為，星球a的質量為，星球b的質量為，兩星球之間的萬有引力提供它們做勻速圓周運動的向心力，且兩星球做勻速圓周運動的半徑之和等于兩星球之間的距離，有聯(lián)立解得ABD錯誤，C正確。故選C。6．B【詳解】①在穩(wěn)定運行情況下，小星體做圓周運動的向心力是由大星體和另一顆小星體的合力提供，①錯誤；②由于小星體質量相同，由對稱性可知，在穩(wěn)定運行情況下，大星體應在小星體軌道中心，兩小星體在大星體相對的兩側，②正確；設③設小星體到大星體的距離為r，小星體的運行周期為T，由向心力公式可得整理可得小星體的運行周期為③正確。④大星體處于兩小星體連線的中點，作為中心天體，無法計算周期，④錯誤。B正確。故選B。7．C【詳解】設正方形的邊長為L，則每顆星的軌道半徑為對其中一顆星受力分析，受到的合外力充當向心力解得若此正方形邊長變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期變?yōu)樵瓉淼?倍。故選C。8．C【詳解】A．雙星的運行周期T相同，設A、B的軌道半徑為r1、r2，引力作為向心力可得可得由題意可知A的軌道半徑大于B的軌道半徑，故A的質量小于B的質量，A正確，不符合題意；B．由可知，A的軌道半徑r1較大，故A的線速度v較大，B正確，不符合題意；CD．兩軌道半徑滿足可得代入A解析中的表達式可得可知，兩個星球間的距離L一定，M越大，T越小，兩個星球的總質量M一定，L越大，T越大，C錯誤，符合題意，D正確，不符合題意。故選C。9．C【詳解】AB．任意兩星間的萬有引力F=G對任一星受力分析，如圖所示，由圖中幾何關系知r=LF合=2Fcos30°=F由牛頓第二定律可得F合=mω2r聯(lián)立可得ω=an=ω2r=AB錯誤；C．由周期公式可得T==2πL和m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則周期T′=2TC正確；D．由速度公式可得v=ωr=L和m都變?yōu)樵瓉淼?倍，則線速度v′=v大小不變，D錯誤。故選C。10．A【詳解】由萬有引力提供向心力得且A星球的自轉忽略不計，則有聯(lián)立解得故選A。11．B【詳解】根據(jù)萬有引力提供向心力

對m0有對3m0有兩個方程相加可得解得故B正確、ACD錯誤。

故選B。12．C【詳解】AC．根據(jù)牛頓第二定律可得聯(lián)立兩式解得因為雙星的體積未知，無法求出雙星系統(tǒng)的平均密度，故A錯誤，C正確；B．根據(jù)，可得由于、位未知，無法求出雙星系統(tǒng)中任一星體的質量，故B錯誤；D．根據(jù)可知，質量大的星體離點較近，故D錯誤；故選C。13．C【詳解】A．三顆星球均繞中心做圓周運動，由幾何關系可知r＝＝LA錯誤；B．任一星球做圓周運動的向心力由其他兩個星球的引力的合力提供，根據(jù)平行四邊形定則得F＝2cos30°＝ma解得a＝B錯誤；CD．由F＝2cos30°＝m＝mr得v＝T＝2πLC正確，D錯誤。故選C。14．BC【詳解】AB．根據(jù)萬有引力提供向心力有得故A錯誤，B正確；C．根據(jù)萬有引力提供向心力有有即半徑與其質量成反比，因為，所以，即S1質量小于S2質量，故C正確；D．雙星總質量則雙星的總質量一定，若雙星之間的距離增大，其轉動周期變大，選項D錯誤。故選BC。15．ACD【詳解】A．一對相互環(huán)繞旋轉的超大質量不等的雙黑洞系統(tǒng)，在相互之間的萬有引力的作用下，繞其連線上的O點做勻速圓周運動，繞它們連線上某點做勻速圓周運動，具有相同的角速度，ω1：ω2=1：1，故A正確；B．兩者間萬有引力提供向心力，故雙黑洞A、B做圓周運動的向心力之比為1：1，故B錯誤；C．根據(jù)，雙黑洞A、B做圓周運動的線速度之比為l∶n，所以雙黑洞A、B做圓周運動的半徑之比為1：n，故C正確；D．根據(jù)結合C得分析可知，雙黑洞A、B的質量之比為mA：mB=n∶l，故D正確。故選ACD。16．BC【詳解】B．設恒星的質量為、運動的半徑為，恒星的質量為，運動的半徑為，由于雙星的角速度相同，故有解得即，，B正確；A．由題意可知，代入解得A錯誤；C．恒星與恒星B的向心力由它們之間的萬有引力提供，大小相等，C正確；D．由于雙星的角速度相同，恒星與恒星的線速度之比為半徑之比，即為，D錯誤。故選BC。17．BD【詳解】A．直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相等，方向相反，故A錯誤；BC．由幾何關系可知，三角形三星系統(tǒng)兩星體間距離，受力分析得：對直線三星系統(tǒng)，有對三角形三星系統(tǒng)，有可知甲星體所受向心力、向心加速度大于三角形三星系統(tǒng)中星體的，故B正確，C錯誤；D．由，可知D正確。故選BD。18．BD【詳解】A．對其中一個星體，受力分析如上圖所示，有F1=G，F(xiàn)2=G每個星體受到的引力為F=2F1cos30°=GA錯誤；B．由幾何關系可知，每個星體繞O點做勻速圓周運動的半徑r=根據(jù)萬有引力提供向心力，有G=mω2解得ω=B正確；C．對每個星體，根據(jù)合力提供向心力，有G=m解得T=2π若a不變，m是原來的2倍，則周期是原來的，C錯誤；D．對每個星體，根據(jù)萬有引力提供向心力，有解得v=若m不變，a是原來的4倍，則線速度是原來的，D正確。故選BD。19．BD【詳解】A．由于兩星球間的萬有引力提供各自做圓周運動的向心力，根據(jù)可得因AO>OB，故星球A的質量一定小于星球B的質量，A錯誤；B．由于兩星球角速度相同，根據(jù)可知星球A的線速度一定大于星球B的線速度，B正確；CD．根據(jù)整理得雙星間距離一定，雙星的質量越大，其轉動周期越??；雙星的質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越大，C錯誤，D正確。故選BD。20．AC