人教A版（2019）選擇性必修第一冊新高考名師導(dǎo)學(xué)第一章14空間向量的應(yīng)用

人教A版（2019）選擇性必修第一冊新高考名師導(dǎo)學(xué)第一章

1.4空間向量的應(yīng)用

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)打“①，錯誤的打“X”

（1）零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量；（）

（2）若9是直線/的方向向量，則刖QeR）也是直線/的方向向量；（）

（3）在空間直角坐標(biāo)系中，，=（0,0,1）是坐標(biāo)平面。孫的一個法向量.（）

【答案】qxY

【分析】

根據(jù)零向量的方向不確定可判斷（1）,由；1=0可判斷（2）,由/_L平面。肛可判斷（3）.

【詳解】

（1）零向量的方向不確定，所以不能作為直線的方向向量和平面的法向量，正確；

（2）當(dāng)4=0時，刖=。，所以4E（4eR）不一定是直線/的方向向量，不正確；

（3）在空間宜角坐標(biāo)系中，7=（0,0,1）,■平面0孫，所以7=（0,0,1）是坐標(biāo)平面0孫

的一個法向量，正確.

2.在棱長為1的正方體A8CO-A8CA中，點A到平面80的距離等于；

直線DC到平面的距離等于；平面到平面C勺的距離等于.

【答案】111

【分析】

根據(jù)點面距、線面距、面面距的定義及正方體的性質(zhì)計算可得；

【詳解】

解:在棱長為1的正方體ABCD-AACa中，A3L面片C,所以|相|即為點A到平面BC

的距離，故點A到平面8c的距離為1,因為。C7/4B,ABl面與4,QCa面所

以0c〃面用4，所以|AQ|即為直線OC到平面A片的距離，故直線DC到平面A片的距

離為1,又平面OA〃平面CK，所以平面OA到平面C4的距離為1

故答案為：1,1,1

二、解答題

3.在平行六面體ABC。-ABC.中，福=人而=6,羽=3,。是與4。的交

點.以竹石,可為空間的一個基底，求直線。4的一個方向向量.

【答案】-\a-\b-\c

【分析】

依題意就是用加，瓦可表示麗，根據(jù)空間向量的線性運算法則計算可得：

【詳解】

解：因為通=d，AD=b,A4,*=c,如圖/=礪+麗=g方出+而

=；（職+而+畫+麗

因為AA=-^^^二一坂，AiA=-AA）=-c,

所以O(shè)A=g（多-c+a）-=-^a-^b-^c

4.在長方體ABC。-A4GR中，A3=4,BC=3,CC}=2.以。為原點，以

七萬I；反［函］為空間的一個單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系0町％求平面

試卷第2頁，共35頁

AC"的一個法向量.

【答案】（436）（答案不唯一）

【分析】

求得衣，宿坐標(biāo)，設(shè)出法向量，根據(jù)［疣,竺即可求解.

m-ADi=0

【詳解】

由題可得C（。,4,0）,4（3,0,0）,"（0,0,2）,

則/=（-3,4,0）西=（-3,0,21,

設(shè)平面AC"的一個法向量為沅=（x,y,z）,

inAC=-3x+4y=0

貝?卜令x=4,得y=3,z=6,

n'i-Al\--v+?.--()

則平面ACDt的一個法向量為（4,3,6）.

5.用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一

條直線平行，則該直線與此平面平行.

【答案】證明見解析

【分析】

先寫出已知求證，再利用向量的數(shù)量積運算以及線面平行的定義即可證出.

【詳解】

已知：直線平面a,aaa,bua,a//b.

求證：alia.

證明：設(shè)直線a,8的方向向量分別為此爐，平面。的一個法向量為元，

因為a/〃＞，所以q=4萬，由于斤_1_爐，所以無D=O,UPWnu=A/7v=0,亦即方_LR.

因為aua,所以a//a.

6.如圖，在四面體ABCO中,E是BC的中點.直線AD上是否存在點F,使得AE//CF?

【答案】不存在，證明見解析.

【分析】

把向量亞和方都用同一組基底來表示，然后根據(jù)向量平行的條件來證明不存在.

【詳解】

假設(shè)直線AD上存在點F使AE〃。孔設(shè)通=4通(04/1),而=￡,蔗=反而=2,

—11-.1-I-

因為E是AC的中點，所以=+

CF=AF-AC=AAD-AC=Ac-b>若AE//CF，則通=川麗，

8|J—a+—b=m(Zc-b\,IU+—b=mXc-nib,B|J—fl+|—+/nb-mXc—6,

221，222(2J

-=0

2

所以，(+機=0,此時顯然不成立，所以不存在點尸，使得AE//3.

tnk=0

7.如圖，在正方體ABCO-A8|C|A中，E,尸分別是面AB一面AG的中心.求證：EF//

【分析】

以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACR的一個法向量，利用向量關(guān)系即可證

試卷第4頁，共35頁

明.

【詳解】

如圖，以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,

則A(2,0,0),C(0,2,0)，A(0,0,2),E(2,l,l)/(l,l,2),

則AC=(-2,2,0),=(-2,0,2),EF=(-l,0,l),

設(shè)平面ACD、的一個法向量為G=(x,y,z),

,n-AC=0[-2x+2y=0.7日一/、

則—z即、二八，令X=l,則可得〃=(1,U,

v7

il-AD]=0[-2x+2z=0

,/EF?〃=0，/.EF±n，

,??￡7?<2平面人。。，」.￡77〃平面人。。|.

8.已知行=(3,。+瓦a-b)3,bwR)是直線/的方向向量，萬=(1,2,3)是平面a的法向量.

(1)若///a,求a,5的關(guān)系式；

(2)若/_La,求a,力的值.

153

【答案】(1)5。一力+3=0；(2)a=-,b=--.

22

【分析】

(1)由/〃a得五_L萬，所以"?元=0,進而可得結(jié)果；

(2)由/_1。得五//"，所以?=字=￥，進而解得a,b.

123

【詳解】

(1)由〃/a得i7_L萬，所以小萬=0,即3xl+(a+b)x2+(a-b)x3=。，整理得

5a-力+3=0；

(2)由/_La得〃//”，所以解得。=與，力二一

9.已知正方體的棱長為1,以O(shè)為原點，｛麗，反，四｝為單位正交基

底建立空間直角坐標(biāo)系.求證：A.CLBQ.

【答案】證明見解析

【分析】

用基底表示出向量而，耳證明本?屬*=0.

【詳解】

由題意，A^C=DC-DA^=DC-DA-DD^.

BQ=DC^-DB=DD^-DA,

所以石西=反函一函?麗一函?一麗覺+次?+麗西=0

所以AC_L8C1.

10.如圖，在長方體48co-中，48=2,BC=CC,=1,E是CD的中點，F(xiàn)

是〃。的中點.求證：平面EADJ平面打R.

【答案】證明見解析

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)與平面的法向量，利用空間向量法證明即可;

【詳解】

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則E(OJO),A(l,0,0),D,(0,0,1),"

Ag=(-1,1,0),,前=gl，°)，設(shè)面時的法向量為$=(Qz),則

n-AE=0[-x+y=0

-,uprl<n令x=l,則y=z=l所以3=(1J1)；

nEDx=0\-y+z=0

試卷第6頁，共35頁

tn-EF=O—X+y=0,

設(shè)面EFD,的法向量為加=（乂y,z）,則---,即Mn，2，令x=2,貝ijy=z=-l

inED,=0

一y+z=0

所以￡=(2,T,T)；

因為方?云=2x1+1x(-1)+1x(-1)=0,所以日J.而

所以平面EAD.1平面EFD,.

11.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-ABGA中，￡為線段。A的中點，尸為線段

的中點.

（1）求點4到直線用￡的距離：

（2）求直線"G到直線AE的距離；

（3）求點兒到平面A&E的距離；

（4）求直線到平面4BE的距離.

【答案】（1）2^；（2）；（3）之（4）

3'35°33

【分析】

BE

（1）建立坐標(biāo)系，求出向量福在單位向量"苦;上的投影，結(jié)合勾股定理可得點

IMEI

A到直線4月的距離;

（2）先證明AE〃尸C，再轉(zhuǎn)化為點尸到直線AE的距離求解；

（3）求解平面的法向量，利用點到平面的距離公式進行求解；

（4）把直線FG到平面A8Z的距離轉(zhuǎn)化為G到平面的距離，利用法向量進行求

解.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（i,01）,4（1,11）,E（O,O,；）,RI,I,；），G（OJI）,41,0,0）.

(1)

_inp221-

因為8|E=（-1,-1,一弓）,〃=^^=（一個一三,一可），48]=（0,1,0）,

2|B}E\333

-------2

所以A4?〃=-§.

所以點A到直線用E的距離為J而_（宿小==專

（2）因為通=（-1,0,；）西=（-1,0,；）,所以荏〃咐即4E/"G，

所以點F到直線AE的距離即為直線FC、到直線AE的距離.

AE=（-竽,。凈，而=（嗚）.

u=__.

\AE\

所以直線FC,到直線AE的距離為

（3）設(shè)平面A4E的一個法向量為7=（x,y,z）,

試卷第8頁，共35頁

—.—.1____

ABt=(0,l,l),A￡=(-l,0,-),A4,=(0,0,1).

n.ABy=y+z=0,

由，一1

n-AE=—x+—z=0,

2

令z=2,則y=-2,x=l,即萬=(1,一2,2).

設(shè)點A到平面AB.E的距離為d.

M22

則［二^^二彳，即點A到平面的距離為;.

H33

(4)因為A￡〃尸C，所以“；〃平面A&E,

所以直線FC到平面AB.E的距離等于G到平面48g的距離.

函=(1,0,0),由(3)得平面AB|E的一個法向量為片=(1,一2,2),

G

所以C1到平面A與E的距離為Jzr」=

川晨

所以直線FC、到平面AB.E的距離為g.

12.如圖，在棱長為1的正方體A8CQ-A&CQ中，求平面與平面的距離.

【答案」

【分析】

\DC-n\

建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面4。8的法向量為耳再由d=L_^可得解.

同

【詳解】

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

A(1,0,1),8(1,1,0),￡)(0,0,0),C(0,l,0),

函=。,0,1),麗=(1,1,0),覺=。1,0)

設(shè)平面AO8的法向量為＞i=*,y,z),

則小竺—x+z-：,不妨令3=1,則=

n-DB=x+y=0

所以元=(1,7,7),

所以平面ADB與平面0cq間的距離d=此=4==—

同63

13.如圖，正三棱柱ABC-48￡的所有棱長都為2,求平面八48與平面A/G夾角的

余弦值.

【答案】昱

7

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面44乃與平面A8G的法向量，利用法向量求解夾角的余

弦值.

【詳解】

試卷第10頁，共35頁

因為正三棱柱ABC-A與G的所有梭長均為2,取8c的中點O,^,AOLBC

所以AO_L平面BBCC.

取國G的中點“，所以AO,BO,?！眱蓛纱怪?，以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.

則4(0,0,75),5(1,0,0),4(0,2,6),G(-1,2,0),

所以通=（1,0,《）,麗=（0,2,0）,居=（々2,0）,弱=（-1,2石）.

n}-AB=X]-Gz]=0,

設(shè)平面A41B的一個法向量為％=(X),yZj)?則，

pw,?AAj=2y=0,

令馬=1得1=（百,0,1）.

同理可得平面ABG的一個法向量為后=(亞亞-1).

_2=幣

cos〈四,丐〉=

|）||項2x777

設(shè)平面AA]B與平面ABC1夾角為夕，易知。為銳角,則cos。=|85〈/,〃2〉|=,

即平面AA.B與平面說夾角的余弦值為斗.

14.如圖，AABC和△DBC所在平面垂直，且AB=5C=5。，NC84=ND8C=12()。.求:

(1)直線AO與直線3C所成角的大?。?/p>

(2)直線AO與平面BCD所成角的大小;

(3)平面480和平面HOC的夾角的余弦值.

【答案】(1)90°(2)45°(3)9

【分析】

(1)作A0_L3C于點0,連DO,以點。為原點，OD,OC,OA的方向分別為x軸、

y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成的角；

(2)顯然平面BCO的一個法向量為1=(0,0,1),利用空間向量法求出線面角；

UID

(3)求出平面CBZ)的一個法向量為/以及平面A4O的一個法向最為處,求出兩法

向量的余弦值的絕對值即為平面A8D和平面BDC的夾角的余弦值.

【詳解】

解：設(shè)AB=1,作AO_L8C于點O,連OO,以點。為原點，OD,OC,0A的方向分

別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：

0(0,0,0),Dr,0,0

,配=(0,1,0)

AD-BC=冬0,一號<0,1,0)=0,所以AD與BC所成角等于90。.

顯然)=(0,0,1)為平面BCD的一個法向量

=也

???，直線AD與平面BCO所成角的大小45。

.IJ3

(3)設(shè)平面48。的法向量為%=(x,y,z)則43:0,-,--j

X?

一_直”0

所以也,黑=\即卜2,令Z=l,則x=l,y=G

——x------z=0

22

則E=(l,百,1)

試卷第12頁，共35頁

1-=在

設(shè)平面ABD和平面BOC的夾角為氏則|cose|=

|雇|x局lx小5

15.如圖，二面角a-/-6的棱上有兩個點A,B,線段30與AC分別在這個二面角

的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱/,若A3=4,AC=6tBD=8,CD=2/，求平面a

與平面/的夾角.

【答案】y

【分析】

利用向量求解，Cb=CA+AB^BDr兩邊平方可求平面。與平面少的夾角.

【詳解】

設(shè)平面。與平面￡的夾角為氏

由亞=巨+而+而可得

CD2=(C4+AB+BOV=C42+AB2+BD2+2C4MB+2ABBD+2G4BD

36+16+64+2|CA||5D|COS(C4,5D)

116-96cos^

所以8s6=g,即平面。與平面尸的夾角為

16.如圖，在三棱錐A—8C。中，AB=AC=BD=CD=3tAD=BC=2fMfN分別

是A。，6c的中點.求異面直線AN,CM所成角的余弦值.

【分析】

連結(jié)NO,取NO的中點E,連結(jié)ME,推導(dǎo)出異面直線AN,CM所成角就是NEMC,

利用余弦定理解三角形，能求出結(jié)果.

【詳解】

連結(jié)NO,取NO的中點E,連結(jié)ME,

則ME〃4V,「./EMC是異面直線AN,CM所成的角,

-,-AN=2y/2,:.ME=y/2=EN.MC=2應(yīng)，

又YENLNC,:.EC=qEN、NC2=5

““EM2+MC2-EC22+8-37

cos4EMC=---------------------=------j=-----7==—,

2EMxMC2x&x2及8

7

???異面直線AN,CM所成的角的余弦值為:.

O

17.如圖，在三棱錐。-ABC中，04,OB,0C兩兩垂直，OA=OC=3fOB=2.求

直線0B與平面A3c所成角的正弦值.

試卷第14頁，共35頁

A

【答案】MZ

17

【分析】

構(gòu)建以。為原點，麗，無，礪為x、y、z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，寫出而、AC.

麗的坐標(biāo)，進而求面ABC的法向量加，根據(jù)直線方向向量與平面法向量夾角與線面角

的關(guān)系，結(jié)合空間向量夾角的坐標(biāo)表示即可求直線0B與平面ABC所成角的正弦值.

【詳解】

構(gòu)建以。為原點，礪，正，而為X、＞、z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，

x

.??A(0,0,3),5(2,0,0),C(0,3,0),則通=(2.0.-3),AC=(0.3.-3),礪=(2,0,0),

一[AB-m=2x-3z=0—3

若機=(4,y,z)是平面ABC的一個法向量，則<-----，令丁=1,則機=(不1/),

[ACm=3j-3z=02

—OBm33V17

...Icos<>1=1兩而1=,故直線OB與平面ABC所成角的正弦值

2x------

2

船叵.

17

18.如圖，在三棱錐A-8CO中,后是。。的中點，點尸在4E上，且即=2E4.設(shè)而=4,

BD=b,BA=c，求直線AE,8戶的方向向量.

A

【答案】直線AE的方向向量荏=上93,直線B尸的方向向量而=”紅曳.

26

【分析】

由已知線段所表示的空間向量，應(yīng)用向量加減運算的幾何意義求得亞、而，即可求理,

再由砂=2E4知/=空，即可求游.

3

【詳解】

在48A0中，麗=5,BA=cf則而=而一麗二另一入

在△5AC中，BC=a，BA=c＞則蔗=前-麗=￡-入

???在△D4C中，E是CO的中點，

AE=AD+AC=a+^-2c,而印=2用，即而=空="+"一2°,

2236

???在ABAF中，而=麗+而=2+"+"-2。一+8+4c

66

???直線AE,的方向向量分別為而="+b-2c、旃=竺竺竺

26

19.如圖，在直三棱柱ABC-A中，ABlACfAB=AC=\tAAi=2,以A為原

點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

(1)求平面8CC園的一個法向量；

(2)求平面A/C的一個法向量.

【答案】⑴7=(1,1,0)；⑵正=(2,2,1).

【分析】

試卷第16頁，共35頁

(1)求出平面內(nèi)的兩個向量BC=(-1JO),8旦=(0,0,2),然后利用法向量與這兩個向量

的數(shù)量積都為0來求法向量；

UUU_____.、

⑵求出平面內(nèi)的兩個向量BC=(-1JO),=(-1,0,2),然后利用法向量與這兩個向

量的數(shù)量積都為0來求法向量.

【詳解】

易知80,0,0),C(0,l,0),4(1,0,2),A(0,0,2).

UUUUUlf

(l)BC=(-l,L0),BB,=(0,0,2),

設(shè)面BCC用的法向量為G=a，%zj,則廣馨U,

n-=0

-x+y.=0-

即〈二。，取,則〃=(z1」,。),

所以平面BCC石的一個法向量為G=(l,1,0)；

IHM1-------,、

⑵BC=(-1,1,0),BA,=(-1,0,2),

w-5C=0

設(shè)面ABC的法向量為“=(馬,為，22)，則，

所再=0'

-x,+y=0.一,、

即《"o9"八，取"2=必=272=1,則m=(2,2,1),

-X2+2Z2=0

所以平面ABC的一個法向量為而=(2,2,1)

20.如圖，在平行六面體ABCO-AMGR中，E是4〃的中點，戶是G。的中點.求

證：\EHCF,

【答案】見解析

【分析】

取A片的中點為G,根據(jù)幾何體的特征分別得到5G//C產(chǎn)，AEUBG,從而得證.

【詳解】

取A片的中點為G,則根據(jù)平行六面體的特征可得用G//G尸，BC=CF,

所以四邊形BfiFC,為平行四邊形，則BCJ/GF,B￡=GF,

又因為BC〃BC,B￡=BC,

所以GF//BC,GF=BC,

所以四邊形G?C8為平行四邊形，

所以BG//CF,

又因為AG//EB，AG=E8，所以四邊形AE8G為平行四邊形.

所以AE//BG,進而AE〃。尸.

21.如圖，在四面體A5CD中，">_L平面5cO,M是AO的中點，尸是aM的中點,

點。在線段AC上，且AQ=3QC.求證：PQ〃平面8co.

【答案】證明見解析

【分析】

要證線面平行，需找線線平行，雙8。中點。，且P是8M中點，取C。的四等分點從

使?！?3CH,且4Q=3QC,通過四邊形OPQ”為平行四邊形及線面平行的判定定理

即得結(jié)論.

【詳解】

證明：如圖所示，取8。中點0,且尸是BM中點，

PO//MD且尸。=,，

2

取C。的四等分點H,使OH=3C”，且AQ=3QC,

試卷第18頁，共35頁

:.PO//QH且PO=QH,

???四邊形OPQH為平行四邊形，

：,PQ//OH,PQ在平面BC。外，且OHu平面BCD,

工尸?！ㄆ矫鍮CD.

22.如圖，在正方體A8C0-A4G2中，點正在田。上，且BE=；BD：點F在CB、上,

(2)EF1CBt.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的校長為3,表示出點的坐標(biāo)，利用空間向量法證明線

線垂直；

【詳解】

解：(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為3,則。(0,0,0),5(3,3,0),

C(0,3,0)4(333),因為8E=/￡),CF=；CB「所以E(2,2,0),尸(1,3,1),所以

EF=(-M,l),=(3,3,0),所以麗.甌=Tx3+lx3+lx0=0，所以

(2)由(1)可知函=(3,0,3),所以國.甫=—1X3+1X3+1X0=0,所以所_LCq

23.如圖，在棱長為1的正方體ABCO-A^GA中，。為平面AA8耳的中心，E為BC

的中點，求點o到直線AE的距離.

【分析】

建立空間坐標(biāo)系，求解直線A七的單位方向向量，結(jié)合勾股定理進吁求解.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4。,0,1),七§,1,0),。(?),

因為率=（f,T）&=篇=/|號）,前二@一/

試卷第20頁，共35頁

___-2

所以04,.〃=-

所以點0到直線AE的距離為"可2_（西￡）2=王|=今

24.如圖，四面體Q45C的所有棱長都是1,D,E分別是邊OA,SC的中點，連接

DE.

（1）計算OE的長；

（2）求點0到平面ABC的距離.

【答案】（1）①；（2）近.

23

【分析】

（1）利用基底方，麗，覺表示出向量瓦，再根據(jù)向量數(shù)量積求長度的方法即可求出;

（2）由該幾何體特征可知，點O在平面ABC的射影為AABC的中心，即可求出.

【詳解】

（1）因為四面體0A8C的所有棱長都是1，所以該四面體為正四面體，

詼=次+而+屁=g麗+瓦一礪+g（反一網(wǎng)=一；礪+g麗無，而且

OAOB=OBOC=OAOC=^,所以=；（以_0豆—。e丫=：（3_l）=g,即

同=￥，所以￡>E的長為冬

（2）因為四面體0ABC為正四面體，所以點0在平面ABC的射影。，為AABC的中心,

△ABC的外接圓半徑為一!一x1=@,所以點0到平面ABC的距離為

sin6023

25.如圖，四面體A5C。的每條棱長都等于a,M,N分別是48,CO的中點.求證:

MN工AB,MNLCD.

【答案】證明見解析

【分析】

根據(jù)題意證明麗?麗=g（而+而）而］?麗=0即可.

【詳解】

由題意可知，而，急,而三個向量兩兩間的夾角為60,

因為M,N分別是AB,CO的中點,

所以麗=麗_麗?=；國+珂―g而,

則麗?而二g國+時一:而?麗=g國?而+彷而—而2

gScosbO+a2cos60-叫=0,

所以mV_LA〃，同理可證MN_LQ）

26.如圖，M,N分別是正方體ABC。-A9CO的棱88'和后C的中點，求:

B

試卷第22頁，共35頁

(i)MN和ar所成角的大小;

(2)MN和A0所成角的大小.

【答案】(1)9(2)￡.

【分析】

構(gòu)建以。為原點，方A,灰，的為x、y、z軸正方向的空間直角坐楊系，若正方體的楂

長為2,寫出A、。、皿、M、N的坐標(biāo)，進而可得而、麗、DA，利用空間向量

夾角的坐標(biāo)表示求其夾角的余弦值，即可求MN和CD、MN和AZ)所成角.

【詳解】

構(gòu)建以。為原點，方4配，麗為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，若正方體的核

長為2,則A(2,0,0),C(0,2,0),￡>'(0,0,2),"(2,2,1),N(l,2,2),

(1)麗=(一1,0,1),CD7=(0,-2,2),又MN和CZX所成角范圍為［0弓］,

cos<MN,CDi>|=|竺?迫|=廠2=1

故MN和S所成角為

\MN\\CD,\夜x通2

(1)麗=(2,0,0),又MN和40所成角范圍為[0,1],

----------MNDA2左

???|cos<MN,DA>|=|..一_|=『一=—,故MN和A。所成角為一.

\MN\\DA\V2x224

27.如圖，在正方體ABCO-A4GR中，E,F,G,H,K,L分別是AB,,B?,

CQ,DQ,D4各棱的中點.

(1)求證：A。1平面EFGHKL；

(2)求。居與平面所成角的余弦值.

【答案】(1)見解析；(2)拽

3

【分析】

'-----------

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，可由空.售證得；

?Kti=U

(2)利用空間向量計算直線和法向量的夾角，進而得解.

【詳解】

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,

(1)A(1,0,1),C(OJ0),K(0,0,g),H嗚,1),嗎,0,0),

次=6,o,3昉O'T'T}AC=(TLT)

*沃=0

則所以

平?麗=0

LK.KH為平面EFGHKL的兩條相交直線,

所以AC_L平面EFG//KL；

試卷第24頁，共35頁

(2)由(1)知平面EFGHKL的法向量為率=(-1,1,-1)

D(0,0,0),^(1,1,1),0^=(1,1,1),

因為8次'函＞=番篙

求DBX與平面EFGHKL所成角的余弦值為=當(dāng)

28.如圖，在長方體ABC。-44GA中，AB=2,BC=CC,=1,E是CD的中點.求

證：ME_L平面4ER.

【答案】證明見解析

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明函_L可，函_1麗，即可得證；

【詳解】

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則40,0,0),石(0,1,0),A(0,0,1),(1,2,1)

所以函=(1,1,1),西二(O,T,l),E4=(l,-l,0)

所以畫?可=以0+以(-1)+支1=0,函?麗=收1+以(-1)+1*0=0,所以函上函,

函JL麗，

因為E"nEA=E,E.,E4u平面

所以與E_L平面AE".

29.如圖，在長方體ABC。-A&GA中，點￡尸，G分別在棱AA,Ag,AA上,

\E=\F=Afi=\；點尸，QtR分別在棱CC|,CD,CB±,CP=CQ=CR=\.求證：

平面￡P(guān)G〃平面PQR,

【答案】證明見解析

【分析】

構(gòu)建以。為原點，函，反，西為小y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，令

AB=a,BC=b,BB】=c寫出前、花、用、而，進而求面石尸G、直PQR的法向量二

〃，根據(jù)所得法向量的關(guān)系即可證結(jié)論.

【詳解】

構(gòu)建以。為原點，方A反,西為八小z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，

試卷第26頁，共35頁

z

X

設(shè)A8=a,8C=A,481=c(a,"c>l),又AE=A"=AG=1,CP=CQ=CR=1,

，E(b,O,c-l),尸(b,l,c),G(ZJ-1,0,C),P(O,a,l),0(0,a-1,0),R(l,a,0),

AEF=(0J,l),W=(-1,0,1),網(wǎng)=(0,-1,-1),而=(l,0,-l),

一EF-/n=v+z=0一

設(shè)加=(%,y,z)是面EFG的一個法向量，貝叫-----，令x=l,〃?=(1,一1,1),

EGm=z-x=0

_PQn=-j-k=0_

設(shè)〃=(ij幻是面PQR的一個法向量，則上一，令i=l,?=(h-l,l),

PRn=i-k=0

上面EFG、面PQR的法向量共線，故平面屏‘G〃平面PQR,得證.

30.如圖，已知正方體A8CD-A&CQ的棱長為LE為CD的中點，求點R到平面4g

的距離.

【答案】亞

3

【分析】

建立空間坐標(biāo)系，求解平面AEG的法向量，結(jié)合點到平面的距離公式求解.

【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則41,O,O)C(O」,I),E(O，；,O),A。?！?.

設(shè)平面AEG的一個法向量為7=(x,y,z),

宿=(-1,1,1),AE=(-1,10),(-1,0,1).

后AC〕=-x+y+z=0,

令y=2,則x=l,z=-l,B|Jn=(1,2,-1).

設(shè)點。到平面AEC1的距離為d,

則公答得邛’即點A到平面AEG的距離為冬

31.如圖，已知正方體的棱長為1，攵為B￡的中點，點尸在棱AA上,

AP:AA,=\:3.求平面43a）與平面"QP的夾角.

【答案】arccos^^^

46

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解兩個面的法向量，利用法向量的夾角求解即可.

【詳解】

試卷第28頁，共35頁

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，8(1.1,0),尸(1,0中,Q(；,1,1),

—?1—12

BP=(0,-U-),P(2=(--4,-),

設(shè)平面BP。的法向量為萬=*,y,z),

n^BP=-y+-z=0

3

則，不妨令y=i則z=3,x=6,

n-PQ=--x+y+—z=0

所以無=(6J3)

平面ABCD的法向量為玩=(0,0,1),

n-rn3二3屈

所以cos<n,m>=

\n\-\m\736+1+9-46

3>/46

所以面48co與平面BQP的夾角為arccos--------

46

32.如圖，正方體ABCD-ABCR的棱長為1,M是棱AA的中點，O是的中點.求

證：OM分別與異面直線4A，8R垂直，并求OM的長.

【答案】見解析.

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積為0可證得垂直，利用模長公式可求線段長.

【詳解】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則ogfM(l,0,g),41,0,0).A(l,0,l),8(Ll,0)，A(0,0,l),

---11-...

所以=(/,—],0),A4,=(0,0,1),BA=,

因為曲?麗=0,麗?西=0,

所以O(shè)MJ.AA，OMJ.BR

I兩1=J(；＞+(-孑=-y.

33.如圖，在直三棱柱ABC-44G中，ZBAC=90°,AB=AC=2fM=3,〃是

Ab的中點，N是3c的中點，P是8G與BQ的交點.在線段AN上是否存在點。，

使得PQ〃平面ACM?

【答案】存在，。在AN靠近N的三等分點處

【分析】

建立空間坐標(biāo)系，利用空間向最進行求解，尸?！ㄆ矫鍭CM則可利用可與平面的法

向量垂直求解.

【詳解】

試卷第30頁，共35頁

如圖，分別以所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

3

A(0,0,3),C(2,0,0),M(0,1,0),-),Q(a,a,3),

______一3

則AC=(2,0,-3),A"=(0,1,-3),PQ=3-l,a-1,3).

設(shè)面A?！钡姆ㄏ蛄縂=a,y，z),則,，￡!?，即[、八.

[A^Mn=0[y-3z=0

_3

令z=l得〃=(],3,1).

因為尸Q〃平面ACM,所以Pg兀即而i=o.

332

所以53-1)+3(4_1)+5=0,得〃=7，

項=(|W，。)，所以麻卜手.

因為AN=75,哭=4,所以存在。在AN二等分點處靠近N,使得PQ”平面.

/*!Arj

34.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量〃=3,4。)("。工0),點七(%,%,%),點P(x,y,z).

(1)若直線,經(jīng)過點庶，且以口為方向向量，P是直線，上的任意一點，求證：

X7。=y)b_ZZo

abc

(2)若平面夕經(jīng)過點玲，且以力為法向量，尸是平面。內(nèi)的任意一點，求證：

a(x-x0)+b(y-yQ)+c(z-zo)=O.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示即可證出；

(2)根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可證出.

【詳解】

(1)因為以〃神，/>P=(x-^,y-y0,z-z0),所以解二為7,

即1一%=4。,丁一為=動,2-々)=義。，因為必CHO,所以％」=)'〉o=z4=4.

abc

(2)因為〃，解，方=(o,b,c),^P=(X-A^,j-y0,z-z0),

所以a(x)+6(y-%)+4z-z^nO.

35.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架A〃CD,的邊長都是1,且它們

所在的平面互相垂直.活動彈子M,N分別在正方形對角線AC和〃尸上移動，且CM

和8N的長度保持相等，記CW=8N=a(0<a<&).

(1)求