“概率”教材分析

“概率，，教材分析

概率論是從數(shù)量關(guān)系側(cè)面研究非確定性現(xiàn)象（也就是隨機(jī)現(xiàn)象）的規(guī)律性的學(xué)科。所謂概率,

通俗地講，就是在一定條件下，某一事件發(fā)生的可能性的大小（學(xué)生以往學(xué)習(xí)的都是一些確

定性的現(xiàn)象，而概率論研究的是非確定性現(xiàn)象，這給教師的教和學(xué)生的學(xué)帶來(lái)一定的難度）。

概率統(tǒng)計(jì)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)中有著越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，成為研究自然現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象,

處理工程和公共事業(yè)問(wèn)題的有力工具，在我國(guó)中學(xué)開(kāi)設(shè)概率統(tǒng)計(jì)課程，是實(shí)現(xiàn)教育內(nèi)容現(xiàn)代

化的一個(gè)舉措，是勢(shì)在必行的（先期使用高中數(shù)學(xué)新教材的兩省、一市的2001年高考數(shù)學(xué)試

卷中有關(guān)概率的知識(shí)占了14分，近10%,是明顯高于其所占課時(shí)比例的）。

第十章中概率部分的知識(shí)要點(diǎn)是：隨機(jī)事件的概念、等可能事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)

生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率（包括獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）。

第十章中概率部分的重點(diǎn)是：隨機(jī)事件的概念、古典概型、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相

互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。

難點(diǎn)是：概率的定義、古典概率的計(jì)算、概率的加法公式與乘法公式，重復(fù)試驗(yàn)中事件A

發(fā)生k次的概率公式以及概率的應(yīng)用。

第十章中概率部分的教學(xué)要求是：（1）了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率

的定義（統(tǒng)計(jì)定義）；（2）了解等可能事件的概率的定義及計(jì)算公式，會(huì)用排列組合的基

本公式計(jì)算一些等可能事件的概率；（3）了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥

事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算一些事件的概率；（4）會(huì)計(jì)算事

件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率。

下面對(duì)“概率”部分的教學(xué)談一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。

一、高中數(shù)學(xué)新版“概率”教材的特點(diǎn)

1.將隨機(jī)事件、頻率、概率的統(tǒng)計(jì)定義等合并為一節(jié)，突出概率的統(tǒng)計(jì)定義。

2.對(duì)古典概率，注意挖掘概率的統(tǒng)計(jì)定義與古典定義的關(guān)系，不給古典概率下定義，只提

古典概型。

3.在概率的有關(guān)計(jì)算中，既介紹“排列組合計(jì)數(shù)法”，又介紹“枚舉法”，使“排列組合

計(jì)數(shù)法”與“枚舉法”相結(jié)合。

4.增加了閱讀材料從集合角度看排列、組合和概率，并結(jié)合介紹“容斥原理”（如,

Card（AUB）=Card（A）+Card（B）-Card（AAB）,等等）.

5.在“互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率”和“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率”的教學(xué)中，注意

聯(lián)系實(shí)際，注意采用數(shù)形結(jié)合的方法。

6.將“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”作為“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生”的一種推廣形式，并由此引入“貝

努時(shí)概型”。

二、關(guān)于隨機(jī)事件概率定義的教學(xué)

粗略地說(shuō)，在一定的條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件（用字母A、B、

C…表示）。

如：（1）投擲一枚分幣，“正面朝上”這個(gè)事件（記作A）,是一個(gè)隨機(jī)事件；在該試驗(yàn)

中，“正面朝下”（記作B）,也是一個(gè)隨機(jī)事件。

（2）投擲兩枚分幣，A="兩個(gè)都是正面朝上"、B="兩個(gè)都是正面朝下"、C="一個(gè)正面

朝上，一個(gè)正面朝下"、D=“至少有一個(gè)正面朝上”等，也都是隨機(jī)事件。

（3）從十個(gè)同類產(chǎn)品（其中有8個(gè)正品，2個(gè)次品）中，任意抽取3個(gè)，A="三個(gè)都是正

品"、B=“至少有一個(gè)是次品”，都是隨機(jī)事件。但對(duì)于事件“至少有一個(gè)是正品”和“三

個(gè)都是次品”，前者是必定要發(fā)生的，后者是不可能發(fā)生的。我們稱，在一定條件下，必定

要發(fā)生的事件為必然事件，用I表示；在一定條件下，不可能發(fā)生的事件為不可能事件，用

字母。表示。

對(duì)于隨機(jī)事件，在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生，我們雖然不能預(yù)先知道，但是它們?cè)谝淮卧囼?yàn)中發(fā)

生的可能性是有大小之分的。如，（1）中，如果投擲的分幣是勻稱的，則隨機(jī)事件A="正

面朝上”和隨機(jī)事件B="正面朝下”發(fā)生的可能性是一樣的；（2）中，如果兩個(gè)分幣都是

勻稱的，則隨機(jī)事件A="兩個(gè)都是正面朝上”和隨機(jī)事件B="兩個(gè)都是正面朝下”發(fā)生的

可能性也是一樣的，并且它們比隨機(jī)事件C="一個(gè)正面朝上，一個(gè)正面朝下”發(fā)生的可能

性要小。

（1）中投擲分幣的試驗(yàn)，是在一定的條件作用下的（如分幣是勻稱的，用規(guī)定的動(dòng)作向上

拋，讓分幣自由地落在具有彈性的地面上，等等），而在該條件組的作用下，事件A（“正

面朝上”）是否發(fā)生是不確定的，這是問(wèn)題的一個(gè)方面，但當(dāng)該條件大量重復(fù)實(shí)現(xiàn)時(shí)，事件

A發(fā)生的次數(shù)（稱為頻數(shù)）能體現(xiàn)出一定的規(guī)律性，其約占總試驗(yàn)次數(shù)的一半，即

事件A發(fā)生的頻率=頻數(shù)/試驗(yàn)次數(shù)，接近1/2,而且投擲次數(shù)越多，頻率越接近0.5。

于是我們這樣定義：在不變的一組條件S下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，記m是n次試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，如果頻率m/n穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近擺動(dòng)，而且一般

說(shuō)來(lái)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，這種擺動(dòng)的幅度愈變愈小，則稱A為隨機(jī)事件，并稱數(shù)值p為隨

機(jī)事件A在條件組S下發(fā)生的概率，記作P（A）=p。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，“頻率具有穩(wěn)定性的事件稱為隨機(jī)事件，頻率的穩(wěn)定值稱為該隨機(jī)事件的概率”。

由于頻率m/n總介于0,1之間，因此由概率的定義知：對(duì)任意隨機(jī)事件A,有

OWP（A）W1；對(duì)必然事件I,顯然有P（D=1：對(duì)不可能事件力，顯然有P（4）=0。

“隨機(jī)事件概率的定義”的教學(xué)要求是:

(1)了解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的概念。

(2)了解隨機(jī)事件頻率的意義及概率的定義。

(3)理解概率的性質(zhì)：OWP(A)Wl；P(D=1,即必然事件的概率為1；P(4>)=0,即不

可能事件的概率為0o

“隨機(jī)事件概率的定義”的教學(xué)建議是：

(1)教課前，要求學(xué)生復(fù)習(xí)初中“統(tǒng)計(jì)初步”一章中的頻數(shù)、頻率的概念。

(2)從具體到抽象引入隨機(jī)事件的概念，并教會(huì)學(xué)生用字母表示每一個(gè)事件，進(jìn)而區(qū)分什

么是隨機(jī)事件，什么是必然事件與不可能事件。

(3)關(guān)于概率定義的教學(xué)，可采用電教手段，打出一些試驗(yàn)的結(jié)果，通過(guò)觀察、分析、歸

納，得出概率的定義及概率的性質(zhì)。

三、關(guān)于等可能事件的概率的教學(xué)

上面介紹的概率的定義，它既是概念，同時(shí)又提供了近似計(jì)算概率的一般方法。但是在某種

情況下，并不需要在條件組作用下，臨時(shí)做多次試驗(yàn)，從而得出概率的近似值，而是根據(jù)問(wèn)

題本身所具有的某種“對(duì)稱性”，充分利用人類長(zhǎng)期積累的關(guān)于“對(duì)稱性”的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，分

析事件的本質(zhì)，就可以直接計(jì)算其概率。

如，(1)盒中裝有五個(gè)球(三個(gè)白球，二個(gè)黑球)，從中任取一個(gè)，問(wèn)：取白球的概率是多

少？既然是“任取”一個(gè)，則五個(gè)球被取到的機(jī)會(huì)是等可能的，而白球有三個(gè)，因此，取到

白球的概率應(yīng)是3/5。說(shuō)得更清楚些，我們將五個(gè)球編上號(hào)(白球?yàn)?、2、3號(hào)，黑球?yàn)?、

5號(hào))，因?yàn)槭请S便取一個(gè)，所以“取到1號(hào)球”、“取到2號(hào)球”、“取到3號(hào)球”、

“取到4號(hào)球”、“取到5號(hào)球”，這些結(jié)果發(fā)生的機(jī)會(huì)一樣，而且是互相排斥的，并且

除此之外不可能有別的結(jié)果。注意到1、2、3號(hào)是白球，所以“取到白球”這個(gè)事件發(fā)生的

頻率會(huì)穩(wěn)定在3/5左右，因此按概率定義，它的概率是3/5。

(2)盒中有球的情況如上，現(xiàn)從中任取兩個(gè)，問(wèn)兩個(gè)球全是白球的概率是多少？

將五個(gè)球同樣編號(hào)，因?yàn)槭请S便取兩個(gè)，所以下列結(jié)果“1、2”，“1、3”，“1、4”，“1、

5”，“2、3”,“2、4”，“2、5”，“3、4”,“3、5”，“4、5”發(fā)生的機(jī)會(huì)一樣,

而且是相互排斥的，并且除此之外不可能有別的結(jié)果。再注意到，上列十種情況中，有且僅

有三種，即“1、2”,“1、3”,“2、3”為全白,因此“全白”發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在3/10

左右，于是它的概率是3/10。

于是我們這樣定義：若一個(gè)事件A、A、…、A具有下列三條性質(zhì):

(1)A、A、…、A發(fā)生的機(jī)會(huì)相同(等可能性)；

(2)在任一次試驗(yàn)中，A、A、…、A至少有一個(gè)發(fā)生(即除此之外不可能有別的結(jié)果,

完備性)：

(3)在任一次試驗(yàn)中，A、A、…、A至多有一個(gè)發(fā)生(即它們是互相排斥的，互不相容

性)。

則稱該事件組為等概基本事件組，其中任一事件A(i=l、2、…、n)稱為基本事件。

若A、A、…、A是一個(gè)等概基本事件組，而事件B由其中的某m個(gè)基本事件所組成，大

量試驗(yàn)表明，事件B的概率應(yīng)由公式：

P(A)=m/n(1)

來(lái)計(jì)算。

所謂古典概型就是利用公式(1)來(lái)討論隨機(jī)事件的概率的模型。

古典概型在概率理論中占有重要地位，對(duì)于初步接觸概率的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是深入學(xué)習(xí)概率的必

不可少的材料，其意義在于：

(1)有利于理解概率的概念。當(dāng)研究這種概型時(shí)，頻率的穩(wěn)定性容易得到驗(yàn)證，頻率的穩(wěn)

定值與理論上算出來(lái)的概率值的一致性可以得到驗(yàn)證。但在教學(xué)中不要提出兩種定義

概率的統(tǒng)計(jì)定義與古典定義，以免學(xué)生被兩種定義所因擾。要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，概率

是頻率的穩(wěn)定值，不是近似值，而是一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)。古典概型中計(jì)算出來(lái)的概率值就是頻率

的穩(wěn)定值。

(2)有利于計(jì)算隨機(jī)事件的概率。在古典概型范圍內(nèi)研究問(wèn)題，避免了進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，而

且由于計(jì)算概率時(shí)，大量運(yùn)用了前面所學(xué)的排列、組合知識(shí)，能充分使學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的學(xué)

習(xí)得到運(yùn)用和強(qiáng)化。

(3)古典概型的實(shí)際應(yīng)用較廣，有利于學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

(4)P(A)=m/n是計(jì)算等可能事件概率的公式，根據(jù)這一公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)

鍵在于求出n和m。在求n時(shí)，應(yīng)注意，這n種結(jié)果必須是等可能的，在這點(diǎn)上

是很容易出錯(cuò)的。如，同時(shí)拋擲2枚均勻硬幣，共出現(xiàn)“正、正”，“正、反”，

“反、正”，“反、反”4種等可能結(jié)果，如果認(rèn)為只有“正、正”，“反、反”，“一

正、一反"3種結(jié)果就錯(cuò)了，因?yàn)檫@三種結(jié)果不是等可能的。在求m時(shí)，不僅此要用到排列、

組合知識(shí)，很多場(chǎng)合下要用到枚舉法，或容斥原理。

“等可能性事件的概率”的教學(xué)要求是:

(1)使學(xué)生了解等可能性事件的概念，掌握古典概型的特點(diǎn)，即：對(duì)于每次隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō),

只可能出現(xiàn)有限個(gè)不同的試驗(yàn)結(jié)果：對(duì)于上述所有不同的試驗(yàn)結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性是相

等的；由于上述兩點(diǎn)，求事件的概率可以不通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，而只需通過(guò)一次試驗(yàn)中可能

的結(jié)果進(jìn)行分析計(jì)算即可。

(2)掌握等可能事件的概率計(jì)算公式P(A)=m/n,掌握概率計(jì)算的三個(gè)步驟：用字母表示

事件；求m、n；計(jì)算P(A)o

(3)學(xué)會(huì)用枚舉法和排列組合計(jì)數(shù)法求m、n?

舉例如下：

1.關(guān)于用枚舉法求m、n：

枚舉法包括簡(jiǎn)單列舉、列表、圖示三種。

例1同時(shí)拋擲三枚均勻的硬幣，則出現(xiàn)的基本事件的個(gè)數(shù)和恰有2個(gè)正面朝上的基本事件

的個(gè)數(shù)為

(A)3,3(B)4,3(C)6,3(D)8,3

解：本題可以用樹(shù)形圖求解：

正反

正反正反

正反正反正反正反

n=8,m=3,應(yīng)選D。

例2從長(zhǎng)度分別為3、4、5、7、9的五條線段中，任取3條，能構(gòu)成三角形的概率是

(A)3/10(B)1/2(C)3/5(D)2/5

解：易知n=C=10,而m的值可列舉出來(lái)：(3,4,5)、(4,5,7)、(5,7,

9)、(3,5,7)、(4,7,9)、(3,7,9),m=6。

因此能構(gòu)成三角形的概率為3/5o

2.關(guān)于用排列、組合計(jì)數(shù)法求m、n：

用排列組合公式和古典概型的概率計(jì)算公式，可以解決三方面的問(wèn)題：(1)隨機(jī)取數(shù)；(2)

隨機(jī)摸球：(3)分房問(wèn)題。大量的、形形式式的問(wèn)題都可以歸為這三類問(wèn)題。

(1)隨機(jī)取數(shù)

例3有十張卡片，分別標(biāo)為1、2、…、10,從中任取一張，求取得的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。

解：顯然本題的基本事件總數(shù)n=10。又人="取得的號(hào)碼為偶

數(shù)”={2}U{4}U{6}U{8}U{10},即A中含有5個(gè)基本事件，m=5,從而P(A)=m/n=l/2?

上述解答用的是枚舉法，本題也可用排列組合的方法作答：A=”取得的號(hào)碼為偶數(shù)”，其必

須從2、4、6、8、10中任取一個(gè)，有C種，即m=5。從而P(A)=1/2。

事實(shí)上，由^="取得的號(hào)碼為偶數(shù)”與="取得的號(hào)碼為奇數(shù)”的“對(duì)稱性”，即可得到

P(A)=1/2。

例4設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中有5件次品，現(xiàn)從中任取50件，問(wèn)：無(wú)次品的概率是多

少？

解：從100件產(chǎn)品中任取50件，共有C個(gè)不同的結(jié)果，每一個(gè)結(jié)果都是一個(gè)事件，且這

些事件是一個(gè)等概基本事件組。

又，A="任取50件其中無(wú)次品”，必須從95件正品中取出來(lái)，共有C個(gè)不同的結(jié)果。因

此，P(A)=C/C=0.028?

例5條件組同“例4”，問(wèn)：恰有兩件次品的概率是多少？

解：由于等概基本事件組同“例4”，故總數(shù)n=C。而事件A=”恰有兩件次品”所包含的

基本事件數(shù)m=C,C。于是P(A)=m/n=C?C/C=0.32,即任取50件，恰有兩件

次品的概率是0.32。

(2)隨機(jī)摸球

例6有10件產(chǎn)品，其中4件次品，6件正品，每次取一件檢驗(yàn)，測(cè)后不放回，直到4件次

品全部測(cè)出為止。求經(jīng)過(guò)5次測(cè)試，4件次品全部被測(cè)出的概率。

解：設(shè)A="經(jīng)過(guò)5次測(cè)試，4件次品全部被測(cè)出”，易知基本事件總數(shù)n=P。

下面用“定位法”求m：將其中的3件次品定在前4次被測(cè)出，第4個(gè)次品定在第5次被測(cè)

出，則m=CCP。

于是，P（A）=CCP/P=2/105。

例7有10件產(chǎn)品，其中4件次品，6件正品，每次取一件檢驗(yàn)，測(cè)后不放回，一共測(cè)5次。

求第5次測(cè)得次品的概率。

解：本題與例6的提法不同，其不管前4次是否測(cè)得次品，只要第5次測(cè)得次品即可。

設(shè)A="測(cè)5次，第5次測(cè)得次品”，易知基本事件仍為n=P。

下面用“定位法”求m：將次品看作“球”，第5次出現(xiàn)球的方法為C，于是m=CP。

因此，P（A）=CP/P=4?P/10?P=0.4。

若將問(wèn)題改為:每次測(cè)1件，測(cè)后不放回，一共測(cè)k次，求第k次測(cè)到次品的概率，則n=P,

m=C?P,P（A）=C?P/P=4?P/10?P=0.4。

這一事實(shí)表明，第1次、第2次、…、第10次測(cè)出次品的概率是相同的，都是0.4。如果

將“次品”看作“獎(jiǎng)”，則抽簽中獎(jiǎng)的概率是相同的，這就是人們通常所說(shuō)的“抽簽不分先

后，一樣公平合理”的道理（對(duì)此，教材中按排了“閱讀材料抽簽有先有后，對(duì)各

人公平嗎？”）。

（3）分房問(wèn)題

例8設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去?。╪WN）,求下

列事件的概率：

（1）指定的n個(gè)房間各有一人??；

（2）恰好有n個(gè)房間，其中每間各住一個(gè)人。

解：因?yàn)槊恳粋€(gè)人有N個(gè)房間可供選擇，所以n個(gè)人入住的方式有N種，它們是等可能的。

在第一個(gè)問(wèn)題中，指定的n個(gè)房間各有一人去住，其可能總數(shù)為n個(gè)人的全排列n!,于是,

P（“指定的n個(gè)房間各有一人住"）=n!/N

如，有10個(gè)房間，分給10個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到10個(gè)房間中的任一間去住，

而且每間房里的人數(shù)不限，求不出現(xiàn)空房的概率：設(shè)人="10個(gè)房間分給10個(gè)人，不出現(xiàn)空

房"，則n=10,m=10!,P（A）=10!/10=9!/IO?

在第二個(gè)問(wèn)題中，n個(gè)房間可以在N個(gè)房間中任意選取，其總數(shù)有C個(gè)，又對(duì)給定的n個(gè)

房間，按上述討論可知有n!種分配方式，于是，

P（“恰好有n個(gè)房間，其中每間各住一個(gè)人"）=C?n!/N=N!/N（N-n）!。

歷史上有名的“生日問(wèn)題”就歸為“分房問(wèn)題”，我們將在下面作介紹。

四、關(guān)于互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

1.事件的包含與相等

設(shè)有事件A與事件B,如果A發(fā)生，則B必發(fā)生，就稱事件B包含事件A,并記作AB或

BA。例如投擲兩枚勻稱的分幣，記人=”正好一個(gè)正面朝上”，B=“至少一個(gè)正面朝上”，

顯然有ABo

如果事件B包含事件A,同時(shí)事件A也包含事件B,則稱事件A與事件B相等，記作A=B。

2.事件的和與積

在一次試驗(yàn)中，如果事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，則這一事件叫做事件A與B的和，記

作A+Bo

事件的和可以推廣為n個(gè)事件的和：“A+A+-+A”，它表示在同一試驗(yàn)中，A、A

A中至少有一個(gè)發(fā)生（有一個(gè)發(fā)生就表示該事件發(fā)生）。

在一次試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生且事件B也發(fā)生，即事件A、B同時(shí)發(fā)生，則這一事件叫做

事件A與B的積，記作A?B。

事件的積可以推廣為n個(gè)事件的積：“A?A....A”，它表示在同一試驗(yàn)中，A、

A、…、A同時(shí)發(fā)生。

例如，投擲兩枚均勻的分幣，A="正好一個(gè)正面朝上”，B="正好兩個(gè)正面朝上”，C="至

少一個(gè)正面朝上”，于是有A+B=C,A?C=A,B-C=B,A-B=<l>?

對(duì)此我們可以簡(jiǎn)單表述為:“至少"“+"；“同時(shí)"。

3.互斥事件與對(duì)立事件

如果事件A和事件B不可能同時(shí)發(fā)生，即A?B=。，則稱A與B是互斥事件。例如，投擲兩

枚分幣，事件“兩個(gè)都是正面朝上”和“兩個(gè)都是正面朝下”是互斥事件；事件“正好一個(gè)

正面朝上”和“兩個(gè)都是正面朝上”也是互斥事件，因?yàn)橥稊S兩枚分幣時(shí)，事件“正好一個(gè)

正面朝上”和“兩個(gè)都是正面朝上”不可能同時(shí)發(fā)生。再如，袋中有4個(gè)球，其中2個(gè)紅球,

1個(gè)黃球，1個(gè)白球，每次抽1個(gè)，有放回地抽4次，設(shè)八=“全紅”、B=“全黃”、C="全

白”,則A、B、C是互斥事件，因?yàn)樗鼈儍蓛墒腔コ獾?這里順便強(qiáng)調(diào)一下A、B、C三個(gè)事

件不能同時(shí)發(fā)生，與A、B、C兩兩互斥不是一回事。A、B、C三個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即

A,B,C=<1>，但有可能A,BW6，或8?C￥4>，或A,CW<1>；而八、131兩兩互斥是指A?B=4>,

且且A?C=。)o

在互斥事件概念的教學(xué)中，建議通過(guò)比較多的實(shí)例分析后，再給出互斥事件的定義.同時(shí)為

加強(qiáng)互斥事件概念的教學(xué)，教學(xué)時(shí)，建議舉一、兩個(gè)反例說(shuō)明也有不互斥的事件。例如，甲、

乙兩人各射擊一次，A=“甲中靶"、B=“乙中靶"，顯然甲、乙兩人可以同時(shí)中靶，即A、

B兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，故A、B不為互斥事件，這時(shí)稱事件A、B相容。

事件“非A”稱為A的對(duì)立事件，記為。例如，投擲兩枚分幣，事件“至少一個(gè)正面朝上”

是事件“兩個(gè)都是正面朝下”的對(duì)立事件。

教學(xué)中，要幫助學(xué)生理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別：

從定義理解：若A?B=6,則A與B是互斥事件，又A,=6,從而對(duì)立事件必為互斥事

件。反之，互斥事件不一定是對(duì)立事件，因?yàn)锳+=1,而A、B互斥時(shí)，A+BI。

從邏輯學(xué)上進(jìn)行解釋：互斥事件遵循“矛盾律”，而對(duì)立事件遵循“排中律”。

學(xué)習(xí)了互斥事件概率的加法公式之后還可以從概率計(jì)算中理解這兩種事件的聯(lián)系與區(qū)別：P

(A+B)=P(A)+P(B)<1,而P(A+)=P(A)+P()=1。

4.互斥事件概率的加法公式

如果事件A與B是互斥事件，則P(A+B)=P(A)+P(B)。(1)

公式(1)表達(dá)了概率的最重要的特性：可加性。它是從大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中概括出來(lái)的，成

為我們研究概率的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。從概率的定義看，這個(gè)公式的成立是很自然的。設(shè)想把條

件S重復(fù)實(shí)現(xiàn)了n次(n充分大)，其中事件A發(fā)生了m次，事件B發(fā)生了m次，由于事

件A與B互斥，故A+B發(fā)生了m+m次。根據(jù)概率的定義，m/n應(yīng)該與P(A)很接近，

m/n應(yīng)該與P(B)很接近，于是(m+m)/n自然應(yīng)該與數(shù)值P(A)+P(B)很接近，而

(m+m)/n恰好又是事件A+B發(fā)生的概率，即當(dāng)n充分大時(shí)，(m+m)/n與P(A+B)

很接近,因此P(A+B)應(yīng)該與P(A+B)相等。

公式(1)不難推廣到n個(gè)事件的情形：設(shè)A、A、…、A是n個(gè)互斥事件，則

P(A+A+-+A)=P(A)+P(A)+…P(A).

使用互斥事件概率的加法公式(1)的前提條件是“兩個(gè)事件互斥”，教學(xué)時(shí)需要強(qiáng)調(diào)的是:

當(dāng)A、B兩個(gè)事件不互斥時(shí)，不能用上面的公式。我們教師在教學(xué)中，特別是在選題或編題

時(shí)，也要注意這個(gè)問(wèn)題。例如，擲骰子時(shí)，A="出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，B="出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，

事件A與B不互斥，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2時(shí)，A與B同時(shí)發(fā)生！事實(shí)上，事件A+B表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2、

4、6、1、3,故P(A+B)=5/6,而P(A)=3/6=1/2,P(B)=3/6=1/2,可見(jiàn)P(A+B)WP

(A)+P(B)o

特別地，由互斥事件概率的加法公式有：P(A)+P()=P(A+)=P(I)=1,從而得

P()=1-P(A)o

上式雖然簡(jiǎn)單，卻很有用。比如：袋中有紅、黃、白色球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地

抽三次，設(shè)人="三個(gè)顏色全同”,B="三個(gè)顏色不全同"，求P(A)和P(B)o對(duì)于此例，

易得P(A)=(1+1+1)/27=1/9,又由于A與B是對(duì)立事件,故有P(B)=1-P(A)=lT/9=8/9。

“互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率”的教學(xué)要求是：

(1)理解互斥事件、對(duì)立事件的概念，了解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別。

(2)掌握互斥事件概率的加法公式和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，并能用來(lái)解決

有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。舉例如下：

例9從0、1、2、3四個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)進(jìn)行排列，求取得的3個(gè)數(shù)字排成的數(shù)是三位數(shù)

且是偶數(shù)的概率。

解：設(shè)八="任取3個(gè)數(shù)組成三位偶數(shù)"，A="0在末位的三位數(shù)"，A="2在末位的三

位數(shù)"，則A=A+A。

由于A、A互斥，所以P(A)=P(A+A)=P(A)+P(A)=P/P+PP/P=5/12。

例10袋中有4個(gè)球，其中2個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球，每次任取1個(gè)，有放回地抽4

次，求下列事件的概率：

(1)全紅；(2)全白；(3)顏色全同；(4)顏色全不同；(5)顏色不全同。

解：(1)P(“全紅")=CCCC/4=1/16；

(2)P(“全白”)=CCCC/4=1/256；

(3)P(“顏色全同”)=P(“全紅”+“全黃”+“全白”)=P(“全紅”〉+P(“全黃”)

+P(“全白”)=1/16+1/256+1/256=9/128；

(4)P(“顏色全不同")=P(4>)=0；

(5)P(“顏色不全同")=1-P(“顏色全同")=l-9/128=119/128o

例11在10000張有獎(jiǎng)明信片中，設(shè)有一等獎(jiǎng)5個(gè)，二等獎(jiǎng)10個(gè)，三等獎(jiǎng)100個(gè)，從中買1

張，求：

(1)獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的概率；

(2)未中獎(jiǎng)的概率。

解:(1)設(shè)人="買一張中i等獎(jiǎng)"(i=l,2,3),則

P(A)=5/10000=0.0005；P(A)=10/10000=0.001；P(A)=100/10000=0.010

(2)設(shè)人="買一張中獎(jiǎng)”，則人=A+A+A?

因?yàn)锳、A、A彼此互斥，所以P(A)=P(A+A+A)=P(A)+P(A)+P(A)

=0.0115,從而P()=1-P(A)=1-0.0115=0.9885。

例12某單位有n個(gè)人(nW365)問(wèn)至少有兩人的生日在同一天的概率有多大？

解：這個(gè)問(wèn)題屬于“分房問(wèn)題”，假定一年按365天計(jì)算，將365天當(dāng)作365個(gè)“房間”，

則問(wèn)題就可以歸為“例8”，這時(shí)“n個(gè)人的生日全不相同”就相當(dāng)于“例8”中的“恰有n

個(gè)房間，其中每間各住一人”。

設(shè)人=”n個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日相同"，貝IJ="n個(gè)人的生日全不相同”。

由“例8”得，P()=N!/N(N-n)!,而P(A)+P()=1,于是P(A)=1-N!/N(N-n)!,

(N=365)o

注：(1)本例如果直接求P(A)，則比較麻煩，而利用對(duì)立事件求解則比較容易。

(2)根據(jù)上式，對(duì)不同的n可計(jì)算出相應(yīng)的P(A)的值，如：n=10,P(A)=0.12；n=23,

P(A)=0.51；n=50,P(A)=0.97。這說(shuō)明“一個(gè)班級(jí)(單位)中至少有兩個(gè)人的生日相同”

這件事發(fā)生的概率，并不如多數(shù)人直覺(jué)中想象的那樣小，而是相當(dāng)大。由計(jì)算可以看出，當(dāng)

班級(jí)中的人數(shù)為23時(shí)，就有半數(shù)以上的班級(jí)會(huì)發(fā)生這件事；當(dāng)班級(jí)人數(shù)為50時(shí)，竟有97%

的班級(jí)會(huì)發(fā)生這件事(當(dāng)然要求班級(jí)的數(shù)目相當(dāng)多，因?yàn)橹挥写髷?shù)次重復(fù)下才可以理解為頻

率)。

五、關(guān)于相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

1.條件概率

上述對(duì)P(A)的討論都是相對(duì)于某組確定的條件S而言的。P(A)就是在條件組S實(shí)現(xiàn)之

下，事件A發(fā)生的概率(為簡(jiǎn)略起見(jiàn)，“條件組S”通常不再提及)。若除了這組基本條件

“S”之外，還有附加的條件，即要求“在事件B已經(jīng)發(fā)生的前提下”事件A發(fā)生的概率，

這就是條件概率的問(wèn)題。

例13盒中裝有16個(gè)球，其中6個(gè)是玻璃球隊(duì)，10個(gè)是木質(zhì)球。又玻璃球中有2個(gè)是紅色

的，4個(gè)是蘭色的；木質(zhì)球中有3個(gè)是紅色的，7個(gè)是蘭色的。現(xiàn)從中任取一個(gè)(這就是所

謂“條件組S”),求：取到蘭球的概率，取到玻璃球的概率，在已知取到的是蘭球的前提

下，該球是玻璃球的概率。

解：設(shè)人=“取到蘭球"，B=”取到玻璃球”則由古典概型知P(A)=11/16,P(B)=6/16=3/8?

求“在已知取到的是蘭球的前提下，該球是玻璃球”的概率，也就是求在事件A已經(jīng)發(fā)生的

前提下事件B發(fā)生的概率(此概率記為P(B|A))。同樣可以用古典概型來(lái)解決：因?yàn)槿?/p>

到的是蘭球，而蘭球共有11個(gè)且其中4個(gè)是玻璃球，所以P(BIA)=4/11。

例145個(gè)乒乓球(3個(gè)新球，2個(gè)舊球)，每次取1個(gè)，無(wú)放回地取2次。求：第一次取得

新球的概率，第二次取得新球的概率，在第一次取得新球的條件下第二次取得新球的概率。

解：設(shè)八="第一次取得新球"，B="第二次取得新球”，顯然P(A)=3/5。

P(B)=?

注意到B="第二次取得新球”，它對(duì)第一次取得什么球沒(méi)有限制或假定，因此回答P(B)

=2/4,或P(B)=3/4都是沒(méi)有根據(jù)的。其實(shí)，憑直觀，P(B)應(yīng)等于3/5,否則“抽簽”

這個(gè)公認(rèn)為公平的方法，就不公平了。

這個(gè)問(wèn)題具體地可以用古典概型來(lái)解。基本事件總數(shù)n=P=20；用“定位法”求m：將其中

的1個(gè)新球定在第二次被取得，其方法數(shù)為P,于是m=P-P=12,則P(B)=12/20=3/5。

至于P(B|A),由條件概率的概念易求：既然A己發(fā)生，那么第二次取球時(shí)，盒中共有4

個(gè)球，其中有2個(gè)新球，因此按古典概型，這時(shí)B發(fā)生的概率應(yīng)是2/4,即P(B|A)=l/2。

2.獨(dú)立性

將上面的例2改為：5個(gè)乒乓球(3個(gè)新球，2個(gè)舊球)，每次取1個(gè)，有放回地取2次。

記人="第一次取得新球"，B="第二次取得新球”，顯然有P(B|A)=P(B),即在A發(fā)

生的條件下B的條件概率就等于B的原概率，它表示A發(fā)生并不影響B(tài)發(fā)生的概率。

所謂A與B相互獨(dú)立，就是在同一次試驗(yàn)中，事件A(B)的發(fā)生，對(duì)事件B(A)的發(fā)生的

概率沒(méi)有影響。

定義：對(duì)于任意的兩個(gè)事件A、B,若P(AB)=P(A)?P(B)成立，則稱事件A、B是相互

獨(dú)立的，簡(jiǎn)稱獨(dú)立的。

3.需要強(qiáng)調(diào)的幾點(diǎn)：

(1)當(dāng)A、B不互斥(即相容)時(shí)，事件A+B的概率計(jì)算公式為

P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)

當(dāng)A、B互斥時(shí)，P