2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科新課標(biāo)

絕密★啟用前2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科)〔新課標(biāo)Ⅱ)試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分考前須知：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷〔選擇題)請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單項(xiàng)選擇題1．設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，那么A∩B=A．(-∞，1)B．(-2，1)C．(-3，-1)D．(3，+∞)【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，再求出交集．【詳解】由題意得，，那么．應(yīng)選A．【點(diǎn)睛】此題考點(diǎn)為集合的運(yùn)算，為根底題目．2．設(shè)z=-3+2i，那么在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)再判斷結(jié)果.【詳解】由得那么對應(yīng)點(diǎn)〔-3，-2〕位于第三象限．應(yīng)選C．【點(diǎn)睛】此題考點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，為根底題目．3．=(2,3)，=(3，t)，=1，那么=A．-3B．-2C．2D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量三角形法那么求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，那么，．應(yīng)選C．【點(diǎn)睛】此題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重根底知識和根本技能，難度不大．4．2021年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球反面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球反面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋〞，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計算中，那么r的近似值為A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】此題在正確理解題意的根底上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立的方程，解方程、近似計算．題目所處位置應(yīng)是“解答題〞，但由于題干較長，易使考生“望而生畏〞，注重了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．【詳解】由，得因?yàn)?，所以，即，解得，所以【點(diǎn)睛】由于此題題干較長，所以，易錯點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點(diǎn)之二是復(fù)雜式子的變形出錯．5．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．方差D．極差【答案】A【解析】【分析】可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．【詳解】設(shè)9位評委評分按從小到大排列為．那么①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來極差可能相等可能變小，D不正確．【點(diǎn)睛】此題旨在考查學(xué)生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.6．假設(shè)a>b，那么A．ln(a?b)>0B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0D．│a│>│b│【答案】C【解析】【分析】此題也可用直接法，因?yàn)?，所以，?dāng)時，，知A錯，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故B錯；因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因?yàn)?，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，應(yīng)選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．7．設(shè)α，β為兩個平面，那么α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】此題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，假設(shè)，那么內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，應(yīng)選B．【點(diǎn)睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“假設(shè)，那么〞此類的錯誤．8．假設(shè)拋物線y2=2px〔p>0〕的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，那么p=A．2B．3C．4D．8【答案】D【解析】【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗(yàn)排除的方法，如時，拋物線焦點(diǎn)為〔1，0〕，橢圓焦點(diǎn)為〔±2，0〕，排除A，同樣可排除B，C，應(yīng)選D．【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)，所以，解得，應(yīng)選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng)．9．以下函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=│cos2x│B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│D．f(x)=sin│x│【答案】A【解析】【分析】此題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【詳解】因?yàn)閳D象如以下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)椋芷跒?，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，應(yīng)選A．【點(diǎn)睛】利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；10．a(chǎn)∈〔0，〕，2sin2α=cos2α+1，那么sinα=A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，應(yīng)選B．【點(diǎn)睛】此題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)根本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．11．設(shè)F為雙曲線C：〔a>0，b>0〕的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．假設(shè)|PQ|=|OF|，那么C的離心率為A．B．C．2D．【答案】A【解析】【分析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點(diǎn)在圓上，，即．，應(yīng)選A．【點(diǎn)睛】此題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，防止代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．12．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x+1)=2f(xA.-∞,9C.-∞,5【答案】B【解析】【分析】此題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問題，需準(zhǔn)確求出函數(shù)每一段解析式，分析出臨界點(diǎn)位置，精準(zhǔn)運(yùn)算得到解決．【詳解】∵x∈(0,1]時，f(x)=x(x-1)，如下圖：當(dāng)2<x≤3時，f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3)，令【點(diǎn)睛】易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側(cè)擴(kuò)大到2倍，導(dǎo)致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達(dá)式的理解，平時應(yīng)加強(qiáng)這方面練習(xí)，提高抽象概括、數(shù)學(xué)建模能力．第II卷〔非選擇題)請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13．我國高鐵開展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個車次的正點(diǎn)率為0.99，那么經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計值為___________.【答案】0．98.【解析】【分析】此題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為10+20+10=40，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．【點(diǎn)睛】此題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易無視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．14．是奇函數(shù)，且當(dāng)時，.假設(shè)，那么__________.【答案】-3【解析】【分析】當(dāng)時，代入條件即可得解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且當(dāng)時，．又因?yàn)椋?，所以，兩邊取以為底的對?shù)得，所以，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．15．的內(nèi)角的對邊分別為.假設(shè)，那么的面積為__________.【答案】【解析】【分析】此題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計算求解，此題屬于常見題目，難度不大，注重了根底知識、根本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得〔舍去〕所以，【點(diǎn)睛】此題涉及正數(shù)開平方運(yùn)算，易錯點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯誤．解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的根底上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計算．16．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體〞〔圖1〕.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體表達(dá)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的外表上，且此正方體的棱長為1．那么該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．【答案】共26個面.棱長為.【解析】【分析】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單復(fù)原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決．【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有個面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為，那么，延長與交于點(diǎn)，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長為．【點(diǎn)睛】此題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置復(fù)原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速復(fù)原圖形．評卷人得分三、解答題17．如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.〔1〕證明：BE⊥平面EB1C1；〔2〕假設(shè)AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用長方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；〔2〕以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值.【詳解】證明〔1〕因?yàn)槭情L方體，所以側(cè)面，而平面，所以又，，平面，因此平面；〔2〕以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立如以下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，所以，所以，，設(shè)是平面的法向量，所以，設(shè)是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的絕對值為，所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18．11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.〔1〕求P〔X=2〕；〔2〕求事件“X=4且甲獲勝〞的概率.【答案】〔1〕；〔2〕0.1【解析】【分析】(1)此題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球〞，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；(2)此題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分〞，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球〞所以(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分〞所以【點(diǎn)睛】此題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決此題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題。19．?dāng)?shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.〔1〕證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；〔2〕求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】〔1〕見解析；〔2〕，?！窘馕觥俊痉治觥?1)可通過題意中的以及對兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果。【詳解】(1)由題意可知，，，，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，因?yàn)?，所以，?shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，。(2)由(1)可知，，，所以，?！军c(diǎn)睛】此題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。20．函數(shù).〔1〕討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)；〔2〕設(shè)x0是f(x)的一個零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.【答案】〔1〕函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；〔2〕證明見解析.【解析】【分析】〔1〕對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.【詳解】〔1〕函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，因此函?shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)，時，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以函?shù)在必有一零點(diǎn)，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個零點(diǎn)；〔2〕因?yàn)槭堑囊粋€零點(diǎn)，所以，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，過切點(diǎn)為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，當(dāng)切線的斜率等于直線的斜率時，即，切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.【點(diǎn)睛】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21．點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.〔1〕求C的方程，并說明C是什么曲線；〔2〕過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.〔i〕證明：是直角三角形；〔ii〕求面積的最大值.【答案】〔1〕詳見解析〔2〕詳見解析【解析】【分析】〔1〕分別求出直線AM與BM的斜率，由直線AM與BM的斜率之積為?，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；〔2〕〔i〕設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，計算的值，就可以證明出是直角三角形；〔ii〕由〔i〕可知三點(diǎn)坐標(biāo)，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.【詳解】〔1〕直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓，其方程為；〔2〕〔i〕設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點(diǎn)P在第一象限，所以，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，〔*〕，設(shè)點(diǎn)，顯然點(diǎn)的橫坐標(biāo)和是方程〔*〕的解所以有，代入直線方程中，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為;,因?yàn)樗?，因此是直角三角形；〔ii〕由〔i〕可知：，的坐標(biāo)為，，,,因?yàn)?，所以?dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，函數(shù)有最大值，最大值