高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：13 拋物線（學(xué)生版+解析版）

專題13拋物線

一、單選題

1.(2020?陜西省西安市遠東一中高二期末(理))準線方程為>=1的拋物線的標準方程是()

A.x2-2yB.y2=2xC.x2=-4yD.y1=-4x

2.(2019?樂清市知臨中學(xué)高二期末)拋物線y=2f的焦點坐標為()

A.(O.])B.(0,§)

C.(1,0)D.(1,0)

2

3.(2020.北京高三月考)拋物線X=4y的準線與>軸的交點的坐標為()

A.(0,—)B.(0,—1)C.(0,—2)D.(0,-4)

2

4.(2020?北京市八一中學(xué)高三月考)己知拋物線V=4y上一點A的縱坐標為4,則點4到拋物線焦點的

距離為()

A.2B.3C.4D.5

5.(2020?定遠縣育才學(xué)校高二月考(文))已知拋物線尸=2px(p>0)的準線經(jīng)過點(一1,1〉則拋物線焦

點坐標為()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0.1)

6.(2020?江蘇省泰州中學(xué)高二開學(xué)考試)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為/,且/過點

(-2,3),〃在拋物線。上,若點n1,2),則|肱7|+四區(qū)的最小值為

A.2B.3

C.4D.5

7.(2020?湖北省高三月考(理))已知拋物線C：丫2=2外5>0)的準線/與圓“：*-1)2+0-2尸=16相

切，則，=()

A.6B.8C.3D.4

8.(2020.天津高三一模)已知拋物線V=4x與爐=20，(0>0)的焦點間的距離為2,則，的值為()

A.2y/3B.4C.6D.12

9.（2020.陜西省西安市遠東一中高二期末（理））已知拋物線C:/=6y的焦點為/直線/與拋物線。交

于AB兩點，若4?中點的縱坐標為5,則|AF|+|8R|=（）

A.8B.11C.13D.16

10.（2020,山東省青島第一中學(xué)高三月考）已知拋物線C：y?=12x的焦點為尸，A為。上一點且在第一

象限，以尸為圓心，E4為半徑的圓交。的準線于3,。兩點，且A，F(xiàn)，5三點共線，則|/3|=（）

A.16B.10

C.12D.8

二、多選題

11.（2019?遼寧省高二期末）已知拋物線y2=2Px1p>0）上一點M到其準線及對稱軸的距離分別為10和

6,則，的值可取（）

A.1B.2C.9D.18

12.（2020?山東省高三開學(xué)考試）已知拋物線/=24（°>0）的焦點為F,過點尸的直線/交拋物線于4,B

兩點，以線段48為直徑的圓交x軸于M,N兩點，設(shè)線段A8的中點為Q.若拋物線C上存在一點EQ,2）

到焦點F的距離等于3.則下列說法正確的是（）

A.拋物線的方程是d=2yB.拋物線的準線是y=-l

C.sinNQMN的最小值是工D.線段48的最小值是6

2

13.（2019?山東省高二期中）已知拋物線C：：/=2〃%（〃>0）的焦點為尸，直線的斜率為百且經(jīng)過點尸，

直線/與拋物線C交于點A，B兩點（點A在第一象限）、與拋物線的準線交于點￡>，若|AF|=4,則以下

結(jié)論正確的是（）

A.p=2B.E為中點C.\BD\^2\BF\D.忸同=2

三、填空題

14.（2020?黑龍江省鐵人中學(xué)高二月考（文））設(shè)拋物線y=-2/上一點2到x軸的距離是4,則點P到該

拋物線焦點的距離是.

15.（2019?黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考（理））拋物線y=a/的準線方程是y=2,則4=

16.（2020.北京高三其他）如果拋物線;/=2庶上一點A（4,根）到準線的距離是6,那么機=.

2

17.（2019?浙江省諸暨中學(xué)高三一模）拋物線y?=4x的焦點F坐標為，過F的直線交拋物線y=4x

于A、B兩點,若而=2而，則A點坐標為.

四、解答題

2

18.（2020?四川省間中中學(xué)高二月考（文））已知拋物線V=12x,雙曲線/一21=1,它們有一個共同的

m

焦點.

求：（1），〃的值及雙曲線的離心率；

（2）拋物線的準線方程及雙曲線的漸近線方程.

19.（2019?鳳陽縣第二中學(xué)高二期中（文））拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（4,4）,焦點為F.

（1）求拋物線的焦點坐標和標準方程；

（2）P是拋物線上一動點，M是PF的中點，求M的軌跡方程.

20.（2020?安徽省高二期末（文））已知拋物線C:y2=2px（p>0）上的點到焦點尸的距離為6.

（1）求P，加的值；

（2）過點P（2』）作直線/交拋物線。于A5兩點，且點P是線段A8的中點，求直線/方程.

21.（2020?河南省實驗中學(xué)高三二模（文））過點P（-4,0）的動直線/與拋物線C:f=2py（p>0）相交于。、

E兩點，已知當(dāng)/的斜率為:時，PE=4PD-

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)的中垂線在>軸上的截距為力，求力的取值范圍.

22.（2020?廣東省高二期末）已知直線元=4與拋物線C：V=2px（〃>（））相交于A,B兩點，且口。48

是等腰直角三角形.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線/過定點（-2,1）,斜率為k,當(dāng)％為何值時，直線/與拋物線C只有一個公共點？

23.（2019?安徽省阜陽第一中學(xué)高二期中（文））已知拋物線C：卜2=2力（〃>0）的焦點為產(chǎn)，準線為/,

若點P在。上，過點P作尸E垂直于/,交/于E，口產(chǎn)砂是邊長為8的正三角形.

（1）求C的方程；

（2）過點/（1,0）的直線機與。交于A，B兩點,若=求直線機的方程.

專題13拋物線

一、單選題

1.（2020.陜西省西安市遠東一中高二期末（理））準線方程為y=l的拋物線的標準方程是（）

A.x2=2yB.y2-2xC.x2=-4yD.y2--4x

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意，拋物線的準線方程為＞=1,即其焦點在y軸負半軸上，且■!=：!,得P=2,

故其標準方程為f=-4y.

故選：C

2.（2019?樂清市知臨中學(xué)高二期末）拋物線y=2/的焦點坐標為（）

A.(0、)B.(0,1)

2O

C.(―,0)D.(1,0)

2

【答案】B

【解析】

整理拋物線方程得Y=5〃

二焦點在y軸，P=-,

4

焦點坐標為故選B.

3.（2020.北京高三月考）拋物線f=4y的準線與＞軸的交點的坐標為（）

A.(0,-i)B.(0,-1)

C.(0,-2)D.(0,-4)

2

【答案】B

【解析】

準線方程為：般=-：1,與y軸的交點為(0,-1),故選B.

4.(2020?北京市八一中學(xué)高三月考)已知拋物線f=4y上一點A的縱坐標為4,則點A到拋物線焦點的

距離為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

拋物線*2=4y焦點在y軸上，開口向上，所以焦點坐標為(0,1),準線方程為丁=-1,因為點A的縱坐標

為4,所以點A到拋物線準線的距離為4+1=5,因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所

以點A與拋物線焦點的距離為5.

5.(2020?定遠縣育才學(xué)校高二月考(文))已知拋物線尸=2「“伽>0)的準線經(jīng)過點(一1,1)，則拋物線焦

點坐標為()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

【答案】B

【解析】

由拋物線y。=2px(p>0消準線x=—與，因為準線經(jīng)過點(-L1),所以p=2,

所以拋物線焦點坐標為(L0),故答案選B

6.(2020?江蘇省泰州中學(xué)高二開學(xué)考試)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為/,且/過點

(一2,3)，“在拋物線C上,若點N(l,2),則|MN|+|M/|的最小值為

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】

由題可得,/:%=—2.

由拋物線的定義可知,|MR|=XM+2,

所以+=|肱V|+5+221+2=3.故選B.

7.(2020.湖北省高三月考(理))已知拋物線。：丁=20，(0>0)的準線/與圓(x-1)2+(y-2)2=16

切，則，=()

A.6B.8C.3D.4

【答案】D

【解析】

因為拋物線C：f=2py的準線為)，=-],

又準線/與圓例：(x—Ip+(y—2)2=16相切，

所以5+2=4,則p=4.

故選D

8.(2020.天津高三一模)已知拋物線與f=2py(p>0)的焦點間的距離為2,則。的值為()

A.B.4C.6D.12

【答案】A

【解析】

拋物線>2=?的焦點坐標為(1,0),拋物線x2=2py(p>0)的焦點坐標為(0,3

由已知條件可得小一%(。/)=2，P>0,解得p=2石.

故選：A.

9.(2020?陜西省西安市遠東一中高二期末(理))己知拋物線C:%2=6y的焦點為/直線/與拋物線C交

于AB兩點，若AB中點的縱坐標為5,則|AF|+|BF|=()

A.8B.11C.13D.16

【答案】C

【解析】

拋物線C：d=6y中p=3,

設(shè)點A(xi,yi),B(X2,”)，

由拋物線定義可得：|AF]+|8F]=yi+y2+p=yi+y2+3,

又線段AB中點M的橫坐標為上好=5,

2

.?.%+%=10,

，|AF|+18fl=13；

故選：C.

10.（2020?山東省青島第一中學(xué)高三月考）己知拋物線C：/=12x的焦點為F,A為C上一點且在第一

象限，以尸為圓心，E4為半徑的圓交C的準線于8,O兩點，且A，F(xiàn),8三點共線，則|Ab|=（）

A.16B.10

C.12D.8

【答案】C

【解析】

因為A，F(xiàn)，B三點共線，所以AB為圓產(chǎn)的直徑，AD1BD.

由拋物線定義知IAO|=|Ab|=；||,所以ZABD=3Q°.因為F到準線的距離為6,

所以|AF|HBF|=2x6=12.

故選：C.

二、多選題

11.（2019.遼寧省高二期末）已知拋物線r=2Px（p>0）上一點M到其準線及對稱軸的距離分別為10和

6,則P的值可?。ǎ?/p>

A.1B.2C.9D.18

【答案】BD

【解析】

設(shè)"（%,為），所以有為2=2。%,由點〃到其準線及對稱軸的距離分別為10和6,所以有5+^=1°，

媼=2px°

|%|=6，所以有，x0+-^=10=>“2_20〃+36=On〃=2或.=18.

卜o|=6

故選：BD

12.（2020.山東省高三開學(xué)考試）已知拋物線V=2pyS>0）的焦點為凡過點F的直線/交拋物線于A,B

兩點，以線段AB為直徑的圓交x軸于M,N兩點，設(shè)線段AB的中點為0.若拋物線C上存在一點EQ,2）

到焦點尸的距離等于3.則下列說法正確的是（）

A.拋物線的方程是f=2yB.拋物線的準線是y=-l

C.sinNQMN的最小值是‘D.線段AB的最小值是6

2

【答案】BC

【解析】

拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點為得拋物線的準線方程為y=-^,

點E（f,2）到焦點尸的距離等于3,可得2+5=3,解得〃=2,

則拋物線。的方程為f=4y,準線為y=-l,故A錯誤，B正確；

由題知直線/的斜率存在，F(xiàn)（0,1）,

設(shè)A（ay）,5（林%），直線/的方程為丁=丘+1，

y=kx+\

由《2,>消去丁得/一4代一4=0，

[x=4y

所以玉+々=4左，xtx2=-4,

所以Y+%=攵（玉+W）+2=4公+2，所以A8的中點。的坐標為（2匕2公+1）,

|的=凹+）‘2+P=4%2+2+2=4公+4,故線段A8的最小值是4,即O錯誤；

所以圓。的半徑為廠=2公+2，

在等腰口。用'中，sin/QMN=^=^U^=l-―^->1-1=1.

r2左2+22k2+222

當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)左=0時取等號，

所以sinNQMN的最小值為即C正確，

2

故選：BC.

13.（2019?山東省高二期中）已知拋物線C：丁=2〃*（〃>0）的焦點為尸，直線的斜率為由且經(jīng)過點尸，

直線/與拋物線C交于點A，8兩點（點A在第一象限）、與拋物線的準線交于點。，若|AF|=4,則以下

結(jié)論正確的是（）

A.p=2B./為A￡）中點C.|B￡）|=2|fiF|D.怛尸|=2

【答案】ABC

【解析】

如圖所示：作AC_L準線于C,40，》軸于加，BE1準線于E.

直線的斜率為G，故tanNAFM=/，ZAFM=|,|AF|=4,故|"曰=2,卜白.

4（_|+2,2百），代入拋物線得到p=2；

\NF\^\FM\^2,故△AM/MA。2,故尸為AT>中點；

ZBDE=-,故網(wǎng)=2閾=2網(wǎng);

6

\BD\=2\BF\,+|BF|=\DF\=IAF|=4,故忸F|=；

故選：ABC.

三、填空題

14.（2020?黑龍江省鐵人中學(xué)高二月考（文））設(shè)拋物線y=-2X?上一點尸到x軸的距離是4,則點P到該

拋物線焦點的距離是.

33

【答案】

【解析】

拋物線方程的標準形式為：/=_￡,準線方程為y=三，

山拋物線的定義得：點p到該拋物線焦點的距離等于點P到準線y的距離d，

O

13333

因為點尸到石軸的距離是4,所以d=4+j=M，故填：V

888

15.（2019?黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考（理））拋物線>=以2的準線方程是y=2,則。=

【答案】

【解析】

拋物線y=ax2的標準方程為X2=-y,

a

則aVO且2=—」-,

4a

得a=一

8

16.（2020?北京高三其他）如果拋物線y2=2px上一點A（4,m）到準線的距離是6,那么加=.

【答案】±40

【解析】

拋物線y2=2px的準線方程為％=一與，

由題意得4+2=6,解得p=4.

2

?.?點A（4,m）在拋物線y2=2px±,

m2=2x4x41m=+4-^2,

故答案為：±40.

17.（2019?浙江省諸暨中學(xué)高三一模）拋物線J/=4x的焦點尸坐標為,過戶的直線交拋物線丁=以

于A、8兩點，若~AF=2FB，則A點坐標為.

【答案】（1,0）（2,±20）

【解析】

拋物線/=4x的焦點F的坐標為（1,0）；

設(shè)點A（%，y）,BQ2,%），設(shè)直線AB的方程為*=加>'+1，

AF=（l-%l,-y1）,EBE/T%），由^^2而得一X=2%，，乂=-2%，

聯(lián)立J2_1，消去%得y-4沖一4=0,.?.、%二-4,

、yX

所以J"必二"，解得也④，..%=2，

E=-2%4

因此，點A的坐標為（2,±20）.

故答案為：（1,0）；（2,±272）.

四、解答題

2

18.（2020.四川省閩中中學(xué)高二月考（文））已知拋物線V=i2x,雙曲線2v_=匕它們有一個共同的

m

焦點.

求：（1）機的值及雙曲線的離心率；

（2）拋物線的準線方程及雙曲線的漸近線方程.

【答案】（1）m=8,e=3；（2）準線方程為x=—3,漸近線方程為y=±2&x

【解析】

（1）拋物線/=12”的焦點為（3,0）,

v2

由雙曲線x?--一=1（"?>0），可得1+機=9,解得〃2=8,

m

雙曲線的a=1,。=3,則e=—=3；

（2）拋物線V=12x的準線方程為x=—3,雙曲線/一21=1的漸近線方程

19.（2019?鳳陽縣第二中學(xué)高二期中（文））拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（4,4）,焦點為F.

（1）求拋物線的焦點坐標和標準方程；

（2）P是拋物線上一動點，M是PF的中點，求M的軌跡方程.

【答案】（1）拋物線標準方程為：y2=4x,焦點坐標為F（1,0）；（2）M的軌跡方程為y2=2x-1.

【解析】

（1）拋物線頂點在原點，焦點在X軸上，且過點（4,4）,

設(shè)拋物線解析式為y2=2px,把（4,4）代入，得，16=2x4p,Ap=2

???拋物線標準方程為：y2=4x,焦點坐標為F（1,0）

（2）設(shè)M（x,y）,P（xo,yo）,F（1,0）,M是PF的中點，則xo+l=2x,0+yo=“2y”

/.xo=2x-1,yo=2y

P是拋物線上一動點，yo2=4xo

（2y）2=4（2x-1）,化簡得，y2=2x-1.

AM的軌跡方程為y2=2x-1.

20.（2020?安徽省高二期末（文））已知拋物線C:y2=2px（〃>0）上的點/（5,加）到焦點廠的距離為6.

（1）求。,根的值；

（2）過點尸（2,1）作直線/交拋物線。于A5兩點，且點尸是線段AB的中點，求直線/方程.

【答案】（1）P=2,m=±2y[^;（2）2x—y—3=0.

【解析】

（1）由拋物線焦半徑公式知：目=5+5=6,解得：〃=2,

:.C:y2=4x,,-.m2=5x4=20,解得：加=±2石.

（2）設(shè)A（石,y）,8（%,%），

則>；二?,兩式作差得：5+必）。_%）=4（玉―/），

〔為=4%

.4

..k勺一—,

?.?P(2,l)為AB的中點，，%+%=2，，M=2,

二直線/的方程為：y—1=2(%-2),即2x—y-3=0.

21.(2020?河南省實驗中學(xué)高三二模(文))過點P(-4,0)的動直線/與拋物線C:/=2py(p>0)相交于。、

E兩點，已知當(dāng)/的斜率為:時，PE=4PD

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)DE的中垂線在>軸上的截距為從求6的取值范圍.

【答案】⑴f=4y；⑵b>2

【解析】

(1)由題意可知，直線/的方程為y=；(x+4),

與拋物線方程C：x2=2py(p>0)方程聯(lián)立可得，

2y2_(8+p)y+8=0,

設(shè)￡)(%1，〉1),￡(工2，%)，由韋達定理可得，

8+PA

因為屋=4所在=(々+4,%)，赤=(玉+4,y)，

所以%=4必,解得％=1,必=4,0=2,

所以拋物線C的方程為f=4y；

(2)設(shè)/:y=%(%+4).OE1的中點為(%0,%),

X2=4y

由<,/八，消去》可得f-4右一16左=0,

y=k(x+4)

所以判別式△=16公+64%>0，解得左<~4或左>0.

由韋達定理可得，玉)=)2

'"；"=2k,%=k(x0+4=2k+4k,

所以。E的中垂線方程為y-2%2-4Z:=—J(x—2A),

K

令x=0則6=丁=2父+4左+2=2(左+11，

因為左或攵>0,所以匕>2即為所求.

22.（2020?廣東省高二期末）已知直線尤=4與拋物線C:/=2px（p>0）相交于A,2兩點，且口。45

是等腰直角三角形.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直