人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析學案3：章末復習課

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1章末復習課知識網(wǎng)絡考點突破一、變量的相關性1．變量的相關關系與樣本相關系數(shù)是學習一元線性回歸模型的前提和基礎，前者可借助散點圖從直觀上分析變量間的相關性，后者從數(shù)量上準確刻化了兩個變量的相關程度．2．在學習該部分知識時，體會直觀想象和數(shù)學運算的素養(yǎng)．例1.已知變量x和y滿足關系y＝－2x＋1，變量y與z正相關，下列結論中正確的是()A．x與y正相關，x與z負相關B．x與y正相關，x與z正相關C．x與y負相關，x與z負相關D．x與y負相關，x與z正相關反思感悟變量相關性的判斷的兩種方法(1)散點圖法：直觀形象．(2)公式法：可用公式精確計算，需注意特殊情形的樣本相關系數(shù)．如點在一條直線上，|r|＝1，且當r＝1時，正相關；r＝－1時，負相關．跟蹤訓練1.下列兩個變量具有相關關系且不是函數(shù)關系的是()A．圓的半徑與面積B．勻速行駛的車輛的行駛距離與時間C．莊稼的產(chǎn)量與施肥量D．人的身高與視力二、一元線性回歸模型及其應用1．該知識點是具有線性相關關系的兩變量的一種擬合應用，目的是借助函數(shù)的思想對實際問題做出預測和分析．2．主要培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例2.在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕刻線試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間的一組觀察值如下表.x(s)5101520304050607090120y(μm)610101316171923252946(1)畫出散點圖；(2)求y對x的線性回歸方程；(3)利用線性回歸方程預測時間為100s時腐蝕深度為多少．反思感悟解決回歸分析問題的一般步驟(1)畫散點圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖．(2)判斷變量的相關性并求經(jīng)驗回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關關系；在此基礎上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出經(jīng)驗回歸方程．(3)回歸分析．畫殘差圖或計算R2，進行殘差分析．(4)實際應用．依據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程解決實際問題．跟蹤訓練2.圖是某地區(qū)2004年至2020年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預測該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2004年至2020年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2014年至2020年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．三、非線性經(jīng)驗回歸方程1．在實際問題中，并非所有的變量關系均滿足線性關系，故要選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過代數(shù)變換，把非線性問題線性化．2．體現(xiàn)數(shù)學建模的優(yōu)劣，提升數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例3.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表所示：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170體重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05試建立體重y與身高x之間的回歸方程．反思感悟非線性經(jīng)驗回歸方程的求解策略(1)本例中，y與x不是線性相關關系，但通過wi＝eq\r(xi)，轉(zhuǎn)換為w與y的線性相關關系，從而可利用線性回歸分析間接討論y與x的相關關系．(2)可線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，選擇跟散點圖擬合得最好的函數(shù)模型進行變量代換，作出變換后樣本點的散點圖，用線性回歸模型擬合．跟蹤訓練3.某機構為研究某種圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的關系，收集了一些數(shù)據(jù)并進行了初步處理，得到了下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(u,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))15.253.630.2692085.5－230.30.7877.049表中ui＝eq\f(1,xi)，eq\o(u,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))ui.(1)根據(jù)散點圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋eq\f(d,x)哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結果精確到0.01)；(3)若該圖書每冊的定價為10元，則至少應該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于78840元？(假設能夠全部售出．結果精確到1)附：對于一組數(shù)據(jù)(w1，v1)，(w2，v2)，…，(wn，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))w的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（wi－eq\o(w,\s\up6(－))）（vi－eq\o(v,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（wi－eq\o(w,\s\up6(－))）2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(w,\s\up6(－)).四、獨立性檢驗1．主要考查根據(jù)樣本制作2×2列聯(lián)表，由2×2列聯(lián)表計算χ2，查表分析并判斷相關性結論的可信程度．2．通過計算χ2值，進而分析相關性結論的可信程度，提升數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．例4.某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人飲食指數(shù)，如圖所示．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)(1)根據(jù)莖葉圖，幫助這位同學說明其親屬30人的飲食習慣；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如表所示的2×2列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類總計50歲以下50歲以上總計(3)是否有99%的把握認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關”？并寫出簡要分析．反思感悟獨立性檢驗問題的求解策略(1)等高堆積條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高堆積條形圖，依據(jù)頻率差異來粗略地判斷兩個變量的相關性．(2)通過公式χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))先計算χ2，再與臨界值表作比較，最后得出結論．跟蹤訓練4.某校數(shù)學課外興趣小組為研究數(shù)學成績是否與性別有關，先統(tǒng)計本校高三年級每個學生一學期數(shù)學成績的平均分(采用百分制)，剔除平均分在30分以下的學生后，共有男生300名，女生200名．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，按性別分為兩組，并將兩組學生成績分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表．分數(shù)段〖40，50)〖50，60)〖60，70)〖70，80)〖80，90)〖90，100〗男39181569女64510132(1)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)，從計算結果看，數(shù)學成績與性別是否有關；(2)規(guī)定80分以上為優(yōu)秀(含80分)，請你根據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為數(shù)學成績與性別有關．優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生女生合計100鞏固提升訓練1．對兩個變量進行獨立性檢驗的主要作用是()A．判斷模型的擬合效果B．對兩個變量進行相關分析C．給出兩個變量有關系的可靠程度D．估計預報變量的平均值2．某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)3．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠．在照射14天內(nèi)的結果如表所示：死亡存活總計第一種劑量141125第二種劑量61925總計203050進行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設是________．4．為了對新產(chǎn)品進行合理定價，對該產(chǎn)品進行了試銷試驗，以觀察需求量y(單位：千件)對于價格x(單位：千元)的反應，得數(shù)據(jù)如下：x5070804030909597y1008060120135555048若y與x之間具有線性相關關系，求線性回歸方程．5．在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表；(2)判斷性別與休閑方式是否有關系．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁例1.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，變量x和y滿足關系y＝－2x＋1，其比例系數(shù)為－2<0，所以x與y負相關；又由變量y與z正相關，則x與z負相關．故選C.跟蹤訓練1.〖答案〗C〖解析〗對于A，圓的半徑與面積是確定的關系，是函數(shù)關系；對于B，勻速行駛的車輛的行駛距離與時間是確定的關系，是函數(shù)關系；對于C，莊稼的產(chǎn)量與施肥量在一定范圍內(nèi)有相關關系，不是函數(shù)關系；對于D，人的身高與視力，不具有相關關系，也不是函數(shù)關系．故選C.方法二觀察四個點，發(fā)現(xiàn)其在一條單調(diào)遞減的直線上，故y與x的樣本相關系數(shù)為－1例2.解：(1)散點圖如圖所示．(2)從散點圖中，我們可以看出y對x的樣本點分布在一條直線附近，因而求回歸直線方程有意義．x＝eq\f(1,11)(5＋10＋15＋…＋120)＝eq\f(510,11)，y＝eq\f(1,11)(6＋10＋10＋…＋46)＝eq\f(214,11)，≈0.304.a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈eq\f(214,11)－0.304×eq\f(510,11)＝5.36.故腐蝕深度對腐蝕時間的線性回歸方程為y＝0.304x＋5.36.(3)根據(jù)(2)求得的線性回歸方程，當腐蝕時間為100s時，y＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蝕時間為100s時腐蝕深度大約為35.76μm.跟蹤訓練2.解：(1)利用模型①，該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)．利用模型②，該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預測值更可靠．理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2004年至2020年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2004年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2014年相對2013年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2014年至2020年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2014年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2014年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2014年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠．(ⅱ)從計算結果看，相對于2020年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠．例3.解：根據(jù)已知表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示．由圖可看出，樣本點分布在某條指數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是可令z＝lny，那么有x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出上表中數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示：由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的線性回歸方程為z＝0.693＋0.020x，即y與x之間的回歸方程為y＝e0.693＋0.020x.跟蹤訓練3.解：(1)由散點圖判斷，y＝c＋eq\f(d,x)更適合作為該圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的回歸方程．(2)令u＝eq\f(1,x)，先建立y關于u的線性回歸方程，由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))（ui－eq\o(u,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))（ui－eq\o(u,\s\up6(－))）2)＝eq\f(7.049,0.787)≈8.957≈8.96，所以eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(d,\s\up6(^))·eq\o(u,\s\up6(－))＝3.63－8.957×0.269≈1.22，所以y關于u的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋8.96u，所以y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋eq\f(8.96,x).(3)假設印刷x千冊，依題意得10x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.22＋\f(8.96,x)))x≥78.840，所以x≥10，所以至少印刷10000冊才能使銷售利潤不低于78840元．例4.解：(1)30位親屬中50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉為主．(2)2×2列聯(lián)表如表所示：主食蔬菜主食肉類總計50歲以下481250歲以上16218總計201030(3)χ2＝eq\f(30×（8－128）2,12×18×20×10)＝eq\f(30×120×120,12×18×20×10)＝10>6.635，故有99%的把握認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關”．跟蹤訓練4.解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，eq\o(x,\s\up6(－))女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，因為eq\o(x,\s\up6(－))男＝eq\o(x,\s\up6(－))女，所以從男、女生各自的平均分來看，并不能判斷數(shù)學成績與性別是否有關．(2)由頻數(shù)分布表可知，在抽取的100名學生中，“男生組”中數(shù)學成績優(yōu)秀的有15人，“女生組”中數(shù)學成績優(yōu)秀的有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生154560女生152540合計3070100可得χ2＝eq\f(100×（15×25－15×45）2,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79，因為