人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析學(xué)案3：章末復(fù)習(xí)課

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)突破一、變量的相關(guān)性1．變量的相關(guān)關(guān)系與樣本相關(guān)系數(shù)是學(xué)習(xí)一元線性回歸模型的前提和基礎(chǔ)，前者可借助散點(diǎn)圖從直觀上分析變量間的相關(guān)性，后者從數(shù)量上準(zhǔn)確刻化了兩個(gè)變量的相關(guān)程度．2．在學(xué)習(xí)該部分知識(shí)時(shí)，體會(huì)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．例1.已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－2x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)反思感悟變量相關(guān)性的判斷的兩種方法(1)散點(diǎn)圖法：直觀形象．(2)公式法：可用公式精確計(jì)算，需注意特殊情形的樣本相關(guān)系數(shù)．如點(diǎn)在一條直線上，|r|＝1，且當(dāng)r＝1時(shí)，正相關(guān)；r＝－1時(shí)，負(fù)相關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1.下列兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系且不是函數(shù)關(guān)系的是()A．圓的半徑與面積B．勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間C．莊稼的產(chǎn)量與施肥量D．人的身高與視力二、一元線性回歸模型及其應(yīng)用1．該知識(shí)點(diǎn)是具有線性相關(guān)關(guān)系的兩變量的一種擬合應(yīng)用，目的是借助函數(shù)的思想對(duì)實(shí)際問(wèn)題做出預(yù)測(cè)和分析．2．主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例2.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間x之間的一組觀察值如下表.x(s)5101520304050607090120y(μm)610101316171923252946(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求y對(duì)x的線性回歸方程；(3)利用線性回歸方程預(yù)測(cè)時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度為多少．反思感悟解決回歸分析問(wèn)題的一般步驟(1)畫散點(diǎn)圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖．(2)判斷變量的相關(guān)性并求經(jīng)驗(yàn)回歸方程．通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，直觀感知兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．(3)回歸分析．畫殘差圖或計(jì)算R2，進(jìn)行殘差分析．(4)實(shí)際應(yīng)用．依據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程解決實(shí)際問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練2.圖是某地區(qū)2004年至2020年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2004年至2020年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2014年至2020年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由．三、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程1．在實(shí)際問(wèn)題中，并非所有的變量關(guān)系均滿足線性關(guān)系，故要選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過(guò)代數(shù)變換，把非線性問(wèn)題線性化．2．體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的優(yōu)劣，提升數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例3.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表所示：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170體重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05試建立體重y與身高x之間的回歸方程．反思感悟非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解策略(1)本例中，y與x不是線性相關(guān)關(guān)系，但通過(guò)wi＝eq\r(xi)，轉(zhuǎn)換為w與y的線性相關(guān)關(guān)系，從而可利用線性回歸分析間接討論y與x的相關(guān)關(guān)系．(2)可線性化的回歸分析問(wèn)題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，選擇跟散點(diǎn)圖擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換，作出變換后樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，用線性回歸模型擬合．跟蹤訓(xùn)練3.某機(jī)構(gòu)為研究某種圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(u,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))15.253.630.2692085.5－230.30.7877.049表中ui＝eq\f(1,xi)，eq\o(u,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))ui.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋eq\f(d,x)哪一個(gè)模型更適合作為該圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01)；(3)若該圖書每?jī)?cè)的定價(jià)為10元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于78840元？(假設(shè)能夠全部售出．結(jié)果精確到1)附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(w1，v1)，(w2，v2)，…，(wn，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))w的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（wi－eq\o(w,\s\up6(－))）（vi－eq\o(v,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（wi－eq\o(w,\s\up6(－))）2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(w,\s\up6(－)).四、獨(dú)立性檢驗(yàn)1．主要考查根據(jù)樣本制作2×2列聯(lián)表，由2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2，查表分析并判斷相關(guān)性結(jié)論的可信程度．2．通過(guò)計(jì)算χ2值，進(jìn)而分析相關(guān)性結(jié)論的可信程度，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．例4.某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人飲食指數(shù)，如圖所示．(說(shuō)明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)(1)根據(jù)莖葉圖，幫助這位同學(xué)說(shuō)明其親屬30人的飲食習(xí)慣；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如表所示的2×2列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下50歲以上總計(jì)(3)是否有99%的把握認(rèn)為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”？并寫出簡(jiǎn)要分析．反思感悟獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的求解策略(1)等高堆積條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高堆積條形圖，依據(jù)頻率差異來(lái)粗略地判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性．(2)通過(guò)公式χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))先計(jì)算χ2，再與臨界值表作比較，最后得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練4.某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān)，先統(tǒng)計(jì)本校高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分(采用百分制)，剔除平均分在30分以下的學(xué)生后，共有男生300名，女生200名．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，按性別分為兩組，并將兩組學(xué)生成績(jī)分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表．分?jǐn)?shù)段〖40，50)〖50，60)〖60，70)〖70，80)〖80，90)〖90，100〗男39181569女64510132(1)估計(jì)男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)，從計(jì)算結(jié)果看，數(shù)學(xué)成績(jī)與性別是否有關(guān)；(2)規(guī)定80分以上為優(yōu)秀(含80分)，請(qǐng)你根據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān)．優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生女生合計(jì)100鞏固提升訓(xùn)練1．對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的主要作用是()A．判斷模型的擬合效果B．對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)分析C．給出兩個(gè)變量有關(guān)系的可靠程度D．估計(jì)預(yù)報(bào)變量的平均值2．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)3．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠．在照射14天內(nèi)的結(jié)果如表所示：死亡存活總計(jì)第一種劑量141125第二種劑量61925總計(jì)203050進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是________．4．為了對(duì)新產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行了試銷試驗(yàn)，以觀察需求量y(單位：千件)對(duì)于價(jià)格x(單位：千元)的反應(yīng)，得數(shù)據(jù)如下：x5070804030909597y1008060120135555048若y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程．5．在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁例1.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，變量x和y滿足關(guān)系y＝－2x＋1，其比例系數(shù)為－2<0，所以x與y負(fù)相關(guān)；又由變量y與z正相關(guān)，則x與z負(fù)相關(guān)．故選C.跟蹤訓(xùn)練1.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，圓的半徑與面積是確定的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；對(duì)于B，勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間是確定的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；對(duì)于C，莊稼的產(chǎn)量與施肥量在一定范圍內(nèi)有相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；對(duì)于D，人的身高與視力，不具有相關(guān)關(guān)系，也不是函數(shù)關(guān)系．故選C.方法二觀察四個(gè)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其在一條單調(diào)遞減的直線上，故y與x的樣本相關(guān)系數(shù)為－1例2.解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)從散點(diǎn)圖中，我們可以看出y對(duì)x的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因而求回歸直線方程有意義．x＝eq\f(1,11)(5＋10＋15＋…＋120)＝eq\f(510,11)，y＝eq\f(1,11)(6＋10＋10＋…＋46)＝eq\f(214,11)，≈0.304.a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈eq\f(214,11)－0.304×eq\f(510,11)＝5.36.故腐蝕深度對(duì)腐蝕時(shí)間的線性回歸方程為y＝0.304x＋5.36.(3)根據(jù)(2)求得的線性回歸方程，當(dāng)腐蝕時(shí)間為100s時(shí)，y＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蝕時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度大約為35.76μm.跟蹤訓(xùn)練2.解：(1)利用模型①，該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)．利用模型②，該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2004年至2020年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說(shuō)明利用2004年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2014年相對(duì)2013年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2014年至2020年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2014年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2014年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2014年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．例3.解：根據(jù)已知表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示．由圖可看出，樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是可令z＝lny，那么有x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出上表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示：由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的線性回歸方程為z＝0.693＋0.020x，即y與x之間的回歸方程為y＝e0.693＋0.020x.跟蹤訓(xùn)練3.解：(1)由散點(diǎn)圖判斷，y＝c＋eq\f(d,x)更適合作為該圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的回歸方程．(2)令u＝eq\f(1,x)，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))（ui－eq\o(u,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))（ui－eq\o(u,\s\up6(－))）2)＝eq\f(7.049,0.787)≈8.957≈8.96，所以eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(d,\s\up6(^))·eq\o(u,\s\up6(－))＝3.63－8.957×0.269≈1.22，所以y關(guān)于u的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋8.96u，所以y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋eq\f(8.96,x).(3)假設(shè)印刷x千冊(cè)，依題意得10x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.22＋\f(8.96,x)))x≥78.840，所以x≥10，所以至少印刷10000冊(cè)才能使銷售利潤(rùn)不低于78840元．例4.解：(1)30位親屬中50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉為主．(2)2×2列聯(lián)表如表所示：主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下481250歲以上16218總計(jì)201030(3)χ2＝eq\f(30×（8－128）2,12×18×20×10)＝eq\f(30×120×120,12×18×20×10)＝10>6.635，故有99%的把握認(rèn)為“其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)”．跟蹤訓(xùn)練4.解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，eq\o(x,\s\up6(－))女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))男＝eq\o(x,\s\up6(－))女，所以從男、女生各自的平均分來(lái)看，并不能判斷數(shù)學(xué)成績(jī)與性別是否有關(guān)．(2)由頻數(shù)分布表可知，在抽取的100名學(xué)生中，“男生組”中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有15人，“女生組”中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生154560女生152540合計(jì)3070100可得χ2＝eq\f(100×（15×25－15×45）2,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79，因?yàn)?/p>