理論力學(xué)-課件第3章

第3章

空間力系本章內(nèi)容1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

2力對軸的矩與力對點(diǎn)的矩

3空間力系的平衡方程式及其應(yīng)用

4平行力系的中心與重心當(dāng)物體所受的力，其作用線不在同一平面而呈空間分布時，稱為空間力系。在工程實(shí)際中，有許多問題都屬于這種情況。如圖3-1所示，車床主軸受切削力、、和齒輪上的圓周力、徑向力以及軸承A、B處的約束力，這些力構(gòu)成一組空間力系。如圖3-1第一節(jié)力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影一、直接投影法若一力的作用線與x，y，z軸對應(yīng)的夾角已經(jīng)給定，如圖3-2（a）所示，則可直接將力向三個坐標(biāo)軸投影，得圖3-2式中：，，——分別為力

與x，y，z三坐標(biāo)軸間的夾角。二、二次投影法當(dāng)力與坐標(biāo)軸x，y間的夾角不易確定時，可先將力投影到Oxy坐標(biāo)平面上，得一力向x，y軸上投影，如圖3-2（b）所示。若

為力與z軸間的夾角，

為

與x軸間的夾角，則力

在三個坐標(biāo)軸上的投影為圖3-2（b）如果力

的大小、方向是已知的，則它在選定的坐標(biāo)系的三個軸上的投影是確定的；反過來，如果已知力

在三個坐標(biāo)軸上的投影

，

，

的值，則力

的大小與方向也就被唯一地確定了，它的大小為其方向余弦為一、力對軸的矩第二節(jié)力對軸的矩與力對點(diǎn)的矩一力使物體繞某一定軸轉(zhuǎn)動，其效應(yīng)通常以此力對該軸的矩來度量，稱為力對軸的矩。圖3-3歸納：當(dāng)力作用線與旋轉(zhuǎn)軸共面時，不可能使物體繞該軸轉(zhuǎn)動。如果力

垂直于門且不通過轉(zhuǎn)動軸，就能使門轉(zhuǎn)動；而且這個力越大，或其作用線與轉(zhuǎn)動軸的距離越遠(yuǎn)，這個轉(zhuǎn)動效應(yīng)就越顯著。圖3-3因此，可以用力

的大小與上述距離的乘積來度量力

對剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，再用不同的正、負(fù)號來區(qū)別不同的轉(zhuǎn)動方向，此即力對軸的矩的概念。如圖3-4所示，將力

分解為兩個分力

和

，力

平行于z軸，力

位于通過力

的作用點(diǎn)A且與z軸垂直的平面E內(nèi)。圖3-4力

對z軸的轉(zhuǎn)動效應(yīng)完全由分力

決定因此，力對軸之矩為力在垂直于該軸的平面上的分力對于該軸與平面交點(diǎn)之矩。力

對z軸的矩，定義為式中，O點(diǎn)為平面E與z軸的交點(diǎn)；d為O點(diǎn)到力

作用線的距離。力對軸的矩是一個代數(shù)量，其單位是N·m。從力對軸的矩的定義可知：（1）當(dāng)力與軸平行時（

）或力作用線與軸相交時（

），

力對軸的矩均為零。（2）當(dāng)力沿其作用線移動時，力對軸的矩不變。這是因?yàn)榇藭r

及

均未改變。合力矩定理

空間力系的合力對某一軸的矩，等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。設(shè)有空間一般力系（）

，其合力為，則合力矩定理為設(shè)有一力，其作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為

，如圖3-5所示。為求力

對z軸的矩，可將力

向x，y，z三個坐標(biāo)軸上投影，分別記為

，

，

，而

為力

在

坐標(biāo)面內(nèi)的分力。根據(jù)力對軸之矩的定義，對于z軸的矩等于

對于O點(diǎn)的矩，即根據(jù)平面力系的知識及合力矩定理，有于是如圖3-5同理，可計(jì)算力對x軸及對y軸的矩。因此，力

對x，y，z軸的矩分別為（3-6）式（3-6）即為力對軸之矩的解析表達(dá)式。注意式中力

的投影

，

，

和力

的作用點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z都是代數(shù)量。例3-1托架固連在軸上，載荷

，方向如圖3-6（a）所示，求力

對直角坐標(biāo)系

各軸之矩。圖中長度單位是cm。3-6（a）由圖3-6（b）可得解

（1）求方向余弦圖3-6（b）（2）計(jì)算力在各坐標(biāo)軸上的投影（3）計(jì)算力在各坐標(biāo)軸的矩力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)是，，因此，利用式（3-6）求得力對各坐標(biāo)軸的矩為二、力對點(diǎn)的矩矢研究力使剛體繞矩心轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，需要引入力對點(diǎn)的矩矢的概念，它取決于力與矩心所構(gòu)成平面的方位、力矩在該平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向、力矩的大小這三個因素。因此，對于空間力系，力對點(diǎn)的矩可用一矢量來表示，稱為力矩矢。設(shè)有一力（用矢量

表示）及矩心O，如圖3-7所示，點(diǎn)O到力

作用線的距離為d。用

來表示力

對O點(diǎn)的矩，其大小為圖3-7力矩與矩心位置有關(guān)，應(yīng)以矩心作為起始點(diǎn)。所以力矩矢是定位矢。如果以表示矩心O到力

作用點(diǎn)A的矢徑，由矢量代數(shù)得知，矢量積

也是一個矢量，其大小等于

面積的兩倍，其方向垂直于

與

所決定的平面，其指向符合右手螺旋法則，因此（3-7）即力對點(diǎn)的矩矢等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。若以矩心O為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系，如圖3-8所示，則與分別表示為圖3-8代入式（3-7），可得（3-8）式中：，，，

——A點(diǎn)坐標(biāo)；，，—分別為力

在三個坐標(biāo)軸上的投影。三、力對點(diǎn)的矩與力對通過該點(diǎn)的軸的矩之間的關(guān)系由式（3-8）可知，力矩矢在三個坐標(biāo)軸上的投影為（3-9）將式（3-9）與式（3-6）比較，可得（3-10）由此可得出結(jié)論：力對某一點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于此力對該軸的矩。第三節(jié)

空間力系的平衡方程式及其應(yīng)用一、空間一般力系向一點(diǎn)的簡化設(shè)有空間任意力系，分別作用在剛體的

各點(diǎn)上，如圖3-9所示。在剛體上取任意一點(diǎn)O為簡化中心，將各力向O點(diǎn)平移，可得到一個在O點(diǎn)的空間匯交力系和一個空間附加力偶系。與平面力系類似，該匯交力系可合成為一個作用于O點(diǎn)的力，等于各力的矢量和。即（3-11）圖3-9附加力偶系可合成為一個空間力偶，其力偶矩，等于各附加力偶矩的矢量和，亦即等于原力系中各力對于簡化中心O的矩的矢量和。稱為原力系的主矢，稱為原力系對簡化中心O的主矩矢。如圖3-10所示圖3-10結(jié)論：空間任意力系向一點(diǎn)（簡化中心）簡化的結(jié)果一般可得一個力和一個力偶，該力作用于簡化中心，等于原力系中各力的矢量和，稱為原力系的主矢；該力偶的矩等于原力系中各力對簡化中心的矩的矢量和，稱為原力系對簡化中心的主矩矢。若用解析法來計(jì)算力系的主矢和主矩矢，可在簡化中心O點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由式（3-11）可得主矢在各坐標(biāo)軸上的投影為（3-13）且（3-14）將式（3-12）向各坐標(biāo)軸投影，并注意到力對點(diǎn)之矩與力對軸之矩間的關(guān)系，則得（3-15）且（3-16）二、空間任意力系的平衡方程及應(yīng)用從力系的簡化結(jié)果來分析力系的平衡條件?？臻g任意力系向一點(diǎn)簡化的結(jié)果得到一個力和一個力偶，因此，空間任意力系處于平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和力系對于任意點(diǎn)的主矩矢都等于零。即根據(jù)式（3-14）和式（3-16），上述條件可寫成（3-17）空間任意力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力在任一直角坐標(biāo)系中每一軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及各力對每一軸的矩的代數(shù)和也等于零?？臻g任意力系是物體受力的最一般情況，其他類型的力系都可以認(rèn)為是空間任意力系的特殊情形，因而它們的平衡方程也可由方程式（3-17）導(dǎo)出，具體如下。（1）空間匯交力系取力系的匯交點(diǎn)作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則力系中各力都通過該點(diǎn)，即與各坐標(biāo)軸相交。因此各力對坐標(biāo)軸的矩均為零，即式（3-17）中，

，，。于是，空間匯交力系的平衡方程只有三個，即（3-18）（2）空間平行力系若取z軸平行于力系中各力的作用線，則坐標(biāo)面與各力作用線垂直。因此，式（3-17）中，，，。于是，空間平行力系的平衡方程只有三個，即（3-19）（3）平面任意力系取力系的作用面為坐標(biāo)面，則力系中各力在z軸上投影均為零，各力對x，y軸的矩也為零。因此，，，于是，平面任意力系的平衡方程只有三個，即（3-20）式（3-20）與前面得出的平面任意力系的平衡方程是相同的。例3-2半圓板的半徑為r，重力為如圖3-11所示，板的重心C離圓心為

，在A，B，D三點(diǎn)用三根鉸鏈桿懸掛于固定處，使板處于水平位置。求此三根桿的內(nèi)力。圖3-11解取半圓板為研究對象。由題意，吊桿1，2，3均為二力桿，設(shè)它們均受拉力，分別記為，，，則板受

，，，四個平行力的作用，這是一個空間平行力系的問題。如圖3-11所示。根據(jù)式（3-19），有圖3-11取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，（a），（b），（c）由式（a）解得代入式（b），解得將解得的，代入式（c），得例3-3三根無重桿AB，AC，AD鉸接于點(diǎn)A，其下懸掛一物體，重力為如圖3-12所示，AB與AC等長且互相垂直，

，B，C，D處均為鉸接。求各桿所受的力。圖3-12解取節(jié)點(diǎn)A為研究對象。由于各桿自重不計(jì)，則所受的力都沿桿的軸線方向，設(shè)均為拉力，則A點(diǎn)受三桿的拉力，，和繩子的拉力

，這是一個空間匯交力系的平衡問題。取坐標(biāo)系如圖3-12所示，利用方程式（3-9），可得圖3-12由式（c）解得（注意

），（a），（b），（c）將此結(jié)果代入式（a）和式（b），可解得式中，負(fù)號表明，的實(shí)際方向與假設(shè)相反，即兩桿均受壓力。例3-4和圓盤與水平軸固連，盤垂直于z軸，盤垂直于x軸，盤面上分別作用力偶，，如圖3-13所示。已知兩半徑為，，，，不計(jì)構(gòu)件自重，試計(jì)算軸承和的約束力。解（1）取整體為研究對象，受力分析，A，B處x方向和y方向的約束力分別組成力偶，畫受力圖。（2）列平衡方程：A，B處的約束力：：：，，例3-5某車床主軸裝在軸承A與B上，如圖3-14所示，其中A為向心推力軸承（即不允許軸沿任何方向移動），B為向心軸承（即能允許沿軸向有不大的移動，故無軸向約束力）。圓柱直齒齒輪C的節(jié)圓半徑

，其下與另一齒輪嚙合，壓力角

。在軸的右端固定一半徑為

的圓柱體工件。已知

，

，

。車外圓時車刀給工件的力作用在點(diǎn)H，其中切向切削力

，軸向切削力

，徑向切削力

。試求齒輪所受的力F和兩軸承的約束力。圖3-14解取主軸連同齒輪C和工件一起作為研究對象。以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x軸在水平面內(nèi)，y軸與主軸軸線重合，z軸沿鉛垂線。這是一個空間任意力系的平衡問題，未知力有六個：，，

，，，，可利用空間任意力系的六個平衡方程求解。，（a），（b），（c），（d），（e），（f）由式（a）可解得再由式（b），得將其代入式（c），得將求得的和

值代入式（d），解得將

值代入式（e），得再將

和

值代入式（f），解得一個平衡的空間任意力系，在三個坐標(biāo)平面，，上的投影所組成的三個平面任意力系也不一定是平衡力系。因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，有平衡條件，，。在平面內(nèi)，有平衡條件，，。在平面內(nèi)，有平衡條件，，。例如，在例3-5中，可采用上述方式，將軸上各力分別向所選定的三個坐標(biāo)平面投影，得到如圖3-15所示的三個平面力系的受力圖。其中，齒輪C的嚙合力在切向和徑向上的投影分別為和。且，在這三個平面力系中，分別根據(jù)各自的平衡方程，可得與例3-5中同樣的結(jié)果。圖3-15（a）在圖3-15（a）中，由平衡方程可知，，，上述三個方程與例3-5中由，，得出的方程是一樣的。在圖3-15（c）中，有這與上例中根據(jù)，得出的結(jié)果相同。圖3-15，，同理，在圖3-15（b）中，有即為上例得出的相同的平衡方程。，圖3-15（b）應(yīng)當(dāng)特別指出的是，在畫投影圖時，必須特別注意力在三個視圖之間的關(guān)系，不要把力的方向畫錯。對空間任意力系而言，只有六個平衡方程，可用來求解六個未知量。轉(zhuǎn)化為三個平面任意力系后，如前所述，總共可列出九個平衡方程，然而，不難看出，獨(dú)立的方程數(shù)仍然只有六個，因而仍然只能求解六個未知量。第四節(jié)平行力系的中心與重心一、平行力系的中心平行力系的中心，即為平行力系合力的作用點(diǎn)。例如，兩同向平行力和分別作用在A，B兩點(diǎn)，如圖3-16所示。利用平面一般力系簡化的理論，可求得它們的合力

，其大小為

，其作用線內(nèi)分AB連線于C點(diǎn)，且有圖3-16顯然，C點(diǎn)與兩力

，

在空間的方位無關(guān)。若，按同方向轉(zhuǎn)過相同的角度

，則合力

亦轉(zhuǎn)過同一角度

，且仍通過C點(diǎn)，如圖3-16所示。圖3-16上述結(jié)論可推廣到由任意多個力組成的平行力系。這樣，便可將力系中各力逐個地順次合成，最終求得力系的合力

，

的作用點(diǎn)即為該平行力系的中心，且此點(diǎn)的位置只與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)?，F(xiàn)利用解析法確定平行力系中心的位置。取一直角坐標(biāo)系

，設(shè)有一空間平行力系

平行于z軸，各力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為

，而平行力系中心C點(diǎn)的坐標(biāo)為

，如圖3-17所示。根據(jù)合力矩定理，有，或，或再利用平行力系中心的性質(zhì)，將各力按相同轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)到與

軸平行，同理，有于是，得平行力系中心C點(diǎn)的坐標(biāo)公式為二、重心物體的重心是平行力系中心的特例。放置在地球表面附近的物體，每一部分都受到地心的重力作用，由于地球半徑比物體的尺寸大得多，因此，物體各部分所受