計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第5章-單方程模型中的其它形式

第5章單方程模型的其它形式§5.1虛擬因變量模型(5.1.1模型中設(shè)置虛擬因變量的必要性；5.1.2線性概率模型的估計(jì)方法；5.1.3非線性概率模型)§5.2滯后變量模型(5.2.1滯后變量模型的建立；5.2.2無限期分布滯后模型的估計(jì)問題；5.2.3柯克估計(jì)法；5.2.4阿爾蒙估計(jì)法)§5.3時(shí)間序列模型(5.3.1時(shí)間序列模型的一般性質(zhì)；5.3.2自回歸過程及其平穩(wěn)條件；5.3.3單位根檢驗(yàn)；5.3.4協(xié)整理論；5.3.5自回歸過程的識別和估計(jì)；)碩士生《經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)》第二講§5.1虛擬因變量模型虛擬變量作為一種變量類型，既可以作為自變量，無疑也可以作為因變量。只是虛擬變量作為因變量時(shí)，無法直接用OLS方法估計(jì)模型中的參數(shù)罷了。5.1.1模型中設(shè)置虛擬因變量的必要性在現(xiàn)實(shí)生活中，對于許多事情人們常常會(huì)持有兩種截然不同的態(tài)度，因而必然會(huì)有兩種截然不同的選擇。比如：1）在調(diào)查社會(huì)公眾對于發(fā)行公債的態(tài)度時(shí)，必然會(huì)得到“贊成”和“反對”結(jié)果，或者是取“購買”和“不購買”兩種選擇。究竟取何種態(tài)度和行為，無疑與調(diào)查對象的知識水平和收入狀況等因素有關(guān)。2）在對學(xué)齡兒童的入學(xué)率進(jìn)行考察時(shí)，無疑也只能有兩種結(jié)果，即或者“已入學(xué)(在讀)”或者“未入學(xué)(裰學(xué))”。究竟屬何種情況，無疑與所在家庭的經(jīng)濟(jì)狀況或收入水平及家庭結(jié)構(gòu)有關(guān)（在日本成年女性的就業(yè)也是如此）。3）對于耐用消費(fèi)品（比如汽車、住房等）的擁有情況進(jìn)行調(diào)查，可能的情況無疑也只能是兩種，即“有”和“沒有”。究竟屬于何種情況，顯然與個(gè)人的收入狀況有著密切的關(guān)系。4）調(diào)查某一種藥品是否有效，顯然也只能是兩種結(jié)果，即“有效”和“無效”。究竟為何者，取決于患者的病史、年齡等多種相關(guān)情況。對于上述多種情況，即可以引入二進(jìn)制變量Y，設(shè)模型的形式為：其中：k是相關(guān)因素?cái)?shù)目。顯然，在E(Ui)=0的條件下，應(yīng)有：另一方面，如果以pi表示Yi＝1的概率，則1－pi便是Yi＝0的概率，于是Yi的概率分布便是：因此，應(yīng)有：結(jié)合（5-2）和（5-3）二式，顯然應(yīng)有：這就說明，因變量Yi的條件期望可以解釋為第i個(gè)調(diào)查對象取1的概率，或者說，是第i個(gè)調(diào)查對象贊成、在讀、擁有和有效的概率。由于概率pi的數(shù)值要求必須介于0和1之間，所以Yi的條件期望必須滿足：0≤E(Yi|Xi)≤1(5-5)也正是由于Yi的條件期望具有概率含義，所以模型(5-1)就稱作為線性概率模型。由于其中的Y只取0或1，所以模型也稱作二元選擇模型。

在線性概率模型中，回歸系數(shù)通常就被解釋為當(dāng)相應(yīng)的自變量改變1個(gè)單位時(shí)，發(fā)生某件事（即因變量取1）的條件概率的變動(dòng)值。假定在模型（5-1）中，k＝1，Yi表示居民對小車的擁有情況，Xi為以萬元為單位的家庭年收入，如果β1=0.05，就意味著當(dāng)一個(gè)家庭比另一個(gè)家庭年收入多1萬元時(shí)，這個(gè)家庭擁有小汽車的機(jī)會(huì)就比另一個(gè)家庭大5％。5.1.2線性概率模型的估計(jì)方法

模型（5-1）在形式上與普通線性回歸模型沒有什么不同，因此無疑可以用OLS方法估計(jì)其中的參數(shù)。以我國2004年30個(gè)省區(qū)每百戶是否擁有1輛以上的家用汽車數(shù)據(jù)為例，顯然這一變量與該地區(qū)人均的生產(chǎn)總值有關(guān)。有關(guān)資料見表5-1。

在表5-1中人均生產(chǎn)總值單位為：萬元/人。應(yīng)用表5-1的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，得到的結(jié)果（注意：回歸結(jié)果中包括海南省的數(shù)據(jù)：2.25和0.945）如下：

顯然，回歸系數(shù)是顯著的，模型的總顯著性也是不錯(cuò)的。該模型表明，一個(gè)地區(qū)的人均生產(chǎn)總值每增加1萬元，該地區(qū)每百戶擁有一輛以上家用汽車的概率將增加21.6%。在這里，常參數(shù)為非零表明，一個(gè)地區(qū)每百戶是否擁有1輛以上的家用汽車，除了受該地區(qū)人均生產(chǎn)總值的影響以外，還受到其他因素的影響。

不過，由于Y是虛擬變量，這里存在著幾個(gè)不同于一般回歸模型的新問題。（1）隨機(jī)項(xiàng)U不服從正態(tài)分布

由于在模型（5-1）中Y是二值變量，U因而也必然為二值變量，這時(shí)對U再做正態(tài)性假定已不可能。根據(jù)（5-1）和（5-4），應(yīng)有：亦即：這就是說，對于一定的X，U只有兩種可能與之對應(yīng)。所以，U的分布一定不是連續(xù)型的正態(tài)分布。（2）隨機(jī)項(xiàng)U具有異方差性對于模型（5-1），即使E(Ui)=0，E(UiUj)=0，U的常方差性也不可能保持。我們已經(jīng)知道，U有如下分布：所以，在E(Ui)=0的條件下，應(yīng)有：顯然，由于pi對于不同的自變量Xi有不同的值，所有，U的方差必然表現(xiàn)為異方差性。在第四章我們已經(jīng)知道，異方差性將使得OLS估計(jì)量的方差增大或減小，因而將使得對參數(shù)的可靠性檢驗(yàn)結(jié)果變得不可信。所以，在采用OLS方法對線性概率模型進(jìn)行估計(jì)時(shí)，必須先處理異方差問題。處理異方差時(shí)，用Y的估計(jì)值代替p即可。（3）條件0≤E(Yi|Xi)≤1不完全滿足

由于Y只能取0或1兩個(gè)值，所以，觀測值的分布在k＝1的情況下必然如圖5-1所示。記回歸直線與直線Y＝0和Y＝1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為X0和X1，則很顯然，當(dāng)X<X0時(shí)，E(Y|X)<0；當(dāng)X>X1時(shí)，E(Y|X)>1。所以，在使用線性概率模型的情況下，通常需要規(guī)定：當(dāng)E(Y|X)<0時(shí)，Y的估計(jì)值取0；當(dāng)E(Y|X)>1時(shí)，Y的估計(jì)值取1。不過，對這一問題最好的處理辦法，是放棄線性模型，而改用對于任意自變量都能滿足要求的非線性模型。圖5-1（4）擬合優(yōu)度不可能很大由圖5-1不難看出，由于因變量是二值變量，所有觀測值均集中在橫軸和另一平行于橫軸的直線上，因而無論用什么函數(shù)來擬合這些數(shù)據(jù)，擬合優(yōu)度都不可能很大，這是線性概率模型的又一顯著特點(diǎn)。比如，在使用表5－1中數(shù)據(jù)的回歸結(jié)果中，可決系數(shù)僅為0.205。所以，在這里可決系數(shù)已不適宜于作為衡量擬和優(yōu)度的準(zhǔn)則。5.1.3非線性概率模型常用的非線性概率模型主要有兩種，一是正態(tài)累計(jì)模型，二是邏輯（Logit）模型。這兩種模型的數(shù)學(xué)形式十分相似，但由于后者計(jì)算量較小，因而應(yīng)用更廣泛一些。所以，這里僅討論邏輯模型。邏輯模型的數(shù)學(xué)形式是：在這里，令則Y服從如下的邏輯斯蒂（Logistic）分布（函數(shù)）：這也正是模型（5-6）稱作邏輯模型的原因。由于Y的取值仍然是0或1，所以無疑應(yīng)有：將（5-6）式的左端在Y0＝pi處按泰勒級數(shù)展開，取前兩項(xiàng)得到：對照（5-8）和（5-6）應(yīng)有：

由①得到：（5-9）就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的邏輯函數(shù)（或邏輯斯蒂函數(shù)），其形狀如圖5-2所示，是一條S形曲線，這種曲線常常用來研究增長問題。從圖中不難看出，由邏輯模型得出的條件概率總是分布在0和1之間，而且以極限方式趨近于0和1。圖5-2非線性概率模型的估計(jì)，主要可分為兩種情況，一種是大樣本條件下的估計(jì)方法，另一種是小樣本條件下的估計(jì)方法。我們已經(jīng)知道，E(Yi|Xi)可以表示在X＝Xi時(shí)，Yi＝1的預(yù)期概率，因而Yi自然可以看成是這一概率的樣本觀測值，而1－Yi就是Yi＝0的樣本觀測值，所以Yi/(1－Yi)也就是觀測值的概率比。因此，對于較大的樣本（n≥30），則可以采用分組的方法，每一組至少5～6個(gè)觀測值，這樣即可以算出一個(gè)Y＝1的概率來。舉例來說，假定某個(gè)自變量觀測值或某一組的平均數(shù)Xi對應(yīng)于10個(gè)因變量觀測值，其中6個(gè)為1，4個(gè)為0，因此應(yīng)有Yi＝0.6，1－Yi＝0.4。0.6/0.4=1.5，ln1.5=0.4055。如此處理以后，即可得到因變量與自變量或自變量平均數(shù)的一組一一對應(yīng)的觀測值，由此即可用一元線性模型的OLS方法估計(jì)出（5-6）中的參數(shù)。當(dāng)然，這樣處理的前提條件是，數(shù)據(jù)必須完全是隨機(jī)排列的。如果數(shù)據(jù)的排列組合具有某種人為因素，則很容易出現(xiàn)極端情況，從而使得概率的樣本觀測值出現(xiàn)0或1相對集中的情況。比如，以表5－1中的數(shù)據(jù)為例，如果5個(gè)觀測值一組，則前5個(gè)概率為1，因而1－Y＝0，0是不能做除數(shù)的；而后5個(gè)為0。實(shí)際中如果遇到這種情況，恰當(dāng)?shù)奶幚磙k法是擴(kuò)大分組的樣本容量，或者對個(gè)別1或0集中的組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。

另外，需要注意分組的時(shí)候最好每組的觀測點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)，因?yàn)榕紨?shù)常?？赡軙?huì)遇到1和0相等的情況，這時(shí)會(huì)得到分子和分母均為0.5，導(dǎo)致1取對數(shù)為0的情況。比如，對表5-1中的資料，應(yīng)用分組法（每組11個(gè)觀測值）得到的兩組觀測值如表5-2所示?；貧w后得到的模型為：在Eviews中，也可以用Logit命令估計(jì)非線性概率模型。利用該命令估計(jì)非線性概率模型，像利用Ls命令估計(jì)線性方程模型一樣，必須指定要估計(jì)的具體方程形式。如在Eviews10的命令窗口輸入Logitycx即可得到如

表5-3所示結(jié)果。相應(yīng)的模型如下所示。不難看出，模型是充分有效的。

對于較小樣本，分組方法失去基礎(chǔ)，這時(shí)可采用極大似然法（MaxLikelihood，ML）進(jìn)行估計(jì)（在Eviews軟件中當(dāng)使用命令Logit估計(jì)非線性概率模型用的就是ML方法），計(jì)算工作量相對大些，故此處從略。DependentVariable:Y Method:ML-BinaryLogit(Quadratichillclimbing) Date:03/10/14Time:16:22 Sample:19802010 Includedobservations:31 Convergenceachievedafter5iterations Covariancematrixcomputedusingsecondderivatives Coefficient Std.Error z-Statistic Prob.

C -2.791563 1.252548 -2.228707 0.0258 X 2.427464 1.123918 2.159822 0.0308

McFaddenR-squared 0.244823

Meandependentvar 0.516129 S.D.dependentvar 0.508001

S.E.ofregression 0.440303 Akaikeinfocriterion 1.175144

Sumsquaredresid 5.622127 Schwarzcriterion 1.267659

Loglikelihood -16.21473 Hannan-Quinncriter. 1.205301

Restr.loglikelihood -21.47143 LRstatistic 10.51340

Avg.loglikelihood -0.523056 Prob(LRstatistic) 0.001185

ObswithDep=0 15

Totalobs 31 ObswithDep=1 16

表5-3邏輯斯蒂模型的EViews估計(jì)結(jié)果5.2.1滯后變量模型的建立對于相關(guān)自變量的任何變化，因變量遲早總會(huì)作出反應(yīng)，這種反應(yīng)既有即時(shí)效應(yīng)，也有滯后效應(yīng)。滯后變量的引入，正是為了反映這種滯后效應(yīng)。引起滯后效應(yīng)的原因很多，歸結(jié)起來主要是三個(gè)方面：

（1）技術(shù)性原因這主要與一些產(chǎn)品的生產(chǎn)周期較長有關(guān)。比如，農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)周期一般在一年左右，因而在市場經(jīng)濟(jì)體制條件下，農(nóng)產(chǎn)品的本期供應(yīng)量，常常取決于以前若干期農(nóng)產(chǎn)品的市場價(jià)格，因?yàn)檗r(nóng)民往往是根據(jù)當(dāng)年或若干年以前的產(chǎn)品價(jià)格來安排制定下一年度的種植計(jì)劃§5.2滯后變量模型再比如，有些耐用工業(yè)品的產(chǎn)量，也常常由于生產(chǎn)周期較長，因而當(dāng)期的產(chǎn)量往往與若干年以前的投資密切相關(guān)，等等。（2）制度性原因這主要與一些規(guī)章制度造成的約束有關(guān)。比如，由于原材料供應(yīng)合同的限制，即使原材料的價(jià)格發(fā)生了變化，企業(yè)也無法在合同期滿以前另覓新的貨源。再比如，由于銀行存款期的限制，因而對于投資者來說，有時(shí)即使出現(xiàn)了好的投資機(jī)會(huì)，投資者也無法或者不肯從銀行取出存款用于投資。

（3）心理原因這與人們的生活習(xí)慣有關(guān)。比如，即使消費(fèi)者的可支配收入有了明顯得增加，消費(fèi)往往也不會(huì)立刻有明顯的增長，因?yàn)槿藗円淖冏约旱纳钕M(fèi)習(xí)慣以適應(yīng)新的情況，常常需要經(jīng)過一段時(shí)間的調(diào)適。在時(shí)間序列模型中引入滯后變量，通常主要有兩種情況。一種情況是因變量除了受當(dāng)期自變量影響外，還同時(shí)受到以前若干期自變量的影響。這時(shí)模型可設(shè)計(jì)為：這一模型稱作分布滯后模型，其中既有一期滯后變量，也有二期滯后變量，通稱為X的滯后變量。這是一個(gè)三元線性模型。另一種情況是，模型中包含屬于自變量的因變量的滯后變量，這種模型稱作為自回歸模型。比如：上述兩類滯后變量模型的滯后期都是有限的。在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)分析中，我們常常會(huì)說，發(fā)展中國家與發(fā)達(dá)國家的經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)不同。這說明有些經(jīng)濟(jì)變量可能與幾十年以前甚至幾百年以前的相關(guān)變量有關(guān)。也就是說，滯后效應(yīng)有時(shí)候可能非常久遠(yuǎn)，并不僅僅是以前的一兩個(gè)時(shí)期。如果把所有可能的滯后效應(yīng)都考慮進(jìn)來，則可得到如下更一般的滯后變量模型：這是一個(gè)無限期的分布滯后模型。在這里，βi稱作第i期的反應(yīng)系數(shù)，通常假定βi滿足：其中，β代表X的變動(dòng)對于Y的長期影響，βi代表X變動(dòng)對于Y的短期影響。如果定義權(quán)重：則模型（5-10）亦可寫成：其中，wi可解釋為每一種短期影響在長期影響中所占的份額。5.2.2無限期分布滯后模型的估計(jì)問題對于無限期的分布滯后模型，我們無法采用通常的辦法來估計(jì)，由于參數(shù)多到無窮，因而任何容量有限的樣本都不可能提供足夠的自由度。在這種情況下，通?？梢杂袃煞N辦法供選擇：一是采用截?cái)喾ā＜醇俣ǚ植紲竽Ｐ褪怯邢薜?，取某個(gè)時(shí)期之后的所有反應(yīng)系數(shù)為0，比如說β4及以后的所有βi=0，此時(shí)模型變?yōu)椋涸撃Ｐ驮瓌t上可以用OLS方法估計(jì)，不過存在三個(gè)方面的困難：（1）將無限期分布滯后模型攔腰切斷地做法不免帶有主觀隨意性，因?yàn)槲覀儾⒉磺宄哪囊黄谇袛喔线m。（2）各期滯后變量與當(dāng)期變量本屬于同一序列，一般具有相同的變化趨勢，因而模型必然會(huì)受到多重共線性的影響。以我國1981～2004年國內(nèi)總產(chǎn)值（GDP）與全社會(huì)固定資產(chǎn)的投資總額的關(guān)系為例，毫無疑問，固定資產(chǎn)投資是一項(xiàng)具有明顯滯后效應(yīng)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)。有關(guān)的數(shù)據(jù)如表5－2所示。當(dāng)滯后階數(shù)I≥2時(shí)，由于共線性，導(dǎo)致所有解釋變量的參數(shù)均不顯著。只有當(dāng)I＝1時(shí)的滯后模型及二階和三階滯后變量回歸時(shí)的模型是顯著有效的。一階滯后模型是：

這一模型說明，這24年中GDP的多少與當(dāng)年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資成反相關(guān)，與上年的全社會(huì)固定資產(chǎn)投資成正相關(guān)。這可以做如此解釋，即如果當(dāng)年固定資產(chǎn)投資過大，可能會(huì)干擾GDP的正常生產(chǎn)，從而使GDP出現(xiàn)下降；而上年的固定資產(chǎn)投資在當(dāng)年由于已經(jīng)投資到位并正常發(fā)揮作用，因而將對當(dāng)年的GDP生產(chǎn)發(fā)揮促進(jìn)作用。二階和三階的滯后模型是：這一模型說明，當(dāng)年的GDP多少與前兩年的固定資產(chǎn)投資正相關(guān)，其解釋與上述的一階滯后正相關(guān)相同。當(dāng)年的GDP與前3年的固定資產(chǎn)投資反相關(guān)可解釋為，如果前3年的投資過大，可能會(huì)影響到與GDP正相關(guān)的前2年和前1年的投資額，因而與當(dāng)年的GDP為反相關(guān)。（3）滯后變量的引入，會(huì)損失一些觀測值。一般地說，在模型中引入m期滯后變量，通常會(huì)損失m對觀測值。所以，對于滯后變量模型，要以一定的精度估計(jì)出模型中的參數(shù)，要求必須掌握足夠多的原始數(shù)據(jù)。由于經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的收集經(jīng)常會(huì)受到很多條件的限制，因而估計(jì)這類模型經(jīng)常會(huì)遇到數(shù)據(jù)不足的困難。

由于以上問題的存在，截?cái)喾ㄔ谔幚頍o限期滯后模型時(shí)使用的并不多。比較可行的是另一種方法。這種方法假定反應(yīng)系數(shù)具有某種特殊結(jié)構(gòu)，從而可以避免截?cái)喾ㄓ龅降母鞣N困難。依照對于系數(shù)結(jié)構(gòu)所作假定的不同，這種方法又可以分為幾種情況。目前使用較多的有柯克估計(jì)法和阿爾蒙估計(jì)法。5.2.3柯克估計(jì)法

為了克服無限期分布滯后模型估計(jì)時(shí)所遇到的困難，柯克（Koyck）對無限期分布滯后模型提出了如下的結(jié)構(gòu)假定：

這一假定與（5-11）中的假定是一致的。其中，λ稱作遞減率。這時(shí)無限期滯后模型變?yōu)椋簩⒃撌较蚝笸七t一期，再對各項(xiàng)乘以λ：由（5-13）中減去該式，可得到：（5-13）應(yīng)用柯克估計(jì)法對表5－2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，得到的模型為：不難看出，模型是充分有效的。依方程：2737＝α（1－0.895）可解出α＝26066.7，因此原來的無限期滯后模型可寫成：該模型說明，全社會(huì)的固定資產(chǎn)投資X對于GDP產(chǎn)出的影響是當(dāng)年投資增加1個(gè)單位，GDP產(chǎn)出增加0.3887個(gè)單位，以后每滯后一年其作用系數(shù)將在前一年的基礎(chǔ)上衰減0.105倍。容易看出，柯克變換很好地解決了無限期分布滯后模型所遇到的困難。一是變換后的模型只包含三個(gè)參數(shù)，即λ、α、β0，因而自由度問題已不復(fù)存在。二是新模型為二元線性模型，只含有兩個(gè)自變量，一個(gè)是原自變量X，另一個(gè)是滯后因變量，這是兩個(gè)不同的序列，我們沒有理由認(rèn)為二者之間會(huì)存在共線性問題。三是新模型中只含有一個(gè)一期滯后變量，只損失一個(gè)觀測值，因此不會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)不足的問題。模型（5-14）就稱作柯克模型。但是，柯克模型也同時(shí)帶來了一些新問題。第一，即使原模型中的隨機(jī)項(xiàng)U滿足經(jīng)典回歸的所有假定，但是柯克模型中的隨機(jī)項(xiàng)v也無法滿足無序列相關(guān)的假定。因?yàn)椋盒蛄邢嚓P(guān)性的存在，將使得參數(shù)估計(jì)值的方差增大或減小，因而將可能使得參數(shù)喪失有效性。第二，柯克模型的隨機(jī)項(xiàng)與解釋變量Yt－1是相關(guān)的。因?yàn)?，Vt與Yt有關(guān)，因而Vt與Yt－1也一定相關(guān)。這就違背了常方差假定的推論，即隨機(jī)項(xiàng)與解釋變量無關(guān)的結(jié)論。第三，柯克模型假定隨著滯后期的增加，反應(yīng)系數(shù)按照幾何級數(shù)遞降，這一過分嚴(yán)格的要求大大地限制了柯克估計(jì)法的使用范圍。因?yàn)榉磻?yīng)系數(shù)并不一定是隨著滯后期的增加按照幾何級數(shù)遞降的，甚至并不是遞降的，有時(shí)可能是遞增的，如圖5-3所示。反映系數(shù)的結(jié)構(gòu)缺乏柔順性，不能適應(yīng)各種可能情況，這是柯克方法的一個(gè)重大缺陷。圖5-35.2.4阿爾蒙估計(jì)法針對柯克模型的缺點(diǎn)，阿爾蒙（S.Almon）提出了另一種處理分布滯后模型的方法。這種方法實(shí)質(zhì)是從一個(gè)有限滯后分布模型出發(fā)，先用一個(gè)關(guān)于i的多項(xiàng)式去逼近βi，經(jīng)過適當(dāng)變換后，得出一個(gè)可以用OLS方法估計(jì)的新模型。由于原模型中的每一個(gè)常數(shù)都是新模型參數(shù)的線性組合，因此當(dāng)新模型參數(shù)估計(jì)出來后，便不難得出原模型參數(shù)的估計(jì)值。假定有一個(gè)有限的分布滯后模型是：其中，βi的分布為圖5-3所示的某種情形。根據(jù)數(shù)學(xué)知識，如圖5-3所示的曲線均可以用關(guān)于βi的多項(xiàng)式來逼近，多項(xiàng)式的階數(shù)應(yīng)是曲線的極點(diǎn)數(shù)加1。比如，圖5-3中前者應(yīng)為二次多項(xiàng)式，后者是三次多項(xiàng)式。現(xiàn)在我們假定βi的結(jié)構(gòu)為二次多項(xiàng)式，這時(shí)可令：將該式代入到（5-15）中，可得到：

模型（5-16）就稱作阿爾蒙模型。這是一個(gè)三元線性模型，無疑可以用OLS方法進(jìn)行估計(jì)。其中的參數(shù)估計(jì)出來后，即可用如下的變換求出原模型的參數(shù)：以表5－2中的數(shù)據(jù)為例，假定k＝5。應(yīng)用Eviews1.0回歸，需要先生成如（5－17）式所示的新序列。其方法是在命令窗依次輸入以下命令即可：GenrW0＝X＋X(-1)＋X(-2)＋X(-3)＋X(-4)＋X(-5)GenrW1＝X(-1)＋2*X(-2)＋3*X(-3)＋4*X(-4)＋5*X(-5)GenrW2＝X(-1)＋4*X(-2)＋9*X(-3)＋16*X(-4)＋25*X(-5)然后輸入命令：lsycw0w1w2即可。得到的方程是：可以看出，除了一次項(xiàng)的系數(shù)不顯著以外，其余參數(shù)都是充分有效的。由于二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，因此β系數(shù)的分布是上凸的。這是容易理解的。因?yàn)?，投資活動(dòng)是具有顯著滯后效應(yīng)的一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)。開始往后的時(shí)候，由于投資逐步到位并發(fā)揮作用，因此越往后效果越明顯；到了一定時(shí)期再往后，隨著投資效益的不斷釋放，效果就會(huì)遞減。

阿爾蒙方法雖然克服了柯克方法所遇到的困難，但同時(shí)也帶來了一些新的問題。這主要是：

（1）必須事先確定適當(dāng)?shù)販笃跀?shù)k一般地說，從方便處理的角度看，我們通常會(huì)希望k值小一些；而要充分地反映滯后效應(yīng)，k值又不能取得太小。K值究竟取多大合適，并沒有明確的準(zhǔn)則。這是阿爾蒙方法的一個(gè)缺點(diǎn)。

（2）必須事先確定多項(xiàng)式的階數(shù)如前所述，多項(xiàng)式的階數(shù)應(yīng)是曲線的極點(diǎn)數(shù)加1。但是，困難的是βi的分布形式我們事先無從知道。所以，要恰當(dāng)?shù)卮_定多項(xiàng)式的階數(shù)往往比較困難，有時(shí)只能采用主觀的方法。這是阿爾蒙方法的另一個(gè)弱點(diǎn)。（3）由于阿爾蒙模型的每一個(gè)自變量w都是原模型自變量X及其滯后變量的線性組合，所以各個(gè)w之間必存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，即阿爾蒙模型一般具有多重共線性，因而必然會(huì)使得一個(gè)或一個(gè)以上的參數(shù)α不顯著。但這一般不會(huì)影響研究問題。§5.3時(shí)間序列模型及預(yù)測預(yù)測是經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)研究的一個(gè)非常重要的目的。預(yù)測除了可以使用因果關(guān)系模型以外，還可以使用時(shí)間序列模型。所謂時(shí)間序列模型，即由一個(gè)變量的隨機(jī)時(shí)間序列所構(gòu)成的模型，也稱作隨機(jī)過程模型。5.3.1時(shí)間序列模型的一般性質(zhì)（1）隨機(jī)過程一個(gè)時(shí)間序列實(shí)際上就是一個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)按照時(shí)間順序的排列。一般我們所考察的時(shí)間序列Y1，Y2，…，Yn實(shí)際上只是一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列的樣本。通常我們總是假定，一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列是一個(gè)無窮序列的一部分，這個(gè)無窮的隨機(jī)序列就稱作一個(gè)隨機(jī)過程，記作Yt。其實(shí)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)Ut就是一個(gè)隨機(jī)過程。如果隨機(jī)過程Ut所遵從的分布不隨著時(shí)間改變，并且滿足：則這一隨機(jī)過程就稱作純隨機(jī)過程（國內(nèi)流行的概念叫白噪聲）。

如果隨機(jī)過程Ut只滿足零均值和常方差性假定，自身存在線性相關(guān)關(guān)系，假定為一階自相關(guān)：其中，ρ為自相關(guān)系數(shù)，vt為純隨機(jī)過程，此時(shí)的隨機(jī)過程Ut稱作一階自回歸過程。自回歸過程在時(shí)間序列預(yù)測中具有非常重要的地位，因?yàn)闀r(shí)間序列預(yù)測的實(shí)質(zhì)，乃是根據(jù)某一變量的以往觀測值來預(yù)測其未來值，這就要求所考察的隨機(jī)過程的不同元素應(yīng)彼此相關(guān)，而自回歸過程恰好滿足了這一要求。（2）自相關(guān)函數(shù)一個(gè)隨機(jī)過程中任意兩個(gè)元素之間相關(guān)程度的量度，稱作自相關(guān)函數(shù)。通常可以采用自相關(guān)系數(shù)ρk作為Yt和Yt＋k之間相關(guān)程度的量度，其中，k稱作自相關(guān)函數(shù)的階數(shù)。其定義為：在這里，就稱作自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)k＝0時(shí)，有：（3）平穩(wěn)隨機(jī)過程通常把具有下列性質(zhì)的隨機(jī)過程就稱作為平穩(wěn)隨機(jī)過程：對于平穩(wěn)過程來說，由于常方差性，應(yīng)有：隨機(jī)過程是否具有平穩(wěn)性對于時(shí)間序列預(yù)測來說非常重要，因?yàn)檫@一性質(zhì)保證了隨機(jī)過程的結(jié)構(gòu)不會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生變化，這是進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測的必要條件。如果過程的結(jié)構(gòu)隨著時(shí)間變化，要進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測是不可能的。很顯然，純隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。但并不是所有的隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，一階自回歸過程只有在時(shí)才具有平穩(wěn)性。（4）滯后算符為了方便表達(dá)，可引入滯后算符L，定義如下：相應(yīng)地，應(yīng)有：一般情況下有：當(dāng)n＝0時(shí)，有：在時(shí)間序列分析中，經(jīng)常會(huì)用到一個(gè)算符多項(xiàng)式：它作用于隨機(jī)變量Yt，便得到：一般地，可以定義關(guān)于L的一個(gè)無窮冪級數(shù)如下：如果兩個(gè)算符和滿足：其中，m、n可以有限也可以無限，則稱和為互逆算符。記作：或者比如，在|φ|<1的條件下，如果定義：有：于是應(yīng)有：這時(shí)有：5.3.2自回歸過程及其平穩(wěn)條件

一階自回歸過程可定義為：其中，Ut為純隨機(jī)過程。利用一階自回歸模型，可以用當(dāng)前時(shí)期的變量值預(yù)測未來為期一個(gè)時(shí)期的變量值。然而，由于我們往往并不知道隨機(jī)過程產(chǎn)生的機(jī)制，一階自回歸只是其中最簡單的一種形式。一般地應(yīng)有：其中，Ut為純隨機(jī)過程，p稱作自回歸過程的階數(shù)，上述模型一般記作AR(p)，相應(yīng)地，一階自回歸模型記作AR(1)。(5-21)如果利用滯后算符來表示，則（5-23）可表示為：在一階自回歸條件下，按照模型(5-22)，應(yīng)有：對于（5-24），由于E(Ut)=0，所以應(yīng)有：E(Yt)=0。另外，由于Ut互不相關(guān)，所以應(yīng)有：顯然，上式只有在|φ|<1時(shí)才是有限的，這時(shí)平穩(wěn)條件才是成立的。我們再來考察協(xié)方差。根據(jù)（5-24），應(yīng)有：由于Ut之間不相關(guān)，所以應(yīng)有：此式表明，Cov(Yt，Yt+k)只與k有關(guān)，而與t無關(guān)，于是平穩(wěn)隨機(jī)過程的第三個(gè)條件滿足。

判斷一個(gè)時(shí)間序列是否平穩(wěn)的最簡單且實(shí)用的辦法，就是觀察該隨機(jī)序列對時(shí)間t的散布圖。如果散布圖上的數(shù)據(jù)點(diǎn)在橫軸的上下波動(dòng)（E(Yt)=0）或在平行于橫軸的某一直線上下波動(dòng)（E(Yt)≠0），則表明時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。否則，如果散布圖呈現(xiàn)某種直線型或曲線型系統(tǒng)變化趨勢，則表明該時(shí)間序列是平穩(wěn)時(shí)間序列。(5-26)

5.3.3單位根檢驗(yàn)非平穩(wěn)性檢驗(yàn)具體的方法有多種。這里，我們介紹一種比較新的檢驗(yàn)方法，叫做單位根(有的也叫單元根)檢驗(yàn)(Unitroottest)。一、單位根的含義設(shè)Yt代表隨機(jī)時(shí)間序列，需要

估計(jì)回歸方程為：

△Yt=A0+A1t+A2Yt-1+Ut(5－27)其中△是一階差分符號，其中t是趨勢變量，取值為1、2、3等等，Yt-1為變量Y的一期滯后變量。零假設(shè)為Yt-1的系數(shù)A2為零，這等價(jià)于時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。我們稱這個(gè)假設(shè)為單位根假設(shè)。

之所以使用單位根這一術(shù)語，是因?yàn)樵谶@里通常假定：Yt=A0+A1t+CYt-1+Ut。先在方程的兩邊同時(shí)減去Yt-1得到：(Yt－Yt-1)＝A0+A1t+CYt-1－Yt-1+Ut，也就是△Yt=A0+A1t+(C－1)Yt-1=A0+A1t+A2Yt-1+Ut，其中A2＝C－1。這樣，如果C等于1，則回歸方程(5－27)中的A2將為零。

按照已有的知識，為了檢驗(yàn)A2的估計(jì)值a2是否為零，通常我們都會(huì)使用很熟悉的t檢驗(yàn)。但不幸的是，這里，我們不能這么做，因?yàn)閲?yán)格來說，t檢驗(yàn)只有當(dāng)時(shí)間序列為平穩(wěn)時(shí)才有效。所以，對于單位根的檢驗(yàn)必須探討新的方法。單位根檢驗(yàn)與時(shí)間序列的平穩(wěn)性之間的關(guān)系是：對于一個(gè)單一的時(shí)間序列來說，如果它的當(dāng)期項(xiàng)可以表示成它的前一期項(xiàng)（即一階滯后項(xiàng)）的線性形式，且關(guān)于前一期項(xiàng)即一階滯后變量的系數(shù)ρ=1的原假設(shè)在統(tǒng)計(jì)意義上不成立或者說被擇假設(shè)ρ<1能夠在統(tǒng)計(jì)意義上成立的話，則稱序列不存在單位根，該序列是一個(gè)在統(tǒng)計(jì)意義上的平穩(wěn)序列，或者稱無單位根平穩(wěn)序列。

具體地說，這里的線性形式包含了序列的下述三種形式的趨勢線：

一種是，序列Yt在Y=0這一水平線上的平穩(wěn)性。也就是說，如果序列Yt的散點(diǎn)圖最終收斂于Y=0這條水平趨勢線，則稱序列Yt是純粹平穩(wěn)序列，此時(shí)，有一階自回歸過程：Yt=ρYt-1+Ut，且備擇假設(shè)H1：ρ≠1成立（或者說原假設(shè)H0：ρ=1被拒絕，下同。注意，有些文獻(xiàn)中這里是ρ<1，但實(shí)際上這里經(jīng)?？赡軙?huì)有ρ＞1的情況）；第二種情況是，Yt在Y=α這一水平線上的平穩(wěn)性。也就是說，如果序列Yt的散點(diǎn)圖最終收斂于Y=α這條水平趨勢線，則稱序列Yt是帶漂移的平穩(wěn)序列，此時(shí)，有帶漂移的一階自回歸過程：Yt=α+ρYt-1+Ut，且備擇假設(shè)H1：ρ<1成立；第三種情況是，Yt在Yt=α+βt這一趨勢線上的平穩(wěn)性。也就是說，如果序列Yt的散點(diǎn)最終收斂于Yt=α+βt這條趨勢直線，則稱序列Yt是帶趨勢的平穩(wěn)序列，此時(shí)，有帶趨勢的一階自回歸過程：Yt=α+βt+ρYt-1+Ut，且備擇假設(shè)H1：ρ<1成立。

上述三種情況中只要有其中之一不存在單位根，或者可以在統(tǒng)計(jì)意義上拒絕H0：ρ=1的原假設(shè)，則稱序列Yt是平穩(wěn)的時(shí)間序列。相反，如果要認(rèn)定一個(gè)序列是不平穩(wěn)的，則以上三個(gè)模型必須同時(shí)存在單位根才可以得出結(jié)論。這一結(jié)論非常重要。二、單位根的后果實(shí)際上對于一般的時(shí)間序列而言，ρ≠1是很容易滿足的。因?yàn)樵诘谝环N情況下，我們有：而對于一個(gè)具有遞增趨勢的時(shí)間序列來說，其估計(jì)結(jié)果必然是ρ＞1的。在這種情況下，如果有ρ=1，則必有：亦即：也就是：Yt=Yt-1

而在第二種情況下，我們有：

不難看出，在這里ρ的估計(jì)值實(shí)際也就是時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)（注意，在ρ的估計(jì)值的計(jì)算中，假定Yt的均值與Yt-1的均值相等）。因此一般地，在時(shí)間序列的自相關(guān)程度不十分強(qiáng)烈的情況下，ρ<1也是容易滿足的。同時(shí)，也不難看出，如果有=1成立,同樣得到Y(jié)t=Yt-1，且有=0，即與第一種情況完全等同。

這表明整個(gè)序列實(shí)際上是一條與X軸（t）平行的平行線。

而在第三種情況下，根據(jù)§4.4.1部分的分析，在二元模型中，每個(gè)回歸系數(shù)的值應(yīng)等于因變量對該變量回歸時(shí)的回歸系數(shù)，減去因變量對另一變量回歸時(shí)的回歸系數(shù)乘以另一變量對該變量回歸時(shí)的回歸系數(shù)，再乘以兩個(gè)解釋變量相關(guān)系數(shù)平方之補(bǔ)數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)有：

其中，是時(shí)間序列Yt與時(shí)間t的相關(guān)系數(shù)的平方（假定Yt-1與時(shí)間t的相關(guān)系數(shù)跟Yt與時(shí)間t的相關(guān)系數(shù)相同），是時(shí)間序列Yt與Yt-1的自相關(guān)系數(shù)，也就是第二種情況中的，是Yt對時(shí)間t回歸時(shí)的回歸系數(shù)，是時(shí)間t對于Yt-1回歸時(shí)的回歸系數(shù)（假定Yt-1對時(shí)間t的回歸與Yt對時(shí)間t的回歸具有相同的系數(shù)，參式2-20）。所以，=1實(shí)際也就是：即=1。這時(shí)，，即同樣有：Yt=Yt-1。

綜合上述三種情況，單位根的實(shí)質(zhì)即時(shí)間序列Yt在以時(shí)間t為橫軸的平面上為一平行直線，即Yt與時(shí)間t無關(guān)。換一種說法，單位跟檢驗(yàn)的目的，實(shí)際上就是要查明一個(gè)時(shí)間序列事實(shí)上是否為一常量，如果某時(shí)間序列存在單位根，則該時(shí)間序列事實(shí)上就是一個(gè)常量，即它與時(shí)間不相關(guān)，即不能作為變量來使用；如果某時(shí)間序列不存在單位根，則該時(shí)間序列事實(shí)上就是一個(gè)變量，即它與時(shí)間是相關(guān)的，或者說是隨著時(shí)間變化的，可以作為變量來使用。

三、單位根的檢驗(yàn)

單位檢驗(yàn)(UnitRootTest)一般采用迪克富勒檢驗(yàn)(DikeyFulerTest)法（簡稱DF檢驗(yàn)），也稱作τ檢驗(yàn)，它的臨界值由這一方法的提出者根據(jù)蒙特卡羅模擬給出。這種檢驗(yàn)的原假設(shè)是：H0：ρ=1；被擇假設(shè)是：H1：ρ＜1。在應(yīng)用中，若估計(jì)得到的τ值(絕對值)大于D-F值的臨界值，將拒絕單位根假設(shè)，即認(rèn)為該序列為平穩(wěn)序列；否則，若計(jì)算的τ值(絕對值)小于臨界的τ值，則不能拒絕單位根假設(shè)。τ統(tǒng)計(jì)量是迪克與富勒(1970)構(gòu)造的一個(gè)類似于t-分布的統(tǒng)計(jì)量，τ=(ρ-1)/Sρ。其中，Sρ是統(tǒng)計(jì)量ρ的標(biāo)準(zhǔn)差。他們證明，在存在單位根假設(shè)的條件下，τ-統(tǒng)計(jì)量不再具有正常的t分布，但是在樣本容量很大的情況下，τ-統(tǒng)計(jì)量收斂于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)維納過程的泛函，并且可以用蒙特卡羅方法模擬出結(jié)果，于是得到了被廣泛應(yīng)用的DF檢驗(yàn)法。

DF檢驗(yàn)存在著一個(gè)前提，它假定隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)Ut不存在自相關(guān)。由于在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，大多數(shù)經(jīng)濟(jì)過程是不滿足此項(xiàng)假設(shè)的，為此需要用到擴(kuò)展的迪克富勒(1979)檢驗(yàn)法(theArgumentDikeyFulerTest)，即ADF檢驗(yàn)。在ADF檢驗(yàn)中，常常把DF檢驗(yàn)的模型的右邊擴(kuò)展為包含序列Yt的變化量的滯后項(xiàng)，例如使帶趨勢的DF檢驗(yàn)?zāi)Ｐ妥優(yōu)椋海?-28）這里，k=1，2，3，等等，具體可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)來確定，這樣可以有效緩解Ut項(xiàng)的自相關(guān)問題，使單位根檢驗(yàn)更具可靠性。不過，這里需要注意的是，由于在5-28式中，被解釋變量使用的是差分變量，因此包含單位根的原假設(shè)應(yīng)該是回歸系數(shù)γ=0。ADF檢驗(yàn)采用的是單邊檢驗(yàn)中的左側(cè)檢驗(yàn)法，即如果統(tǒng)計(jì)量大于臨界值(ADF檢驗(yàn)的臨界值一般是負(fù)的)，則接受原假設(shè)，即序列服從單位根過程，意味著所考察的序列是非平穩(wěn)的；反之；如果統(tǒng)計(jì)量小于臨界值；則拒絕原假設(shè)，即序列不存在單位根，說明序列是平穩(wěn)的。

在Eviews1.0中，單位根檢驗(yàn)可以通過輸入命令Uroot進(jìn)行。輸入該命令時(shí)只要告訴它序列名稱就可以了。輸出結(jié)果會(huì)給出樣本的ADF統(tǒng)計(jì)量和1％、5％及10％顯著性水平條件下的臨界值?！纠?.3】在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活中，很多時(shí)間序列都可能會(huì)包含單位根，比如工業(yè)企業(yè)的年利潤率，股市逐日的收益率，某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的環(huán)比指數(shù)，如物價(jià)的環(huán)比指數(shù)等，通常都可能包含單位根（物價(jià)的定基指數(shù)一般不含單位根）。表5-3給出的是我國1995-2005年獨(dú)立核算的工業(yè)企業(yè)（含國有企業(yè)和規(guī)模以上非國有企業(yè)）的幾種利潤率和工業(yè)總產(chǎn)值和增加值的環(huán)比指數(shù)資料，試檢驗(yàn)其是否含有單位根。表5-3及單位根檢驗(yàn)演示在Eviews10中運(yùn)用Uroot命令進(jìn)行檢驗(yàn)，使用如5-28式所示的帶趨勢項(xiàng)的模型，得到的三個(gè)臨界值分別為： 1%CriticalValue-5.7492

5%CriticalValue -4.1961 10%CriticalValue -4.43865個(gè)變量的ADF統(tǒng)計(jì)量分別為：ADFTestStatistic -2.079325ADFTestStatistic -2.205980ADFTestStatistic -2.074583ADFTestStatistic -3.799162ADFTestStatistic -6.164685不難看出，只有第5組變量不包含單位根。對第5組變量按照5-28式進(jìn)行回歸，得到的回歸結(jié)果如表5-4所示。由表5-4不難看出，由于變量不包含單位根，因此所有參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量都是顯著的。LS//DependentVariableisD(Y5)VariableCoefficient Std.ErrorT-Statistic Prob.Y5(-1)-1.6327950.264863 -6.164685 0.0035D(Y5(-1))0.4073990.180621 2.255550 0.0871C 1.577086 0.262518 6.007534 0.0039Trend0.059255 0.009791 6.052228 0.0038R-squared0.911805Meandependentvar0.027100AdjustedR-squared0.845659S.D.dependentvar0.08423S.E.ofregression0.033091Akaikeinfocriterion-6.51016Sumsquaredresid 0.00438Schwartzcriterion -6.470436Loglikelihood18.68912F-statistic 13.78471Durbin-Watsonstat1.084115Prob(F-statistic) 0.014148表5-4工業(yè)增加值指數(shù)回歸結(jié)果

5.3.4協(xié)整理論一、偽回歸問題格蘭杰（Granger）和紐波爾（Newbold）在一篇重要論文中指出，當(dāng)兩個(gè)時(shí)間序列都具有很強(qiáng)的時(shí)間趨勢時(shí)，即使它們的生成過程毫不相關(guān)，使用常用的回歸分析往往會(huì)得出這樣的回歸結(jié)果：表示它們相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量R2取值很高，但表示殘差自相關(guān)程度的D-W統(tǒng)計(jì)量取值卻很低，格蘭杰和紐波爾把這種現(xiàn)象就稱之為“偽回歸”。實(shí)際上，偽回歸現(xiàn)象早已為經(jīng)濟(jì)學(xué)家們所關(guān)注，只是對于在什么樣的條件下會(huì)產(chǎn)生偽回歸，長期以來一直沒有統(tǒng)一的認(rèn)識。直到20世紀(jì)的70年代，格蘭杰和紐波爾的研究發(fā)現(xiàn)，造成偽回歸的根本原因在于時(shí)間序列的非平穩(wěn)性，人們才對這一問題的認(rèn)識有了比較一致的看法。由于偽回歸過程中回歸殘差序列不再是純隨機(jī)序列，因此回歸結(jié)果的可靠性也就值得懷疑。格蘭杰和紐波爾利用MonteCarlo模擬方法研究表明，利用傳統(tǒng)的回歸分析方法對彼此毫不相關(guān)的非平穩(wěn)經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行回歸，t檢驗(yàn)值和F檢驗(yàn)值往往會(huì)傾向于顯著，從而會(huì)錯(cuò)誤地得出變量相關(guān)的“偽回歸”結(jié)果。二．格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容即是探索各類經(jīng)濟(jì)變量間的因果關(guān)系，而經(jīng)濟(jì)變量間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系也為研究帶來了相當(dāng)?shù)碾y度，面對一個(gè)無法進(jìn)行控制實(shí)驗(yàn)、充滿不確定性的領(lǐng)域，我們只能從概率的角度即通過隨機(jī)抽樣的方法來了解因果關(guān)系，于是關(guān)于因果關(guān)系的定義和檢驗(yàn)方法成為統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)研究的重要內(nèi)容。同樣也產(chǎn)生了許多關(guān)于因果關(guān)系的經(jīng)濟(jì)學(xué)定義，其中之一就是得到廣泛應(yīng)用的格蘭杰因果關(guān)系。格蘭杰（Granger,1969）從時(shí)間序列的意義上來界定因果關(guān)系，提出了因果關(guān)系的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)定義：“欲判斷X是否引起Y，則考察Y的當(dāng)前值在多大程度上可以由Y的過去值解釋，然后考察加入X的滯后值是否能改善解釋程度。如果X的滯后值有助于改善對Y的解釋程度，則認(rèn)為X是Y的格蘭杰原因。”從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來看，也即是X的滯后項(xiàng)在統(tǒng)計(jì)意義上顯著。由于格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)方法比較簡單適用，因而被越來越多的人接受，從而在時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析中被得到廣泛使用。格蘭杰因果關(guān)系可描述如下。對于變量X和Y,假定目前還不清楚它們之間的依賴關(guān)系如何，現(xiàn)在擬定回歸分析模型：其中，m是之后階數(shù)，和表示隨機(jī)項(xiàng)，并假定互不相關(guān)。變量和之間的關(guān)系主要包括以下幾種情形：（1）X到Y(jié)的單向因果關(guān)系。如果的估計(jì)結(jié)果統(tǒng)計(jì)上顯著不等于零，而的估計(jì)量統(tǒng)計(jì)上顯著為零，則可以判明X為原因變量、Y為結(jié)果變量，也即有一個(gè)從X到Y(jié)的單向因果關(guān)系。（2）Y到X的單向因果關(guān)系。如果的估計(jì)結(jié)果統(tǒng)計(jì)上顯著等于零，而的估計(jì)量統(tǒng)計(jì)上顯著不等于零，則可判明Y為原因變量、X為結(jié)果變量，也即有一個(gè)從Y到X的單向因果關(guān)系。（3）Y到X、X到Y(jié)的雙向因果關(guān)系。如果的估計(jì)結(jié)果

統(tǒng)計(jì)上顯著不等于零，而的估計(jì)量統(tǒng)計(jì)上也顯著不等于零，則可以判明X和Y之間互為原因變量與結(jié)果變量，也即有一個(gè)從Y到X、X到Y(jié)的雙向因果關(guān)系。（4）Y和X相互獨(dú)立。如果的估計(jì)結(jié)果統(tǒng)計(jì)上顯著等于零，并且的估計(jì)量統(tǒng)計(jì)上也顯著等于零，則可判明和之間保持著相互獨(dú)立的關(guān)系。其實(shí)，由下面的檢驗(yàn)過程中我們將不難看出，這種檢驗(yàn)實(shí)際上也就是本書第3章第6節(jié)（§3.6部分）講過的對模型中參數(shù)所加約束的檢驗(yàn)(原假設(shè)為所加約束為真，被擇假設(shè)是所加約束不全為真)，在EViews中即Wald檢驗(yàn)。Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)一般需要經(jīng)過以下幾個(gè)步驟：第一步，對Y做不含X的所有變量但包括Y的各階滯后變量的回歸分析，求回歸殘差平方和SSER（這相當(dāng)于Wald檢驗(yàn)中的有約束殘差平方和）。即對下列形式的回歸模型做分析：第二步，對Y做含X在內(nèi)的所有變量包括Y和X的各階滯后變量的回歸分析，求出回歸殘差平方和SSEU（這相當(dāng)于Wald檢驗(yàn)中的無約束殘差平方和）。即做如下模型的回歸分析：第三步，建立檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：檢驗(yàn)的原假設(shè)為：H0：α1=α2=…=αm=0。其中，k為對Y做含X在內(nèi)的所有變量包括Y和X的滯后變量以及其他變量的回歸分析時(shí)，模型中需要估計(jì)的參數(shù)的數(shù)目。一般地有，k=2m。第四步，進(jìn)行判斷。在給定的顯著水平下，如果統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，則可以判斷X是Y變化的Granger原因。如果要做Y對X變化的因果關(guān)系檢驗(yàn)，同樣也可以按照以上步驟進(jìn)行。在具體應(yīng)用Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)時(shí)需要注意：第一，Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)對無限分布滯后模型可能不適應(yīng)，碰到這樣的情況，首先要確定分布滯后模型的滯后階數(shù)。第二，模型滯后階數(shù)的多少對因果關(guān)系方向判斷的結(jié)果，可能會(huì)造成重大的影響，這就是說GRANGER因果關(guān)系檢驗(yàn)對模型滯后階數(shù)比較敏感。因此，運(yùn)用Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)方法，模型滯后階數(shù)的確定可能至關(guān)重要。第三，假如模型還存在另外的變量，這個(gè)變量可能引起被解釋變量變化的原因，同時(shí)也與解釋變量存在高度的相關(guān)關(guān)系，這時(shí)候，Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)將遇到難題?！纠?.4】以表5.4中的數(shù)據(jù)為例。我們知道，投入與產(chǎn)出之間一般情況下都是一種互為因果的關(guān)系，然而樣本數(shù)據(jù)的情況究竟如何，運(yùn)用格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)則可以更好地了解兩變量之間的關(guān)系。應(yīng)用EViews5.0進(jìn)行格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)（方法是在數(shù)據(jù)窗口為活動(dòng)窗口的情況下，選擇命令View/GrangerCausality并確定滯后項(xiàng)階數(shù)即可），得到的結(jié)果如表5.6所示。表5.6表5.4數(shù)據(jù)的格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)輸出結(jié)果PairwiseGrangerCausalityTestsDate:03/24/11Time:15:25Sample:19812004Lags:3

NullHypothesis:ObsF-StatisticProb.

XdoesnotGrangerCauseY

21

6.361290.0061

YdoesnotGrangerCauseX

0.843680.4925由表5.6可以看出，在表5.4中的數(shù)據(jù)即國內(nèi)總產(chǎn)值GDP（Y）與全社會(huì)的固定資產(chǎn)的投資總額（X）之間，X是Y的格蘭杰原因（其可靠性為99.4%），而Y不是X的格蘭杰原因。如果以Y為因變量做Wald檢驗(yàn)，得到的結(jié)果如表5.7所示。WaldTest:Equation:UntitledTestStatisticValue

df

ProbabilityF-statistic6.645808(3,15)

0.0045Chi-square19.937423

0.0002NullHypothesisSummary:NormalizedRestriction(=0)Value

Std.Err.C(4)0.7327400.236942C(5)-0.2240950.528562C(6)-1.2675280.473709Restrictionsarelinearincoefficients.檢驗(yàn)結(jié)果表明，施加約束后的模型與沒有施加約束的模型具有極顯著的差異。從下面給出的參數(shù)估計(jì)值可以看出，只有Xt－2項(xiàng)的系數(shù)不顯著。

表5.7表5.4數(shù)據(jù)格蘭杰因果關(guān)系的Wal檢驗(yàn)輸出結(jié)果（Y為因變量）WaldTest:Equation:UntitledTestStatisticValue

df

ProbabilityF-statistic0.811766(3,15)

0.5070Chi-square2.4352973

0.4871NullHypothesisSummary:NormalizedRestriction(=0)Value

Std.Err.C(1)-0.0593650.298859C(2)-0.1620390.538983C(3)0.2357700.278611Restrictionsarelinearincoefficients.表5.8表5.4數(shù)據(jù)格蘭杰因果關(guān)系的Wal檢驗(yàn)輸出結(jié)果（X為因變量）檢驗(yàn)結(jié)果表明，施加約束后的模型與沒有施加約束的模型沒有顯著的差異。從下面給出的參數(shù)估計(jì)值可以看出，所有Yt－i項(xiàng)的系數(shù)均不顯著。三、隨機(jī)游走模型根據(jù)上述剛剛介紹的單位根檢驗(yàn)，我們已經(jīng)知道，當(dāng)存在單位根時(shí)，時(shí)間序列就變?yōu)椋篩t=Yt-1+Ut(5—29)這就是一個(gè)隨機(jī)游走模型（randomwalkmodel）。其中Ut是均值為零，方差為常數(shù)的隨機(jī)誤差項(xiàng)。假定我們考察的時(shí)間序列是在時(shí)間0開始的，即首項(xiàng)為Y0。于是，我們有：Yt-1=Yt-2+Ut-1Yt-2=Yt-3+Ut-2……Y2=Y1+U2Y1=Y0+U1利用遞推替代方法，由Yt-1開始依次替代，最終將得到：Yt=Y0+∑Ui

其中，加總是從t=1到t=n，n是樣本容量或觀察總次數(shù)?，F(xiàn)在，可以很容易地證得：E(Yt)=Y0D2（Yt）=n在這里，我們利用了這一事實(shí)，即Ut是隨機(jī)的，其中每個(gè)都有同樣的方差。也就是說，在這里Yt的方差不僅不是常數(shù)，而且是隨著n的增加而不斷地增加的。因此，依據(jù)我們前面所給出的非平穩(wěn)時(shí)間序列的定義，隨機(jī)游走模型中變量Yt是非平穩(wěn)時(shí)間序列(這里，非平穩(wěn)是指在方差中)。但是，請注意隨機(jī)游走模型的一個(gè)很有意思的特征，即如果你將它寫成：△Yt=(Yt－Yt-1)=Ut如以前一樣，其中△是觀測數(shù)的一階差分。在這里我們看到，Yt的一階差分是平穩(wěn)的，因?yàn)镋(△Yt)=E(Ut)=0，并且有D2(△Yt)=D2(Ut)=。

四、單整和協(xié)整所謂單整(Integration)，即對于一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，如果在差分d次后可成為一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列，而在差分d－1次后仍然是非平穩(wěn)的，則稱時(shí)間序列是d階單整的，并記為I(d)序列。顯然，經(jīng)一次差分后得到的平穩(wěn)序列就是I（1），平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可以表示為I(0)。所謂協(xié)整(CoIntegration)，即盡管每個(gè)時(shí)間序列自身是非平穩(wěn)的，但它們的一個(gè)線性組合卻是平穩(wěn)的，這樣的時(shí)間序列就被稱作為是