全國統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程1備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程練好題·考點(diǎn)自測1.〖改編題〗下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()(1)tanθ=1與θ=π4表示同一條曲線(2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,2),那么它的極坐標(biāo)為(2,3π4(3)過極點(diǎn)的傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程可表示為θ=α和θ=π+α.(4)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)(a>0)處,且過極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2asinθ.A.1 B.2 C.3 D.42.若曲線C的參數(shù)方程為x=1+cos2θ,y=sin2θ(A.直線x+2y-2=0B.以(2,0)為端點(diǎn)的射線C.圓(x-1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段3.〖2019天津,12,5分〗〖文〗設(shè)a∈R,直線ax-y+2=0和圓x=2+2cosθ,y=1+2sinθ(4.〖2020全國卷Ⅱ,23,10分〗〖文〗已知曲線C1,C2的參數(shù)方程分別為C1:x=4cos2θ,y=4sin2θ((1)將C1,C2的參數(shù)方程化為普通方程.(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)C1,C2的交點(diǎn)為P,求圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.拓展變式1.〖2018全國卷Ⅰ,22,10分〗〖文〗在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程.2.〖2021陜西省部分學(xué)校摸底檢測〗在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3+sinφ-2cosφ,y=cosφ+2sinφ(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程并判斷C1,C2的位置關(guān)系;(2)設(shè)直線θ=α(-π2<α<π2,ρ∈R)分別與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),與曲線C2交于P點(diǎn),若|AB|=3|OA|,求|3.〖2018全國卷Ⅲ,22,10分〗〖文〗在平面直角坐標(biāo)系xOy中,☉O的參數(shù)方程為x=cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)),過點(diǎn)(0,-2)且傾斜角為α的直線l與☉(1)求α的取值范圍;(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.4.〖2020廣東珠海三?！皆趨?shù)方程x=a+tcosθ,y=b+tsinθ(θ為直線l的傾斜角,(1)求線段BC的中點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù);(2)若a=b=1,直線l與曲線y2=2x交于點(diǎn)S,T,且(1,1)是弦ST的中點(diǎn),求此時(shí)直線l的普通方程.5.〖2020東北三省四市二?！揭阎€C的極坐標(biāo)方程為ρ2=123+sin2θ,直線l的參數(shù)方程為x(1)求曲線C的一個(gè)參數(shù)方程和直線l的普通方程;(2)設(shè)點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M和點(diǎn)N為直線l上的點(diǎn),且|MN|=2,求△PMN面積的取值范圍.答案選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程1.A對于(1),tanθ=1與θ=π4或θ=5π4表示同一條曲線,故(1)錯(cuò)誤;對于(2),極坐標(biāo)的表示方法不唯一,故(2)錯(cuò)誤;對于(3),由直線的極坐標(biāo)方程概念可知正確;對于(4),設(shè)M為圓上任意一點(diǎn),由圓的性質(zhì)可得,cosθ=|OM|2a=ρ2a2.D將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).故曲線C上的點(diǎn)的軌跡是一條以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段.3.34由已知條件可得圓的普通方程為(x-2)2+(y-1)2=4,其圓心為(2,1),半徑為2,由直線和圓相切可得|2a-1+2|a24.(1)C1的普通方程為x+y=4(0≤x≤4).由C2的參數(shù)方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t2-2,所以x2故C2的普通方程為x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-y2=4得設(shè)所求圓的圓心的直角坐標(biāo)為(x0,0),由題意得x02=(x0-52)解得x0=1710因此,所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ=175cos1.(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.(2)解法一(幾何法)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=-43時(shí),l1與C當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=43時(shí),綜上,所求C1的方程為y=-43|x解法二(代數(shù)法)因?yàn)閥=k|x|+2,(x+1)2+y所以(1+k2)x2+(2x+4k|x|)+1=0,所以x≥0,(1+交點(diǎn)個(gè)數(shù)等于方程組解的個(gè)數(shù)和,顯然每個(gè)方程組最多有兩個(gè)解,所以只能一個(gè)方程組有一個(gè)解,一個(gè)方程組有兩個(gè)解.所以Δ1=(2+4k)2-4(1+k2)=0或Δ2=(2-4k)2-4(1+k2)=0,所以k=0或k=43或k=-經(jīng)檢驗(yàn)可知:當(dāng)k=0時(shí),曲線C1的方程為y=2,曲線C1與圓只有一個(gè)交點(diǎn),故舍去;當(dāng)k=43時(shí),曲線C1的方程為y=43|x|+2,曲線C當(dāng)k=-43時(shí),曲線C1的方程為y=-43|x|+2,曲線所以曲線C1的方程為y=-43|x2.(1)曲線C1:x①2+②2得(x-3)2+y2=5,即x2+y2-6x+4=0,將x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式,得曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-6ρcosθ+4=0.由ρ2-6ρcos所以C1,C2相離.(2)由ρ2-6ρcosθ+4=0,θ=因?yàn)橹本€θ=α與曲線C1有A,B兩個(gè)交點(diǎn),所以Δ=36cos2α-16>0,得cosα>23設(shè)A(ρ1,α),B(ρ2,α),則ρ1,ρ2是方程ρ2-6ρcosα+4=0的兩根,則ρ因?yàn)閨AB|=3|OA|,所以|OB|=4|OA|,即ρ2=4ρ1⑤,由③④⑤解得ρ1=1,ρ2=4,cosα=56,滿足Δ由ρcosθ+2=0,θ=α得所以|OP|=|ρ|=1253.(1)☉O的普通方程為x2+y2=1.當(dāng)α=π2時(shí),l與☉O交于兩點(diǎn)當(dāng)α≠π2時(shí),記tanα=k,則l的方程為y=kx-2.因?yàn)閘與☉O交于兩點(diǎn),所以|-2|1+k2<1,解得k<-1或k>1,即α∈(π4,π綜上,α的取值范圍是(π4,3π4(2)l的參數(shù)方程為x=tcosα,y=-2+t設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=tA+tB2,且tA,tB滿足t2-22于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足x所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是x=22sin2α,y=-224.(1)設(shè)B(xB,yB),C(xC,yC),M(xM,yM).由參數(shù)方程得x于是xM=xB+xC2=ayM=yB+yC2=所以線段BC的中點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)是t1(2)將x=1+tcosθ,y=1+tsinθ(t為參數(shù))代入y2=2x中,得到(1+即sin2θ·t2+(2sinθ-2cosθ)t-1=0.易知Δ>0,所以S,T對應(yīng)的參數(shù)t3,t4滿足t3+t4=-2sin由(1)知,(1,1)對應(yīng)的參數(shù)是t3+t42=-所以tanθ=1.故此時(shí)直線l的普通方程是y-1=1·(x-1),即x-y=0.〖思維拓展〗在本題中,如果點(diǎn)P在直線BC上,且BP=λPC(λ≠-1),則點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)是t15.(1)由ρ2=123+sin2θ得,3ρ2+ρ2sin2θ=12,即3(x2+y2)+y2故曲線C的一個(gè)參數(shù)方程是x=2cosθ,y將55t=y-3代入x=2-255t中,得x整理得直線l的普通方程是x+2y-8=0.(2)設(shè)P(2cosθ,3sinθ),則S△PMN=12×2×|2cos因?yàn)閨4sin(θ+π6)-8|max=12,|4sin(θ+π6)-8|所以△PMN面積的取值范圍是〖455,12選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程練好題·考點(diǎn)自測1.〖改編題〗下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()(1)tanθ=1與θ=π4表示同一條曲線(2)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,2),那么它的極坐標(biāo)為(2,3π4(3)過極點(diǎn)的傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程可表示為θ=α和θ=π+α.(4)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)(a>0)處,且過極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2asinθ.A.1 B.2 C.3 D.42.若曲線C的參數(shù)方程為x=1+cos2θ,y=sin2θ(A.直線x+2y-2=0B.以(2,0)為端點(diǎn)的射線C.圓(x-1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段3.〖2019天津,12,5分〗〖文〗設(shè)a∈R,直線ax-y+2=0和圓x=2+2cosθ,y=1+2sinθ(4.〖2020全國卷Ⅱ,23,10分〗〖文〗已知曲線C1,C2的參數(shù)方程分別為C1:x=4cos2θ,y=4sin2θ((1)將C1,C2的參數(shù)方程化為普通方程.(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)C1,C2的交點(diǎn)為P,求圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.拓展變式1.〖2018全國卷Ⅰ,22,10分〗〖文〗在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程.2.〖2021陜西省部分學(xué)校摸底檢測〗在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3+sinφ-2cosφ,y=cosφ+2sinφ(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程并判斷C1,C2的位置關(guān)系;(2)設(shè)直線θ=α(-π2<α<π2,ρ∈R)分別與曲線C1交于A,B兩點(diǎn),與曲線C2交于P點(diǎn),若|AB|=3|OA|,求|3.〖2018全國卷Ⅲ,22,10分〗〖文〗在平面直角坐標(biāo)系xOy中,☉O的參數(shù)方程為x=cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)),過點(diǎn)(0,-2)且傾斜角為α的直線l與☉(1)求α的取值范圍;(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.4.〖2020廣東珠海三模〗在參數(shù)方程x=a+tcosθ,y=b+tsinθ(θ為直線l的傾斜角,(1)求線段BC的中點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù);(2)若a=b=1,直線l與曲線y2=2x交于點(diǎn)S,T,且(1,1)是弦ST的中點(diǎn),求此時(shí)直線l的普通方程.5.〖2020東北三省四市二?！揭阎€C的極坐標(biāo)方程為ρ2=123+sin2θ,直線l的參數(shù)方程為x(1)求曲線C的一個(gè)參數(shù)方程和直線l的普通方程;(2)設(shè)點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M和點(diǎn)N為直線l上的點(diǎn),且|MN|=2,求△PMN面積的取值范圍.答案選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程1.A對于(1),tanθ=1與θ=π4或θ=5π4表示同一條曲線,故(1)錯(cuò)誤;對于(2),極坐標(biāo)的表示方法不唯一,故(2)錯(cuò)誤;對于(3),由直線的極坐標(biāo)方程概念可知正確;對于(4),設(shè)M為圓上任意一點(diǎn),由圓的性質(zhì)可得,cosθ=|OM|2a=ρ2a2.D將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).故曲線C上的點(diǎn)的軌跡是一條以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段.3.34由已知條件可得圓的普通方程為(x-2)2+(y-1)2=4,其圓心為(2,1),半徑為2,由直線和圓相切可得|2a-1+2|a24.(1)C1的普通方程為x+y=4(0≤x≤4).由C2的參數(shù)方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t2-2,所以x2故C2的普通方程為x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-y2=4得設(shè)所求圓的圓心的直角坐標(biāo)為(x0,0),由題意得x02=(x0-52)解得x0=1710因此,所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ=175cos1.(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.(2)解法一(幾何法)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=-43時(shí),l1與C當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=43時(shí),綜上,所求C1的方程為y=-43|x解法二(代數(shù)法)因?yàn)閥=k|x|+2,(x+1)2+y所以(1+k2)x2+(2x+4k|x|)+1=0,所以x≥0,(1+交點(diǎn)個(gè)數(shù)等于方程組解的個(gè)數(shù)和,顯然每個(gè)方程組最多有兩個(gè)解,所以只能一個(gè)方程組有一個(gè)解,一個(gè)方程組有兩個(gè)解.所以Δ1=(2+4k)2-4(1+k2)=0或Δ2=(2-4k)2-4(1+k2)=0,所以k=0或k=43或k=-經(jīng)檢驗(yàn)可知:當(dāng)k=0時(shí),曲線C1的方程為y=2,曲線C1與圓只有一個(gè)交點(diǎn),故舍去;當(dāng)k=43時(shí),曲線C1的方程為y=43|x|+2,曲線C當(dāng)k=-43時(shí),曲線C1的方程為y=-43|x|+2,曲線所以曲線C1的方程為y=-43|x2.(1)曲線C1:x①2+②2得(x-3)2+y2=5,即x2+y2-6x+4=0,將x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式,得曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-6ρcosθ+4=0.由ρ2-6ρcos所以C1,C2相離.(2)由ρ2-6ρcosθ+4=0,θ=因?yàn)橹本€θ=α與曲線C1有A,B兩個(gè)交點(diǎn),所以Δ=36cos2α-16>0,得cosα>23設(shè)A(ρ1,α),B(ρ2,α),則ρ1,ρ2是方程ρ2-6ρcosα+4=0的兩根,則ρ因?yàn)閨AB|=3|OA|,所以|OB|=4|OA|,即ρ2=4ρ1⑤,由③④⑤解得ρ1=1,ρ2=4,cosα=56,滿足Δ由ρcosθ+2=0,θ=α得所以|OP|=|ρ|=1253.(1)☉O的普通方程為x2+y2=1.當(dāng)α=π2時(shí),l與☉O交于兩點(diǎn)當(dāng)α≠π2時(shí),記tanα=k,則l的方程為y=kx-2.因?yàn)閘與☉O交于兩點(diǎn),所以|-2|1+k2<1,解得k<-