考研數(shù)學二分類模擬194

考研數(shù)學二分類模擬194一、選擇題1.

設(shè)f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點，則______

A．φ[f(x)]必有間斷點

B（江南博哥）．[φ(x)]2必有間斷點

C．f[φ(x)]必有間斷點

D．必有間斷點正確答案：D[解析]方法一：取f(x)=1，x∈(-∞，+∞)，則f(x)，φ(x)滿足題設(shè)條件。由于φ[f(x)]=1，[φ(x)]2=1，f[φ(x)]=1都是連續(xù)函數(shù)，可排除選項A、B、C。故選D。

方法二：借助極限的四則運算性質(zhì)可知，連續(xù)×間斷=由題意知，函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(x)≠0，則必定間斷。故選D。

2.

若函數(shù)在x=0處連續(xù)，則______

A．

B．

C．a(chǎn)b=0

D．a(chǎn)b=2正確答案：A[考點]本題考查分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性。[解析]由函數(shù)連續(xù)的定義可知，因為

所以

先計算出函數(shù)f(x)在分段點x=0處的左、右極限，然后根據(jù)列出等式即可。在計算右極限時可以使用等價無窮小替換簡化運算。

3.

設(shè)函數(shù)若f(x)+g(x)在R上連續(xù)，則______A.a=3，b=1B.a=3，b=2C.a=-3，b=1D.a=-3，b=2正確答案：D[解析]由題意可得

則f(x)+g(x)在x=-1處的左、右極限分別為

f(x)+g(x)在x=0處的左、右極限分別為

由于f(x)+g(x)在R上連續(xù)，所以f(x)+g(x)在x=-1和x=0處的左極限=右極限，即有1+a=-2，-1=-b+1，所以a=-3，b=2，故選D。

函數(shù)連續(xù)性的定義：

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果，則稱f(x)在點x0連續(xù)，且稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點。

若，則稱f(x)在點x0左連續(xù)。

若，則稱f(x)在點x0右連續(xù)。

f(x)在點x0連續(xù)f(x)在點x0左連續(xù)且右連續(xù)，即。

4.

設(shè)函數(shù)則______A.x=0，x=1都是f(x)的第一類間斷點B.x=0，x=1都是f(x)的第二類間斷點C.x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點D.x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點正確答案：D[解析]顯然函數(shù)f(x)在x=0，x=1兩個點處無定義，因此這兩個點均為間斷點。

因為所以x=0為第二類間斷點。

因為所以x=1為第一類間斷點。

故選D。

5.

函數(shù)的間斷點及類型是______A.x=1為第一類間斷點，x=-1為第二類間斷點B.x=±1均為第一類間斷點C.x=1為第二類間斷點，x=-1為第一類間斷點D.x=±1均為第二類間斷點正確答案：B[解析]分別就|x|=1，|x|＜1，|x|＞1時求極限得出f(x)的分段表達式

在|x|=1處，因

所以，x=±1均為f(x)的第一類間斷點。故選B。

6.

設(shè)則______A.f(x)在點x=1處連續(xù)，在點x=-1處間斷B.f(x)在點x=1處間斷，在點x=-1處連續(xù)C.f(x)在點x=1，x=-1處均連續(xù)D.f(x)在點x=1，x=-1處均間斷正確答案：B[解析]由函數(shù)連續(xù)的定義可知

所以f(x)在x=1處間斷。

為有界量，則

所以f(x)在x=-1處連續(xù)。故選B。

7.

函數(shù)在[-π，π]上的第一類間斷點是x=______

A．0

B．1

C．

D．正確答案：A[解析]可以先找出函數(shù)的無定義點，再根據(jù)左、右極限判斷間斷點的類型。顯然函數(shù)在x=0，x=1，均無意義，而

所以x=0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點。故選A。

8.

設(shè)函數(shù)則f(x)有______A.1個可去間斷點，1個跳躍間斷點B.1個可去間斷點，1個無窮間斷點C.2個跳躍間斷點D.2個無窮間斷點正確答案：A[解析]x=0，x=1時，f(x)均無定義，所以x=0，x=1是函數(shù)的間斷點。并且

同理

又有

由可去間斷點和跳躍間斷點的定義知，x=0是可去間斷點，x=1是跳躍間斷點。故選A。

9.

等于______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由題干可知，

故選B。

二、填空題1.

設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則a=______。正確答案：[解析]已知f(x)在x=0處連續(xù)，則

所以

2.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，則A=______。正確答案：[解析]令函數(shù)其中g(shù)(x)，h(x)分別在[a，x0]，(x0，b]上是初等函數(shù)，因此連續(xù)，且f(x)在x0連續(xù)。所以g(x0)=h(x0)。

對任意常數(shù)A，顯然x≠1時，f(x)連續(xù)。當且僅當時，f(x)在x=1連續(xù)。

因此，當時，f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)。

3.

設(shè)函數(shù)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則c=______。正確答案：1[解析]由題設(shè)知，c≥|x|≥0，所以

因此

又f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則f(x)必在x=c處連續(xù)，所以有=f(c)，即得c=1。

4.

已知函數(shù)f(x)連續(xù)，且則f(0)=______。正確答案：2[解析]

因此f(0)=2。

5.

設(shè)則f(x)的間斷點為x=______。正確答案：0[解析]首先對于不同的x，用求極限的方法得出f(x)的表達式，再討論f(x)的間斷點。

當x=0時，f(x)=0；

當x≠0時，有

所以f(x)的表達式為

由于

所以x=0為f(x)的間斷點。

三、解答題1.

正確答案：解：

2.

求下列極限：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

(Ⅴ)

(Ⅵ)正確答案：解：(Ⅰ)因為

且所以由夾逼準則可知

(Ⅱ)因為

且所以由夾逼準則可知

(Ⅲ)因為

且所以由夾逼準則可知

(Ⅳ)利用定積分的定義可得

(Ⅴ)利用定積分的定義可得

(Ⅵ)利用定積分的定義可得

3.

設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。

(Ⅰ)證明存在，并求該極限；

(Ⅱ)正確答案：解：(Ⅰ)0＜x1＜π，則

0＜x2=sinx1≤1＜π。

由數(shù)學歸納法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即數(shù)列{xn}有界。

于是(因當x＞0時，sinx＜x)，則有xn+1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調(diào)遞減，故由單調(diào)遞減有下界數(shù)列必有極限知，極限存在。

設(shè)在xn+1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即

(Ⅱ)因由(Ⅰ)知該極限為1∞型。

令t=xn，則n→∞，t→0，而

又因為

故有

[解析](1)單調(diào)收斂定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

(2)單調(diào)收斂定理一般用于以遞推公式an+1=f(an)形式給出的極限。這類問題，一般先證明{an}單調(diào)有界(主要難點)，再兩邊同時取極限，最后從a=f(a)中解出極限值(假設(shè))。

4.

(Ⅰ)證明方程xn+xn-1+…+x=1(n為大于1的整數(shù))在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根；

(Ⅱ)記(Ⅰ)中的實根為xn，證明存在，并求此極限。正確答案：證明：(Ⅰ)根據(jù)題意，令

f(x)=xn+xn-1+…+x-1，

則f(1)＞0，又

結(jié)合零點定理可得，f(x)=xn+xn-1+…+x-1在內(nèi)至少存在一個零點，即方程xn+xn+1+…+x=1在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根。

又因為f(x)=xn+xn-1+…+x-1在上是單調(diào)的，可知f(x)=xn+xn-1+…+x-1在內(nèi)最多只有一個零點。

綜上所述，方程xn+xn-1+…+x=1在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根。

(Ⅱ)由題設(shè)f(xn)=0，可知進而有=0，所以

比較上面兩個式子可知xn+1＜xn，故{xn}單調(diào)遞減。

又由(Ⅰ)知即{xn}是有界的，則由單調(diào)有界收斂定理可知{xn}收斂，假設(shè)可知a＜x2＜x1=1。

當n→∞時，有

解得[解析]不等式證明主要借助函數(shù)的單調(diào)性進行：首先構(gòu)造出輔助函數(shù)(一般用不等式兩邊直接相減，如果不等式比較復雜，可以先化簡，再相減)，再對輔助函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)的符號得出單調(diào)性，進而得出函數(shù)值和端點值的大小關(guān)系。

5.

設(shè)函數(shù)數(shù)列{xn}滿足證明存在，并求此極限。正確答案：證明：令則x＜1。于是f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以x=1是f(x)唯一的最小值點，且f(x)≥f(1)=1，從而有再結(jié)合題目中的條件有

所以xn＜xn+1，且0＜xn＜e，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞增且有界。由單調(diào)有界收斂定理可知，極限存在。

令而所以=1。由前面討論出的函數(shù)f(x)的性質(zhì)可知

6.

設(shè)數(shù)列{xn}滿足：x1＞0，xnexn+1=exn-1(n=1，2，…)。證明{xn}收斂，并求正確答案：證明：方法一：由題意可知

首先證明{xn}有下界，即證明xn＞0。

當n=1時，x1＞0；假設(shè)當n=k時，xk＞0；則當n=k+1時，其中exk-1＞xk，可知xk+1＞ln1=0，因此對于任意的n，有xn＞0。

再證明{xn}的單調(diào)性。

由已知可得

令f(x)=ex-1-xex，則f'(x)=-xex。當x＞0時，f'(x)=-xex＜0，故f(x)＜f(0)=0，從而exn+1+-exn＜0，故xn+1＜xn，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞減。

綜上，{xn}為單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，則由單調(diào)收斂定理可知{xn}收斂。

設(shè)，在xnexn+1=exn-1兩邊同時令n→∞，得aea=ea-1，解得a=0，故。

方法二：由泰勒公式可知，，其中ξ介于0與x之間，從而可知ex-1≥x，所以xn+1=，從而數(shù)列{xn}有下界。

另一方面，由拉格朗日中值定理可知，xnexn+1=exn-1=exn-e0=xneξn，其中0＜ξn＜xn，從而可知xn+1=ξn＜xn，則數(shù)列{xn}單調(diào)遞減。

由單調(diào)收斂定理可知，數(shù)列{xn}收斂。

設(shè)，在xnexn+1=exn-1兩邊同時令n→∞，得aea=ea-1，解得a=0，故。[考點]本題考查數(shù)列的單調(diào)收斂定理。[解析]該定理的主要應用是證明數(shù)列極限的收斂及計算極限。在證明數(shù)列極限的收斂性時，考生可以從以下兩點入手，第一：證明數(shù)列有界；第二：證明數(shù)列單調(diào)。在計算數(shù)列極限時(已證得數(shù)列極限存在)．考生可以對題目中所給遞推式(迭代式)兩邊同時取極限，即可得到數(shù)列極限的值。

7.

求函數(shù)的間斷點，并指出其類型。正確答案：解：函數(shù)f(x)的可疑點只有x=0和x=1兩個。

因為

所以x=0為可去間斷點，x=1為跳躍間斷點。

8.

求函數(shù)所有的間斷點及其類型。正確答案：解：函數(shù)f(x)有可疑點有x=0，x=1，x=-1，且

因為

所以x=0為跳躍間斷點，x=1為可去間斷點，x=-1為無窮間斷點。

9.

設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)當n為正整數(shù)，且nπ≤x＜(n+1)π時，證明2n≤S(x)＜2(n+1)；

(Ⅱ)正確答案：解：(Ⅰ)因為|cosx|≥0，且nπ