1.1.1空間向量及其線性運算課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性3

1.1.1空間向量及其線性運算第一章1.1人教A版

數(shù)學

選擇性必修第一冊自主預習新知導學一、空間向量的概念1.劉力同學放學后回家,先從學校大門口出發(fā)向北行走600米,再向東行走500米,最后乘電梯上行45米到達住處.你能用示意圖表示一下劉力同學放學回家的總位移嗎?提示:2.(1)空間向量①定義:在空間,我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.②長度或模:空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.(2)幾類常見的空間向量

3.下列說法錯誤的是(

)A.零向量沒有確定的方向B.互為相反向量的兩個向量必共線C.若向量a與向量b的模相等,則a,b的方向相同或相反D.任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)解析:已知|a|=|b|,不能確定向量a,b的方向,故C錯誤;ABD正確.答案:C二、空間向量的線性運算1.如圖,觀察正方體中過同一個頂點A的三條棱所表示的向量,回答下列問題:(1)三條棱所表示的向量在同一平面內(nèi)嗎?這三個向量是相等向量嗎?提示:不在同一平面內(nèi).這三個向量不是相等向量.提示:能運算.由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量,故任意兩個空間向量的運算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運算.可類比平面向量的運算法則,借助平行四邊形法則或三角形法則求解.2.(1)空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運算.由圖①知(2)與平面向量一樣,空間向量的線性運算滿足以下運算律(λ,μ∈R):交換律:a+b=b+a;結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=

(λμ)a;分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=

λa+λb.(3)一般地,對于三個不共面的向量a,b,c,以任意點O為起點,a,b,c為鄰邊作平行六面體,則a,b,c的和等于以O(shè)為起點的平行六面體對角線所表示的向量.答案:C

三、共線向量與共面向量1.根據(jù)平面向量知識,回答下列兩個問題:(1)在平面向量中,向量a,b(b≠0)共線的充要條件是什么?對于空間向量是否也成立呢?提示:a∥b(b≠0)的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.對于空間向量仍然成立.(2)已知平面內(nèi)任意兩個不共線向量a,b,對于這個平面內(nèi)任意一個向量p能否用向量a,b表示?怎樣表示?提示:能.存在唯一確定的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使向量p=xa+yb.2.(1)兩個向量共線(平行)的充要條件:對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.(2)直線的方向向量:如圖,O是直線l上一點,在直線l上取非零向量a,則對于直線l上任意一點P,存在實數(shù)λ,使得

=λa.我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.(3)與直線、平面平行的向量:如圖,如果表示向量a的有向線段

所在的直線OA

與直線l平行或重合,那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA

平行于平面α或在平面α內(nèi),那么稱向量a平行于平面α.(4)共面向量:平行于同一個平面的向量,叫做共面向量.(5)三個空間向量共面的充要條件:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.3.對于空間中任意三個向量a,b,2a-b,它們一定是(

)A.共面向量B.共線向量C.不共面向量D.既不共線也不共面向量解析:當向量a,b不共線時,由向量共面的充要條件知這三個向量a,b,2a-b共面;當向量a,b共線時,這三個向量a,b,2a-b共線,也共面,所以它們一定是共面向量.答案:A合作探究釋疑解惑探究一空間向量的有關(guān)概念【例1】

(1)下列說法正確的是(

)A.若|a|<|b|,則a<bB.若a,b互為相反向量,則a+b=0C.空間中兩平行向量相等分析:根據(jù)相等向量、相反向量的概念判斷.解析:(1)向量的模有大小,但向量不能比較大小,故A錯;相反向量的和為0,不是0,故B錯;相等向量滿足模相等,方向相同兩個條件,平行向量不一定具備,故C錯;D正確.反思感悟1.空間向量關(guān)于零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念與平面向量相對應的概念完全相同.2.由于向量是由其模和方向確定的,因此解答空間向量有關(guān)概念問題時,通常抓住這兩點來解決.3.零向量是一個特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量都共線.【變式訓練1】

(1)(多選題)下列說法錯誤的是(

)A.若兩個空間向量相等,則表示它們有向線段的起點相同,終點也相同解析:(1)A錯誤.兩個空間向量相等,其模相等且方向相同,但與起點和終點的位置無關(guān).B錯誤.向量的?？梢员容^大小,但向量不能比較大小.探究二空間向量的線性運算解:(1)因為P是C1D1的中點,反思感悟用已知向量表示未知向量,是向量線性運算的基礎(chǔ)類型,解決這類問題,要注意以下方面(1)熟練掌握空間向量線性運算法則和運算律.(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用,提升直觀想象素養(yǎng).【變式訓練2】

如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點.探究三向量共線問題證明:∵E,H分別是邊AB,AD的中點,又點F不在直線EH上,∴四邊形EFGH是梯形.反思感悟1.本題利用空間向量共線證明了線線平行,解題時應注意向量共線與兩直線平行的區(qū)別.2.判斷或證明兩空間向量a,b(b≠0)共線,就是尋找實數(shù)λ,使a=λb成立,為此常結(jié)合題目圖形,運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.求證:E,F,B三點共線.探究四空間向量共面問題證明:A,E,C1,F四點共面.分析:要證明四點共面,可以其中一點為起點,其余點為終點得到三個向量,證明其中一個向量可以用另外兩個向量線性表示.反思感悟1.證明三個空間向