2.2.1直線的傾斜角與斜率課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第一章空間向量與立體幾何直線的傾斜角與斜率人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解直線的傾斜角和斜率的概念;2.經(jīng)歷用代數(shù)的方法刻畫直線斜率的過程;3.掌握過兩點的直線斜率的計算公式并能解決相關(guān)的實際問題;4.理解直線的方向向量和法向量的概念,并能找出其與直線斜率和傾斜角的內(nèi)在聯(lián)系.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1直線的傾斜角一般地,給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線,如果這條直線與x軸相交,將x軸繞著它們的交點

旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的

記為θ,則稱θ為這條直線的傾斜角;如果這條直線與x軸平行或重合,則規(guī)定這條直線的傾斜角為0°.直線傾斜角的范圍是0°~180°(即[0,π)).

名師點睛1.任意一條直線都有唯一的傾斜角α,但傾斜角為α的直線有無數(shù)多條.2.一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直線l上兩個不同的點,直線l的傾斜角為θ,當(dāng)y1=y2時(此時必有x1≠x2),θ=0°;當(dāng)x1=x2時(此時必有y1≠y2),θ=90°.按逆時針方向

最小正角

過關(guān)自診1.(多選題)下列說法中,正確的是(

)A.直線的傾斜角為0°,則此直線與x軸平行B.一條直線的傾斜角為-30°C.若直線的傾斜角為α,則sinα≥0D.任意直線都有傾斜角α,且α=90°時,直線與x軸垂直2.直線y=x的傾斜角為

.

CD45°知識點2直線的斜率(1)一般地,如果直線l的傾斜角為θ,則當(dāng)θ≠90°時,稱k=

為直線l的斜率;當(dāng)θ=90°時,稱直線l的斜率不存在.

對應(yīng)θ=90°(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直線l上兩個不同的點,則當(dāng)x1≠x2時,直線l的斜率為k=

.

當(dāng)x1=x2時,直線l的斜率不存在.tanθ名師點睛斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系

圖示傾斜角(范圍)α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率(范圍)k=0k>0不存在k<0過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)任何一條直線都有傾斜角,都存在斜率.(

)(2)任何一條直線有且只有一個斜率和它對應(yīng).(

)(3)傾斜角為α的直線不唯一.(

)(4)兩條直線的傾斜角相等,它們的斜率也相等.(

)××√×2.下面選項中,兩點確定的直線的斜率不存在的是(

)A.(4,2)與(-4,1)B.(0,3)與(3,0)C.(3,-1)與(2,-1)D.(-2,2)與(-2,5)D解析

選項D中,因為x1=x2=-2,所以直線垂直于x軸,傾斜角為90°,即斜率不存在.知識點3直線的方向向量和直線的法向量概念定義符號表示直線的方向向量如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合,則稱向量a為直線l的一個方向向量a∥l直線的法向量如果表示非零向量v的有向線段所在直線與直線l垂直,則稱向量v為直線l的一個法向量v⊥l名師點睛直線的方向向量和法向量與斜率k(傾斜角θ)的關(guān)系(1)直線的方向向量不唯一,有無數(shù)多個,這些方向向量共線,(1,k)是其中一個,由向量垂直可知,(k,-1)是直線的一個法向量;(2)一般地,當(dāng)直線的傾斜角為θ時,(cos

θ,sin

θ)是直線的一個方向向量.過關(guān)自診已知直線l:y=3x+1,你能給出這條直線的一個方向向量a和一個法向量v嗎?該直線的斜率是多少?重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一直線的傾斜角【例1】

(1)下列說法正確的是(

)A.一條直線和x軸的正方向所成的角,稱為這條直線的傾斜角B.直線的傾斜角α在第一象限或第二象限C.和x軸平行的直線,它的傾斜角為0°D.不是每一條直線都有傾斜角C解析

由傾斜角的定義可知,A錯誤;傾斜角的范圍是0°~180°,故B錯誤;和x軸平行的直線的傾斜角是0°,故C正確;每條直線都有傾斜角,故D錯誤.(2)已知直線l經(jīng)過第二、四象限,則直線l的傾斜角α的取值范圍是(

)C解析

直線傾斜角的取值范圍是[0,π).又因為直線l經(jīng)過第二、四象限,所以直線l的傾斜角α的取值范圍是規(guī)律方法

求直線的傾斜角的方法及注意點(1)方法:結(jié)合圖形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)兩點注意:①當(dāng)直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0°;當(dāng)直線與x軸垂直時,傾斜角為90°;②注意直線傾斜角的取值范圍.變式訓(xùn)練1已知直線l的傾斜角為θ-25°,則角θ的范圍為(

)A.25°≤θ<155°B.-25°≤θ<155°C.0°≤θ<180°D.25°≤θ<205°D解析

因為直線l的傾斜角為θ-25°,所以0°≤θ-25°<180°,所以25°≤θ<205°.探究點二直線的斜率和傾斜角的關(guān)系【例2】

已知直線l過點M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)當(dāng)m為何值時,直線l的斜率是1?(2)當(dāng)m為何值時,直線l的傾斜角為90°?(2)因為直線l的傾斜角為90°,所以直線l的斜率不存在,所以m+1=2m,所以m=1.變式探究1本例條件不變,試求直線l的傾斜角為銳角時實數(shù)m的取值范圍.解

因為直線l的傾斜角為銳角,所以直線的斜率大于0,即

故m的取值范圍為(1,2).變式探究2若將本例中的“N(2m,1)”改為“N(3m,2m)”,其他條件不變,結(jié)果如何?解

(1)因為直線l的斜率是1,所以

=1,所以m=2.(2)因為直線l的傾斜角為90°,所以直線l的斜率不存在,所以m+1=3m,所以m=.規(guī)律方法

通過本例的求解,一定要熟練地掌握直線的斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系,若直線斜率存在,則除了斜率公式之外還可以應(yīng)用k=tan

α(其中α為直線的傾斜角,k為直線的斜率),斜率為零和斜率不存在時對應(yīng)的情況要引起重視.變式訓(xùn)練2(1)若過點P(1-a,1+a)與Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實數(shù)a的取值范圍是

.

(-2,1)解析

因為直線的傾斜角為鈍角,所以-2<a<1,即a∈(-2,1).(2)求證:A(1,5),B(0,2),C(2,8)三點共線.證明

(方法一)利用斜率公式計算出AB和AC兩條直線的斜率,因為直線AB和AC的斜率相同,且直線AB和AC過同一點A,所以A,B,C三點共線.即|AB|+|AC|=|BC|,所以A,B,C三點共線.探究點三求直線的方向向量和法向量【例3】

已知直線過點A(-1,-2),B(3,2),試求:直線的一個方向向量a,一個法向量v,斜率k與傾斜角θ.解

根據(jù)方向向量的定義可知直線的一個方向向量為

=(3-(-1),2-(-2))=(4,4),∴取a=(4,4).再根據(jù)a與v垂直,因此取v=(4,-4).直線的斜率k==1,再由tan

θ=k=1,得θ=45°.綜上可知,該直線的一個方向向量為(4,4),一個法向量為(4,-4),斜率為1,傾斜角為45°.規(guī)律方法

1.求解一條直線的方向向量、法向量、斜率、傾斜角問題,一定要明確其定義.2.利用相應(yīng)的計算公式以及理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,尤其是可以根據(jù)方向向量進(jìn)而得出法向量,也可以根據(jù)方向向量求斜率.變式訓(xùn)練3[北師大版教材習(xí)題]已知直線l的斜率為-2,求直線l的一個方向向量的坐標(biāo).解

直線l的一個方向向量的坐標(biāo)為(1,-2).成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測A級必備知識基礎(chǔ)練12345678910111213141516171.[探究點二]下面選項中,兩點確定的直線的斜率不存在的是(

)A.(4,2)與(-4,1) B.(0,3)與(3,0)C.(3,-1)與(2,-1) D.(-2,2)與(-2,5)D解析

D項,因為x1=x2=-2,所以直線垂直于x軸,傾斜角為90°,斜率不存在.12345678910111213141516172.[探究點二](多選題)下列說法中,不正確的有(

)A.任何一條直線都有唯一的斜率B.直線的傾斜角越大,它的斜率就越大C.任何一條直線都有唯一的傾斜角D.任何一條直線都能找出方向向量AB解析

A錯,因為傾斜角為90°的直線沒有斜率;B錯,因為當(dāng)0°<α<90°時,k>0,當(dāng)90°<α<180°時,k<0;C對,D對.12345678910111213141516173.[探究點一](多選題)若直線l的向上的方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角可能為(

)A.30°

B.60° C.120°

D.150°BC解析

y軸正方向?qū)?yīng)的直線的傾斜角為90°,因此所求直線的傾斜角為60°或120°.故選BC.12345678910111213141516174.[探究點二]在平面直角坐標(biāo)系中,正三角形ABC的BC邊所在直線的斜率是0,則AC,AB邊所在直線的斜率之和為(

)B解析

由BC邊所在直線的斜率是0知,直線BC與x軸平行或重合,所以直線AC,AB的傾斜角互為補(bǔ)角,根據(jù)直線斜率的定義知,直線AC,AB的斜率之和為0.故選B.12345678910111213141516175.[探究點二]如圖所示,下列四條直線中,斜率最大的是(

)A.l1 B.l2C.l3 D.l4D解析

由圖可知,l3斜率為負(fù),l2斜率為0,l1,l4的斜率為正.又l4的傾斜程度大于l1,所以l4的斜率最大.故選D.12345678910111213141516176.[探究點一]已知直線l的傾斜角為2α-20°,則α的范圍是

.

10°≤α<100°解析

由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.12345678910111213141516177.[探究點一]已知點A(2,-1),若在坐標(biāo)軸上存在一點P,使直線PA的傾斜角為45°,則點P的坐標(biāo)為

.

(3,0)或(0,-3)解析

若設(shè)點P的坐標(biāo)為P(x,0),12345678910111213141516178.[探究點一]已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三點共線,則x=

,直線AB的傾斜角為

.

312345678910111213141516179.[探究點二]已知點A(1,2),B(-3,-4),C(2,),D(x,-2).(1)證明:A,B,C三點共線;(2)若∠DAB=,求x的值.1234567891011121314151617即-4(x-1)+24=0,解得x=7,∴x的值為7.123456789101112131415161710.[探究點二·人教A版教材例題]如圖,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.由kAB>0及kCA>0可知,直線AB與CA的傾斜角均為銳角;由kBC<0可知,直線BC的傾斜角為鈍角.1234567891011121314151617B級關(guān)鍵能力提升練11.(多選題)若直線l與x軸交于點A,其傾斜角為α,直線l繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

BC123456789101112131415161712.直線l1經(jīng)過兩點A(0,0),B(,1),直線l2的傾斜角是直線l1的傾斜角的2倍,則直線l2的斜率為(

)D123456789101112131415161713.直線xsinα-y+1=0的傾斜角的取值范圍為(

)D解析

設(shè)直線xsin

α-y+1=0的傾斜角為θ,可得tan

θ=sin

α∈[-1,1],123456789101112131415161714.若直線l的一個法向量為n=(2,1),則直線l的斜率k=

.

-2解析

根據(jù)題意,設(shè)直線l的斜率為k,則其方向向量為a=(1,k),若直線l的一個法向量為n=(2,1),則有a·n=2+k=0,解得k=-2.1234567891011121314151617

所以直線AB的傾斜角為0°,直線BC的傾斜角為60°,直線AC的傾斜角為30°.1234567891011121314151617(2)如圖,當(dāng)直線CD由CA繞點C逆時針轉(zhuǎn)到CB時,直線CD與線段AB恒有交點,即D在線段AB上,此時k由kAC增大到kBC,所以k的取值范圍為C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練12345678910111213