等式性質與不等式性質（第二課時）課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

2.1等式性質與不等式性質（第二課時）1.不等式與不等關系：

用不等式表示不等關系，注意文字語言與符號語言之間的轉化．2.比較兩個實數(shù)大小關系的依據：3.作差比較法：

作差

→

變形

→

判斷符號

→

作出結論知識回顧一個重要不等式右圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？弦圖很顯然趙爽弦圖是我們在初中研究勾股定理時的模型，我們把它抽象成如圖所示的圖形.設圖中直角三角形的兩個直角邊長為a,b,斜邊為c思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？２、四個直角三角形的面積和S/=＿___.ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿３、S與S/有什么樣的

關系？S>S′問：那么它們有相等的情況嗎？ADCBHFGEABCDE(FGH)abab當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切螘r，內部的小正方形變成了一個點，此時a=b，有a2+b2=2ab，所以綜合可知，a2+b2≥2ab.當且僅當a=b時，等號成立。適用范圍：a,b∈R思考：你能給出不等式a2+b2≥2ab的證明嗎？證明：（作差法）即a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立等式有下面的基本性質可以發(fā)現(xiàn),性質1,2反映了相等關系自身的特性,性質3,4,5是從運算的角度提出的,反映了等式在運算中保持的不變性.(運算的不變性即為性質)性質1

如果a=b,那么b=a;（對稱性）性質2

如果a=b,b=c,那么a=c;（傳遞性）性質3

如果a=b,那么a±c=b±c;（加法）性質4

如果a=b,那么ac=bc;（乘法）性質5

如果a=b,c≠0,那么.（乘法）思考:請你先梳理等式的基本性質,再觀察它們的共性.你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質的方法嗎?探究類比等式的基本性質,你能猜想不等式的基本性質嗎,并加以證明嗎？等式不等式對稱性傳遞性

性質1表明，把不等式的左邊和右邊交換位置，所得不等式與原不等式異向，我們把這種性質稱為不等式的對稱性．性質2也可以表示為c<b，b<a，則c<a.這個性質是不等式的傳遞性．證明：等式不等式加法文字語言：不等式的兩邊都加上同一個實數(shù),所得不等式與原不等式同向．ABabxb+cB1a+cA1幾何解釋：不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊.移項法則：aABbxb+cB1a+cA1等式不等式乘法注：

不等式兩邊同乘一個正數(shù)，不等式方向不變；不等式兩邊同乘一個負數(shù)，不等式方向相反．等式不等式加法注：同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向.

同向不等式只能相加，不能相減，但相減可以轉化為相加問題（加其相反數(shù)）.等式不等式乘法性質：若

當不等式的兩邊都是正數(shù)時,不等式的兩邊同時乘方所得得不等式和原不等式同向.當不等式的兩邊都是正數(shù)時,不等式的兩邊同時開方所得得不等式和原不等式同向.兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向.(對稱性)(傳遞性)(可加性)(可乘性)性質7：若

性質8：若

不等式有如下性質：大于0的不等式,乘方,開方運算證：∵兩邊同乘以正數(shù)，得即：又：c<0用不等號“>”或“<”填空

(1)如果a>b,c<d,那么a-c_____b-d

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac_____bd

(3)如果a>b>0,那么_____(4)如果a>b>c>0,那么_____

練習><<<對于實數(shù)a,b,c,有下列結論:①若a>b,則ac<bc;②若ac2>bc2,則a>b;③若a<b<0,則a2>ab>b2;

④若c>a>b>0,則

⑤若a>b,>，則a>0,b<0.

其中正確結論的有____________.②③④⑤練習已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范圍．【錯解】

∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴兩式相加可得0≤a≤4.又∵1≤a＋b≤5，－3≤b－a≤1，∴兩式相加可得－1≤b≤3.∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，∴－6≤3a－2b≤14.【錯因】

由1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，得出0≤a≤4，－1≤b≤3.此時，將a，b的范圍擴大了．例如，當a＝0，b＝－1時，盡管滿足0≤a≤4，－1≤b≤3，但是并不滿足1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3.也就是說“由1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，得出0≤a≤4，－1≤b≤3”的過程是一個不等價變形．用a＋b和a－b將3a－2b表示出來，然后利用同向不等式的可加性求出3a－2b的范圍即可．∴－2≤3a－2b≤10.∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，正解:設3a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)