等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第二課時(shí)）課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第二課時(shí)）1.不等式與不等關(guān)系：

用不等式表示不等關(guān)系，注意文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化．2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的依據(jù)：3.作差比較法：

作差

→

變形

→

判斷符號(hào)

→

作出結(jié)論知識(shí)回顧一個(gè)重要不等式右圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？弦圖很顯然趙爽弦圖是我們?cè)诔踔醒芯抗垂啥ɡ頃r(shí)的模型，我們把它抽象成如圖所示的圖形.設(shè)圖中直角三角形的兩個(gè)直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊為c思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？２、四個(gè)直角三角形的面積和S/=＿_(dá)__.ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿３、S與S/有什么樣的

關(guān)系？S>S′問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？ADCBHFGEABCDE(FGH)abab當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切螘r(shí)，內(nèi)部的小正方形變成了一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)a=b，有a2+b2=2ab，所以綜合可知，a2+b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。適用范圍：a,b∈R思考：你能給出不等式a2+b2≥2ab的證明嗎？證明：（作差法）即a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立等式有下面的基本性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn),性質(zhì)1,2反映了相等關(guān)系自身的特性,性質(zhì)3,4,5是從運(yùn)算的角度提出的,反映了等式在運(yùn)算中保持的不變性.(運(yùn)算的不變性即為性質(zhì))性質(zhì)1

如果a=b,那么b=a;（對(duì)稱性）性質(zhì)2

如果a=b,b=c,那么a=c;（傳遞性）性質(zhì)3

如果a=b,那么a±c=b±c;（加法）性質(zhì)4

如果a=b,那么ac=bc;（乘法）性質(zhì)5

如果a=b,c≠0,那么.（乘法）思考:請(qǐng)你先梳理等式的基本性質(zhì),再觀察它們的共性.你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎?探究類比等式的基本性質(zhì),你能猜想不等式的基本性質(zhì)嗎,并加以證明嗎？等式不等式對(duì)稱性傳遞性

性質(zhì)1表明，把不等式的左邊和右邊交換位置，所得不等式與原不等式異向，我們把這種性質(zhì)稱為不等式的對(duì)稱性．性質(zhì)2也可以表示為c<b，b<a，則c<a.這個(gè)性質(zhì)是不等式的傳遞性．證明：等式不等式加法文字語(yǔ)言：不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù),所得不等式與原不等式同向．ABabxb+cB1a+cA1幾何解釋：不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號(hào)后移到不等號(hào)的另一邊.移項(xiàng)法則：aABbxb+cB1a+cA1等式不等式乘法注：

不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)，不等式方向不變；不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式方向相反．等式不等式加法注：同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向.

同向不等式只能相加，不能相減，但相減可以轉(zhuǎn)化為相加問(wèn)題（加其相反數(shù)）.等式不等式乘法性質(zhì)：若

當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時(shí),不等式的兩邊同時(shí)乘方所得得不等式和原不等式同向.當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時(shí),不等式的兩邊同時(shí)開(kāi)方所得得不等式和原不等式同向.兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向.(對(duì)稱性)(傳遞性)(可加性)(可乘性)性質(zhì)7：若

性質(zhì)8：若

不等式有如下性質(zhì)：大于0的不等式,乘方,開(kāi)方運(yùn)算證：∵兩邊同乘以正數(shù)，得即：又：c<0用不等號(hào)“>”或“<”填空

(1)如果a>b,c<d,那么a-c_____b-d

(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac_____bd

(3)如果a>b>0,那么_____(4)如果a>b>c>0,那么_____

練習(xí)><<<對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,有下列結(jié)論:①若a>b,則ac<bc;②若ac2>bc2,則a>b;③若a<b<0,則a2>ab>b2;

④若c>a>b>0,則

⑤若a>b,>，則a>0,b<0.

其中正確結(jié)論的有____________.②③④⑤練習(xí)已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范圍．【錯(cuò)解】

∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴兩式相加可得0≤a≤4.又∵1≤a＋b≤5，－3≤b－a≤1，∴兩式相加可得－1≤b≤3.∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，∴－6≤3a－2b≤14.【錯(cuò)因】

由1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，得出0≤a≤4，－1≤b≤3.此時(shí)，將a，b的范圍擴(kuò)大了．例如，當(dāng)a＝0，b＝－1時(shí)，盡管滿足0≤a≤4，－1≤b≤3，但是并不滿足1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3.也就是說(shuō)“由1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，得出0≤a≤4，－1≤b≤3”的過(guò)程是一個(gè)不等價(jià)變形．用a＋b和a－b將3a－2b表示出來(lái)，然后利用同向不等式的可加性求出3a－2b的范圍即可．∴－2≤3a－2b≤10.∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，正解:設(shè)3a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)