全稱量詞與存在量詞課件 -2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

1.5.1全稱量詞與存在量詞

在我們的生活和學(xué)習(xí)中，常遇到這樣的命題：（1）所有中國(guó)公民的合法權(quán)利都受到中華人民共和國(guó)憲法的保護(hù)；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x2≥0；（3）存在有理數(shù)x，使x2－2＝0;（4）有些人沒(méi)有環(huán)境保護(hù)意識(shí).

對(duì)于這類命題，我們將從理論上進(jìn)行深層次的認(rèn)識(shí).下列語(yǔ)句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)x>3.(2)2x+1是整數(shù).(3)對(duì)所有的x∈R，x>3.(4)對(duì)任意一個(gè)x∈Z，2x+1是整數(shù).提示：語(yǔ)句(1)(2)不能判斷真假，不是命題；語(yǔ)句(3)(4)可以判斷真假，是命題.探究點(diǎn)1全稱量詞（1）與(3)區(qū)別是對(duì)所有的x∈R，x>3.（2）與(4)區(qū)別是對(duì)任意一個(gè)x∈Z，2x+1是整數(shù).

短語(yǔ)“對(duì)所有的”“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.常見(jiàn)的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”等【提升總結(jié)】強(qiáng)調(diào)的是全體全稱量詞命題舉例：全稱量詞命題符號(hào)記法：命題：①對(duì)任意的n∈Z，2n+1是奇數(shù)；

②所有的正方形都是矩形。全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：讀作“對(duì)任意x屬于M，有p(x)成立”?！窘馕觥浚?）2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)，所以為假命題.（2）真命題.

例1判斷下列全稱命題的真假：（1）所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（2）（3）對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)。（3）是無(wú)理數(shù)，但=2是有理數(shù).所以為假命題.舉反例否定

要判定全稱量詞命題

“

x∈M,p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x,證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素x,使得p(x)不成立，那么這個(gè)全稱量詞命題就是假命題.判斷全稱量詞命題真假1.下列全稱量詞命題中真命題的個(gè)數(shù)為(

)①末位是0的整數(shù)，可以被2整除．②角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．③平行四邊形對(duì)角相等．A．1

B．2

C．3

D．0C【即時(shí)訓(xùn)練】2.判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；（2）【解析】（1）-4沒(méi)有算術(shù)平方根，所以為假命題；

（2）真命題。命題：有的平行四邊形是菱形；有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)。這是全稱量詞命題嗎?提示：不是。思考：下列語(yǔ)句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)2x+1=3.(2)x能被2和3整除.(3)存在一個(gè)x∈R，使2x+1=3.(4)至少有一個(gè)x∈Z，x能被2和3整除.提示：語(yǔ)句(1)(2)不能判斷真假，不是命題；語(yǔ)句(3)(4)可以判斷真假，是命題.探究點(diǎn)2存在量詞（1）與(3)區(qū)別是存在一個(gè)x∈R，使2x+1=3；（2）與(4)區(qū)別是至少有一個(gè)x∈Z，x能被2和3整除.短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對(duì)某個(gè)”“有的”等

強(qiáng)調(diào)的是有些存在量詞命題舉例：存在量詞命題符號(hào)記法：命題：有的平行四邊形是菱形；有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)。存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：讀作“存在M中元素x，使p(x)成立”?！皒∈M,p(x)”【解析】（1）對(duì)于x∈R，+2x+3=+2＞0恒成立，所以+2x+3=0無(wú)解，所以為假命題.（2）真命題.例2判斷下列存在量詞命題的真假：（1）有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+3=0；（2）有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)。判斷存在量詞命題真假要判定存在量詞命題“x∈M,p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x,使p(x)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，則存在量詞命題是假命題.1.在下列存在量詞命題中假命題的個(gè)數(shù)是(

)①有的實(shí)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A．0

B．1

C．2

D．3A【即時(shí)訓(xùn)練】2.判斷下列存在量詞命題的真假：（1）?x∈R，x2≤0（2）至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素?cái)?shù)；（3）1.下列命題中是存在量詞命題的是(

)A、?x∈R，x2≥0B、?x∈R，x2≤0C、平行四邊形的對(duì)邊不平行D、矩形的任一組對(duì)邊都不相等BB3．下列命題中是真命題的是(

)A、?x∈R，x2＋1<0B、?x∈Z,3x＋1是整數(shù)C、?x∈R，|x|>3D、?x∈Q，x2∈Z

B4．給出下列命題：①對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有x2＋2>x；②不存在實(shí)數(shù)x，使x2＋2x＋3<0；其中所有正確命題的序號(hào)為________．①②5．用符號(hào)“?”與“?”表示下列命題，并判斷真假．(1)不論m取什么實(shí)數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)根；(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋x＋4≤0.【解析】(1)?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)根．當(dāng)m＝－1時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，是假命題．(2)?x∈R，使x2＋x＋4≤0.x2＋x+4=+＞0恒成立，所以為假命題.全稱量詞與存在量詞全稱量詞命題存在量詞命題全稱量詞存在量詞全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”,符號(hào)簡(jiǎn)記為：x∈M,p(x),讀作：對(duì)任意x屬于M，有p(x)成立,含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”，符號(hào)簡(jiǎn)記為：x∈M,p(x),讀作：“存在一個(gè)x屬于M，使p(x)成立”含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題。命題全稱命題存在量詞命題①所有的x∈M，p(x)成立②對(duì)一切x∈M，p(x)成立③對(duì)每一個(gè)x∈M，p(x)成立④任選一個(gè)x∈M，p(x)成立⑤凡x∈M，都有p(x)成立①存在x∈M，使p(x)成立②至少有一個(gè)x∈M，使p(x)成立③對(duì)有些x∈M，使p(x)成立④對(duì)某個(gè)x∈M，使p(x)成立⑤有一個(gè)x∈M，使p(x)成立表述方法同一全稱量詞命題、存在量詞命題，由于自然語(yǔ)言的不同，

可能有不同的表述方法：

x∈M,p(x),1.5.2含有一個(gè)量詞的命題的否定

問(wèn)題1

今天是星期天。你能否定這句話嗎？俗稱說(shuō)反話

一般地，對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定，就可以得到一個(gè)新的命題，這一新命題稱為原命題的否定。一真一假問(wèn)題2你能寫出下列命題的否定嗎？（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（3）

x∈R,x2－2x＋1≥0；（4）有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；（5）某些平行四邊形是菱形；（6）

x∈R,x2＋1＜0.

前三個(gè)命題都是全稱量詞命題，即具有“

x∈M，p（x）”的形式；后三個(gè)命題都是存在量詞命題，即“

x∈M，p（x）”的形式.它們命題的否定又是怎么樣的呢？探究點(diǎn)1全稱量詞命題的否定寫出下列命題的否定：（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（3）

x∈R,x2－2x＋1≥0.上述命題的否定可寫成:（1）存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；（2）存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；（3）

x∈R，x2-2x+1<0.

一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題的否定,有下面的結(jié)論:全稱量詞命題p:x∈M，p（x），

它的否定﹁p:x∈M,﹁p（x）.結(jié)論：例1寫出下列全稱量詞命題的否定：（1）p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)（2）p：每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（3）p：對(duì)任意x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)字不等于3.【解題關(guān)鍵】含有量詞命題的否定要注意量詞的變化。【解析】（1）﹁p：存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)；（2）﹁p：存在一個(gè)四邊形，其四個(gè)頂點(diǎn)不共圓；（3）﹁p：

x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)字等于3.思考：存在量詞命題如何否定？寫出下列命題的否定：（1）有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；（2）某些平行四邊形是菱形；（3）

x∈R,x2＋1＜0.探究點(diǎn)2存在量詞命題的否定上述命題的否定可寫成:（1）所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)；（2）每一個(gè)平行四邊形都不是菱形；（3）

x∈R，x2+1≥0.命題“存在一個(gè)三角形，內(nèi)角和不等于180o”的否定為（）A.存在一個(gè)三角形，內(nèi)角和等于180oB.所有三角形，內(nèi)角和都等于180oC.所有三角形，內(nèi)角和都不等于180oD.很多三角形，內(nèi)角和不等于180oB【即時(shí)訓(xùn)練】

一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的存在量詞命題的否定,有下面的結(jié)論:存在量詞命題p：

x∈M，p（x），它的否命題﹁p:

x∈M,﹁p（x）.結(jié)論：例2寫出下列存在量詞命題的否定：（1）p：

x∈R，x2＋2x＋2≤0；（2）p：有的三角形是等邊三角形；（3）p：有一個(gè)素?cái)?shù)含有三個(gè)正因數(shù).【解析】（1）﹁p：

x∈R，x2＋2x＋2＞0；（2）﹁p：所有的三角形都不是等邊三角形；（3）﹁p：每一個(gè)素?cái)?shù)都不含三個(gè)正因數(shù).【變式練習(xí)】【解題指南】根據(jù)量詞的否定判斷.D2.命題“所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為（）A.所有自然數(shù)的平方都不是正數(shù)B.有的自然數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個(gè)自然數(shù)的平方是正數(shù)D.至少有一個(gè)自然數(shù)的平方不是正數(shù)D4.(1)命題“烏鴉都是黑色的”的否定為:______________________________.(2)命題“有的實(shí)數(shù)沒(méi)有立方根”的否定為:___命題.（填“真”“假”），

至少有一個(gè)烏鴉不是黑色的真含有一個(gè)量詞的命題的否定全稱量詞命題存在量詞命題全稱量詞命題