11.1.1 三角形的邊2023-2024學年人教版八年級上冊

11.1與三角形有關的線段11.1.1三角形的邊三角形的有關概念

三角形是我們熟悉的圖形，觀察下列圖片，你能說一說三角形是怎樣的圖形嗎？知識點1探究新知由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形，叫做三角形.所以，三角形的特征有：

(1)三條線段；(2)不在同一直線上；(3)首尾順次連接.三角形的定義

探究新知邊c邊b邊a頂點A頂點B頂點C角角角①邊：組成三角形的每條線段叫做三角形的邊.②頂點：每兩條線段的交點叫做三角形的頂點.③內(nèi)角：相鄰兩邊組成的角.探究新知三角形的表示：ABC三角形用符號“△”表示.記作“△ABC”讀作“三角形ABC”.如圖：線段AB、BC、CA是△ABC的三邊；點A、B、C△ABC的三個頂點；∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內(nèi)角.探究新知例1

說出圖中有多少個三角形，用符號“△”表示，并指出每一個三角形的三條邊，三個頂點，三個內(nèi)角.素養(yǎng)考點1三角形的識別解：圖中有3個三角形，分別是△EHG，△EHF，△EFG.△EHG的三邊是EH、HG、GE，三內(nèi)角是∠G、∠GHE、∠HEG，三個頂點是G、H、E；△EHF的三邊是EH、HF、FE，三內(nèi)角是∠EHF、∠HFE、∠HEF，三個頂點是F、H、E；△EFG的三邊是EF、FG、GE，三內(nèi)角是∠G、∠GFE、∠FEG，三個頂點是G、F、E.QFEPGH12探究新知探究新知方法點撥在查三角形的個數(shù)時，先給單個三角形編號，查單個的三角形，再查兩個三角形組成的較大三角形，然后再查三個，四個三角形組成的三角形.1.讀出圖中的各個三角形.ADBEC解：△ABE，

△BCD，

△ABC，

△DCE，

△BCE.鞏固練習我們知道，三角形按角可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．你能按照邊的關系對三角形進行分類嗎？三邊都不相等的三角形三角形等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形三角形的分類知識點2探究新知按邊分類后的特殊三角形之間有什么關系？它們的邊和角怎樣命名？腰腰底邊三角形頂角底角底角探究新知素養(yǎng)考點2判斷三角形的形狀例2

根據(jù)下列條件，判斷△ABC的形狀.①∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°;②∠C=110°;

③∠C=90°;

④AB=BC=3，AC=4解：①∵∠A，∠B，∠C都小于90°，

∴△ABC是銳角三角形②∵∠C=110°＞90°，∴△ABC是鈍角三角形③∵∠C=90°=90°，∴△ABC是直角三角形④∵AB=BC=3，AC=4，∴△ABC是等腰三角形探究新知2.下列說法正確的有(

).①等腰三角形是等邊三角形;②三角形按邊可分為等腰三角形、等邊三角形和不等

邊三角形;③等腰三角形至少有兩邊相等;④三角形按角可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角

三角形.A.①②

B.①③④C.③④D.①②④鞏固練習C

√√在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它會選擇哪條路線?如果小狗在C點呢？BCACAB知識點3三角形三邊的關系探究新知在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長度有怎樣的關系呢？BCA想一想探究新知

計算三角形的任意兩邊之差，并與第三邊比較，你能得到什么結論？ACB試一試探究新知

如圖三角形中，假設小狗要從點B出發(fā)沿著三角形的邊跑到點C，它有幾條路線可以選擇？各條路線的長一樣嗎？ABC路線1:由點B到點C.路線2:由點B到點A，再由點A到點C.兩條路線長分別是BC，AB+AC.由“兩點之間，線段最短”可以得到AB+AC>BC

.由不等式的基本性質(zhì)可得：AB>BC–AC.探究新知ABC同理可得：AC+BC>AB，

AB+BC>AC(AC>AB–BC，BC>AC–AB)三角形的三邊有這樣的關系：

(1)

三角形兩邊的和大于第三邊.

(2)

三角形兩邊的差小于第三邊.探究新知例3下列長度的各組線段能否組成一個三角形？(1)15cm、10cm、7cm(2)4cm、5cm、10cm(3)3cm、8cm、5cm(4)4cm、5cm、6cm

(2)因為4cm+5cm<10cm，所以這三條線段不能組成一個三角形.

(3)因為3cm+5cm=8cm，所以這三條線段不能組成一個三角形.

(1)因為10cm+7cm>15cm，所以這三條線段能組成一個三角形.解：

(4)因為4cm+5cm>6cm，所以這三條線段能組成一個三角形.素養(yǎng)考點3利用三角形三邊的關系判斷三條線段能否組成三角形探究新知只要滿足較小的兩條線段之和大于第三條線段，或較長線段與最短線段之差小于中間線段，便可構成三角形;若不滿足，則不能構成三角形.方法點撥探究新知(3)以長為3cm、5cm、7cm、10cm的四條線段中的三條線段為邊，可構成_____個三角形．(1)任何三條線段都能組成一個三角形.

()(2)因為a+b>c，所以a、b、c三邊可以構成三角形.(

)(4)已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm，3cm，則這三角形的周長為(

)

A.

14cm

B.19cm

C.

14cm或19cmD.

不確定

××2B3.完成下列各題：鞏固練習素養(yǎng)考點4利用三角形三邊的關系解決實際問題解：(1)設各邊的長為x厘米，則腰長為2x厘米，

由題意得：x+2x+2x=18解得x=3.6，

所以三邊長分別為3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.探究新知例4用一根長為18厘米的細鐵絲圍成一個等腰三角形.(1)如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？

探究新知例4用一根長為18厘米的細鐵絲圍成一個等腰三角形.(2)能圍成有一邊的長為4厘米的等腰三角形嗎？為什么？有人說，自己步子大，一步能走3米多，你相信嗎？說說你的理由！提示：不能.如果此人一步能走3米多，由三角形三邊的關系得，此人兩腿的長大于3米多，這與實際情況相矛盾，所以它一步不能走3米多.想一想探究新知4.如果等腰三角形的一邊長是4cm，另一邊長是9cm，則這個等腰三角形的周長=______________.5.如果等腰三角形的一邊長是5cm，另一邊長是8cm，則這個等腰三角形的周長=______________.5，5，

85，8，

818cm或21cm4，4，94，9，9×√4+9+9=2222cm三邊長三邊長√√鞏固練習1.下列長度的三條線段，能組成三角形的是(

)A．4cm，5cm，9cm

B．8cm，8cm，15cm

C．5cm，5cm，10cm

D．6cm，7cm，14cm2.已知三角形兩邊的長分別是3和7，則此三角形第三邊的長可能是(

)A．1 B．2 C．8 D．11連接中考解析：設三角形第三邊的長為x，由題意得：7–3＜x＜7+3，4＜x＜10．BC鞏固練習課堂檢測基礎鞏固題

1.

如圖，圖中直角三角形共有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.下列各組數(shù)中，能作為一個三角形三邊邊長的是(

)A．1，1，2

B．1，2，4

C．2，3，4D．2，3，5CC3.下列說法：①等邊三角形是等腰三角形；②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形；③三角形的兩邊之差大于第三邊；④三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.其中正確的有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個B

基礎鞏固題課堂檢測能力提升題7或8.5一個等腰三角形的周長為24cm，只知其中一邊的長為7cm，則這個等腰三角形的腰長為_________cm.課堂檢測拓廣探索題等腰三角形的周長為20厘米.(1)若已知腰長是底長的2倍，求各邊的長；(2)若已知一邊長為6厘米，求其他兩邊的長.

解：(1)設底邊長為x厘米，則腰長為2x

厘米.x+2x+2x=20，解得x=4.所以三邊長分別為4cm，8cm，8cm.

(2)如果6厘米長的邊為底邊，設腰長為x厘米，則6+2x=20，解得x=7；

如果6厘米長的邊為腰，設底邊長為x

厘米，則2×6+x=20，解得x=8.由以上討論可知，其他兩邊的長分別為7厘米，7厘米或6厘米，8厘米.課堂檢測三角形概念分類性質(zhì)三角形兩邊的和大于第三邊．三角形兩邊的差小于第三邊．ABCabc課堂小結邊、頂點、內(nèi)角按邊分按角分(直角、銳角、鈍角)三角形

定義圖示垂線線段中點角平分線OBAAB當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線復習回顧導入新知你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、過、012345678910012345012345012345678910012345012345畫.過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?想一想導入新知3.提高學生動手操作及解決問題的能力.1.了解三角形的高、中線、角平分線等有關概念.2.掌握任意三角形的高、中線、角平分線的畫法，通過觀察認識到三角形的三條高、三條中線、三條角平分線分別交于一點.素養(yǎng)目標

過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?BAC知識點1三角形高的概念探究新知三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖，

線段AD是BC邊上的高.012345678910012345012345幾何語言：AD⊥BC于點D，讀作AD垂直BC于點D或∠ADC=∠ADB=90°.探究新知你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應該有三條高.畫一畫探究新知(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關系？O(3)銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.如圖所示；銳角三角形的三條高探究新知直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;ABC(1)畫出直角三角形的三條高，ABBC它們有怎樣的位置關系？D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD直角三角形的三條高探究新知

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)

AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEAD鈍角三角形的三條高探究新知ABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(4)它們所在的直線交于一點嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點；鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點.探究新知311相交相交不相交相交相交相交三角形的三條高所在直線交于一點.三條高所在直線的交點的位置三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形直角三角形銳角三角形三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部探究新知例1作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)方法總結：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過三角形的一個頂點；(2)為頂點到其對邊所在直線的垂線段.D素養(yǎng)考點1識別三角形的高探究新知1.在下圖中，正確畫出△ABC中邊BC上高的是(

)

A

B

C

DADCBADCBADCBADCBC鞏固練習例2如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為____．方法總結：可利用面積相等作橋梁(但不求面積)求三角形的高，此解題方法通常稱為“面積法”．素養(yǎng)考點2利用三角形的高求值解析：當BP⊥AC時，BP的值最小.∵S△ABC=BC·AD，S△ABC=AC·BP，∴BC·AD=AC·BP∴BC·AD=AC·BP∴6×4=5BP，BP=所以BP的最小值為探究新知2.如圖，(1)寫出以AE為高的三角形;(2)當BC=8，AE=3，AB=6時，求AB邊上的高的長度.解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.(2)設AB邊上的高為x，∵S△ABC=BC·AE=AB·x∴BC·AE=AB·x，8×3=6x解得x=4.鞏固練習

我們學習了三角形的高，我們已經(jīng)知道了三角形的面積公式，你能經(jīng)過三角形的一個頂點畫一條線段，將這個三角形分為面積相等的兩個三角形嗎？三角形中線的概念知識點2探究新知如圖，點D是BC的中點，則線段AD是△ABC的中線，幾何語言：BD=DC=BC．

在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．三角形的中線的定義探究新知如上頁圖，畫出△ABC的另兩條中線，觀察三條中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？探究新知畫一個銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，再分別畫出這三個三角形的三條中線.三角形的三條中線相交于一點，三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．

三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.探究新知1.定義：在三角形中，連接一個頂點和所對邊的中點的線段叫做三角形的中線.2.三角形的重心：三角形三條中線的交點.3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形內(nèi)部.4.三角形的任何一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.如上圖：AD為中線，則S△ABD=S△ACD.5.三角形任何一邊上的中線把三角形分成的兩個小三角形周長之差等于原三角形長邊與短邊之差.△ABD的周長–△ACD的周長=AB–AC.歸納總結探究新知例3

如圖所示，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長為(

)A.19cm

B.22cm

C.25cm

D.31cm解：∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD周長的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB

–AC.

∵△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，

∴△ACD的周長為25–6=19(cm).

利用三角形的中線求線段的值素養(yǎng)考點3A探究新知

3.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線．

(1)AC=

AE，AE=_____；

CD=

；

AF=

AB；

(2)若S△ABC

=12cm2，

則S△ABD=

．(3)若AB=4，AC=3，則△ABD的周長與△ACD的周長之差是___.2BD6cm2ABCDEFGEC1鞏固練習在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設法畫出它的一個內(nèi)角的平分線嗎?你能通過折紙的方法得到它嗎?知識點3三角形的角平分線探究新知BAC用量角器畫最簡便，用圓規(guī)也能.

在一張紙上畫出一個三角形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合.折痕AD即為三角形的∠A的平分線.ABCD探究新知在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD“三角形的角平分線”是一條線段.幾何語言：∠1=∠2=∠BAC三角形的角平分線的定義探究新知

每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.

(1)你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎?

(2)你能用折紙的辦法得到它們嗎?

(3)在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關系?做一做探究新知三角形共有三條內(nèi)角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點.三角形角平分線的性質(zhì)探究新知解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD＝180°–36°–34°

＝110°.ABDC素養(yǎng)考點4利用三角形的角平分線求角的度數(shù)探究新知例4如圖，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù).4.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則：

∠1=

；∠3=

；

∠ACB=2

.ABCDEF12341234∠2∠ABC∠4鞏固練習三角形的重要線段概念圖形表示法數(shù)量及交點位置三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段∵AD是△ABC的高線.∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.3條高，銳角三角形：形內(nèi)；鈍角三角形：形外；直角三角形：直角頂點三角形的中線三角形中，連結一個頂點和它對邊中的線段3條，交點叫作三角形的重心.形內(nèi)三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段3條，形內(nèi).探究新知連接中考B1.如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，F(xiàn)G，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是(

)A．線段DE

B．線段BE

C．線段EF

D．線段FG鞏固練習連接中考鞏固練習2.如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線，∠BAC=50°，∠ABC=60°，則∠EAD+∠ACD=(

)A．75° B．80° C．85° D．90°解析：∵AD是BC邊上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°–25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°–∠ABC–∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.A1．下列說法正確的是(

)A．三角形三條高都在三角形內(nèi)B．三角形三條中線相交于一點C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外D．三角形的角平分線是射線B課堂檢測基礎鞏固題2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是(

)A．①②

B．③④ C．①④

D．②③D基礎鞏固題課堂檢測ABDCE3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有(

)A．2條

B．3條C．4條

D．5條B基礎鞏固題課堂檢測4.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高()ADCBABCDABCDABCDABCDD基礎鞏固題課堂檢測5.填空：(1)如圖①，AD，BE，CF是△ABC的三條中線，則AB=2＿＿，BD=＿＿，AE=＿＿＿.(2)如圖②，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=＿＿，∠3=_________，∠ACB=2______.

圖①圖②AFDC∠2∠4AC∠ABC基礎鞏固題課堂檢測ADBC解：∵CD是△ABC的中線，∴BD＝AD，∴△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝25cm，則BD+CD＝25–BC.∴△ADC的周長＝AD＋CD＋AC

＝BD＋CD＋AC

＝25–BC＋AC

＝25–(BC–AC)＝25–5＝20cm.能力提升題課堂檢測在ΔABC中，CD是中線，已知BC–AC=5cm，ΔDBC的周長為25cm，求ΔADC的周長.如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°–(∠ADC+∠C)

=180°–90°–40°=50°.∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°，∴∠DAE=∠DAC–∠CAE=50°–41°=9°.BACDE拓廣探索題課堂檢測三角形重要線段高鈍角三角形兩短邊上的高的畫法中線會把原三角形面積平分一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差角平分線課堂小結課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習

將四邊形木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后再扭動它，這時木架的形狀還會改變嗎?導入新知想一想

蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，如圖，為什么要這樣做呢？導入新知生活小常識2.了解三角形的穩(wěn)定性和四邊形不穩(wěn)定性的應用.1.了解三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性.

素養(yǎng)目標1.將三根木條用釘子釘成一個三角形木架.2.將四根木條用釘子釘成一個四邊形木架.三角形的穩(wěn)定性探究新知知識點1動手做一做

請同學們看看:三角形和四邊形的模型，扭一扭模型，它們的形狀會改變嗎?動動手不會會探究新知1.三角形具有穩(wěn)定性.2.四邊形沒有穩(wěn)定性.理解“穩(wěn)定性”“只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.探究新知

【思考】你能舉出一些現(xiàn)實生活中應用三角形穩(wěn)定性的例子嗎?探究新知探究新知探究新知具有穩(wěn)定性不具有穩(wěn)定性不具有穩(wěn)定性具有穩(wěn)定性具有穩(wěn)定性不具有穩(wěn)定性下列圖形中哪些具有穩(wěn)定性?試一試探究新知

四邊形的不穩(wěn)定性是我們常常需要克服的，那么四邊形的不穩(wěn)定性在生活中有沒有應用價值呢？如果有，你能舉出實例嗎？四邊形不穩(wěn)定性的應用知識點2探究新知活動晾衣架探究新知四邊形的不穩(wěn)定性有廣泛的應用伸縮門探究新知遮陽棚探究新知將四邊形木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后再扭動它，這時木架的形狀還會改變嗎?四邊形沒有穩(wěn)定性，怎樣使它穩(wěn)定呢?想一想做一做探究新知1.牧民阿其木家用于圈羊的木柵門，由于年久失修已經(jīng)變成如圖甲，為