固定收益證券中文第五章

第五章債券價(jià)格波動(dòng)性的衡量債券價(jià)格與收益率的關(guān)系債券價(jià)格波動(dòng)性的特點(diǎn)價(jià)格波動(dòng)性的衡量Ⅰ:基點(diǎn)價(jià)格值和價(jià)格變化的收益值價(jià)格波動(dòng)性的衡量Ⅱ:凸性和久期第五章債券價(jià)格波動(dòng)性的衡量第一節(jié)債券價(jià)格與收益率的關(guān)系在上一章,我們從債券價(jià)格的計(jì)算公式和到期收益率的求解公式中注意到,債券價(jià)格和收益率呈反方向變動(dòng)。這是因?yàn)閭瘍r(jià)格等于預(yù)期現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值。我們通過例題來進(jìn)一步說明。

收益率息票現(xiàn)值(元)面值現(xiàn)值(元)債券價(jià)格(元)5.0%350.73707.731058.465.5%344.73684.001028.736.0%338.88661.121000.006.5%333.18639.06972.247.0%327.62617.78945.407.5%322.19597.26919.458.0%316.89577.48894.378.5%311.73558.39870.129.0%306.68539.97846.659.5%301.76522.21823.97

表5—1列出了在不同的收益率水平下該債券價(jià)格的不同值。

表5—1債券價(jià)格與收益率的關(guān)系

我們可以把表5—1中收益率與相應(yīng)的債券價(jià)格的數(shù)據(jù)繪成圖5—1。圖5—1債券價(jià)格與收益的反向關(guān)系

債券發(fā)行以后,市場利率也有可能低于票面利率,債券的價(jià)格將會(huì)高于其面值。這時(shí),投資者為了獲得高于市場利率的票面利率,應(yīng)當(dāng)支付的價(jià)格不得不高于債券面值。價(jià)格高于面值的債券被稱為溢價(jià)債券。我們總結(jié)出以下規(guī)律:市場利率=票面利率,價(jià)格=面值市場利率>票面利率,價(jià)格<面值市場利率<票面利率,價(jià)格>面值

除了收益率以外,到期時(shí)間是影響債券價(jià)格變化的另一個(gè)重要因素。通過考察債券價(jià)格和到期時(shí)間之間的關(guān)系,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要規(guī)律:隨著到期日的臨近,債券的價(jià)格向面值趨近。圖5—2債券價(jià)格與到期時(shí)間的關(guān)系第二節(jié)債券價(jià)格波動(dòng)性的特點(diǎn)在這一節(jié),我們具體考察價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的大小,它用價(jià)格的利率敏感性來衡量。影響價(jià)格的利率敏感性有三個(gè)重要因素:票面利率、到期時(shí)間以及初始收益率。它們與價(jià)格的利率敏感性之間呈現(xiàn)出這樣一些規(guī)律:●價(jià)格的利率敏感性與債券的票面利率具有反向關(guān)系?！駜r(jià)格的利率敏感性與債券的到期時(shí)間長短具有正向關(guān)系?！耠S著到期時(shí)間的增長,價(jià)格的利率敏感性增加,但是增加得越來越慢。收益率上升導(dǎo)致價(jià)格下跌的幅度比等規(guī)模的收益率降低帶來的價(jià)格上漲的幅度小,這被稱為價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性?！駜r(jià)格的利率敏感性與債券的初始收益率水平具有反向關(guān)系。債券票面利率(%)到期時(shí)間(年)初始收益率(%)A1059B10209C4209D4205例如,有A、B、C、D四種債券,它們的相關(guān)資料如表5—2所示:表5—2

那么,當(dāng)其他條件相同時(shí),B比A的到期時(shí)間更長,價(jià)格的利率敏感性也就更強(qiáng);C比B的票面利率低,價(jià)格的利率敏感性更強(qiáng);D比C的初始收益率低,價(jià)格的利率敏感性更強(qiáng)。這四種債券價(jià)格的利率敏感性的大小關(guān)系是:A<B<C<D,如圖5—3所示。由于收益率上升對(duì)價(jià)格的影響比收益率下降對(duì)價(jià)格的影響小,所以圖中的曲線是凸?fàn)畹?。一、票面利率大小與債券價(jià)格波動(dòng)

其他因素保持不變,票面利率越低,債券價(jià)格的利率敏感性越大,利率風(fēng)險(xiǎn)也就越大。這就是說,收益率變動(dòng)時(shí),其他條件相同的零息債券的價(jià)格波動(dòng)最大。圖5—4價(jià)格的利率敏感性的比較(票面利率不同的債券)

二、到期時(shí)間與債券價(jià)格波動(dòng)

其他因素保持不變,長期債券的價(jià)格對(duì)利率變動(dòng)的敏感性比短期債券更強(qiáng)。因此,債券的到期時(shí)間越長,利率風(fēng)險(xiǎn)也就越大。圖5—5價(jià)格的利率敏感性的比較(到期時(shí)間不同的債券)三、債券價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性債券價(jià)格對(duì)于收益率的降低比對(duì)收益率的上升更加敏感。圖5—6價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性四、初始收益率與債券價(jià)格波動(dòng)

其他因素不變時(shí),初始收益率水平越低,債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng)。這有兩層含義:

一是說市場利率水平越低時(shí),債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng)。

二是說到期收益率水平越低,債券價(jià)格的利率敏感性越強(qiáng)。圖5—7初始收益率與價(jià)格波動(dòng)第三節(jié)價(jià)格波動(dòng)性的衡量Ⅰ:基點(diǎn)價(jià)格值和價(jià)格變化的收益值投資者只有準(zhǔn)確衡量債券價(jià)格的波動(dòng)性,才能規(guī)避利率風(fēng)險(xiǎn),采取正確的投資策略。常用的價(jià)格波動(dòng)性衡量方法包括:基點(diǎn)價(jià)格值、價(jià)格變化的收益值、久期和凸性。在這一節(jié),我們先介紹前兩者,在下一節(jié)中,我們將重點(diǎn)介紹凸性和久期。一、基點(diǎn)價(jià)格值基點(diǎn)價(jià)格值是指收益率變化一個(gè)基點(diǎn),也就是0.01個(gè)百分點(diǎn)時(shí),債券價(jià)格的變動(dòng)值?；c(diǎn)價(jià)格值是價(jià)格變化的絕對(duì)值,價(jià)格變化的相對(duì)值稱作價(jià)格變動(dòng)百分比,它是價(jià)格變化的絕對(duì)值相對(duì)于初始價(jià)格的百分比,用公式表示就是:價(jià)格變動(dòng)百分比=基點(diǎn)價(jià)格值/初始價(jià)格。我們用下面的例子來說明什么是基點(diǎn)價(jià)格值。[例5—7]有A、B、C三種債券,半年付息一次,下一次付息在半年后,相關(guān)資料見表5—6:

表5—6

ABC票面利率8%8%8%面值(元)100100100信用評(píng)級(jí)AaAaAa到期時(shí)間(年)51015收益率8%8%8%價(jià)格(元)100100100分別計(jì)算它們的基點(diǎn)價(jià)格值。解:令收益率上升一個(gè)基點(diǎn),從8%提高到8.01%,可以計(jì)算出,新的債券價(jià)格分別是:99.9595元、99.9321元、99.9136元,價(jià)格分別變動(dòng)-0.0405元、-0.0679元和-0.0864元,基點(diǎn)價(jià)格值分別是0.0405元、0.0679元和0.0864元。令收益率下降一個(gè)基點(diǎn),從8%減少到7.99%,新的債券價(jià)格分別是:100.0406元、100.0680元和100.0865元,價(jià)格分別變動(dòng)0.0406元、0.0680元和0.0865元,基點(diǎn)價(jià)格值分別是0.0406元、0.0680元和0.0865元?？梢钥闯?收益率上升或下降一個(gè)基點(diǎn)時(shí)的基點(diǎn)價(jià)格值是近似相等的。在上一節(jié)我們知道,收益率下降引起的價(jià)格變動(dòng)幅度比同等的收益率上升引起的價(jià)格變動(dòng)幅度應(yīng)該大一些。在這里,由于收益率的變動(dòng)很小(僅為一個(gè)基點(diǎn)),收益率上升或下降引起的價(jià)格波動(dòng)是大致相等的。結(jié)合上例中基點(diǎn)價(jià)格值對(duì)應(yīng)的結(jié)果,我們可以總結(jié)出一條規(guī)律:當(dāng)收益率變動(dòng)的幅度較小時(shí)(例如10個(gè)基點(diǎn)),收益率變動(dòng)n個(gè)基點(diǎn),價(jià)格就近似變動(dòng)基點(diǎn)價(jià)格值的n倍。由于收益率的變動(dòng)較小,收益率下降或上升導(dǎo)致的價(jià)格波動(dòng)仍然是大致相等的,價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性可以被忽略。二、價(jià)格變化的收益值價(jià)格變化的收益值是度量債券價(jià)格波動(dòng)性的另一種工具,它是債券價(jià)格變動(dòng)一定數(shù)量時(shí),對(duì)應(yīng)的收益率變動(dòng)值。價(jià)格變化的收益值越小,意味著價(jià)格變動(dòng)一定數(shù)量時(shí),收益率的變動(dòng)越小;反過來,收益率變動(dòng)一個(gè)基點(diǎn)時(shí),價(jià)格的變動(dòng)越大,即基點(diǎn)價(jià)格值越大。[例5—10]利用例5—7中的資料,如果價(jià)格變動(dòng)0.125%,分別求出三種債券價(jià)格變化的收益值。解:債券價(jià)格上升0.125%,即從100元上升到100.125元時(shí),可以求出債券A、B、C的收益率分別為:7.9692%、7.9816%和7.9856%,收益率的變動(dòng)分別為-0.0308%、-0.0184%和-0.0144%。我們可以得出結(jié)論:價(jià)格變化的收益值分別是0.0308%、0.0184%和0.0144%。債券A的基點(diǎn)價(jià)格值最小,價(jià)格變化的收益值卻最大;債券C的基點(diǎn)價(jià)格值最大,價(jià)格變化的收益值反而最小。第四節(jié)價(jià)格波動(dòng)性的衡量Ⅱ:凸性和久期一、久期(一)久期的定義

收益率變化會(huì)導(dǎo)致債券價(jià)格變化,我們可以利用久期來衡量債券價(jià)格的收益率敏感性。久期就是價(jià)格變化的百分比除以收益率變化的百分比。

D=(ΔP/P)/[Δ(1+y)/(1+y)]=-(ΔP/P)/[Δy/(1+y)](5.1)式中:P——債券的初始價(jià)格;ΔP——債券價(jià)格變化值;y——初始收益率;Δ(1+y)(或Δy)——收益率變化值。

久期實(shí)際上是價(jià)格的利率彈性。

將式(5.1)重新整理,可以得到如下關(guān)系式:

ΔP/P=[-D/(1+y)]×Δy(5.2)

因此,如果知道某個(gè)債券的久期,就可以根據(jù)式(5.2)計(jì)算一定的收益率變化百分比導(dǎo)致的價(jià)格變化百分比。定義D/(1+y)為修正久期,用D*表示,那么,式(5.2)可以轉(zhuǎn)換為ΔP/P=-D×Δy。如何計(jì)算債券的久期呢?根據(jù)久期的定義,可以將債券價(jià)格對(duì)收益率求導(dǎo)。下面我們計(jì)算最普通的附息債券的久期,即該債券沒有附加任何選擇權(quán),每期期末按照固定票面利率和面值的乘積支付利息,到期還本。

美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家弗雷德里克?麥考利首先將式(5.6)稱為久期,久期因此也被稱為麥考利久期?？梢钥闯?普通債券的久期是債券現(xiàn)金流時(shí)間的加權(quán)平均,其權(quán)重是每次現(xiàn)金流現(xiàn)值占現(xiàn)金流現(xiàn)值總和(即債券價(jià)格)的比例。

Wt是現(xiàn)金流時(shí)間的權(quán)重,是第t期現(xiàn)金流的現(xiàn)值占債券價(jià)格的比重。權(quán)重之和等于1,因?yàn)榘吹狡谑找媛寿N現(xiàn)的現(xiàn)金流之和就等于債券的價(jià)格。應(yīng)當(dāng)注意,從上式中求出的久期是以期數(shù)為單位的,我們還要把它除以每年付息的次數(shù),轉(zhuǎn)化成以年為單位的久期。

[例5—11]面值為100元、票面利率為8%的3年期債券,半年付息一次,下一次付息在半年后。如果到期收益率為10%,計(jì)算它的久期。解:該債券的久期是5.4351個(gè)半年,也就是5.4351/2=2.7176(年),計(jì)算過程見表5—8:表5—8息票債券久期的計(jì)算時(shí)間(期數(shù))現(xiàn)金流(元)現(xiàn)金流的現(xiàn)值(元)權(quán)重時(shí)間×權(quán)重143.80950.04010.0401243.62810.03820.0764343.45540.03640.1092443.29080.03470.1388543.13410.03300.1650610477.60640.81764.9056總計(jì)94.9243

1

5.4351

(三)久期的規(guī)則

票面利率、到期時(shí)間、到期收益率是影響債券價(jià)格的利率敏感性的三個(gè)重要因素,它們與久期之間的關(guān)系也表現(xiàn)出一些規(guī)則。(1)保持其他因素不變,票面利率越低,息票債券的久期越長。(2)保持其他因素不變,到期收益率越低,息票債券的久期越長。(3)一般來說,在其他因素不變的情況下,到期時(shí)間越長,久期越長。

(四)浮動(dòng)利率債券的久期下面考察一種特殊的債券——浮動(dòng)利率債券的久期。從第三章對(duì)浮動(dòng)利率債券定價(jià)的介紹可知,在每個(gè)利息支付日(即剛剛支付完利息),浮動(dòng)利率債券的價(jià)格都等于面值。而在下一個(gè)利息支付日,浮動(dòng)利率債券的價(jià)值則等于面值加上利息。

所以,這種每隔一定時(shí)期重新設(shè)定票面利率的浮動(dòng)利率債券,完全等同于零息債券,該零息債券的期限則等于重新設(shè)定票面利率所經(jīng)歷的期限。例如,每年重新設(shè)定票面利率的債券就等同于期限為1年期的零息債券。

因此,浮動(dòng)利率債券的久期就等于重新設(shè)定票面利率的期限。如果浮動(dòng)利率的票面利率是每年重新設(shè)定一次,不論這種浮動(dòng)利率債券本身的期限有多長,該浮動(dòng)利率債券的久期都等于1年。

(五)關(guān)鍵利率久期1.定義在利率期限結(jié)構(gòu)中,某些關(guān)鍵的整數(shù)期限的利率是債券市場十分重要的利率,對(duì)金融市場交易者的心理影響也是至關(guān)重要的,例如,1年期利率、5年期利率。關(guān)鍵利率久期正是以這些關(guān)鍵期限利率為基礎(chǔ),衡量固定收益證券價(jià)格對(duì)利率敏感性的方法,即關(guān)鍵年期的利率發(fā)生變化時(shí),債券價(jià)格的敏感性。2.計(jì)算步驟第一步:選擇數(shù)個(gè)關(guān)鍵的利率或利率因子。為了說明方便,我們僅考慮三種關(guān)鍵利率:6個(gè)月期、10年期與30年期利率。第二步:設(shè)定其他利率如何隨著關(guān)鍵利率的變動(dòng)而變動(dòng)。

由于關(guān)鍵利率久期是利率期間的函數(shù),以柱狀圖的方式來表示,將有助于了解證券價(jià)格對(duì)于收益率曲線形狀變動(dòng)的敏感性。以圖5—9為例,它分析的是一種30年期不可提前清償?shù)牡盅嘿J款債券,所采用的關(guān)鍵利率有五種:6個(gè)月期、5年期、10年期、20年期與30年期利率。圖5—9不可提前清償貸款的關(guān)鍵利率久期關(guān)鍵利率久期最初會(huì)呈現(xiàn)上升狀態(tài),這是因?yàn)檩^長期的現(xiàn)金流量,其久期大于較短期的現(xiàn)金流量。當(dāng)5年期關(guān)鍵利率變動(dòng)時(shí),5年期附近的利率水準(zhǔn)與久期所受到的影響最大;當(dāng)10年期關(guān)鍵利率變動(dòng)時(shí),10年期附近的利率水準(zhǔn)與久期所受到的影響最大。所以,就利率變動(dòng)的價(jià)格敏感性來說,10年期利率大于5年期利率。另一方面,定額付款的抵押貸款債券,其每期的現(xiàn)金流量都相等,期限越長,現(xiàn)金流量的現(xiàn)值越低。因此,越長期的付款,其久期雖然越大,但它在整體債券價(jià)值中所占的比例越來越低。這可以解釋為什么30年期關(guān)鍵利率久期小于10年期與20年期即使抵押貸款債券是長期債券,它們受到中期利率的影響程度也經(jīng)常超過長期利率。圖5—9可以解釋其中的緣故。在分析這類問題時(shí),關(guān)鍵利率久期的柱狀圖非常有用。二、久期與價(jià)格波動(dòng)的關(guān)系我們已經(jīng)知道,債券的到期時(shí)間與價(jià)格的利率敏感性是相關(guān)的。與到期時(shí)間相比,久期能更準(zhǔn)確地衡量債券價(jià)格的利率敏感性,是對(duì)債券利率風(fēng)險(xiǎn)程度的測量,是規(guī)避資產(chǎn)組合利率風(fēng)險(xiǎn)的重要工具。債券價(jià)格波動(dòng)與久期成比例,而不是與到期時(shí)間成比例。

前面的公式(5.2)清楚地表達(dá)了價(jià)格波動(dòng)與久期的關(guān)系:

ΔP/P=[-D/(1+y)]×Δy

定義D/(1+y)為修正久期,用D*表示,那么,式(5.2)可以轉(zhuǎn)換為式(5.7),

ΔP/P=-D*×Δy(5.7)(5.7)式表明,債券價(jià)格的變動(dòng)百分比(相對(duì)數(shù))等于修正的久期與到期收益率變動(dòng)值(絕對(duì)數(shù))的乘積。修正的久期越大,利率變動(dòng)時(shí)價(jià)格的波動(dòng)越大,利率風(fēng)險(xiǎn)就越大。當(dāng)收益率變動(dòng)較小時(shí),用修正久期估計(jì)的價(jià)格波動(dòng)百分比是比較準(zhǔn)確的,而當(dāng)收益率的變動(dòng)越來越大時(shí),這種估計(jì)的誤差也就越來越大。另外,這種估計(jì)也不能體現(xiàn)價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱性。不論收益率上升或下降,用修正的久期計(jì)算出來的價(jià)格波動(dòng)百分比大小都是相同的。

而實(shí)際情況是,收益率下降時(shí)價(jià)格上升的幅度比收益率上升時(shí)價(jià)格下降的幅度大。為什么利用久期估計(jì)會(huì)出現(xiàn)這些誤差?用修正的久期估計(jì)價(jià)格波動(dòng)時(shí),我們認(rèn)為ΔP/P≈-D*×Δy,這表明債券價(jià)格的變動(dòng)百分比與收益率的變動(dòng)值成正比,將價(jià)格變動(dòng)百分比相對(duì)于收益率變動(dòng)值的函數(shù)繪成圖形后,應(yīng)當(dāng)是一條直線,它的斜率就等于-D*。

但是,事實(shí)上價(jià)格與收益率之間的關(guān)系并不是線性的,在圖中應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)為一條凸形的曲線,這就造成了久期估計(jì)的誤差。我們用圖5—10來說明。圖5—10實(shí)際價(jià)格波動(dòng)與久期估計(jì)的價(jià)格波動(dòng)在圖5—10中,實(shí)際的曲線與久期估計(jì)的直線在初始點(diǎn)處(Δy=0)相切。對(duì)于收益率的小幅變動(dòng),兩條線之間的距離非常小,用久期估計(jì)的價(jià)格波動(dòng)也就十分接近實(shí)際波動(dòng)。隨著收益率的變動(dòng)越來越大,兩條線之間的距離也越來越遠(yuǎn),久期估計(jì)的價(jià)格波動(dòng)偏離實(shí)際波動(dòng)的程度越來越大,估計(jì)值就越來越不準(zhǔn)確。三、資產(chǎn)組合的久期資產(chǎn)組合也有久期,資產(chǎn)組合的久期是資產(chǎn)組合的有效平均到期時(shí)間。它的計(jì)算方法是對(duì)組合中所有資產(chǎn)的久期求加權(quán)平均數(shù),權(quán)重是各種資產(chǎn)的市場價(jià)格占資產(chǎn)組合總價(jià)值的比重。我們用例子來說明。[例5—15]利用例4—7的有關(guān)資料。一個(gè)債券組合由三種半年付息的債券構(gòu)成,相關(guān)資料見表5—11。求該債券組合的久期。

表5—11債券名稱面值(元)票面利率到期時(shí)間(年)市場價(jià)格(元)到期收益率(年率)A10006%6951.687%

B200005.5%520000.005.5%C100007.5%49831.688%

該債券組合的市場總價(jià)值等于30783.36元,債券A、B、C市場價(jià)格的權(quán)重分別是0.0309、0.6497和0.3194。因此,該債券組合的久期為:

D*=4.9276×0.0309+4.3201×0.6497+3.3887×0.3194=4.0414(年)四、凸性(一)凸性定義從圖5—10中可以明顯看出,在收益率降低時(shí)會(huì)低估價(jià)格的上升,在收益率上升時(shí)則會(huì)高估價(jià)格的下降。所以說,只有收益率變化不大的情況下利用久期估計(jì)價(jià)格的變化才比較準(zhǔn)確,如果收益率變化較大,用久期估計(jì)價(jià)格變化就會(huì)產(chǎn)生較大誤差。而且,收益率變化越大,誤差就越大。

我們發(fā)現(xiàn),凸性的計(jì)算與久期非常相似,區(qū)別在于它是t2+t(而不是t)的加權(quán)平均,再除以(1+y)2,權(quán)重仍然是按到期收益率貼現(xiàn)的每期現(xiàn)金流現(xiàn)值占債券市場價(jià)格的比重。應(yīng)當(dāng)注意,從上式中求出的凸性是以期數(shù)為單位的,我們還要把它除以每年付息的次數(shù)的平方,轉(zhuǎn)化成以年為單位的凸性。時(shí)間t(期數(shù))現(xiàn)金流(元)現(xiàn)金流的現(xiàn)值(元)權(quán)重t(t+1)×權(quán)重143.80950.04010.0802243.62810.03820.2292343.45540.03640.4368443.29080.03470.6940543.13410.03300.9900610477.60640.817634.3392

總計(jì)94.9243136.7694[例5—16]計(jì)算例5—11中的3年期債券的凸性。解:計(jì)算過程見表5—12:表5—12債券凸性的計(jì)算

于是,半年期的凸性為:

C=36.7694/(1.05)2=33.350

轉(zhuǎn)化為以年為單位的凸性等于33.3509/(2)2=8.3377。

凸性的修正會(huì)在一定程度上消除這種高估或低估。收益率上升時(shí),正的修正項(xiàng)會(huì)使估計(jì)的價(jià)格下降幅度變小;收益率下降時(shí),正的修正項(xiàng)會(huì)使估計(jì)的價(jià)格上升幅度變大。因此,考慮凸性后估計(jì)的價(jià)格波動(dòng)與實(shí)際情形更為貼近。正因?yàn)橥剐允钦?所以,債券的凸性越大,對(duì)投資者就越有利。如果其他條件都相同,