初中數(shù)學經(jīng)典幾何模型

初中數(shù)學經(jīng)典幾何模型（模型即套路）

幾何問題

初中幾何常見模型解析

1模型一：手拉手模型-全等

（1）等邊三角形

a條件：均為等邊三角形

A結(jié)論：（1Aa4C?AOBD.②々￡8=60°；③（無￥分￡^￡。.

a條件：A0/從AOC7）均為等腰百用二用形

?結(jié)論…1AO4C-\OHD.,L.AEB=90。；{OE，「分乙回.

（3）任意等展三角形

DI)

a條件：A048,A"。均為等腰二角形

A結(jié)論：UA。4c?ROBD:②LAEB=乙408.yOEr分&ED.

A模型三2對魚里惟嬰

（1）全等型-90°

A證明提示：

①作垂直.如圖.證明ACQM-ACEN：

以上三個結(jié)論，?C，（E（不變）：②OE-OD』6OC、③5\小小5℃

此結(jié)論證明方法與前一種情況一致，可自行嘗試.

<2）全等型-120°

a條件：①乙4。8=24。C￡=I20°：②0c平分乙40%

a結(jié)論，①8"陽②(2+OE-OC,③￡的'Sg'+Swx?,"

a證明提示?⑴可參考“全等型-90°'?證法

②如圖:在CW上取,點八使證明A℃尸為等邊二角形.

a與LDCE的一邊交.4。的延長線下點.。時(如上圖右)：

原結(jié)論變成，①_____________________________________.

②_____________________________________，

③_____________________________________?

i'J參考上述第②種方法進行證明.

?條件：①2°8=2a/DCE=18°-2??②(:/)?(?￡,

a結(jié)論：①,C平分LA0B,②OD+OE=2OC?cosa,③S00c*=S皿?+^aocr=OC'?sina?cosa

a叫/.DCE的一邊交xo的延長線丁點D時(如右上圖)；

原結(jié)論變成：①：

②____________________________________：

③____________________________________,

可參考I:述第②種方法進行證明.

?請思考初始條件的變化對模型的影響.

如圖所示,若將條件.分乙408”去掉.條件①不變，℃丁分乙")8,結(jié)論變化如卜:

1m1a

結(jié)論，①C￡?CD?una,②(CO?tana+0&cosa.農(nóng)：③無皿°.s皿￡孩?tana

，抬論①博證

/?EF=OLMana

證明：過點C作C/」OC交08于點FV(OEEF)?cosa=OC

VNDCfc=4X7'=90。???結(jié)論②得證

???Z/XO=ZA'CF

.,.&^=(/=tan；a

V乙K)R+NDCE=l80。.S'.CO

：.N(ZX，+NCeO=180。：?S皿=S皿?tan：a

???4?DO=ZJCEF,+=^AOCF

:?M'lKAM'EI

,

且S^tJCF=—(X"*Uinrz

EFCECF

：.±L=l±_=-L=tantz(關鍵步)

IX)CDCO------------工結(jié)論③得證

A對角互撲橫型總結(jié)：

①常見初始條件：四邊形對向互補I

注意兩點：四點大股及宜的二角形斜邊中線：

2）初始條件“角T?分線”。“兩邊相等”的區(qū)別：

③兩種甫見的輔助線作法；

I；）t§卜.圖中OC平分工4OB時，LCDE-LCED-LCOA-LCO相等是如何推導的？

》模型四：角含半角模型90。

（1）角含半先模量90,-1

a條件：①正h形ABCD:②4E/廣=45°,

?結(jié)論‘，l￡F-0尸+8￡-2ACE廣的科長為n：方超18C。局長的一半:

也可以這樣：

?條件；：PM方M&BCD：⑵EF=DF+BE

a結(jié)論，㈤…5°

<2）角含半角模型90'-2

目

a條件：?正方形,488：②///'"US，

a結(jié)論?EF-DF-BE

A輔助線如下圖所示，

以印

<3）角含半角模型90.-3

?條件，①RT&4吟②4?；?45°；

?結(jié)論，HD'+CE2-DE1

若LDAE應技到A/I8C外部時,結(jié)論BD'+D片仍然成立.

(2)倍長中線類模型-2

a條件，￡中行四邊形XBC。；，；，BC=2/f3：(31,44/-DA/.^CELAD

?結(jié)論：乙EMD-3ZJW￡4

輔助線：有平行.山〃CD,有中點

延長EA/?構(gòu)造，LLW￡JSWF,連接CM構(gòu)

造哥腰SESfC.AHCF

通一構(gòu)造8字￡畢汽我敦過漢伍五夫系.用的區(qū)

小轉(zhuǎn)化

a模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型

輔助線：構(gòu)造等犢直用AJEG、A.1//C

輔助線思路：將。尸與8F轉(zhuǎn)化到CG與EH

而癡相似宜角三角形3&T旋轉(zhuǎn)模型■補全法

A條件：！AOABskODCi2LOAB=LODC=90。您BE?CE.

a結(jié)論：?4￡-DE:⑵乙彳￡0?2LABO

輔—/：坦KBA到點G,使.必三出.延長

CD則點H便DH^CD.撲全MKiB,

OCH構(gòu)造就輕根筌.轉(zhuǎn)化AE舄DE犯CG

務RH,乘點&勢化44印

條件：?AO48SAO0C：②乙O.4B=LODC工900口,BE=CE.

結(jié)論：①AE=DEt②LAED=2乙480

輔助線：陡長DE至M.使MEdDE、將結(jié)

論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明VlAff^XlBO.此

為中點,將AdA心AH8C推博林化為任明

XAH^\AOl\使陽嘮邊成比讓央商務

此處卷點在證叫Z.IHW=AOD

A模型七：最短路程模型

《3》最短路程模型二（點到直線類2）

丹a：電尸星忖依.8『一：,4『我峻

其通：點尸灰阿眩,8r?牙.《『量黛

批論二」存作軌-夕?收◎產(chǎn)作

rM.a43H論：04力H點件4m45V.itA尸體

1X）1.41,WR.Fp-i.iP.itA5IfJC/p±JC.帽化Py-1,4P.注*B作.4C

力叁樓與.4尸構(gòu)史點壽所.衣（叁“叁盥耳JP的史點"型展

（4）最短路程模型二（點到直線類3）

a條件：4(0,4),8(-20)產(chǎn)(0,〃)

PB+—PA

問題；”為何值時,5最小

-、smLOAC-——

求解方法，①x軸上取C（2,0）,怏5.②過8作8ai./C.交）'軸r點￡,即為所求:

UnLEBO-tanLOAC--.、

③2,即Er/gA)

*件；0.1-4,(m-2iOAOB}?縛：a^aat-4.1W-2

多舛：①&MW.

②以&”為■/,OH,，M?舟上號作?

⑵。B0穆O注平的內(nèi)360：?！?2>OC=2;③a?=1：④去P勺BC上培A

3QPM兩圜耳忸*因”內(nèi)考(曲埋*)-A

同星：4JJ的*大依.H小使?的力多夕？(可與、丸更會)：后K械報外。變外

*延；以北。省?心.CW與本儉鐘?.加國H4：￡/"的H上值為W.*0C-6

結(jié)地：?<a±0的OA+on=t+?&

丞勃最卜值為刮&-

斯京.瘠河04?化為“三1|彩網(wǎng)應士,，夫十金三AfI.3

尸4弱小使*9加7"7、-1

埼.畫城之,1小于界三埼”若/U9最小值為2.WK

*ttt:at^(28:ft'btt:O.l-CW0<KG?#RL■的*小*丁力QHHCAhH艮

柒件：①正方％ARCD且邊長為』：

②?8的半徑為2:③尸為08上動點

問題：求2+(?]2)最小值

輔助投：過點E作￡“〃△',取BE中森N

粉科：以AO為國心三個AB.OA,。D閾定

轉(zhuǎn)化思瞄：將轉(zhuǎn)化ME,將轉(zhuǎn)化為

OP爆點O位轉(zhuǎn)PC'2ME

問霆：點。在什么低量時.￡F+.WB最小MV.因此MD+MV的最小值為DN長度

住助投：4U處？?0c.40.D.「三總結(jié)：PC2的比值不看隨重給出的.而發(fā)圖

點其汽時,EP+N出=L*+5=以、*小的半徑r/BC

A橫型八：二倍角模型

CR

案怦：M打C中，

罐勸或：以8f的叁A牛分放曲的體觸.作點

.4的葉長層.『?連幅4r.w.c.r

財BA,為&BC的由牛分￡￡,

.么H4.4夕-ar《：i⑨這個〃上)

此片精財慢的作法是二上南三角■，!(,的林財

公之一，但舁不乏小一件油

A模型九：相似三角形模型

(1)相似三角形模型-基本型

A字型8字型A字型

平行臭：DE//BC

穌企：■—C工意對應也要對應)

ABACBC

<2）相似三角形模型-斜交型

斯文型

條件：如左面兩個圍N出）。/五8二90

然論：AExAB?dCxAD

.當伴：如右面兩個國NJ〈￡?NJ2R'

結(jié)論：AC^.AEKAB

第四個圖逕存在ABxEC?BCx.M

BC：=RExHA,CE'=BE義AE

（3）相似三角形模型?一線三角型

條件：左用：乙4BC=乙/￡=NCDE=9（r

中國：NJ次-乙限7：?47）”,60

右圍：乙出（=乙ICE=CCDE=45"

體論：所有四彩都存在的結(jié)論

①&4BCs\CDE:②ABxDE-^x（7）

一我三哥南蛾魚也經(jīng)常用表建立方穆立晶依美

系

【應用上面模型解決如下問題】

一、第一次月考

1.（-?中）如圖,在正方形A8CC中.E為A。中點.4"_18￡干點兒連接CH并延長交4。戶

點立CP，b交A0的延長線卜點P.?；EFT.則。戶的改為.

【答案】—

3

【提示】八字相似+射也定理

2.（三中）如圖,正方形ABC。的邊長為3.廷長C8至點M,假8M-I.連接M.過止8作5NJ.4”.

垂足為M。是對角線AC、8。的交點,連接OM則ON的長為.

【答窠】曰6

【捉小】院轉(zhuǎn)r拉「根也建系

3.（八中）如圖,正方形八SCO的邊長為6.El^BC1?點.CE-1BE.將△的￡沿A￡折會得到

ZUF￡.連接OF.剜線段DF的長為.

【答案】yV5

【捉，I】折裝特殊結(jié)論（I3屆i件構(gòu)成345）/建系

4.（一外）如圖.住邊長為4的正方杉A8CD中.點E.F分別為A8、8c邊的中點.連結(jié)GC.

il.'.'-/>0DH1GC.俱足為H,則DH-.

【答案】—

【提小】旋轉(zhuǎn)空翻根梁（弦圖），建系

5.（行才）如圖，正方形A8CD的邊長為6.點E在邊A8上，且AE-2BE,過點八作CE的延長線

的垂線AF交C8的延K線『*H.連接BF,則BF的長為.

【答案】-75

5

【提示】旋轉(zhuǎn)手拉手模型/建系

6.（西大）如圖，在邊長為86的正方形ABC。中.E是八8邊I?點，G是AO延長線上點，

BE-DG.連接EG.b_LEG交EG「點H.交AD丁點F.連接CE.BH.若BH-S.則FG1

【答案】50

（提示】旋轉(zhuǎn)r拉丁模型+八字相以建系

7（葉）如圖.等腰Rt^ABC中,。為斜邊AC的中點,NCAB的平分線分別交8。BCPE.

F.BP1AFpH.PC1BC.AE-1,PG-.

【答案】72-1

【捉東】旋轉(zhuǎn)空翻模型

S.（三中）如圖.矩形ABCD中.BE平分NABC交AD尸點E.F為BEI：?點.連接DF.過F

作FG1DF交BCJ->.!>G,連接BD交FG『.點H.FD-FG.BF-25/2,BG-3.則FH的長.

【答案】

【提小】等曲枳法+八字相似/建系

1】《一外）如圖.在△ASC中.ZABCM90°.AB-1.4C-3.以AB、AC為邊向形外作正方形

A80E和正方形ACFG.連接EG.則￡G=.

【捽案】2yfi

t提示】旋M門，「模型

12.（白才）如圖.在正方形八8co外取點E,ii?AE.BE.CE.過點8作8E的埠線文人￡J

熊F,連接CF.Z,BE=BF=l,CF=n制正fj形A8CZ）的面枳為.

【芥案】X2A

[1

13.（兩大）如圖.正方彬ABCD的邊長為3.延長CB至力.M.使BM-1.連接AM.過點B作

BN工AM.小足為N,0是，*“線AC、BD的交點.連接ON.則ON的長為.

【答案】沙

【提示】旄軸f?！赴裥?健系

幾何常見輔助線口訣

?三角形。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可格圖對折看，對稱以后關系班

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

線段和差及倍半，延長縮短可試驗。

線段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，倍長中線得全等。

?四邊形*

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)槿腔蚱剿?

平移腰，移對角，兩膜延長作出高。

如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。

上述方法不餐效，過腰中點全等造。

證相似，比線段，添線平行成習慣.

等限子比例換，尋很知。

直接證明有困難，等量代換少麻煩.

斜邊上面作高線，比例中項一大片.

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

國上若有一切線，切點國心半徑聯(lián)。

切線長度的計算，勾股定理最方便.

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨,

是直徑，成半國，想成直角徑連弦.

強有中點國心連，垂徑定理要記全。

國周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等我完。

要想作個外接國，各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。

如果遇到相交國，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩國，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面.

要作等角添個國,證明題目少困難.

由角平分線想到的特的線

?一、截取構(gòu)全等1

如圖.AB//CD,BE平分zABC,CE平分/BCD,點E在AD上,

求證：BC=AB+CD.

分析：在此題中可在長線設BC上截取BF=AB.再證明CF=CD.

從而達到證明的目的.這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角

形.另外一個全等自己證明.此題的證明也可以延長BE與CD的延

長線交于一點來證明.自己試一試.

?二.角分線上點向兩邊作垂或梅全等?

如圖,已知AB>AD/BAC=/FAC,CD=BC。求證:zADC+zB?

180

□

分析：可由c向/BAD的兩邊作垂線。近而征zADC與NB之和為

平角.

?三.三線合T?造等腰二角形?

如圖，AB=AC,zBAC=90,AD為zABC的平分線，CEJ_BE.求

證：BD=2CE.

分析：延長此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨后全

等.

?四、角平分線+平行線?

如圖.AB>AC,z1=z2，求證：AB-AC>BD-CD.

分析：AB上取E使AC=AE,通過全等和組成三角形邊邊邊的關系

可正

?截長補短法?

AC平分工BAD,CE±AB,HzB+zD=180°,求證：AE=AD+B

E.

分析：過C點作AD垂線，得到全等即可.

由中點想到的輔助線

?一、中線杷三角形面枳等分?1

如圖,AABC中，AD是中線，延長AD到E,?DE?AD,DFgAD

CE的中線.已知AABC的面枳為2或：ACDFfttl和執(zhí)

分析：利用中線分等底和同高得面枳關系。

云、中點聯(lián)中點得中位.

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD

的中點，BA,CD的延長線分別交EF的延長線G、H.求

證:zBGE=zCHEe

BE

分析：聯(lián)BD取中點聯(lián)接聯(lián)接，通過中位線得平行傳遞角

度。

?三、倍長中線,

如圖,已知AABC中，AB=5,AC=3,連BC上的中線AD

分析：倍長中線得到全等易得。

?四、RTA斜邊中線。

如圖，已知梯形ABCD中，AB//DC,ACxBC,AD±B

分析：取AB中點得RTA斜邊中線得到等量關系。

由全等三角形想到的輔助線

?一、倍長過中點得線段一

已知，如圖ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值

葡國是。

分析：利用倍長中線做。

?二、截長補理?

如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分

分析：在角上截取相同的線段得到全等。

?三、平移變換?1

如圖，在-ABC的邊上取兩點D.E,SBD=CE，求證：A

B+AC>AD+AE

分析：將-ACE平移使EC與BD重合。

初中數(shù)學里的幾何證明問題有一個順口溜是什么呀？

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4個回答

熱點話題付費時代，你會花錢買會員，還是等待75秒廣告？

最佳答案.

2012-06-01

人人都說幾何難，難就難在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線可向兩邊作垂線。

角平分線平行線等腰三角形來添。角平分線加垂線三線合一試試看。

線段垂直平分線常向兩端把線連。三角形中兩中點連接則成中位線。

三角形中有中線延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)對稱中心等分點。

梯形里面作高線平移一腰試試看。平行移動對角線補成三角形常見。

證相似，比線段添線平行成習慣。等積式子比例換尋找線段很關鍵。

直接證明有困難等量代換少麻煩。斜邊上面作高線比例中項一大片。

半徑與弦長計算弦心距來中間站。圓上若有一切線切點圓心半徑連。

切線長度的計算勾股定理最方便。要想證明是切線半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦同弧對角等找完。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

本回答由提問者推薦

4

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?HMwxn1044549883

2012-06-02

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人說幾何很困難，難點就在輔助線。

輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線常向兩端把線連。

要證線段倍與半延長縮短可試驗。

三角形中兩中點連接則成中位線。

三角形中有中線延長中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)對稱中心等分點。

梯形里面作高線平移一腰試試看。

平行移動對角線補成三角形常見。

證相似，比線段添線平行成習慣。

等積式子比例換尋找線段很關鍵。

直接證明有困難等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線比例中項一大片。

半徑與弦長計算弦心距來中間站。

圓上若有一切線切點圓心半徑連。

切線長度的計算勾股定理最方便。

要想證明是切線半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦同弧對角等找完。

要想作個外接圓各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線切點肯定在上面。

要作等角添個圓證明題目少困難。

輔助線，是虛線畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。

基本作圖很關鍵平時掌握要熟練。

解題還要多心眼經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線方法靈活應多變。

分析綜合方法選困難再多也會減。

虛心勤學加苦練成績上升成直線。

幾何證題難不難關鍵常在輔助線;

知中點、作中線中線處長加倍看;

底角倍半角分線有時也作處長線;

線段和差及倍分延長截取證全等;

公共角、公共邊隱含條件須挖掘;

全等圖形多變換旋轉(zhuǎn)平移加折疊;

中位線、常相連出現(xiàn)平行就好辦;

四邊形、對角線比例相似平行線;

梯形問題好解決平移腰、作高線;

兩腰處長義一點亦可平移對角線;

正余弦、正余切，有了直角就方便;

特殊角、特殊邊，作出垂線就解決;

實際問題莫要慌數(shù)學建模幫你忙；

圓中問題也不難下面我們慢慢談；

弦心距、要垂弦遇到直徑周角連;

切點圓心緊相連切線常把半徑添;

兩圓相切公共線兩圓相交公共弦；

切割線，連結(jié)弦兩圓三圓連心線;

基本圖形要熟練復雜圖形多分解;

以上規(guī)律屬一般靈活應用才方便。

1

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fw870475183

2012-06-02

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人人都說幾何難，難就難在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線可向兩邊作垂線。

角平分線平行線等腰三角形來添。角平分線加垂線三線合一試試看。

線段垂直平分線常向兩端把線連。三角形中兩中點連接則成中位線。

三角形中有中線延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)對稱中心等分點。

梯形里面作高線平移一腰試試看。平行移動對角線補成三角形常見。

證相似，比線段添線平行成習慣。等積式子比例換尋找線段很關鍵。

直接證明有困難等量代換少麻煩。斜邊上面作高線比例中項一大片。

半徑與弦長計算弦心距來中間站。圓上若有一切線切點圓心半徑連。

切線長度的計算勾股定理最方便。要想證明是切線半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦同弧對角等找完。

如果遇到相交圓不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線切點肯定在上面。輔助線，是虛線畫圖注意勿改變。

基本作圖很關鍵平時掌握要熟練。解題還要多心眼經(jīng)常總結(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線方法靈活應多變。分析綜合方法選困難再多也會減。

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初中數(shù)學里的幾何證明問題有一個順口溜是什么呀？

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4個回答

熱點話題付費時代，你會花錢買會員，還是等待75秒廣告？

最佳答案.

youlan1712

2012-06-01

人人都說幾何難，難就難在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算勾股定理最方便。要想證明是切線半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓想成直角徑連弦。弧有中點圓心連垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦同弧對角等找完。

如果遇到相交圓不要